1 / 15 Processamento Digital de Sinais DSP Parte 2 por Henrique Frank W. Puhlmann Introdução Na primeira parte dessa série de artigos foi apresentada uma breve história do processamento digital de sinais e alguns conceitos básicos. Nesse artigo serão abordados alguns conceitos específicos referentes ao processamento digital de sinais voltado para aplicações de análise espectral, filtragem digital de sinais, tratamento de sinais etc. Para isso devemos começar apresentando um pouquinho de teoria, nesse caso o teorema ou as séries de Fourier. Não vou transcrever as fórmulas e as demonstrações que se fariam necessárias para uma compreensão mais aprofundada desses desenvolvimentos. Vou apenas sintetizar e comentar os resultados de uma forma superficial e direta para tentar passar para você a essência desses conceitos. Quem quiser se aprofundar nesse tema, pode consultar diretamente a internet, pois há muito material disponível na rede, ou então recorrer a um dos livros considerados como referências para esse assunto: DFT/FFT and Convolution Algorithms Theory and Implementation C.S. Burrus and T.W. Parks (1984) Discrete-Time Signal Processing - 3rd Edition - Alan V. Oppenheim & Ronald W. Schafer (2011) Séries de Fourier (Teorema de Fourier) Jean-Baptiste Joseph Fourier desenvolveu um teorema muito interessante e curioso. O teorema mostra que toda forma de onda periódica pode ser decomposta em ondas senoidais, com frequências que são múltiplos inteiros da frequência fundamental da forma de onda original. Essas senóides são chamadas de harmônicas. São harmônicas pares, se os multiplicadores da frequência forem pares e harmônicas ímpares para os multiplicadores ímpares. Para ilustrar esse teorema, podemos aplicá-lo a uma onda quadrada de frequência ω, conforme pode ser observado na Figura 1.
2 / 15 Figura 1: Composição de uma onda quadrada a partir das harmônicas Observe que a decomposição da onda quadrada em harmônicas segue um padrão curioso: As harmônicas são todas ímpares e sua amplitude é dividida pelo índice da harmônica. Não é legal? Para ilustrar melhor esse exemplo, observe a Figura 2, onde foram somadas progressivamente as harmônicas de índices até 5, 11 e 49. Na Figura 2 também se observa que a somatória das harmônicas ilustradas ainda não formou uma onda quadrada perfeita. Para isso seria necessário realizar uma soma de infinitas harmônicas. Figura 2: Efeito decorrente da soma de um número cada vez maior de harmônicas
3 / 15 É muito útil para o profissional que trabalha com processamento digital de sinais a utilização de ferramentas de software de matemática para engenharia ou ciências para geração de sinais de testes, verificação de hipóteses, etc. Os gráficos acima foram gerados em programas assim. Alguns dos programas mais conhecidos e populares são: MATLAB MATHCAD MATHEMATICA OCTAVE (Este é gratuito!) SCILAB (Este é gratuito!) Transformadas de Fourier Considerando que, pelo teorema de Fourier, qualquer sinal periódico pode ser decomposto numa somatória de suas harmônicas, seria útil de se ter uma ferramenta que faça isso de forma direta. A transformada de Fourier faz isso. É uma operação matemática que, quando aplicada a um sinal qualquer, que está no domínio do tempo, o transforma numa representação desse sinal no domínio das frequências, onde são representadas as frequências resultantes dessa transformação, suas respectivas fases e as amplitudes que compõem esse sinal. Essa transformação pode ser realizada em qualquer tipo de sinal, não precisa ser periódico. O resultado da transformada de Fourier no domínio das frequências também é conhecido como o espectro do sinal. Para ilustrar isso, observe a Figura 3, onde se vê uma forma de onda do tipo degrau. Figura 3: Forma de onda não periódica
4 / 15 Na Figura 4, podemos observar a transformada de Fourier correspondente. É bastante complexo, como se pode notar. Figura 4: Transformada de Fourier da forma de onda da Figura 3 A transformada resultante é uma sequência infinita de frequências com suas amplitudes e fases. Do ponto de vista teórico o resultado é lindo! Do ponto de vista prático, ainda não há como se aproveitar desse resultado para processá-lo digitalmente. Antes de continuarmos, vou listar abaixo algumas propriedades importantes das transformadas de Fourier e das correspondências bilaterais entre os domínios do tempo e das frequências: Definindo que há a correspondência: v(t) V(f) onde v(t) é uma função no tempo contínuo e V(f) a sua transformada de Fourier no domínio das frequências. Temos as seguintes propriedades: Operação Função Transformada - Linearidade αv(t) + βw(t) αv(f) + βw(f) Deslocamento no tempo v(t-t d ) V(f)e -jwt d Alteração de escala v(αt) 1/ α V(f/α) Dualidade V(t) v(-f) Convolução v * w(t) V(f)W(f) Multiplicação v(t)w(t) V*W(t) As propriedades acima nos permitem muitas vezes avaliar, se determinadas operações são melhores de serem realizadas no domínio do tempo ou no domínio das frequências, sem que o resultado das operações seja alterado,s. A lista completa dessas propriedades você pode consultar na internet, ou no livro:
5 / 15 Communication Systems, An Introduction to Signals and Noise in Electrical Communications 5th Edition- de A. Bruce Carlson (2009). Sistemas Amostrados Teorema de Nyquist Shannon Para que se possa avançar um pouco mais em direção às aplicações práticas das transformadas de Fourier, é necessário que seja apresentado um pouco de teoria adicional. É a teoria que aborda os sistemas amostrados e suas propriedades. Suponhamos que um determinado sinal contínuo no tempo seja um sinal de banda limitada, cujo maior frequência é fc. O teorema de Nyquist-Shannon demonstra que para que seja preservada toda a informação contida nesse sinal, é necessário que o sinal seja amostrado em períodos equi-espaçados no tempo de tal forma que a frequência de amostragem seja maior ou igual a duas vezes a frequência máxima fc do sinal. Parece mágica, não? Vamos em seguida mostrar alguns efeitos decorrentes desse teorema. Suponhamos que o espectro de um sinal, que queremos amostrar, seja contínuo no tempo e tenha banda limitada e cuja frequência máxima seja Fc, conforme pode-se observar na Figura 5. Figura 5: Espectro de um sinal cuja banda está limitada Se o sinal for amostrado com uma frequência de amostragem igual a duas vezes a máxima frequência do sinal (Fs = 2 * Fc), o espectro resultante pode ser visto na Figura 6.
6 / 15 Figura 6: Espectro do sinal amostrado com Fs = 2 * Fc Repare que o espectro acaba sendo reproduzido infinitamente a cada múltiplo inteiro de Fs. Na Figura 7pode-se observar o efeito chamado de aliasing, que ocorre quando a frequência de amostragem não obedece ao critério de Nyquist-Shannon e há uma sobreposição dos espectros do sinal. A consequência imediata disso é uma distorção do conteúdo espectral. Nesse caso a frequência de amostragem é Fs < 2 * Fc. Figura 7: Espectro decorrente de aliasing Para completar a ilustração dos efeitos decorrentes das relações entre a frequência máxima do sinal e a frequência de amostragem, observe na Figura 8, quando Fs >> 2 * Fc. Na prática, utiliza-se quando possível, uma frequência de amostragem mínima entre oito e dez vezes a máxima frequência do sinal.
7 / 15 Figura 8: Espectro resultante de uma amostragem do sinal muito maior que Fc Para fechar esse assunto, ainda precisamos apresentar a forma mais comum de se apresentar o espectro de um sinal amostrado. O gráfico mostra as frequências entre zero (0) e a frequência de amostragem Fs. Fica subentendido que esse espectro é repetido a cada Fs para cada lado do gráfico apresentado. Confira essa representação na Figura 9. Figura 9: Representação usual do espectro de um sinal amostrado
8 / 15 Transformadas Discretas de Fourier DFT (Discrete Fourier Transforms) A transformada discreta de Fourier (DFT) é equivalente à transformada de Fourier, porém é aplicada a sinais do tempo discretizados, ou amostrados. É a principal ferramenta que se utiliza em processamento digital de sinais. Essa transformada revela o espectro do sinal discretizado, mostrando as senóides que compõem o sinal original, com suas amplitudes e fases. A principal diferença com relação à transformada de Fourier original é que o espectro é composto pelo mesmo número de frequências discretas que o número de amostras ao qual foi aplicada a transformada. Essas frequências são chamadas de raias. São como janelinhas que mostram o nível de sinal, se é que há algum, dentro dos seus limites. A Figura 10 apresenta uma forma de onda quadrada discreta, com 32 amostras, destacadas como pontos vermelhos. As 32 amostras correspondem a 2 ciclos completos da onda. Figura 10: Onda quadrada amostrada
9 / 15 Na Figura 11 pode-se observar o espectro (DFT) correspondente à primeiras 16 amostras (1 ciclo) no seu valor absoluto para simplificar a visualização. Observe que nesse caso, Fs = 16 * Fc. O espectro revela revela 16 raias no total, espelhadas em torno de Fs/2. Figura 11: Espectro da onda quadrada calculada com 16 amostras Se for calculada a transformada discreta de Fourier (DFT) sobre a mesma onda amostrada, porém com 32 amostras, ou seja 2 ciclos completos da onda, obtém-se o espectro ilustrado na Figura 12. Repare que a distribuição das frequências se manteve, mas o espectro possui mais raias. São 32 ao todo. Conclusão: quanto mais amostras forem utilizadas para calcular a DFT, maior a resolução em frequência do resultado obtido.
10 / 15 Figura 12: Espectro absoluto da onda quadrada calculada com 2 ciclos (32 amostras) Se observarmos com atenção, as Figuras 10, 11 e 12 acima perceberemos que a frequência propriamente dita da forma de onda quanto as frequências do espectro desapareceram e foram transformadas numa sequência de amostras e uma sequencia de raias. A frequência original do sinal ficou implícita e a relação entre as frequências também. Conclusão: para qualquer que seja a frequência da forma de onda mostrada na Figura 10, seus espectros serão os mesmos mostrados nas Figuras 11 e 12, se for mantida a relação entre essa frequência e a taxa de amostragem e se os espectros forem calculados sobre o mesmo número de amostras. Não é genial??? Algumas considerações adicionais que devemos fazer quando calculamos uma DFT: Deverá ser respeitado o critério de Nyquist-Shannon (só para relembrar!); O sinal, a ser transformado, deverá ser de banda de frequências limitada; A transformada discreta de Fourier, pressupõe que o sinal amostrado é necessariamente periódico. O critério de Nyquist, por motivos óbvios deverá ser respeitado para que a informação, ou o espectro do sinal possa ser preservado. Quanto à banda do sinal ser limitada, nem sempre é possível garantir isso quando se trata de sinais analógicos reais. É recomendado que sempre se utilize recursos eletrônicos analógicos de filtragem passiva ou ativa, do tipo filtros passa-baixas, para definir melhor o limite da banda do sinal antes de realizar a mostragem por meio de conversores
11 / 15 Analógicos / Digitais (A/D). Esse tipo de filtragem é conhecida por filtragem antialias ou anti-aliasing. Alguns conversores analógicos / digitais mais especializados, possuem internamente uma filtragem para limitação de banda de frequências. Nesse caso, o filtro externo é opcional. A presunção de que a DFT é calculada sobre sinais periódicos deve ser sempre levada em consideração, pois se o sinal não o é, o resultado da DFT varia conforme o trecho que é analisado, não traduzindo a transformada em resultado coerente. Transformadas rápidas de Fourier FFT As transformadas rápidas de Fourier, mais conhecidas por FFT (Fast Fourier Transforms) nada mais são do que algoritmos para computador desenvolvidos especialmente para realizar a transformada discreta de Fourier de forma rápida e eficiente. Existem inúmeras variantes desses algoritmos, cada um otimizando o desempenho para um tipo de resultado diferente que se espera obter no final. Janelamento de Sinais Há situações em que o sinal analógico e contínuo, ao qual será aplicada a transformada de Fourier discreta, é nitidamente periódico, mas devido a um efeito indesejável causado pelo ponto em que se inicia a amostragem, o sinal apresenta descontinuidades nas suas extremidades, causando o aparecimento de frequências inexistentes ou fictícias no espectro desse sinal, que na prática traduz-se na forma de um ruído de fundo. Para rapidamente ilustrar esse efeito, suponhamos que o sinal a ser analisado seja o da Figura 13. Se forem tomados todas as amostras desse sinal conforme mostradas nessa figura, o espectro resultante está mostrado na Figura 14. Note que a escala vertical está normalizada e em db, para que se possa comparar os espectros diretamente. Figura 13 Senóide amostrada
12 / 15 Figura 14: Espectro da senóide original Se for reduzido o número de amostras, o sinal amostrado fica conforme ilustrado na Figura 15, e o respectivo espectro normalizado na Figura 16. Figura 15: Senóide amostrada com descontinuidade
13 / 15 Figura 16: Espectro da senóide com descontinuidade Nesse caso em particular o efeito acabou sendo um pouco sutil. Para minimizar esse efeito indesejável foram criadas as técnicas de janelamento. Existem muitos tipos de janelamento, algumas listadas a seguir: Retangular; Triangular; Hanning; Hamming; Kaiser-Bessel; Flattop; Blackman. Cada janela tem suas características próprias e realça alguma característica do espectro, quando aplicada. O importante é frisar que o janelamento não distorce o conteúdo espectral do sinal. Apenas realça algumas partes. O detalhamento desse assunto é um capítulo à parte, poderia ser matéria de outro artigo técnico. Aqui vou apenas mostrar a aplicação da janela de Hanning ao nosso exemplo. A janela de Hanning é uma das janelas mais utilizadas em processamento digital de sinais. Na Figura 17pode-se observar o formato da janela de Hanning. Na Figura 18, o efeito produzido pelo janelamento, em que as amostras da janela e as amostras do sinal são multiplicados um a um. Na Figura 19 pode-se observar o espectro resultante dessa operação sobre a senóide com descontinuidade. O efeito sobre o espectro é espantoso, pois praticamente eliminou o ruído de fundo desse espectro.
14 / 15 Figura 17: Janela de Hanning Figura 18: Senóide janelada
15 / 15 Figura 19: Espectro da senóide janelada Com a apresentação do janelamento encerramos aqui o nosso curso introdutório expresso de processamento digital de sinais. O assunto é muito extenso, tem inúmeras áreas especializadas, tais como tratamento de imagens, ou reconhecimento de voz, telecomunicações, entre muitas outras. Se você tiver perguntas, dirija-as ao site Embarcados que na medida do possível tentaremos respondê-las. Nos próximos artigos vamos apresentar mais alguns detalhes dessa arte.