UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Funções Hiperbólicas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Funções hiperbólicas 1.Introdução.Função seno hiperbólico 3.Função cosseno hiperbólico 4.Função tangente hiperbólica 5.Função cotangente hiperbólica 6.Função secante hiperbólica 7.Função cossecante hiperbólica 8.Outras funções hiperbólicas 9.Identidades
1. Introdução Certas combinações das funções eponenciais e e e - surgem frequentemente em matemática e suas aplicações e, por isso, merecem nomes especiais. Elas são análogas de muitas formas às funções trigonométricas e possuem a mesma relação com a hipérbole que as funções trigonométricas têm com o círculo. Por essa razão são chamadas funções hiperbólicas, particularmente seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e assim por diante. 3
. Função seno hiperbólico A função seno hiperbólico é definida por senh = e e O domínio e a imagem são o conjunto de todos os números reais, cujo gráfico apresenta-se a seguir. 4
. Função seno hiperbólico senh 4 3 1 0-4 -3 - -1 0 1 3 4-1 - -3-4 5
3. Função cosseno hiperbólico A função cosseno hiperbólico é definida por cosh = e + e O domínio é o conjunto de todos os números reais e a imagem é o conjunto de todos os números no intervalo [1, + ), cujo gráfico apresenta-se a seguir. 6
3. Função cosseno hiperbólico cosh 4 3 1 0-4 -3 - -1 0 1 3 4 7
4. Função tangente hiperbólica A função tangente hiperbólica é definida por tgh senh e e = = cosh e + e O domínio é o conjunto de todos os números reais e a imagem é o conjunto de todos os números no intervalo ]-1, 1[, cujo gráfico apresenta-se a seguir. 8
4. Função tangente hiperbólica tgh 1 0-4 -3 - -1 0 1 3 4-1 - 9
5. Função cotangente hiperbólica por A função cotangente hiperbólica é definida cotgh cosh e + e = == senh e e O domínio é o conjunto R - {0} e a imagem é o conjunto de todos os números no intervalo ]-, -1[ U ]1, [, cujo gráfico apresenta-se a seguir. 10
5. Função cotangente hiperbólica cotgh 8 6 4 0-3 - -1 0 1 3 - -4-6 -8 11
6. Função secante hiperbólica A função secante hiperbólica é definida por sech 1 = = cosh e + e O domínio é o conjunto dos números reais e a imagem é o conjunto de todos os números no intervalo ]0, 1], cujo gráfico apresenta-se a seguir. 1
6. Função secante hiperbólica sech,0 1,5 1,0 0,5 0,0-4 -3 - -1 0 1 3 4-0,5-1,0-1,5 -,0 13
7. Função cossecante hiperbólica por A função cossecante hiperbólica é definida cossech 1 = = senh e e O domínio é o conjunto R - {0} e a imagem é o conjunto R - {0}, cujo gráfico apresenta-se a seguir. 14
7. Função cossecante hiperbólica cossech 5 4 3 1 0-4 -3 - -1 0 1 3 4-1 - -3-4 -5 15
8. Outras funções hiperbólicas As funções hiperbólicas também podem ser reescritas em função de e e e -, como segue: e e e + e tgh = cotgh = e + e e e sech = cossech = e + e e e 16
9. Identidades Eistem identidades satisfeitas pelas funções hiperbólicas que são similares àquelas satisfeitas pelas funções trigonométricas, cujas demonstrações encontram-se a seguir. 1 tgh = cosh senh = 1 cotgh 1 tgh = sech 1 cotgh = cossech 17
9. Identidades Como senh tgh = e cotgh = cosh cosh senh decorre que tgh = 1 cotg 18
9. Identidades Em cosh senh = 1 provamos a identidade substituindo pelas definições de cosh e senh. e + e e e e + e e + e e e e + e = = 4 4 e e e e + + e + e e e e e + e e + = = = 1 4 4 4 19
9. Identidades Em 1 tgh = sech provamos a identidade substituindo tgh pela sua definição em função de cosh e senh. senh cosh senh 1 1 = = = sech cosh cosh cosh 0
9. Identidades Em 1 cotgh = cossech provamos a identidade substituindo cotgh pela sua definição em função de cosh e senh. 1 cosh senh cosh cosh senh = = = senh senh senh 1 = = cossech senh 1
9. Identidades Empregando as seguintes relações, obtidas das definições de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico cosh + senh = e cosh senh = e pode-se provar as seguintes identidades: senh( + y ) = senh cosh y + cosh senh y cosh( + y ) = cosh cosh y + senh senh y
9. Identidades Partindo da definição da função seno hiperbólico obtemos senh e senh = e + y ( + y ) e e 1 ( ) ( y y + y = = e e e e ) 3
9. Identidades senh ( y ) + = Entretanto Assim sendo: senh ( y ) ( cosh senh ) ( cosh y senh y ) ( ) ( y y ) 1 + + + = cosh senh cosh senh 1 cosh cosh y + cosh senh y + senh cosh y + senh senh y cosh cosh y + cosh senh y + senh cosh y senh senh y 1 senh( + y ) = [ cosh senh y + senh cosh y ] senh + y = senh cosh y + cosh senh y 4 ( ) cosh + senh = e cosh senh = e
9. Identidades Partindo da definição da função cosseno hiperbólico obtemos cosh e cosh = e + y ( + y ) + e + e 1 ( ) ( y y + y = = e e + e e ) 5
9. Identidades Entretanto cosh + senh = e cosh senh = e cosh ( y ) + = Assim sendo: cosh ( y ) ( cosh senh ) ( cosh y senh y ) ( ) ( y y ) 1 + + + + = cosh senh cosh senh 1 cosh cosh y + cosh senh y + senh cosh y + senh senh y + cosh cosh y cosh senh y senh cosh y + senh senh y 1 cosh( + y ) = [ cosh cosh y + senh senh y ] cosh + y = cosh cosh y + senh senh y 6 ( )