NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO Prof. Dr. Helder Alves Pereira Outubro, 2017

CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS 1. Estágio I 1. Campos eletrostáticos (Teste I). 2. Campos elétricos em meio material (Teste II). 2. Estágio II 1. Problemas de valor de fronteira em eletrostática (Teste III). 2. Campos magnetostáticos (Teste IV). 3. Estágio III 1. Forças, materiais e dispositivos magnéticos (Teste V).

CAMPOS ELETROSTÁTICOS EM MEIO MATERIAL TÓPICOS DAS AULAS 1. Introdução. 2. Propriedades dos materiais. 3. Correntes de convecção e de condução. 4. Condutores. 5. Polarização em dielétricos. 6. Constante e rigidez dielétrica. 7. Dielétricos lineares, isotrópicos e homogêneos. 8. Equação da continuidade e tempo de relaxação. 9. Condições de fronteira.

Introdução Até então, consideramos campos eletrostáticos no espaço livre ou na ausência de meios materiais. Da mesma maneira que campos elétricos podem existir no espaço livre, eles também podem existir em um meio material. Os materiais são classificados, segundo suas propriedades elétricas, de maneira ampla, como condutores e não condutores (isolantes ou dielétricos).

Propriedades dos materiais Genericamente, os materiais podem ser classificados, de acordo com sua condutividade (σ), como condutores ou não condutores. A condutividade de um material geralmente depende da temperatura e da frequência. Um material com elevada condutividade (σ >> 1) é referido como metal. Um material com baixa condutividade (σ << 1) é referido como isolante. Um material cujo valor de conduvitidade está entre o valor dos outros dois é denominado de semicondutor.

A condutividade dos metais geralmente aumenta com a diminuição da temperatura. Um exemplo disso é o conceito dos supercondutores submetidos a baixos valores de temperatura. Microscopicamente, a diferença mais significativa entre metal e isolante reside na quantidade de elétrons disponíveis para a condução de corrente elétrica. Os materiais dielétricos têm poucos elétrons disponíveis para a condução da corrente elétrica, ao contrário dos metais, os quais têm elétrons livres em abundância.

Correntes de convecção e de condução A corrente, através de uma área, é a quantidade de carga que passa através dessa área por unidade de tempo, ou seja, I Se uma corrente ΔI atravessa uma superfície ΔS, a densidade de corrente é dada por J n Se a densidade de corrente não for normal à superfície, temos d dt Q D I DS DI J D S

Dessa maneira, a corrente total atravessando a superfície S será dada por I S ò J ds Dependendo de como I é gerada, existem diferentes tipos de densidades de corrente, a saber, Densidade de corrente de convecção. Densidade de corrente de condução. Densidade de corrente de deslocamento. A corrente de convecção não envolve condutores e, consequentemente, não satisfaz à lei de Ohm. Resulta do fluxo de cargas através de um meio isolante tal como um líquido, um gás rarefeito ou o vácuo.

Considere o seguinte filamento ΔS ρ v Δl u Figura 1 Se houver um fluxo de cargas, de densidade ρ v, a uma velocidade u u y â y a corrente através do filamento é dada por DI DQ Dt r DS v Dl Dt r DSu v y

A componente em y da densidade de corrente J é dada por Portanto, em geral J y DI DS r u J r u A corrente I é a corrente de convecção e J é a densidade de corrente de convecção, medida em A/m². v v y A corrente de condução ocorre necessariamente em condutores. Um condutor é caracterizado por uma grande quantidade de elétrons livres que promovem a corrente de condução ao serem impulsionados por um campo elétrico.

Quando um campo elétrico é aplicado, a força sobre o elétron é dada por F e E Já que o elétron não está no espaço livre, ele será acelerado pelo campo elétrico, sofrerá inúmeras colisões com a rede cristalina do material, deslocandose assim de um átomo para outro. A densidade de corrente de condução é dada por J n: número de elétrons por unidade de volume. e: carga do elétron. τ: intervalo de tempo médio entre as colisões. m: massa do elétron. σ: condutividade do material. ne t r u E s E v m 2

Condutores Um condutor possui, em abundância, cargas elétricas que estão livres para se movimentar. Quando um campo elétrico externo é aplicado a um condutor isolado, as cargas livres positivas são empurradas no sentido do campo aplicado, enquanto que as caras livres negativas movemse no sentido oposto. E e Figura 2 Essa migração das cargas ocorre rapidamente.

Em um primeiro momento, essas cargas se acumulam na superfície do condutor, formando uma superfície de cargas induzidas. Em um segundo momento, essas cargas induzidas estabelecem um campo elétrico interno induzido, o qual cancela o campo elétrico externo aplicado. E r E i Figura 3 v 0 Figura 4 Dessa forma, um condutor perfeito não pode conter um campo eletrostático em seu interior. E e 0 + + + + E e

Um condutor é um corpo equipotencial, o que implica dizer que o potencial é o mesmo em qualquer ponto no condutor. Isso se baseia no fato de que E Ñ V Se algumas cargas forem introduzidas no interior de tal condutor, elas se moverão para a superfície, redistribuindose rapidamente, de forma que o campo no interior do condutor se anula. 0 Sob condições estáticas, E 0; r 0; VAB v 0 no interior do condutor.

Consideremos um condutor cujos terminais são mantidos a uma diferença de potencial V, l I E + Figura 5 V Nesse caso, o campo elétrico no interior do condutor é diferente de zero. Devido ao fato do condutor não estar isolado e sim ligado a uma força eletromotriz que compele as cargas livres a se movimentarem, evitando o estabelecimento do equilíbrio eletrostático.

Dessa forma, um campo elétrico deve existir no interior do condutor para manter o fluxo de corrente. À medida em que os elétrons se movem, encontram algumas forças amortecedoras denominadas de resistência. Supondo que o condutor tenha uma seção reta uniforme S e um comprimento l, o campo elétrico é dado por V E I > 0 e < 0 l ò E dl Desse modo, V J se s l I S

temos que R V l r Aplicável para determinar a cl I s S resistência de qualquer condutor de seção reta S uniforme onde ρ c representa o inverso da condutividade e é denominada de resistividade do material. A resistência de um condutor de seção reta não uniforme é dada por R V I ò ò E dl s E ds

A potência, em Watt, é definida como a taxa de variação da energia, ou a força multiplicada pela velocidade, portanto, ò ò ò F u dv E u E J dv rv Lei de Joule A densidade de potência, em Watt/m³, é dada por w P E J s E 2 Para um condutor de seção reta uniforme, temos que P ò Edlò JdS VI RI 2 V R 2

J 1 r Exercícios ( 2cosq â + senq ) A/m² 1. Se calcule a corrente que passa r â 3 θ através de: a) Uma casca hemisférica de raio 20 cm. b) Uma casca esférica de raio 10 cm. ( ) A/m² 2. Para a densidade de corrente J 10z senf 2 â, determine a ρ corrente através de uma superfície cilíndrica dada por r 2,1 z 5 m

Polarização em dielétricos Considere um átomo, de um dielétrico, como constituído de uma carga negativa Q (nuvem eletrônica) e uma carga positiva +Q (núcleo). Quando um campo elétrico é aplicado, a carga positiva é deslocada, de sua posição de equilíbrio, no sentido do campo, enquanto que a carga negativa é deslocada no sentido contrário. + Figura 6 + E

Um dipolo resulta do deslocamento das cargas e o dielétrico é dito estar polarizado. No estado polarizado, a nuvem eletrônica é deformada pelo campo elétrico aplicado. Essa distribuição deformada de cargas é equivalente, pelo princípio da superposição, à distribuição original mais um dipolo cujo momento é dado por onde d p Q d é o vetor distância entre as cargas do dipolo. + + Q d +Q + Figura 7

Se houver n dipolos, em um volume Δv do dielétrico, o momento dipolo total devido ao campo elétrico é dado por n å k 1 Dessa forma, podemos definir o vetor polarização da seguinte maneira Q k d k P lim Dv 0 n å k 1 Q k Dv d k O efeito principal do campo elétrico sobre o dielétrico é a geração de momentos dipolo que se alinham na direção do campo elétrico. Esse tipo de dielétrico é chamado de apolar.

As moléculas de dielétrico apolares não possuem dipolos enquanto não for aplicado um campo elétrico. Outros tipos de moléculas possuem dipolos internos permanentes, orientados aleatoriamente, e são denominadas de moléculas polares. Quando um campo elétrico é aplicado sobre uma molécula polar, o dipolo permanente sofre um torque que tende a alinhar esse momento de dipolo em paralelo com o campo elétrico aplicado. Q Q +Q d d +Q + + Figura 8 E

Considere o material dielétrico ilustrado na figura 9, z dv r r R P(x,y,z) o y x Figura 9 como constituído de dipolos com momento de dipolo unidade de volume. p por

O potencial dv em um ponto externo P, devido ao momento de dipolo é dado por dv P dv' P â 4 pe R 0 dv' 2 R Sabendose que e que Ñ æ ' ç è 1 ö R ø â R R 2 Ñ ' æ ç è f ö A ø f æ ç è Ñ ' ö A + ø æ A ç Ñ ' è f ö ø

temos que dv dv P â R R 2 1 4pe 0 dv' 4pe 0 é æ ê ç Ñ ' ê ç ë è ö P R ø æ P Ñ' ç è Ñ ' ù ö P údv' øú û Integrando sobre todo o volume v do dielétrico e aplicando o teorema da divergente em um dos termos, obtemos 1 R æ ç è 1 R ö ø dv' 4pe 0 V P â Ñ ò n ' P ds' + ò dv' pe R 4pe R 4 0 0

Quando a polarização ocorre, uma densidade volumétrica de cargas ligadas (ρ ρv ) se forma no interior do dielétrico, enquanto que uma densidade superficial de cargas ligadas (ρ ρs ) se forma sobre a superfície do dielétrico. As cargas ligadas não são livres para se movimentar no interior do dielétrico. Elas surgem em função do deslocamento, que ocorre em escala molecular, durante o processo de polarização. As cargas livres são aquelas que são capazes de se mover ao longo de distâncias macroscópicas, como os elétrons em um condutor.

O total de cargas positivas ligadas, sobre a superfície S que contorna o dielétrico, é dado por Q b P ds' ò ò ds' enquanto que a carga que permanece no interior de S é dada por Q b ò Ñ ' Pdv' Desse modo, a carga total do material dielétrico permanece igual a zero, ou seja, r ò ρs r ρv dv' QT Qb Qb rρsds' + rρvdv' ò ò 0 isso porque o dielétrico foi eletricamente neutralizado antes da polarização.

Considerando o caso em que a região do dielétrico contém cargas livres, temos r r T v r v + Ñ e 0 r ρv E r Ñ e ρv 0 onde ρ v representa a densidade volumétrica de cargas livres, desse modo O efeito líquido do dielétrico sobre o campo elétrico é o de aumentar a densidade de fluxo elétrico, no interior do dielétrico, de uma quantidade igual ao efeito de polarização no material. E æ Ñ çe 0 è E+ D e 0 E+ P ö P ø Ñ D

A densidade de fluxo elétrico é maior do que seria se o mesmo campo elétrico fosse aplicado no espaço livre. Para alguns dielétricos a polarização varia diretamente com o campo elétrico, portanto c e c e e E P 0 onde é conhecida como a susceptibilidade elétrica do material, sendo uma medida do quanto um dado dielétrico é sensível aos campos elétricos.

Constante e rigidez dielétrica Sabendose que temos que ε: É a permissividade do dielétrico. ε r : É a permissividade relativa ou constante dielétrica. Para o espaço livre, e os materiais não dielétricos, a constante dielétrica é igual a unidade, ou seja, ε r 1. ( ) + + + E E E D E E P E D e e e c e e c e e 0 r e 0 0 e 0 0 1

Quando o campo elétrico no interior de um dielétrico é suficientemente elevado, ele começa a arrancar os elétrons das moléculas e o dielétrico tornase condutor. A ruptura dielétrica ocorre quando o dielétrico tornase condutor. Depende da natureza do material, da temperatura, da umidade e do intervalo de tempo que o campo elétrico é aplicado. O menor valor do campo elétrico, para o qual essa ruptura ocorre, é chamado de rigidez dielétrica do material dielétrico. Ou seja, rigidez dielétrica é o máximo campo elétrico que o dielétrico pode suportar, ou ao qual pode ser submetido, sem que haja ruptura.

Dielétricos lineares, isotrópicos e homogêneos Material linear: O vetor densidade de fluxo elétrico varia linearmente com o vetor campo elétrico, caso contrário se caracteriza como um material nãolinear. Material homogêneo: ε, ou σ, não varia na região em que está sendo considerado, caso contrário seu valor depende de sua posição no espaço se caracterizando como um material heterogêneo. Material isotrópico: O vetor densidade de fluxo elétrico e o vetor campo elétrico estão na mesma direção, caso contrário, quando esses vetores e o vetor polarização não estão em paralelo, caracterizase como material anisotrópico.

Por exemplo, 1. Um material dielétrico é linear se ε não varia com o campo elétrico aplicado, homogêneo se ε não varia ponto a ponto e isotrópico se ε não varia com a direção. D e E 2. O mesmo conceito é válido para um material condutor, para o qual J s E se aplica. O material é linear se σ não varia com o campo elétrico, homogêneo se σ é o mesmo em todos os pontos da região e isotrópico se σ não varia com a direção.

Exercícios 3. Uma haste fina de seção reta A se estende ao longo do eixo x de x 0 até x L. A polarização da haste ocorre ao longo de seu comprimento e é dada por P x ax² + b. a) Calcule ρ ρv e ρ ρs em cada extremidade da haste. b) Demonstre que a carga ligada total se anula nesse caso. 4. Um capacitor de placas paralelas, com separação entre as placas de 2 mm, tem diferença de pontecial entre as placas de 1 kv. Se o espaço entre as placas é preenchido com poliestireno (ε r 2,55), determine o vetor campo elétrico, o vetor polarização e ρ ρs.

Equação da continuidade e tempo de relaxação Devido ao princípio de conservação da carga, a taxa de diminuição da carga, em um dado volume e em um determinado período de tempo, deve ser igual à corrente líquida que sai da superfície fechada que limita esse volume. Dessa forma, a corrente I, que sai da superfície fechada, é dada por onde Q in fechada. I d ò J ds Qin dt é a carga total presente no interior da superfície d dt ò r dv v

Usando o teorema da divergente, temos que ò Ñ Ñ J J dv t r ò v t r dv v Equação da continuidade da corrente. Estabelece que a carga elétrica não pode ser destruída. Para correntes estacionárias, J v 0 Þ Ñ t r mostrando que a carga total que sai é a mesma carga total que entra no volume. 0

Com a lei de Ohm e a lei de Gauss obtemos æ Ñ çs E è r v r J s E Ñ E r v e onde ρ v0 : É a densidade de carga no instante t0. T r : É o tempo de relaxação ou rearranjo. v0 ö ø e t T r rv s e rv t

Como resultado da introdução de cargas, em algum ponto no interior do material, ocorre um descréscimo na densidade volumétrica de cargas. O movimento da carga, do ponto do interior onde foi introduzida até a superfície do material, está associada a esse decréscimo. Tempo de relaxação é o tempo que uma carga no interior de um material leva para decair a e 1 (36,8%) de seu valor inicial. Isso implica que, para bons condutores, o tempo de relaxação é tão curto que a maior parte da carga desaparece dos pontos internos e aparece na superfície (como carga superficial). Para bons dielétricos, podemos considerar que a carga permanecerá no ponto onde foi introduzida.

Condições de fronteira Se existe campo em uma região formada por dois meios diferentes, as condições que o campo deve satisfazer, na interface de separação entre os meios, são chamadas condições de fronteira. Essas condições são úteis na determinação do campo de um lado da fronteira se o campo no outro lado for conhecido. Para determinar as condições de fronteira, precisamos utilizar as equações de Maxwell ò E dl 0 e D ds Q ò enc

Também precisamos decompor a intensidade de campo elétrico em duas componentes, tangencial e normal, em relação à interface de interesse, da seguinte forma E T E + E N Meio 1 (ε 1 ) E 1 E 1N ΔS E 1T a b E 2 E 2N Δh Δh d Δw c Meio 2 (ε 2 ) E 2T Figura 10

Aplicando ò ò E dl 0 ao caminho fechado abcda, assumindo que o caminho é muito pequeno em relação à variação do campo elétrico, temos E dl b ò a E dl+ c b Dh 2 E dl+ d c E dl+ Dh 2 E dl Dh 2 0 E1TDw E1N E2N E2TDw + E2N + E 1N Meio 1 (ε 1 ) Meio 2 (ε 2 ) ò E 2 E 1 E 2T E 1T ò E 2N E 1N Δh Figura 11 a ò d a d Δw b c Dh 2

Dessa forma, temos E D e 1T 1T 1 E 2T D e 2T 2 As componentes tangenciais do campo elétrico são as mesmas em ambos os lados da fronteira, ou seja, são contínuas através da fronteira. As componentes tangenciais do vetor densidade de fluxo elétrico são diferentes em ambos os lados da fronteira, ou seja, são descontínuas através da fronteira.

Aplicando D! ds Q enc ao cilindro, ou superfície gaussiana, temos (considerando Δh 0)! D ds D 1N ΔS D 2N ΔS ρ S ΔS Meio 1 (ε 1 ) E 1 E 1N ΔS Meio 2 (ε 2 ) E 1T E 2 E 2N E 2T Δh Figura 12

Dessa forma, temos D e 1 1N E 1N D 2N e 2 E 2N r S r S onde ρ S : É a densidade superficial de cargas livres na fronteira. As componentes normais do vetor densidade de fluxo elétrico são diferentes em ambos os lados da fronteira, ou seja, são descontínuas através da fronteira. As componentes normais do campo elétrico são diferentes em ambos os lados da fronteira, ou seja, são descontínuas através da fronteira.

As expressões E E D D 1T 2T e r 1N 2N S são referidas como condições de fronteira. Essas condições devem ser satisfeitas por um campo elétrico na fronteira de separação entre dois meios diferentes. Meio 1 (ε 1 ) θ 1 E 1T 1 E 1 2T E senq E 2 senq 2 E 2 E 1 θ 2 Meio 2 (ε 2 ) Figura 13 Considerando ρ S 0 C/m², temos e E 1 e E 1 1N 1 e E 2 1 2N cosq e E 2 r 2 S 0 cosq 2

Dessa forma, tg e q 1 1 tg e q 2 2 ou tg tg q q 1 2 e e r1 r2 Essas expressões representam a lei de refração do campo em uma fronteira livre de cargas (ρ S 0 C/m²). Uma interface entre dois meios diferentes causa o desvio das linhas de fluxo elétrico.

Exercícios 5. Determinar as expressões das condições de fronteira para as seguintes condições: a) Interface dielétrico dielétrico. b) Interface condutor dielétrico. c) Interface condutor espaço livre. 6. Um dielétrico homogêneo (ε r 2,5) preenche uma região 1 ( x 0 ), enquanto que a região 2 ( ) é o espaço livre. 1 â 10â 4 D 12 + â E 2 12 x ³ 0 a) Se nc/m², determine. x y z 2 e q 2! b) Se V/m e q 2 60, determine E 1 e θ 1. D

Referências SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo. 5ª edição 2012. Editora Bookman.

CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS 1. Estágio I 1. Campos eletrostáticos (Teste I). 2. Campos elétricos em meio material (Teste II). 2. Estágio II 1. Problemas de valor de fronteira em eletrostática (Teste III). 2. Campos magnetostáticos (Teste IV). 3. Estágio III 1. Forças, materiais e dispositivos magnéticos (Teste V).

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