Pesquisa Operacional Método Simplex Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG março - 2016
1 Método Simplex Modelo de PL em forma de equação Referência Bibliográfica
Modelo de PL em forma de equação Os cálculos do Método Simplex são facilitados pela imposição de dois requisitos às restrições do problema: 1 Todas as restrições, com exceção das de não-negatividade, são equações com o lado direito não-negativo. 2 Todas as variáveis são não-negativas.
Modelo de PL em forma de equação Lembram-se do problema da Reddy Mikks? A Reddy Mikks produz tintas para interiores e exteriores com base em duas matérias-primas, M 1 e M 2. A tabela abaixo mostra as porcentagens de M 1 e M 2 na composição das tintas. % de matéria prima no produto tinta para tinta para disponibilidade exteriores interiores máxima diária (t) matéria-prima M 1 60% 40% 24 matéria-prima M 2 10% 20% 6 lucro por t ($1000) 5 4
Modelo de PL em forma de equação Problema da Companhia Reddy Mikks Uma pesquisa de mercado indica que a demanda diária por tinta para interiores ultrapassa a demanda diária por tinta para exteriores em no máximo 10 toneladas. A demanda máxima diária por tinta para interiores é de 20 toneladas. Quais as quantidades de tinta para interiores e de tinta para exteriores que devem ser produzidas de forma a se obter o lucro diário máximo?
Modelo de PL em forma de equação Conversão de desigualdades em equações com lado direito não-negativo: Modelo da Reddy Mikks: Maximizar z = 5x 1 + 4x 2 sujeito a: 0.6x 1 + 0.4x 2 24 0.1x 1 + 0.2x 2 6 x 1 + x 2 10 x 2 20 x 1, x 2 0
Modelo de PL em forma de equação Conversão de desigualdades em equações com lado direito não-negativo: Modelo da Reddy Mikks: Maximizar z = 5x 1 + 4x 2 sujeito a: 0.6x 1 + 0.4x 2 24 0.1x 1 + 0.2x 2 6 x 1 + x 2 10 x 2 20 x 1, x 2 0
Modelo de PL em forma de equação Conversão de desigualdades em equações com lado direito não-negativo: 0.6x 1 + 0.4x 2 24 Em restrições, deve-se inserir uma variável de folga: 0.6x 1 + 0.4x 2 + s 1 = 24, s 1 0
Modelo de PL em forma de equação Conversão de desigualdades em equações com lado direito não-negativo: Modelo da Reddy Mikks: Maximizar z = 5x 1 + 4x 2 sujeito a: 0.6x 1 + 0.4x 2 24 0.1x 1 + 0.2x 2 6 x 1 + x 2 10 x 2 20 x 1, x 2 0
Modelo de PL em forma de equação Conversão de desigualdades em equações com lado direito não-negativo: Modelo da Reddy Mikks: Maximizar z = 5x 1 + 4x 2 sujeito a: 0.6x 1 + 0.4x 2 + s 1 = 24 0.1x 1 + 0.2x 2 + s 2 = 6 x 1 + x 2 + s 3 = 10 x 2 + s 4 = 20 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3, s 4 0
A Ozark Farms quer determinar qual a mistura que gera a ração de custo mínimo diário. Modelo de PL em forma de equação Lembram-se do problema da Ozark Farms? A Ozark Farms usa no mínimo 800 libras (lb) de ração especial por dia. Essa ração especial é uma mistura de milho e soja com a seguinte composição: lb de matéria-prima por lb de ração ração proteína fibra custo ($/lb) milho 0,09 0,02 0,30 soja 0,60 0,06 0,90 Os requisitos nutricionais de ração especial são de no mínimo 30% de proteína e de no máximo 5% de fibra.
Modelo de PL em forma de equação Minimizar z = 0, 3x 1 + 0, 9x 2 sujeito a: 1x 1 + 1x 2 800 0.21x 1 0.3x 2 0 0.03x 1 0.01x 2 0 x 1, x 2 0
Modelo de PL em forma de equação Minimizar z = 0, 3x 1 + 0, 9x 2 sujeito a: 1x 1 + 1x 2 800 0.21x 1 0.3x 2 0 0.03x 1 0.01x 2 0 x 1, x 2 0
Modelo de PL em forma de equação Conversão de desigualdades em equações com lado direito não-negativo: x 1 + x 2 800 Em restrições, deve-se inserir uma variável de sobra: x 1 + x 2 s 1 = 800, s 1 0
Modelo de PL em forma de equação Conversão de desigualdades em equações com lado direito não-negativo: Minimizar z = 0, 3x 1 + 0, 9x 2 sujeito a: x 1, x 2, s 1, s 2, s 3 0 1x 1 + 1x 2 s 1 = 800 0.21x 1 0.3x 2 +s 2 = 0 0.03x 1 0.01x 2 s 3 = 0
Modelo de PL em forma de equação Conversão de desigualdades em equações com lado direito não-negativo: x 1 + x 2 3 Em restrições com lado direito negativo, deve-se: 1 - transformar a restrição em equação inserindo a variável adequada: x 1 + x 2 + s 1 = 3, s 1 0 2 - multiplicar a equação por 1: x 1 x 2 s 1 = 3
Modelo de PL em forma de equação Conversão de variáveis irrestritas em variáveis não-negativas: Suponha que uma empresa deseja decidir a cada período se ajusta o tamanho de sua mão de obra para mais ou para menos. Então, se a mão de obra do período i é x i, a mão de obra do período i + 1 é: x i+1 = x i + y i+1, onde y i+1 é o ajuste feito no período i + 1. y i+1 pode ser positiva (se houver contratações) ou negativa (se houver demissões).
Modelo de PL em forma de equação Conversão de variáveis irrestritas em variáveis não-negativas: x i+1 = x i + y i+1, y i+1 R Uma variável irrestrita pode ser expressa por duas variáveis não-negativas: y i+1 = t 1 t 2, t 1, t 2 0 se t 1 > t 2, então y i+1 > 0 se t 1 = t 2, então y i+1 = 0 se t 1 < t 2, então y i+1 < 0 Reescreva: x i+1 = x i + t 1 t 2, x i+1, x i, t 1, t 2 0
Em um problema com m equações consistentes e n variáveis, há 3 casos: 1 Se m > n, o problema tem uma solução. Exemplo: x 1 + x 2 = 3 x 1 x 2 = 1 x 1 + 8x 2 = 10 x 1 = 2 e x 2 = 1. 2 Se m = n, o problema tem uma solução. Exemplo: x 1 + x 2 = 3 x 1 x 2 = 1 x 1 = 2 e x 2 = 1. 3 Se m < n, o problema tem infinitas soluções. Exemplo: x 1 + x 2 = 5 x 1 = 2 e x 2 = 3, x 1 = 2.2 e x 2 = 2.8, x 1 = 0 e x 2 = 5, etc.
Em um sistema com m equações e n variáveis, com m < n: Se igualarmos n m variáveis a zero, o sistema pode ser resolvido e, se tiver uma solução única, sua solução é chamada de solução básica e corresponde a um ponto extremo (viável ou inviável) da região de soluções.
s 1 =0 s 2 =0 Figura : Solução de problema com duas variáveis pelo Método Gráfico.
(0,x 2,0,s 2 ) s 1 =0 (0,x 2,s 1,0) (x 1, x 2,0,0) s 2 =0 (0,0,s 1,s 2 ) (x 1,0,0,s 2 ) (x 1,0,s 1,0) Figura : Solução de problema com duas variáveis pelo Método Gráfico.
(0,x 2,0,s 2 ) s 1 =0 (0,x 2,s 1,0) (x 1, x 2,0,0) s 2 =0 (0,0,s 1,s 2 ) (x 1,0,0,s 2 ) (x 1,0,s 1,0) Figura : Solução de problema com duas variáveis pelo Método Gráfico.
(0,x 2,0,s 2 ) s 1 =0 (0,x 2,s 1,0) (x 1, x 2,0,0) s 2 =0 (0,0,s 1,s 2 ) (x 1,0,0,s 2 ) (x 1,0,s 1,0) Figura : Solução de problema com duas variáveis pelo Método Gráfico.
(0,x 2,0,s 2 ) s 1 =0 (0,x 2,s 1,0) (x 1, x 2,0,0) s 2 =0 (0,0,s 1,s 2 ) (x 1,0,0,s 2 ) (x 1,0,s 1,0) Figura : Solução de problema com três variáveis pelo Método Gráfico.
Então, para qualquer valor de n e m, basta igualar n m variáveis a zero e calcular a solução do sistema de equações! As variáveis não nulas são chamadas de variáveis básicas. Quais variáveis que devem ser igualadas a zero? O Simplex considera todas as possibilidades e calcula todos os sistemas de equações.
Então, para qualquer valor de n e m, basta igualar n m variáveis a zero e calcular a solução do sistema de equações, considerando todas as possibilidades de combinação de variáveis básicas. Quantas possibilidades existem? ( n m ) = n! m!(n m!)
s 1 =0 s 2 =0 4 variáveis e 2 restrições
Quantas possibilidades existem? ( n m ) = n! m!(n m!) = 4! 2!(4 2)! = 12 2 = 6
(0,x 2,0,s 2 ) s 1 =0 (0,x 2,s 1,0) (x 1, x 2,0,0) s 2 =0 (0,0,s 1,s 2 ) (x 1,0,0,s 2 ) (x 1,0,s 1,0) 6 pontos de interseção de curvas de função.
Referência Esse material é totalmente baseado no livro: Hamdy A. TAHA, Pesquisa Operacional, 8 a edição, São Paulo: Pearson, 2008.