Pesquisa Operacional

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1 Pesquisa Operacional Aplicações de Programação Linear Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG março

2 1 Aplicações de Programação Linear Planejamento urbano Arbitragem de moedas Investimentos

3 Planejamento urbano Trata de três áreas gerais: 1 construção de novos projetos habitacionais; 2 recuperação de áreas habitacionais e recreacionais urbanas deterioradas; 3 planejamento de instalações públicas (praças, escolas, terminais rodoviários, etc).

4 Planejamento urbano Restrições associadas são: 1 econômicas: terreno, construção, financiamento; 2 sociais: necessidade de escolas e parques, nível de renda da população local.

5 Planejamento urbano Os objetivos do planejamento urbano são bastante variados. 1 No desenvolvimento de projetos habitacionais: lucro. 2 Na recuperação de áreas habitacionais e recreacionais e no planejamento de instações públicas o objetivo envolve: poĺıtica; considerações sociais; economia; cultura.

6 Planejamento urbano 2004: caso de uma cidade de Ohio. O prefeito queria condenar uma área antiga da cidade para dar lugar a um projeto habitacional de alto padrão. Objetivo: aumentar a arrecadação de impostos para ajudar a amenizar a insuficiência orçamentária.

7 Planejamento urbano A cidade de Erstville enfrenta uma séria carência orçamentária. A câmara de vereadores, visando aumentar a arrecadação de impostos, prevê a condenação de uma área antiga da cidade e sua substituição por um conjunto habitacional moderno.

8 Planejamento urbano O projeto envolve duas fases: 1 demolição das casas que estão aquém do padrão para liberar o terreno para o novo projeto; 2 construção do novo conjunto urbano.

9 Planejamento urbano Resumo da situação: casas aquém do padrão podem ser demolidas. Cada casa ocupa um lote de 0, 25 acres. O custo de demolição de uma casa condenada é de $2.000, Os tamanhos de lotes para domicílio simples, duplo, triplo e quádruplo são de 0, 18; 0, 28; 0, 4; e 0, 5 acres, respectivamente. Ruas, espaços abertos e instalações públicas ocupam 15% da área disponível. 3 No novo conjunto habitacional, os lotes triplos e quádruplos devem representar no mínimo 25% do total do número de lotes. Lotes simples devem representar, no mínimo, 20% de todos os lotes; e lotes duplos, no minimo, 10%.

10 Planejamento urbano Resumo da situação: 1 Os impostos cobrados por lote simples, duplos, triplos e quádruplos são, respectivamente, $1000, 00, $1900, 00, $2700, 00 e $3400, O custo da construção por lote simples, duplo, triplo e quádruplo é, respectivamente, de $50.000, 00, $70.000, 00, $ , 00 e $ , 00. O financiamento acordado com um banco local é de, no máximo, $15 milhões. Quantas unidades de cada tipo devem ser construídas para maximizar a arrecadação de impostos?

11 Planejamento urbano Variáveis de decisão: x 1 = número de lotes simples x 2 = número de lotes duplos x 3 = número de lotes triplos x 4 = número de lotes quádruplos x 5 = número de casas antigas a demolir

12 Planejamento urbano Objetivo: maximizar a arrecadação de impostos dos quatro tipos de residências. Maximizar z = 1000x x x x 4

13 Planejamento urbano Restrições: Disponibilidade do terreno: área para construção de novas casas área ĺıquida disponível. área necessária para construção de novas casas: 0, 18x 1 + 0, 28x 2 + 0, 4x 3 + 0, 5x 4. área disponível por casa demolida: 0, 25x 5 área ĺıquida (não destinada a construções públicas): 0, 85(0, 25x 5 ) = 0, 2125x 5. 0, 18x 1 + 0, 28x 2 + 0, 4x 3 + 0, 5x 4 0, 2125x 5 O número de casas demolidas não pode exceder 300: x

14 Planejamento urbano Restrições: No novo conjunto habitacional, os lotes triplos e quádruplos devem representar no mínimo 25% do total de número de lotes. x 3 + x (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) 0.25x x x x 4 0 Lotes simples devem representar, no mínimo, 20% de todos os lotes. x 1 0.2(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) 0.8x x x x 4 0

15 Planejamento urbano Restrições: Lotes duplos, no mínimo, 10%. x 2 0.1(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) 0.1x 1 0.9x x x 4 0

16 Planejamento urbano Restrições: Manter o custo de demolição e construção dentro do orçamento permitido. Custo de demolição + custo de construção custo do orçamento; 50x x x x 4 + 2x

17 Planejamento urbano Modelo completo: Maximizar z = 1000x x x x 4 sujeito a: 0, 18x 1 + 0, 28x 2 + 0, 4x 3 + 0, 5x 4 0, 2125x 5 0 x , 8x 1 + 0, 2x 2 + 0, 2x 3 + 0, 2x 4 0 0, 1x 1 0, 9x 2 + 0, 1x 3 + 0, 1x 4 0 0, 25x 1 + 0, 25x 2 0, 75x 3 0, 75x x x x x 4 + 2x x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0

18 Arbitragem de moedas Uma empresa multinacional tem que lidar com as diferentes moedas dos países onde opera. Arbitragem de moedas: compra e venda simultânea de moedas, em diferentes mercados. oportunidade para movimentação vantajosa de dinheiro de uma moeda para outra.

19 Arbitragem de moedas Vejamos um exemplo: converter 1000, 00 em dólares americanos. Taxa de câmbio em 2001: $1, 60 = 1, 00 Resultado: $1600, 00. Alternativa: trocar libras por ienes e depois converter os ienes em dólares americanos. Taxa de câmbio de 2001: 1 = 175 e $1 = 105. Resultado: = $1.666, 67.

20 Arbitragem de moedas Problema: uma empresa tem um total de 5 milhões de dólares que podem ser trocados por euros (e), libras esterlinas ( ), ienes ( ) e dinares do Kwait (KD). Os cambistas estabeleceram os seguintes limites de troca em uma única transação: 5 milhões de dólares; 3 milhões de euros; 3, 5 milhões de libras; 100 milhões de ienes; 2, 8 milhões de dinares.

21 Arbitragem de moedas A Tabela mostra taxas de câmbio típicas no mercado à vista. $ e KD $ 1 0, 769 0, , e 0, , , , KD 0, , , , , , , É possível aumentar o estoque de dólares (acima dos 5 milhões iniciais) usando a arbitragem de moedas?

22 Arbitragem de moedas Variáveis de decisão Moeda $ e KD Código Qual a quantia de cada conversão que maximizará o estoque de dólares? x i,j = quantia da moeda i convertida na moeda j, 1 i, j 5. Exemplo: x 13 é a quantia de dólares convertida em libras esterlinas.

23 Arbitragem de moedas Objetivo: Maximizar a quantia final de dólares. Maximizar z = 5 x 12 x 13 x 14 x ,769 x ,625 x x ,342 x 51

24 Arbitragem de moedas Restrições Para conservar o fluxo de dinheiro de uma moeda para outra: quantidade total disponível da moeda = quantidade inicial - quantidade total convertida dessa para outra moeda + quantidade convertida de outra moeda para essa moeda

25 Arbitragem de moedas Restrições Dólares (i = 1) z ( = 5 (x 12 + x 13 + x 14 + x 15 ) + ) 1 0,769 x ,625 x x ,342 x 51 Euros (i = 2) 0 = (0, 769x ,813 x x ,445 x 52) (x 21 +x 23 +x 24 +x 25 ) Libra (i = 3) 0 = (0, 625x 13 +0, 813x x ,543 x 53) (x 31 +x 32 +x 34 +x 35 )

26 Arbitragem de moedas Restrições Ienes (i = 4) 0 = (105x x x ,0032 x 54) (x 41 +x 42 +x 43 +x 45 ) Dinares (i = 5) 0 = (0, 342x , 445x , 543x , 0032x 45 ) (x 51 + x 52 + x 53 + x 54 )

27 Arbitragem de moedas Restrições Em relação ao limite máximo por transação: x 1j 5, 2 j 5 x 2j 3, 1 j 5 e j 2 x 3j 3, 5, 1 j 5 e j 3 x 4j 100, 1 j 5 e j 4 x 5j 2, 8, 1 j 4 Além disso, x ij 0, 1 i, j 5 e i j.

28 Arbitragem de moedas Modelo completo: Maximizar z = ) 5 (x 12 +x 13 +x 14 +x 15 )+( 1 0,769 x ,625 x x ,342 x 51 sujeito a: (0, 769x ,813 x x ,445 x 52) (x 21 +x 23 +x 24 +x 25 ) = 0 (0, 625x 13 +0, 813x x ,543 x 53) (x 31 +x 32 +x 34 +x 35 ) = 0 (105x x x ,0032 x 54) (x 41 + x 42 + x 43 + x 45 ) = 0 (0, 342x , 445x , 543x , 0032x 45 ) (x 51 + x 52 + x 53 + x 54 ) = 0

29 Arbitragem de moedas x 1j 5, 2 j 5 x 2j 3, 1 j 5 e j 2 x 3j 3, 5, 1 j 5 e j 3 x 4j 100, 1 j 5 e j 4 x 5j 2, 8, 1 j 4 x ij 0, 1 i, j 5 e i j.

30 Investimentos Exemplos de problemas de investimento: 1 orçamentos de capital para projetos; 2 estratégia de investimentos em títulos; 3 seleção de carteira de ações; 4 determinação da poĺıtica de empréstimos bancários.

31 Investimentos O objetivo, em geral, é maximizar o retorno do investimento.

32 Investimentos O Thriften Bank está em processo de elaboração de uma poĺıtica de empréstimos, envolvendo um máximo de $12 milhões. Tipos de empréstimos disponíveis: tipo de empréstimo taxa de juros taxa de inadimplência Pessoal 0, 140 0, 10 Automóvel 0, 130 0, 07 Agrícola 0, 125 0, 05 Habitacional 0, 120 0, 03 Comercial 0, 100 0, 02 A inadimplência são débitos incobráveis e não geram receita de juros.

33 Investimentos A concorrência com outras instituições requer que o banco destine pelo menos 40% dos fundos a créditos agrícola e comercial. Para auxiliar o setor de construção de residências da região, a quantia destinada ao crédito habitacional deve ser igual a no mínimo 50% do crédito destinado à empréstimo pessoal, aquisição de automóvel e habitação. O banco tem uma poĺıtica de não permitir que a taxa global de inadimplência sobre todos os empréstimos exceda 4%.

34 Investimentos Quais são as variáveis de decisão do problema?

35 Investimentos Quais são as variáveis de decisão do problema? x 1 = empréstimos pessoais (em milhões de dólares); x 2 = empréstimos para compra de automóveis; x 3 = empréstimos habitacionais; x 4 = empréstimos agrícolas; x 5 = empréstimos comerciais;

36 Investimentos Qual é o objetivo?

37 Investimentos Qual é o objetivo? Maximizar o retorno ĺıquido. O retorno ĺıquido é a diferença entre a receita de juros e créditos inadimplentes. A receita de juros é obtida somente com base em empréstimos para não-inadimplentes. Exemplo: 10% dos empréstimos de crédito pessoal são inadimplementes. O banco recebrá juros sobre 90%. A taxa de juros do crétido pessoal é de 14%. Então o juros recebidos no crédito Pessoal são: 0, 14(0, 9x 1 ).

38 Investimentos Objetivo: Maximizar o retorno ĺıquido. O retorno ĺıquido é a diferença entre a receita de juros e créditos inadimplentes. Exemplo: 10% dos empréstimos de crédito pessoal são inadimplementes. O banco recebrá juros sobre 90%. A taxa de juros do crétido pessoal é de 14%. Então o juros recebidos no crédito Pessoal são: 0, 14(0, 9x 1 ). A receita de juros é 0, 14(0, 9x 1 ) + 0, 13(0, 93x 2 ) + 0, 12(0, 97x 3 ) + 0, 125(0, 95x 4 ) + 0, 1(0, 98x 5 ) = = 0, 126x 1 + 0, 1209x 2 + 0, 1164x 3 + 0, 11875x 4 + 0, 098x 5 O total de créditos inadimplentes é: 0, 1x 1 + 0, 07x 2 + 0, 03x 3 + 0, 05x 4 + 0, 002x 5

39 Investimentos Objetivo: Maximizar o retorno ĺıquido. O retorno ĺıquido é a diferença entre a receita de juros e créditos inadimplentes. A receita de juros é = 0, 126x 1 + 0, 1209x 2 + 0, 1164x 3 + 0, 11875x 4 + 0, 098x 5. O total de créditos inadimplentes é: = 0, 06x 1 + 0, 03x 2 0, 01x 3 + 0, 01x 4 0, 02x 5. O retorno ĺıquido é: = 0, 126x 1 + 0, 1209x 2 + 0, 1164x 3 + 0, 11875x 4 + 0, 098x 5 (0, 06x 1 + 0, 03x 2 0, 01x 3 + 0, 01x 4 0, 02x 5 ) =. = 0, 026x 1 + 0, 0509x 2 + 0, 0864x 3 + 0, 06875x 4 + 0, 078x 5.

40 Investimentos Objetivo: Maximizar z = 0, 026x 1 + 0, 0509x 2 + 0, 0864x 3 + 0, 06875x 4 + 0, 078x 5.

41 Investimentos Restrições: O total de fundos não deve exceder 12 milhões. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 12 Os empréstimos agrícolas e comerciais são no minímo 40% de todos os empréstimos. x 4 + x 5 0, 4(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 0, 4x 1 + 0, 4x 2 + 0, 4x 3 0, 6x 4 0, 6x 5 0

42 Investimentos Restrições: O total de fundos não deve exceder 12 milhões. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 12 Os empréstimos agrícolas e comerciais são no minímo 40% de todos os empréstimos. x 4 + x 5 0, 4(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 0, 4x 1 + 0, 4x 2 + 0, 4x 3 0, 6x 4 0, 6x 5 0

43 Investimentos Restrições: Os empréstimos habitacionais são no mínimo 50% do total de empréstimos pessoais, de aquisição de automóvel e habitação. x 3 0, 5(x 1 + x 2 + x 3 ) 0, 5x 1 + 0, 5x 2 0, 5x 3 0. Créditos inadimplentes não devem exceder 4% de todos os créditos. 0, 1x 1 + 0, 07x 2 + 0, 03x 3 + 0, 05x 4 + 0, 02x 5 0, 4(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 0, 06x 1 + 0, 03x 2 0, 01x 3 + 0, 01x 4 0, 02x 5 0. Não-negatividade: x i 0, 1 i 5.

44 Investimentos Restrições: Os empréstimos habitacionais são no mínimo 50% dos empréstimos pessoais e dos destinados à aquisição de imóvel e habitação. x 3 0, 5(x 1 + x 2 + x 3 ) 0, 5x 1 + 0, 5x 2 0, 5x 3 0. Créditos inadimplentes não devem exceder 4% de todos os créditos. 0, 1x 1 + 0, 07x 2 + 0, 03x 3 + 0, 05x 4 + 0, 02x 5 0, 4(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 0, 06x 1 + 0, 03x 2 0, 01x 3 + 0, 01x 4 0, 02x 5 0. Não-negatividade: x i 0, 1 i 5.

45 Investimentos Modelo completo: Maximizar z = 0, 026x 1 + 0, 0509x 2 + 0, 0864x 3 + 0, 06875x 4 + 0, 078x 5 sujeito a: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x , 4x 1 + 0, 4x 2 + 0, 4x 3 0, 6x 4 0, 6x 5 0 0, 5x 1 + 0, 5x 2 0, 5x , 06x 1 + 0, 03x 2 0, 01x 3 + 0, 01x 4 0, 02x 5 0. x 1, x 2,x 3, x 4, x 5 0

46 Referência Esse material é totalmente baseado no livro: Hamdy A. TAHA, Pesquisa Operacional, 8 a edição, São Paulo: Pearson, 2008.

47 Agradecimentos Agradecimentos aos alunos Luma Alves Lopes, Diogo Machado Gonçalves, Bruno Matheus de Campos Cardoso e Elder Kuss, pela colaboração na revisão desse conteúdo.