Noções (básicas) de Topologia Geral, espaços métricos, espaços normados e espaços com produto interno. André Arbex Hallack

Noções (básicas) de Topologia Geral, espaços métricos, espaços normados e espaços com produto interno André Arbex Hallack Setembro/2011

Introdução O presente texto surgiu para dar suporte a um Seminário (de mesmo nome) oferecido pelo Departamento de Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora no Verão/2000 e tendo como principal objetivo fornecer algumas noções básicas (elementares) de Topologia, tanto de espaços topológicos em geral como a topologia de espaços métricos, espaços normados e espaços com produto interno, procurando fornecer aos participantes uma visão global de todos esses tipos de espaço, a ser utilizada (ao menos como referência) em estudos mais avançados na Matemática. Originalmente visando atender aos alunos do Bacharelado em Matemática, o Seminário pôde ser bem aproveitado também por outros que tinham objetivos relacionados com o acima citado. Os pré-requisitos básicos para seguir o texto são noções de Teoria dos Conjuntos e Álgebra Linear. Embora não sendo absolutamente necessário, também é bom que se tenha tido algum contato com a topologia usual da Reta (conjuntos abertos, fechados, compactos, etc. em IR - conteúdo geralmente visto em um primeiro curso de Análise), bem como noções de convergência de sequências e séries numéricas. O primeiro capítulo trata de noções de Topologia Geral. Seguem-se capítulos sobre espaços métricos, espaços normados e espaços com produto interno. Ao final do texto, foram acrescentados (a título de informação adicional) três apêndices, tratando da Topologia Produto (sobre produtos cartesianos de espaços topológicos), bases em espaços vetoriais e sobre o espaço IR n. André Arbex Hallack i

Índice Introdução i 1 Topologia Geral 1 1.1 Espaços topológicos................................. 1 1.2 Base para uma topologia.............................. 3 1.3 Subespaços topológicos............................... 4 1.4 Conjuntos fechados................................. 4 1.5 Interior, vizinhanças, fecho............................. 5 1.6 Espaços de Hausdorff................................ 9 1.7 Sequências em espaços topológicos......................... 10 1.8 Funções contínuas.................................. 14 1.9 Homeomorfismos.................................. 16 1.10 Conexidade..................................... 17 1.11 Compacidade.................................... 20 2 Espaços métricos 23 2.1 Espaços métricos.................................. 23 2.2 Bolas, esferas e conjuntos limitados........................ 25 2.3 A Topologia Métrica................................ 26 2.4 Sequências em espaços métricos.......................... 28 2.5 Funções contínuas.................................. 31 2.6 Continuidade uniforme............................... 33 2.7 Compacidade em espaços métricos......................... 35 iii

2.8 Métricas equivalentes................................ 36 3 Espaços normados 39 3.1 Espaços normados................................. 39 3.2 A topologia da norma............................... 41 3.3 Espaços de Banach................................. 44 3.4 Séries......................................... 44 3.5 Transformações lineares em espaços normados.................. 45 4 Espaços com produto interno 51 4.1 Produto interno................................... 51 4.2 Norma a partir de um produto interno...................... 53 4.3 Espaços de Hilbert................................. 54 4.4 Ortogonalidade................................... 55 4.5 O Teorema de Representação de Riesz...................... 55 A Introdução à Topologia Produto 57 B Sobre bases em espaços vetoriais 63 C O espaço IR n 67 Referências 75

Capítulo 1 Topologia Geral Nosso principal objetivo neste primeiro capítulo é trabalhar com o conceito geral de espaço topológico e noções de convergência (de sequências), continuidade de funções, conexidade e compacidade neste contexto. 1.1 Espaços topológicos Definição 1.1. Uma TOPOLOGIA sobre um conjunto X é uma coleção τ de subconjuntos de X ( τ P(X) ) satisfazendo às seguintes propriedades: A.1) φ e X estão em τ. A.2) A união dos elementos de qualquer subcoleção de τ está em τ. A.3) A interseção dos elementos de qualquer subcoleção finita de τ está em τ. Um conjunto X munido de uma topologia τ (fixada) é chamado ESPAÇO TOPOLÓGICO. Neste caso, dizemos que um subconjunto A X é um conjunto ABERTO do espaço topológico X se, e somente se, A τ. Exemplos: A) Topologia Discreta: Seja X um conjunto qualquer. A coleção τ = P(X) de todos os subconjuntos de X é uma topologia sobre X, conhecida como TOPOLOGIA DISCRETA. Qualquer subconjunto de X é aberto na Topologia Discreta. 1

2 CAPÍTULO 1 B) Topologia Caótica: Seja X um conjunto qualquer. A coleção τ = { φ, X} é uma topologia sobre X, conhecida como TOPOLOGIA CAÓTICA. Os conjuntos φ e X são os únicos abertos de X na Topologia Caótica. C) Seja X = {a, b, c, d} τ d = P(X) é a Topologia Discreta sobre X. τ c = { φ, X} é a Topologia Caótica sobre X. τ 1 = { φ, {a}, {b}, {a, b}, X} é uma topologia sobre X. τ 2 = { φ, {a, b}, {c, d}, X} é uma topologia sobre X. τ 3 = { φ, {a}, {b}, {a, b}, {c, d}, X} não é uma topologia sobre X. τ 4 = { φ, {a}, {b}, {a, b}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, X} é uma topologia sobre X. D) Topologia Usual da Reta: Consideremos o conjunto IR dos números reais. A coleção τ dada por: τ = {A IR; a A, ɛ > 0 com (a ɛ, a + ɛ) A} é uma topologia sobre IR (mostre), conhecida como a Topologia Usual da Reta. Os abertos de IR, na Topologia Usual, são os subconjuntos A IR tais que: todos os seus pontos são centros de intervalos abertos inteiramente contidos em A. E) Topologia Usual do Plano Complexo (ou do IR 2 ): Consideremos o conjunto C = {z = x + iy ; x, y IR} dos números complexos. A coleção τ dada por: τ = {A C; a A, ɛ > 0 com D ɛ (a) A} é uma topologia (Usual) sobre C. D ɛ (a) = {z C; z a < ɛ} é o disco aberto de centro a e raio ɛ > 0. Os abertos de C, na Topologia Usual, são os subconjuntos A C tais que: cada um de seus pontos é centro de um disco aberto inteiramente contido em A:

Topologia Geral 3 Comparando topologias: Sejam τ e τ duas topologias sobre um conjunto X. Se τ τ então dizemos que a topologia τ é MAIS FORTE (ou MAIOR ou MAIS FINA) que τ, ou equivalentemente, que a topologia τ é MAIS FRACA (ou MENOR ou MAIS GROSSA) que τ. (Exemplos) Exercícios: 1) Determine todas as topologias possíveis sobre o conjunto X = {a, b, c}. 2) Seja X um conjunto qualquer. Seja τ f a coleção dos subconjuntos U X tais que X\U é finito ou U = φ : τ f = { U X ; X\U é finito} { φ } (a) Mostre que τ f é uma topologia sobre o conjunto X (é chamada a Topologia do Complemento Finito). (b) O que podemos dizer de τ f se X é um conjunto finito? 3) Seja X um espaço topológico. Seja A X tal que para cada x A existe um conjunto aberto U x com x U x A. Mostre que A é aberto em X. 1.2 Base para uma topologia Definição 1.2. Seja X um conjunto qualquer. Uma coleção B de subconjuntos de X é uma BASE PARA UMA TOPOLOGIA SOBRE X se, e somente se, as duas condições abaixo são satisfeitas: 1) Para cada x X, existe pelo menos um conjunto B B tal que x B. 2) Se x pertence à interseção de dois conjuntos B 1, B 2 B então existe um conjunto B 3 B tal que x B 3 B 1 B 2. O termo BASE se justifica pois se B é base para uma topologia sobre X podemos construir a partir de B uma topologia τ B sobre X (chamada TOPOLOGIA GERADA POR B), dada por: τ B = { U X ; x U, B B com x B U } É imediato que B τ B (os conjuntos B B são chamados ABERTOS BÁSICOS)

4 CAPÍTULO 1 Exemplos: A) A coleção B = {I IR ; I é intervalo aberto } é uma base para a Topologia Usual da Reta, ou seja, é uma base para uma topologia em IR e a topologia gerada por B é a Topologia Usual da Reta (verifique). B) Seja X = {f : IR IR} o conjunto de todas as funções de IR em IR (também denotado por IR IR ). Dados um conjunto finito F = {x 1, x 2,..., x n } IR e uma coleção de n abertos U = {U 1, U 2,..., U n } (na Topologia Usual da Reta), considere o conjunto B F, U = { f X ; f(x i ) U i i = 1, 2,..., n}. A coleção B = { B F, U ; F e U como acima (variando)} é uma base para uma topologia sobre X (mostre). Exercícios: 1) Se B é uma base para uma topologia sobre X, mostre que τ B definida anteriormente é de fato uma topologia sobre X. 2) Sejam X um conjunto e B uma base para uma topologia τ B sobre X. Mostre que τ B é a coleção de todas as uniões de elementos de B. 1.3 Subespaços topológicos Definição 1.3. Seja X um espaço topológico, munido de uma topologia τ. Se Y é um subconjunto de X, podemos então construir uma topologia natural sobre Y, a partir da topologia τ: τ Y = {Y A ; A τ} é uma topologia sobre Y (mostrar), chamada TOPOLOGIA DE SUBESPAÇO e o espaço topológico (Y, τ Y ) é dito SUBESPAÇO (TOPOLÓGICO) do espaço topológico (X, τ). Os abertos do subespaço Y X consistem portanto de todas as interseções de Y com os abertos de X. (Exemplos) 1.4 Conjuntos fechados Definição 1.4. Um subconjunto F de um espaço topológico X é dito ser FECHADO se, e somente se, o conjunto A = X\F é aberto.

Topologia Geral 5 Teorema 1.5. Seja X um espaço topológico. Então as seguintes condições são satisfeitas: F.1) φ e X são fechados. F.2) Interseções arbitrárias de conjuntos fechados são conjuntos fechados. F.3) Uniões finitas de conjuntos fechados são conjuntos fechados. Exercícios: 1) Prove o Teorema 1.5 acima. 2) Mostre que se A é aberto em X (i. é, A é aberto do espaço topológico X) e F é fechado em X então A\F é aberto em X e F \A é fechado em X. 1.5 Interior, vizinhanças, fecho Definição 1.6. (Interior) Dado um subconjunto B de um espaço topológico X, definimos o INTERIOR de B ( int B) como a união de todos os conjuntos abertos contidos em B. Teorema 1.7. Seja X um espaço topológico. São consequências imediatas da definição de interior de um conjunto (mostre): a) int B B B X. b) int B é aberto B X. c) B é aberto B X B = int B. d) A B int A int B A, B X. e) int (A B) = int A int B A, B X. Exercício: Mostre que, A, B X (espaço topológico), int (A B) int A int B. Dê um exemplo em que esta inclusão não se reduz à igualdade. Definição 1.8. (Vizinhança) Seja X um espaço topológico. Um subconjunto V X é uma VIZINHANÇA de um ponto x X se, e somente se, existe um aberto A tal que x A V.

6 CAPÍTULO 1 Teorema 1.9. Seja X um espaço topológico. São consequências imediatas da definição de vizinhança (mostre): a) V é vizinhança de x X x int V b) A é aberto A X A é vizinhança de cada um de seus pontos. Exercícios: 1) Mostre que a interseção de duas vizinhanças de um ponto é uma vizinhança deste ponto. 2) Sejam τ τ duas topologias sobre um conjunto X. Mostre que se V é uma vizinhança de um ponto x X na topologia mais fraca τ então V é uma vizinhança de X na topologia mais forte τ. Mostre através de um exemplo que a recíproca da afirmação acima não é verdadeira. Definição 1.10. (Base de vizinhanças de um ponto) Dado x X (espaço topológico), uma coleção B x de vizinhanças de x é dita ser uma BASE DE VIZINHANÇAS DE x se, e somente se, para cada vizinhança V de x é possível obter uma vizinhança B B x tal que B V. Os elementos B B x são chamados VIZINHANÇAS BÁSICAS DE x. Exercícios: 1) Seja B uma base para uma topologia τ B sobre um espaço X (ver Seção 1.2). Dado x X, mostre que a coleção B x = {B B ; x B} é uma base de vizinhanças de x. 2) Mostre que B x = { (x ɛ, x + ɛ) ; ɛ > 0 }, intervalos abertos centrados em um ponto x IR, formam uma base de vizinhanças de x na Topologia Usual da Reta. 3) Seja X = {f : IR IR}. Considerando o Exemplo B da Seção 1.2, mostre que B O = { V F, ɛ = {f X ; f(x) < ɛ x F } F (finito) IR, ɛ > 0 } é uma base de vizinhanças da função nula O : IR IR na topologia considerada. Definição 1.11. (Fecho) Seja X um espaço topológico. Dado um subconjunto B X, definimos o FECHO DE B ( B ou cl X B ou cl B) como a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm B.

Topologia Geral 7 Teorema 1.12. Seja X um espaço topológico. São consequências imediatas da definição de fecho de um conjunto (mostre): a) B cl B B X. b) cl B é fechado B X. c) B é fechado B X B = cl B. d) A B cl A cl B A, B X. e) cl (A B) = cl A cl B A, B X. Teorema 1.13. Seja X um espaço topológico. Dados B X e x X, temos: x cl B se, e somente se, toda vizinhança de x intersecta o conjunto B. Prova: Exercícios: 1) Considere o conjunto X = {a, b, c, d, e} e a seguinte topologia sobre X: τ = { φ, X, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e} }. (a) Obtenha todas as vizinhanças do ponto c. (b) Qual a menor base de vizinhanças do ponto a? (c) Obtenha o fecho do subconjunto {b, c} X. (d) Obtenha o interior do subconjunto {a, b, c} X. (e) Se A = {a, c, e}, qual é a topologia relativa (de subespaço) de A?

8 CAPÍTULO 1 2) Mostre por um contra-exemplo que podemos ter int ( cl A) cl ( int A). 3) Considere B X (espaço topológico). Mostre que X\ cl B = int (X\B) e que X\ int B = cl (X\B). 4) Seja Y X (espaço topológico). Mostre que { Y F ; F é fechado em X } é a coleção dos conjuntos fechados do subespaço topológico Y X. 5) Sejam B Y X (espaço topológico). Mostre que cl Y B = Y cl X B. Obs.: cl Y B é o fecho de B no espaço Y (subespaço topológico de X) cl X B é o fecho de B no espaço X. (Sugestão: use o exercício anterior) 6) Mostre que A X (espaço topológico) é aberto se, e somente se, A cl (X\A) = φ. 7) Mostre que se A, B X (espaço topológico), então cl (A B) ( cl A cl B). Dê um exemplo em que esta inclusão não se reduz à igualdade. 8) Se um aberto A contém pontos do fecho de B, então A contém pontos de B (mostre). 9) (Pontos de acumulação) Seja B X (espaço topológico). Um ponto x X é dito PONTO DE ACUMULAÇÃO DE B se, e somente se, toda vizinhança de x intersecta B\ {x}. Denotamos por B o conjunto dos pontos de acumulação de B. Mostre que cl B = B B B X. Podemos garantir que B é sempre fechado? Caso a resposta seja SIM, prove. Se não, apresente um contra-exemplo. 10) (Fronteira) Seja B X (espaço topológico). Definimos a FRONTEIRA DE B (e escrevemos fr B ou B) como o conjunto: fr B = cl B cl (X\B) (a) Mostre que int B fr B = φ (b) Mostre que fr B = φ B é aberto e fechado. (c) Mostre que A é aberto fr A = ( cl A)\A. (d) Mostre que se A é aberto então sua fronteira possui interior vazio. (e) Dê exemplo de um conjunto B, que não seja vazio nem o espaço todo, cuja fronteira seja um conjunto aberto. (f) Mostre que se F é fechado então sua fronteira tem interior vazio. 11) (Densidade) Um subconjunto B X (espaço topológico) é DENSO EM X se, e somente se, cl X B = X. Um espaço topológico é dito SEPARÁVEL se possuir um subconjunto enumerável denso.

Topologia Geral 9 Sejam B Y X (espaço topológico). B é denso em Y se, e somente se, B é denso no subespaço Y (com a topologia de subespaço), isto é, se, e somente se, cl Y B = Y. Se B Y X (espaço topológico), mostre que B é denso em Y se, e somente se, Y cl X B. 12) Mostre que se A é aberto em X (espaço topológico) e D X é denso em X então A D é denso em A. 13) Um subconjunto H de um espaço topológico X é chamado NOWHERE DENSE (ou RARO ) quando int ( cl X H) = φ. Prove: Se H é um subconjunto nowhere dense de X, então X\( cl X H) é denso em X. 14) Para cada n = 0, 1, 2, 3,..., seja A n = { n, n + 1, n + 2,...}. Consideremos em X = { 0, 1, 2, 3,...} a topologia τ = { φ, A n ; n = 0, 1, 2, 3,...}. (a) Determine os subconjuntos fechados de (X, τ). (b) Determine o fecho dos conjuntos { 8, 12, 36} e { 2n ; n X}. (c) Determine quais os subconjuntos de X que são densos em X. 1.6 Espaços de Hausdorff Definição 1.14. Um espaço topológico X é dito ser um ESPAÇO DE HAUSDORFF se, e somente se, para cada par de pontos distintos x, y X é possível obter abertos disjuntos U e V tais que x U e y V. Um espaço de Hausdorff é também chamado SEPARADO, ou T 2. Teorema 1.15. Todo conjunto unitário em um espaço de Hausdorff é fechado. Prova: Corolário 1. Todo conjunto finito em um espaço de Hausdorff é fechado. (Exemplos)

10 CAPÍTULO 1 Exercícios: 1) (Alguns axiomas de separação) Consideremos as classificações abaixo: T 0 : Um espaço topológico X é dito ser T 0 (ou a topologia de X é dita T 0 ) se, e somente se, dados dois pontos distintos x, y X (x y), existe um aberto contendo um destes pontos e não contendo o outro. T 1 : Um espaço topológico X é dito ser T 1 se, e somente se, dados dois pontos distintos x, y X (x y), existem abertos U e V tais que x U, y V, x V e y U. T 2 : Um espaço topológico X é dito ser T 2 (ou Hausdorff) se, e somente se, dados dois pontos distintos x, y X (x y), existem abertos disjuntos U e V tais que x U e y V. Obs.: Existem outros axiomas de separação (T 3, T 31/2, T 4,...) (a) É óbvio que todo espaço T 2 é T 1 e todo espaço T 1 é T 0. Porém nem todo espaço T 0 é T 1 e nem todo espaço T 1 é T 2 (caso contrário não faria sentido definir espaços de tipos diferentes!) Dê um exemplo de um espaço que não é T 0. Dê um exemplo de um espaço que é T 0 mas não é T 1. Dê um exemplo de um espaço que é T 1 mas não é T 2 (Sugestão: mostre que qualquer conjunto infinito com a Topologia do Complemento Finito - ver exercícios da Seção 1.1 - é T 1 mas não é T 2 ). (b) Mostre que um espaço topológico é T 1 se, e somente se, todo subconjunto unitário é fechado. 2) Sejam τ τ duas topologias sobre um conjunto X (τ mais forte que τ). Que tipo de resultado podemos inferir sobre essas topologias com relação aos axiomas de separação T 0, T 1 e T 2? O que podemos concluir sobre as chances de uma topologia atender às condições T 0, T 1 ou T 2, no que diz respeito à sua força? 1.7 Sequências em espaços topológicos Definição 1.16. Sejam X um espaço topológico e (x n ) X uma sequência em X. Um ponto x X é LIMITE da sequência (x n ) (equivalentemente dizemos que (x n ) converge para x e escrevemos x n x) se, e somente se, para cada vizinhança V de x é possível obter um índice n 0 IN tal que n > n 0 x n V.

Topologia Geral 11 Observação: É interessante notar a importância da topologia no conceito de convergência de sequências, ou melhor, dada uma sequência (x n ) em um espaço topológico X, a convergência ou não de (x n ) para um ponto x X depende fortemente da topologia considerada sobre X. Por este motivo, às vezes é conveniente explicitarmos qual topologia está sendo considerada, principalmente quando o problema puder envolver mais de uma topologia sobre um mesmo conjunto X. Exemplo: Exercício: Sejam X um espaço topológico e (x n ) uma sequência em X. (a) Dado x X, fixe uma base B x de vizinhanças de x e mostre que x n x se, e somente se, para cada vizinhança básica V B x de x é possível obter um índice n 0 IN tal que n > n 0 x n V. (Veja: base de vizinhanças de um ponto, Seção 1.5) Obs.: Moral da estória: podemos verificar (e até definir) convergência de sequências utilizando vizinhanças básicas.

12 CAPÍTULO 1 (b) Consideremos a Topologia Usual da Reta IR. Utilizando a parte (a) anterior e o fato de que os intervalos abertos centrados em um ponto da reta constituem uma base de vizinhanças desse ponto, conclua que (na Topologia Usual) uma sequência (x n ) IR converge para um ponto x IR se, e somente se, dado ɛ > 0, existe um índice n 0 IN tal que n > n 0 x n x < ɛ. Obs.: A caracterização de convergência obtida acima em (b) (e utilizada como definição quando é fixada a Topologia Usual da Reta) é um caso particular da definição 1.16! Teorema 1.17. Se X é um espaço de Hausdorff então toda sequência convergente em X converge para um único limite. Teorema 1.18. Sejam X um conjunto e τ τ duas topologias sobre X (τ mais forte do τ que τ). Se (x n ) X é tal que x n x X então x τ n x. Teorema 1.19. Sejam X um espaço topológico e B X um subconjunto de X. Se existe uma sequência (x n ) em B (x n B n) que converge para um ponto x X, então x cl B. Observação: A recíproca do teorema acima não é verdadeira em geral. É possível obter um espaço topológico X, um subconjunto B X e um ponto x X tais que x cl B mas não existe nenhuma sequência (x n ) B convergindo para x. O contra-exemplo a seguir ilustra essa situação. Contra-exemplo:

Topologia Geral 13 Apesar de existirem (e muitos) espaços onde, devido a suas topologias, a recíproca do Teorema 1.19 é verdadeira (por exemplo: IR e C com suas Topologias Usuais), não podemos em geral, à luz da observação e do contra-exemplo acima, caracterizar (nem definir portanto) o fecho de um conjunto B como o conjunto dos limites de sequências em B. Por esta inadequação das sequências na caracterização do fecho surgem novos conceitos, de FILTROS e NETS (generalização de sequências) que ajudam a contornar o problema acima. Exercícios: 1) Prove o Teorema 1.17 2) Prove o Teorema 1.18 3) Prove o Teorema 1.19 4) Seja X um espaço topológico onde não é válida a recíproca do Teorema 1.19, isto é, existem um subconjunto B X e um ponto x X tais que x cl B mas não existe nenhuma sequência (x n ) B convergindo para x. Para cada D X, definimos o conjunto D = {x X ; (x n ) D com lim x n = x} (D é o conjunto dos limites de sequências em D). Usando o conjunto B acima, prove que o conjunto D nem sempre é fechado (seu complementar não é aberto) e conclua (se quisermos naturalmente que os fechos sejam fechados) que não podemos definir o fecho de um conjunto F como F (isto é, o conjunto dos limites de suas sequências). 5) Um espaço topológico X satisfaz ao 1 o AXIOMA DA ENUMERABILIDADE quando cada ponto de X possui uma base de vizinhanças enumerável. (a) Sendo X um espaço topológico que satisfaz ao 1 o Axioma da Enumerabilidade, mostre que cada x X possui uma base enumerável de vizinhanças encaixadas : B x = { V 1 V 2 V 3... V n...} (b) Se X é um espaço topológico que satisfaz ao 1 o Axioma da Enumerabilidade, mostre que em X vale a recíproca do Teorema 1.19, ou seja, se um ponto x pertence ao fecho cl B de um conjunto B X, então existe uma sequência (x n ) em B tal que x n x. A partir daí, conclua que neste tipo de espaço podemos definir o fecho de um conjunto de uma nova maneira (defina). (c) Mostre que a reta IR e o plano complexo C (IR 2 ) com suas Topologias Usuais são espaços topológicos que satisfazem ao 1 o Axioma da Enumerabilidade (no estudo de Análise na Reta e Análise no IR n, onde são consideradas as Topologias Usuais, podemos caracterizar e portanto definir o fecho de um conjunto através de sequências).

14 CAPÍTULO 1 1.8 Funções contínuas Definição 1.20. Sejam X e Y espaços topológicos. Uma função f : X Y é dita ser CONTÍNUA se, e somente se, para cada subconjunto A aberto de Y, sua imagem inversa f 1 (A) é um aberto de X. (Exemplos) Teorema 1.21. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X Y. Então, são equivalentes: (1) f é contínua. (2) Para todo conjunto F fechado em Y, f 1 (F ) é fechado em X. (3) Para todo subconjunto B X, tem-se f( cl B) cl (f(b)). (4) Para todo subconjunto D Y, tem-se f 1 ( int D) int (f 1 (D)). Prova: Exercício Observação: É importante notar que, dados dois espaços topológicos X e Y e uma função f : X Y, a continuidade de f depende das topologias consideradas sobre X e Y. Este fato enfatiza a natureza topológica do conceito de continuidade. Teorema 1.22. Sejam X, Y e Z espaços topológicos. Temos: (a) (Função constante) Se f : X Y leva todo X em um único ponto y 0 Y então f é contínua. (b) (Inclusão) Se B X é subespaço de X, então a função de inclusão j : B X, dada por j(x) = x x B, é contínua. (c) (Composição) Se f : X Y e g : Y Z são contínuas então a aplicação composta g f : X Z é contínua. (d) (Restringindo o domínio) Se f : X Y é contínua e B X é um subespaço de X, então a restrição f B : B Y é contínua. (e) (Restringindo ou estendendo o contra-domínio) Seja f : X Y contínua. Se Z Y é um subespaço de Y tal que f(x) Z então a função g : X Z dada por g(x) = f(x) para todo x X é contínua. Se Z é um espaço tal que Y Z é subespaço de Z então a função h : X Z dada por h(x) = f(x) para todo x X é contínua. Prova: Exercício.

Topologia Geral 15 Definição 1.23. (Continuidade em um ponto) Sejam X e Y espaços topológicos. A aplicação f : X Y é dita CONTÍNUA NO PONTO x 0 X se, e somente se, para cada vizinhança V de f(x 0 ) em Y é possível obter uma vizinhança U de x 0 em X tal que f(u) V. Teorema 1.24. Sejam X e Y espaços topológicos. A aplicação f : X Y somente se, f é contínua em todo ponto de X. é contínua se, e Prova: Exercício Exercícios: 1) Seja X = A B um espaço topológico, com A e B fechados em X. Sejam f : A Y e g : B Y contínuas, de modo que f(x) = g(x) x A B. Mostre que é possível combinar f e g para construir uma função contínua pondo h(x) = f(x) se x A e h(x) = g(x) se x B. h : X Y 2) Sejam X e Y espaços topológicos, Y de Hausdorff e f, g : X Y contínuas em a X. Mostre que se f(a) g(a) então existe uma vizinhança V de a em X tal que x, y V f(x) g(y). 3) Sejam X e Y espaços topológicos e f : X Y. (a) Dado x 0 X, fixe uma base B x0 de vizinhanças de x 0 e uma base B f(x0 ) de vizinhanças de f(x 0 ). Mostre que f é contínua em x 0 se, e somente se, para cada vizinhança básica V B f(x0 ) de f(x 0 ) é possível obter uma vizinhança básica U B x0 de x 0 tal que f(u) V. Obs.: Moral da estória: podemos verificar (e até definir) continuidade de uma função num ponto utilizando vizinhanças básicas. (b) Sabendo que os intervalos abertos centrados em um ponto x IR constituem uma base de vizinhanças desse ponto na Topologia Usual da Reta, mostre que uma função f : IR IR é contínua em x 0 IR (considerando a Topologia Usual) se, e somente se, dado ɛ > 0 é possível obter um δ > 0 tal que x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ɛ. Obs.: A caracterização obtida acima em (b) (e utilizada como definição quando é fixada a Topologia Usual da Reta) é um caso particular da definição 1.23! 4) Dados um conjunto X, um espaço topológico Y e uma função f : X Y, determinar a topologia mais fraca sobre X tal que f seja contínua.

16 CAPÍTULO 1 Teorema 1.25. Sejam X e Y espaços topológicos. Se a função f : X Y é contínua em x 0 X então, para toda sequência (x n ) X tal que x n x 0, temos que f(x n ) f(x 0 ) em Y. Prova: Observação: A recíproca do teorema acima não é verdadeira em geral. Assim, da mesma forma que no caso do fecho, as sequências mostram-se inadequadas para a caracterização da continuidade, no caso geral (vale ressaltar que existem casos - por exemplo IR e C com suas Topologias Usuais - nos quais vale a recíproca do teorema acima e portanto tal caracterização é possível). Exercício: Mostre que se X é um espaço topológico que satisfaz ao 1 o Axioma da Enumerabilidade (ou seja, cada ponto de X possui uma base de vizinhanças enumerável), então vale a recíproca do teorema acima e neste caso podemos caracterizar a continuidade através de sequências. 1.9 Homeomorfismos Definição 1.26. Consideremos uma bijeção f : X Y entre dois espaços topológicos X e Y. Dizemos que f é um HOMEOMORFISMO se, e somente se, f e sua função inversa f 1 : Y X são contínuas. Dois espaços topológicos são ditos HOMEOMORFOS se existir um homeomorfismo entre ambos. Definição 1.27. Sejam X e Y espaços topológicos. Uma aplicação f : X Y é dita ABERTA se, e somente se, para todo A X aberto em X tem-se f(a) Y aberto em Y. f : X Y é dita FECHADA se, e somente se, para todo F X fechado em X tem-se f(f ) Y fechado em Y.

Topologia Geral 17 Observação: Se X e Y são espaços topológicos homeomorfos, por um homeomorfismo f : X Y, então é imediato que se A X é aberto então f(a) Y é aberto (f é uma aplicação aberta), se F X é fechado então f(f ) Y é fechado (f é uma aplicação fechada). É imediato também que f 1 é uma aplicação aberta e fechada. Assim, se dois espaços topológicos X e Y são homeomorfos, podemos dizer que ambos são INDISTINGUÍVEIS DO PONTO DE VISTA TOPOLÓGICO. 1.10 Conexidade Definição 1.28. (Cisão) Uma CISÃO de um espaço topológico X é uma decomposição X = A B onde A B = φ e os conjuntos A e B são ambos abertos em X. Observação: Todo espaço topológico X admite a cisão trivial X = X φ. Definição 1.29. (Conexos) Um espaço topológico X é dito CONEXO se, e somente se, ele não admite outra cisão além da cisão trivial. Observação: É imediato que um espaço topológico é conexo se, e somente se, os únicos subconjuntos de X que são simultaneamente abertos e fechados em X são o conjunto vazio φ e o próprio espaço X. O próximo teorema é útil na caracterização de cisão de um subespaço topológico: Teorema 1.30. Seja Y X (espaço topológico). Y = A B, com A B = φ, é uma cisão do subespaço Y X se, e somente se, cl A B = φ = A cl B, onde os fechos são considerados no espaço X. Prova: Exercício. Lema 1.31. Seja X = A B uma cisão do espaço topológico X. Seja conexo (e não-vazio) então ou Y A ou Y B. Y X. Se Y é Prova:

18 CAPÍTULO 1 Teorema 1.32. A união de uma coleção de conjuntos conexos com pelo menos um ponto em comum é conexa. Prova: Teorema 1.33. Se A X é conexo e A B cl A então B é conexo. Prova: Corolário 1. Se A é conexo e B é formado a partir de A adicionando-se alguns ou todos os pontos de seu fecho então B é conexo. Exercícios: 1) Seja { A n } uma sequência de subconjuntos conexos de um espaço topológico X, tais que A n A n+1 φ para todo n. Mostre que a união A n é conexa. 2) Seja { A α } uma coleção de subconjuntos conexos de um espaço topológico X. Seja A X conexo. Mostre que se A A α φ para todo α, então a união A ( A n ) é conexa. 3) (Teorema da Alfândega) Seja A X (espaço topológico). Mostre que se C X é conexo, C A φ e C (X\A) φ então C fr A φ.

Topologia Geral 19 Teorema 1.34. A imagem de um espaço conexo por uma aplicação contínua é conexa. Prova: Nota: O teorema acima garante que se um espaço topológico conexo X é homeomorfo a um espaço Y, então Y é conexo, ou melhor, a conexidade é uma invariante topológica. Por este motivo, diz-se também que a conexidade é uma PROPRIEDADE TOPOLÓGICA. Exercícios: 1) Uma aplicação f : X Y é dita LOCALMENTE CONSTANTE se, e somente se, para todo x X existe uma vizinhança V de x onde f é constante. Mostre que se f : X Y é localmente constante e X é conexo então f é constante. 2) (Teorema do Valor Intermediário): (a) Prove que todo subconjunto conexo de IR (na Topologia Usual) é um intervalo. (b) Sejam X conexo e f : X IR (Topologia Usual) contínua. Mostre que f tem a PROPRIEDADE DO VALOR INTERMEDIÁRIO, isto é, se existem x 1, x 2 X tais que f(x 1 ) = a < b = f(x 2 ) então, dado c entre a e b (a < c < b) existe x X tal que f(x) = c. 3) Seja A X (espaço topológico). Dado a A, definimos a COMPONENTE CONEXA C a DE a como a reunião de todos os subconjuntos conexos de A que contêm a. (a) Mostre que C a é o maior subconjunto conexo de A contendo o ponto a. (b) Seja h : X Y um homeomorfismo. Mostre que se C x é a componente conexa do ponto x em X então D y = h(c x ) é a componente conexa de y = h(x) em Y. Obs.: A letra (b) anterior mostra que um homeomorfismo h : X Y bijeção entre as componentes conexas de X e as componentes conexas de Y. estabelece uma

20 CAPÍTULO 1 1.11 Compacidade Definição 1.35. (Cobertura) Uma coleção A de subconjuntos de um espaço topológico X é dita uma COBERTURA de X se, e somente se, a união dos elementos de A é igual a X. É chamada uma COBERTURA ABERTA se os elementos de A são abertos em X. Definição 1.36. (Compactos) Um espaço topológico X é dito COMPACTO se, e somente se, toda cobertura aberta de X admite uma subcobertura finita, isto é, contém uma subcoleção finita que também cobre X. Teorema 1.37. Seja Y X (espaço topológico). Y é compacto se, e somente se, toda cobertura aberta de Y por abertos em X admite uma subcobertura finita. Prova: Exercício. Teorema 1.38. Todo subconjunto fechado de um espaço compacto é compacto. Prova: Teorema 1.39. Todo subconjunto compacto de um espaço de Hausdorff é fechado. Prova:

Topologia Geral 21 Teorema 1.40. A imagem de um espaço compacto por uma aplicação contínua é também um compacto. Prova: Nota: O teorema acima garante que a compacidade é uma invariante topológica. Exercícios: 1) Mostre que todo espaço discreto (Topologia Discreta) e compacto é finito. 2) Sejam τ e τ duas topologias sobre um conjunto X. Qual a relação entre a compacidade de X sob uma dessas topologias e a outra, se τ τ? Mostre que se X é compacto e Hausdorff em ambas as topologias então τ = τ ou elas não são comparáveis. 3) Mostre que se f : X Y é contínua, X é compacto e Y é Hausdorff, então f é uma aplicação fechada (i. é, f leva conjuntos fechados de X em conjuntos fechados de Y ). 4) Sejam A e B subconjuntos compactos e disjuntos de um espaço de Hausdorff X. Mostre que existem abertos disjuntos U e V contendo A e B respectivamente.

22 CAPI TULO 1

Capítulo 2 Espaços métricos Neste segundo capítulo introduzimos o conceito de espaço métrico e surgirão naturalmente as topologias induzidas por métricas. Estudamos então noções de convergência (de sequências), continuidade (de funções) e compacidade em espaços métricos, além de continuidade uniforme e métricas equivalentes. 2.1 Espaços métricos Definição 2.1. Uma MÉTRICA sobre um conjunto X é uma função d : X X IR que associa a cada par ordenado de elementos x, y X um número real d(x, y) chamado a distância de x a y, de modo que se tenha, para todos x, y, z X: d.1) d(x, x) = 0 d.2) Se x y então d(x, y) > 0 d.3) d(x, y) = d(y, x) (Simetria) d.4) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (Desigualdade Triangular) Um conjunto X munido de uma métrica d (fixada) é chamado ESPAÇO MÉTRICO. Exemplos: A) Métrica Discreta: Seja X um conjunto qualquer. d : X X IR dada por é uma métrica em X, conhecida como MÉTRICA DISCRETA. { d(x, x) = 0 d(x, y) = 1 se x y 23

24 CAPÍTULO 2 B) Métrica Usual da Reta: Consideremos o conjunto IR dos números reais. d : IR IR IR dada por d(x, y) = x y é uma métrica em IR. C) Algumas métricas no Plano Complexo (ou no IR 2 ): Consideremos o conjunto C = { z = x + iy ; x, y IR} dos números complexos e definamos d e, d s, d m : C C IR pondo, para todos a = a 1 + ia 2, b = b 1 + ib 2 C : d e (a, b) = a b = (a 1 b 1 ) + i(a 2 b 2 ) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 d s (a, b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 d m (a, b) = max { a 1 b 1, a 2 b 2 } Todas as três funções acima são métricas sobre C. d e d s d m é conhecida como Métrica Euclidiana. é conhecida como Métrica da Soma. é conhecida como Métrica do Máximo. D) Subespaço métrico - métrica induzida: Seja (X, d) um espaço métrico. Se Y é um subconjunto de X podemos induzir uma métrica natural em Y, a partir da métrica d: d Y = d Y Y : Y Y IR é uma métrica em Y (induzida em Y por d) O espaço métrico (Y, d Y ) é dito SUBESPAÇO (MÉTRICO) do espaço métrico (X, d). Assim, todo subconjunto de um espaço métrico pode ser considerado, de modo natural, como um espaço métrico. E) Métrica do sup: Seja X um conjunto arbitrário. Uma função real f : X IR diz-se LIMITADA quando existe uma constante k = k f > 0 tal que f(x) k para todo x X. Seja B(X; IR) o conjunto das funções limitadas f : X IR. Definimos uma métrica d em B(X; IR) pondo, para todas f, g B(X; IR): d(f, g) = sup x X f(x) g(x) Exercício: Verifique que d acima está bem definida e que é uma métrica em B(X; IR).

Espaços métricos 25 Exercícios: 1) Mostre que as funções dadas nos exemplos são realmente métricas. 2) Seja d : X X IR uma métrica em X. Mostre que α(x, y) = d(x, y), β(x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y) e γ(x, y) = min {1, d(x, y)} também são métricas em X. 2.2 Bolas, esferas e conjuntos limitados Definição 2.2. Sejam a um ponto num espaço métrico X e r > 0 um número real. Definimos: (i) BOLA ABERTA de centro a e raio r: B(a; r) = { x X ; d(x, a) < r} (ii) BOLA FECHADA de centro a e raio r: B [a; r] = { x X ; d(x, a) r} (iii) ESFERA de centro a e raio r: S[a; r] = { x X ; d(x, a) = r} Observação: Seja Y X um subespaço métrico do espaço métrico (X, d). Denotando por B Y (a; r) a bola aberta de centro a Y e raio r na métrica d Y induzida em Y por d, temos: B Y (a; r) = B(a; r) Y, onde B(a; r) é a bola aberta de centro a e raio r em (X, d). Também temos que B Y [a; r] = B[a; r] Y e S Y [a; r] = S[a; r] Y. (Exemplos) Definição 2.3. Um subconjunto B X de um espaço métrico X é dito LIMITADO quando existe uma constante c > 0 tal que d(x, y) c quaisquer que sejam x, y B. como Se B φ e B (X, d) é um conjunto limitado, podemos definir o diam (B) = sup { d(x, y) ; x, y B} DIÂMETRO de B Observação: Os conceitos acima definidos dependem da métrica d tomada em X. (Exemplos)

26 CAPÍTULO 2 2.3 A Topologia Métrica Seja X = (X, d) um espaço métrico. Existe uma topologia natural sobre X, construída a partir da métrica d da seguinte forma: τ = { A X ; a A, ɛ > 0 com B(a; ɛ) A} De fato, τ é uma topologia sobre X (exercício), dita a TOPOLOGIA INDUZIDA PELA MÉTRICA d. Assim, todo espaço métrico X = (X, d) pode ser considerado como um espaço topológico X = (X, τ), onde a topologia τ é a topologia induzida pela métrica d, da forma acima descrita. Proposição 2.4. Sejam (X, d) um espaço métrico e τ a topologia induzida pela métrica d sobre X. Temos: (i) Para todo a X, a coleção B a = {B(a; ɛ), ɛ > 0, ɛ IR} das bolas abertas de centro a é uma base de vizinhanças de a na topologia τ. (ii) Para todo a X e todo r > 0, r IR, B(a; r) τ, isto é, B(a; r) é aberto. (iii) (X, τ) é espaço de Hausdorff. (iv) a X, Ba = { B(a; 1/n), n IN } é uma base enumerável de vizinhanças de a. Prova: Exercício. Definição 2.5. Seja (X, τ) um espaço topológico. A topologia τ é dita METRIZÁVEL se, e somente se, existe uma métrica d em X tal que τ é a topologia induzida pela métrica d sobre X. Exemplos: A) Métrica e Topologia Discretas: Seja X um conjunto munido da Métrica Discreta d : X X IR, dada por { d(x, x) = 0 d(x, y) = 1 se x y A topologia induzida por d sobre X é exatamente a Topologia Discreta τ = P(X). B) Métrica e Topologia Usuais da Reta: Consideremos o conjunto IR dos números reais, com a Métrica Usual dada por d(x, y) = x y, quaisquer que sejam x, y IR. A topologia induzida por d sobre IR é exatamente a Topologia Usual da Reta. d : IR IR IR

Espaços métricos 27 C) Topologia Usual do Plano Complexo: Consideremos o conjunto C dos números complexos. A Topologia Usual do Plano Complexo é metrizável, pois é a topologia induzida pela Métrica Euclidiana d e : C C IR dada por d e (a, b) = a b a, b C. Nota: Veremos mais tarde que as métricas d s (da Soma) e d m (do Máximo) também induzem sobre C a Topologia Usual. D) Topologias não-metrizáveis: Pela Proposição 2.4, topologias que não sejam Hausdorff constituem exemplos de topologias não-metrizáveis. Assim, temos por exemplo: (i) Se X é um conjunto com mais de um elemento e τ = { φ, X} a Topologia Caótica sobre X, temos que τ não é metrizável. (ii) Se X = {a, b, c, d} e τ = { φ, {a}, {b}, {a, b}, X} então τ não é metrizável. Nota: Convém observar que existem topologias (importantes) que são Hausdorff e nãometrizáveis. Por exemplo, as topologias Fraca (w) e Fraca-Estrela (w ) estudadas na Análise Funcional são em geral topologias Hausdorff e não-metrizáveis. Exercícios: 1) Seja A um subconjunto de um espaço métrico (X, d). Sabemos que a restrição de d a A A é uma métrica em A (subespaço métrico de X), a qual denotaremos por d A. A métrica d A induz uma topologia sobre A, a qual denotaremos por τ da. Por outro lado, d induz uma topologia sobre X, que chamaremos τ e A pode ser visto como subespaço topológico de X, com uma topologia τ A dada pelas interseções de A com os abertos de τ. Mostre que τ da = τ A, ou seja, a topologia de A como subespaço métrico de X é a mesma topologia de A como subespaço topológico de X: 2) Um subconjunto D X (espaço topológico) é dito DISCRETO quando todos os seus pontos são isolados, isto é, nenhum ponto de D está em D, ou melhor ainda, para todo a D, existe uma vizinhança V de a tal que V D = {a}. Mostre que todo espaço métrico finito é discreto.

28 CAPÍTULO 2 3) Seja D um subconjunto discreto de um espaço métrico (X, d). Obtenha para cada x D uma bola aberta B x = B(x; r x ) em X tal que x, y D, x y B x B y = φ. 4) Sejam (X, d) um espaço métrico e A X. Mostre que se A é limitado então seu fecho cl A também é limitado. 5) Dê exemplo de um conjunto limitado A em um espaço métrico (X, d) tal que não existam x 0, y 0 A com d(x 0, y 0 ) = diam A. 6) Seja (X, d) um espaço métrico. Mostre que as bolas fechadas e as esferas são conjuntos fechados em X. 7) Seja A X (espaço métrico). Para todo ɛ > 0, seja B(A; ɛ) = B(a; ɛ). a A Mostre que cl A = B(A; ɛ). ɛ>0 2.4 Sequências em espaços métricos Definição 2.6. Sejam (X, d) um espaço métrico e (x n ) X uma sequência em X. Um ponto x X é LIMITE da sequência (x n ) se, e somente se, x n x na topologia induzida por d sobre X. Teorema 2.7. Sejam (X, d) um espaço métrico e (x n ) X uma sequência em X. Um ponto x X é limite de (x n ) (ou seja, x n x) se, e somente se, para cada ɛ > 0 dado, é possível obter n 0 IN tal que n > n 0 d(x n, x) < ɛ. Prova: Obs.: Note que a convergência de uma sequência em um espaço métrico depende da topologia induzida pela métrica.

Espaços métricos 29 Teorema 2.8. Sejam (X, d) um espaço métrico e (x n ) X uma sequência em X. Temos: (a) (x n ) não pode convergir para dois limites diferentes (unicidade do limite). (b) Toda sequência convergente é limitada (o conjunto de seus termos é limitado). (c) Se lim x n = a então toda subsequência de (x n ) converge para a. Teorema 2.9. Sejam X um espaço métrico e B X. Temos que x cl B (x X) se, e somente se, existe uma sequência (x n ) em B (x n B n) tal que x n x. Obs.: O Teorema 2.9 mostra que, em espaços métricos, as sequências são adequadas para caracterizar o fecho de um conjunto (o que não ocorre em espaços topológicos em geral). Exercícios: 1) Seja (X, d) um espaço métrico. Mostre que se existirem sequências (x k ) e (y k ) em X com lim x k = a, lim y k = b e d(y k, a) < r < d(x k, b) para todo k IN então d(a, b) = r. 2) Seja X um espaço métrico. Se (x k ) é uma sequência em X tal que x k b B(a; r) (a, b X, r > 0), então mostre que existe k 0 IN tal que k > k 0 x k B(a; r). 3) (Um espaço de funções) Sejam X um conjunto qualquer e (M, d M ) um espaço métrico. Uma função f : X M é dita LIMITADA quando sua imagem f(x) é um subconjunto limitado de M. Consideremos o conjunto B(X; M) das funções f : X M limitadas. Dadas f, g B(X; M), consideremos d(f, g) = sup x X d M (f(x), g(x)). Mostre que d está bem definida e é uma métrica em B(X; M) (chamada de Métrica do sup ou Métrica da Convergência Uniforme). 4) (Sequências de funções - Convergências Pontual e Uniforme) Consideremos sequências de aplicações f n : X M onde n IN, X é um conjunto qualquer e (M, d M ) é um espaço métrico. Consideremos dois tipos de convergência: (i) Diz-se que (f n ) converge PONTUALMENTE (ou simplesmente) para uma aplicação f : X M quando, para cada x X, f n (x) f(x) em M, isto é, dados x X e ɛ > 0, é possível obter um índice n 0 IN (dependendo de x e ɛ) tal que n > n 0 d M (f n (x), f(x)) < ɛ. (ii) Diz-se que (f n ) converge UNIFORMEMENTE para uma aplicação f : X M quando, dado ɛ > 0, é possível obter um índice n 0 IN (dependendo apenas de ɛ) tal que n > n 0 d M (f n (x), f(x)) < ɛ, para todo x X.

30 CAPÍTULO 2 (a) Mostre que a sequência de funções f n : IR IR dadas por f n (x) = x para todo n n IN converge pontualmente, mas não uniformemente para a função constante igual a zero. (b) Mostre que a convergência no espaço métrico B(X; M) com a topologia induzida pela Métrica do sup (veja no exercício anterior) é uma convergência uniforme. Definição 2.10. Uma sequência (x n ) num espaço métrico (X, d) chama-se uma Sequência DE CAUCHY quando, para cada ɛ > 0 dado, é possível obter um índice n 0 IN tal que m, n > n 0 d(x m, x n ) < ɛ. Proposição 2.11. Em um espaço métrico, toda sequência convergente é de Cauchy. Prova: Exercício. Definição 2.12. Diz-se que um espaço métrico X é COMPLETO quando toda sequência de Cauchy em X é convergente. Exemplos: Exercícios: 1) Mostre que num espaço métrico X, toda sequência de Cauchy é limitada. 2) Mostre que uma sequência de Cauchy que possui uma subsequência convergente é convergente (para o mesmo limite da subsequência). 3) Mostre que um espaço métrico (X, d) é completo se, e somente se, para toda sequência decrescente F 1 F 2 F 3... de subconjuntos fechados não-vazios F n X com diam (F n ) = 0 existe um ponto a X tal que F n = { a}. lim n (Teorema de Baire) Mostre que se (X, d) é um espaço completo e F = n=1 n=1 F n onde cada F n é fechado e tem interior vazio então int F = φ. (Corolário) Mostre que se (X, d) é um espaço completo e X = F n onde cada F n é fechado então existe pelo menos um F n0 tal que int F n0 φ. Obs.: O Teorema de Baire dá origem a uma série de importantes resultados, alguns dos quais veremos no próximo capítulo. n=1

Espaços métricos 31 2.5 Funções contínuas Ao analisarmos a continuidade de funções que envolvem espaços métricos consideraremos (como no caso das sequências) as topologias induzidas pelas métricas dos mesmos. Temos então: Proposição 2.13. Sejam X e Y espaços métricos (com métricas d X e d Y respectivamente). A aplicação f : X Y é contínua no ponto x 0 X se, e somente se, para cada ɛ > 0 dado, é possível obter um δ > 0 tal que d X (x, x 0 ) < δ d Y (f(x), f(x 0 )) < ɛ. Proposição 2.14. Sejam X e Y espaços métricos (com métricas d X e d Y respectivamente). A aplicação f : W X Y, cujo domínio é o subespaço métrico W X, é contínua no ponto x 0 W se, e somente se, para cada ɛ > 0 dado, é possível obter um δ > 0 tal que x W, d X (x, x 0 ) < δ d Y (f(x), f(x 0 )) < ɛ. Nota: Convém observar que a continuidade de funções que envolvem espaços métricos depende das topologias induzidas pelas métricas. No primeiro capítulo vimos que, em espaços topológicos em geral, sequências são inadequadas para caracterizar a continuidade de uma função. O teorema a seguir nos garante a possibilidade de tal caracterização (de continuidade via sequências) se o domínio da função for um espaço métrico: Teorema 2.15. Sejam X um espaço métrico e Y um espaço topológico. Uma função f : X Y é contínua em x 0 X se, e somente se, para toda sequência (x n ) X com x n x 0 temos que f(x n ) f(x 0 ) em Y. Prova: Definição 2.16. Sejam (X, d X ) e (Y, d Y ) espaços métricos e f : X Y. Dizemos que f é uma aplicação LIPSCHITZIANA quando existe uma constante c > 0 (chamada CONSTANTE DE LIPSCHITZ) tal que d Y (f(x), f(y)) c d X (x, y) quaisquer que sejam x, y X.

32 CAPÍTULO 2 Alguns casos particulares recebem denominação própria: f é uma CONTRAÇÃO FRACA quando d Y (f(x), f(y)) d X (x, y) x, y X. f é uma IMERSÃO ISOMÉTRICA (neste caso dizemos que f preserva distâncias) quando d Y (f(x), f(y)) = d X (x, y) x, y X. f é dita uma ISOMETRIA quando for uma imersão isométrica sobrejetora. f é uma CONTRAÇÃO quando existe uma constante c, com 0 c < 1, tal que para todos x, y X temos d Y (f(x), f(y)) c d X (x, y). Observação: As definições acima dependem das métricas consideradas. Exercícios: 1) Sejam X, Y espaços métricos. Mostre que se f : W X Y é contínua em a W e f(a) B Y [b; r] (b Y ) então é possível obter um δ > 0 tal que x W, d X (x, a) < δ f(x) B Y [b; r]. 2) Sejam f, g : M N contínuas, M, N espaços métricos. Dado a M, suponha que toda bola de centro a contenha um ponto x tal que f(x) = g(x). Conclua que f(a) = g(a). Use este fato para mostrar que se f, g : M N são contínuas e f = g em um subconjunto D M, D denso em M, então f = g em todo espaço M. 3) (Limites) Sejam X, Y espaços métricos, A X, a A (a é ponto de acumulação de A) e f : A Y. Dizemos que b Y é o limite de f(x) quando x tende para a e escrevemos b = lim x a f(x) quando, para cada ɛ > 0 dado, é possível obter δ > 0 tal que x A\ { a}, d X (x, a) < δ d Y (f(x), b) < ɛ. (a) Mostre que se a A A então f : A Y é contínua em a se, e somente se, f(a) = lim x a f(x). (b) Mostre que b = lim f(x) se, e somente se, para toda sequência (x n ) em A\ {a} x a com x n a (em X) tem-se f(x n ) b (em Y ). 4) Sejam X e Y espaços métricos. Se uma sequência de aplicações f n : X Y, contínuas no ponto a X, converge uniformemente (ver exercício da seção anterior) para uma aplicação f : X Y, mostre que f é contínua no ponto a. Usando a parte acima, conclua que a sequência de funções f n : [0, 1] IR dadas por f n (x) = x n não converge uniformemente para nenhuma f : [0, 1] IR.

Espaços métricos 33 5) Dê exemplo de uma aplicação f : X Y entre espaços métricos tais que: (a) f é lipschitziana mas não é uma contração fraca. (b) f é contração fraca mas não é imersão isométrica nem contração. (c) f é imersão isométrica mas não é isometria. (d) f é isometria. Dê (contra-)exemplos e mostre que as definições em 2.16 dependem das métricas consideradas. 2.6 Continuidade uniforme Definição 2.17. Sejam X e Y espaços métricos. Uma aplicação f : X Y é dita ser UNIFORMEMENTE CONTÍNUA quando, para cada ɛ > 0 dado, existir δ > 0 tal que para todos x, y X, d X (x, y) < δ d Y (f(x), f(y)) < ɛ. (Exemplos) Proposição 2.18. Sejam X e Y espaços métricos. Uma aplicação f : X Y é uniformemente contínua se, e somente se, para todo par de sequências (x n ), (y n ) em X tal que d X (x n, y n ) 0 (na Topologia Usual da Reta) tem-se que d Y (f(x n ), f(y n )) 0 (também na Topologia Usual da Reta). Prova:

34 CAPÍTULO 2 Exemplo: Observação: O exemplo acima mostra que a continuidade uniforme não é uma noção topológica, pois depende das métricas envolvidas, e não apenas das topologias induzidas. Exercícios: 1) Mostre que toda aplicação lipschitziana f : X Y (X, Y espaços métricos) é uniformemente contínua. 2) Sejam X e Y espaços métricos e f : X Y. Mostre que se f é uniformemente contínua então f transforma sequências de Cauchy (x n ) X em sequências de Cauchy (f(x n )) Y. 3) Seja f : A X Y (X, Y espaços métricos). Mostre que se Y é completo e f uniformemente contínua então, para todo a A, existe lim x a f(x). 4) Consideremos um espaço métrico X, munido de uma métrica d. Dados a X e B X, B não-vazio, definimos a CONJUNTO B como d(a, B) = inf x B d(a, x) DISTÂNCIA DO PONTO a AO

Espaços métricos 35 Dados A, B X, A e B não-vazios, definimos a DISTÂNCIA ENTRE OS SUBCONJUN- TOS A E B como d(a, B) = inf { d(a, b) ; a A, b B} (a) Mostre que d(a, B) = d( cl A, cl B). (b) Dado T X, T φ, mostre que a função f : X IR dada por f(x) = d(x, T ) é uniformemente contínua. (c) Dê exemplos de um espaço métrico (X, d) e conjuntos não-vazios A e B em X tais que A B = φ e d(a, B) = 0. (d) Sejam A, B X, A e B limitados e não-vazios. Mostre que diam (A B) diam (A) + diam (B) + d(a, B) 2.7 Compacidade em espaços métricos Teorema 2.19. Seja X um espaço métrico. São equivalentes: 1) X é compacto. 2) Todo subconjunto infinito de X possui um ponto de acumulação. 3) Toda sequência em X possui uma subsequência convergente (para um ponto de X). 4) X é completo e totalmente limitado. (Um espaço métrico X é TOTALMENTE LIMI- TADO quando para cada ɛ > 0 pode-se obter uma decomposição X = X 1 X 2... X n de X como reunião de um número finito de subconjuntos, cada um dos quais com diâmetro menor do que ɛ ). Observação: As afirmativas acima são equivalentes em K X subconjunto (subespaço) de um espaço métrico X. Teorema 2.20. Se K X (espaço métrico) é compacto, então K é limitado e fechado. Prova: