Aspectos de uniformidade em espaços topológicos admissíveis UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA (Mestrado) RICHARD WAGNER MACIEL ALVES Aspectos de uniformidade em espaços topológicos admissíveis Maringá-PR 2014

2 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Aspectos de uniformidade em espaços topológicos admissíveis Richard Wagner Maciel Alves Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática do Departamento de Matemática, Centro de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Maringá, como requisito para obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de concentração: Geometria e Topologia. Orientador: Prof. Dr. Josiney Alves de Souza. Maringá-PR, 1 de dezembro de 2014

3 ASPECTOS DE UNIFORMIDADE EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS ADMISSÍVEIS RICHARD WAGNER MACIEL ALVES Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática do Departamento de Matemática, Centro de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Maringá, como requisito para obtenção do título de Mestre em Matemática. BANCA EXAMINADORA Prof. Dr. Josiney Alves de Souza Universidade Estadual de Maringá Prof. Dr. Lino Anderson da Silva Grama Universidade Estadual de Campinas Prof. Dr. Carlos José Braga Barros Universidade Estadual de Maringá Maringá, 07 de novembro de 2014.

4 Dedico este trabalho à Deus todo poderoso

5 Agradecimentos Senhor, não só agradeço como também dedico este trabalho à Ti, sei que sem tua ajuda nada disso seria possível. Obrigado por ter me concedido sabedoria e força para realização desse sonho. Agradeço aos meus pais Sérgio e Regina e à minha irmã Glenda pelo amor incondicional, pela ajuda nos momentos difíceis, pelas orações a meu favor e principalmente por sempre acreditarem que de algum modo eu sou um vencedor. (Amo vocês!) Agradeço também a todos os membros de minha família. Em especial, rendo agradecimentos à minha avó, que apesar de não saber exatamente o que eu faço, sempre me ajudou com palavras de incentivo e fé. Agradeço à minha noiva Patricia por estar ao meu lado sempre me apoiando nos bons e nos maus momentos. (Amo você!) Agradeço a Orlando Fassina e Marli de Lima Fassina, por serem tão carinhosos comigo. Agradeço aos irmãos da Igreja do Evangelho Quadrangular que, participaram dos cultos de adoração e agradecimento a Deus por cada etapa vencida neste mestrado. Agradeço também aos amigos de mestrado com quem convivi ao longo desses dois anos pela companhia e ajuda dispensadas. Gostaria também de expressar meus sinceros agradecimentos ao Prof. Dr. Josiney Alves de Souza que me orientou neste trabalho, por ser sempre atencioso e paciente. Agradeço também pela escolha do tema a ser estudado. Nem se pudesse escolher os rumos deste trabalho faria escolha tão abençoada. Obrigado! Agradeço à CAPES pelo apoio financeiro.

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7 Resumo Um espaço topológico é dito admissível se puder ser munido de uma família admissível de coberturas abertas. Sabemos que um espaço topológico é uniformizável se e somente se é completamente regular, e além disso que espaços uniformizáveis são admissíveis. A recíproca de tal afirmação até então era um problema em aberto em Topologia. Neste trabalho provamos a validade da recíproca demonstrando que espaços admissíveis e uniformizáveis formam uma mesma classe de espaços topológicos. Além disso, fizemos um estudo dos espaços topológicos admissíveis com respeito a aspectos de uniformidade e topologia. Palavras-chave: espaços uniformizáveis, espaços admissíveis, cobertura de Lebesgue, fibrados principais, fibrados associados.

8 Abstract A topological space is said to be admissible if it can be provided with an admissible family of open coverings. We know that a topological space is uniformizable if and only if it is completely regular, and moreover that uniformizable spaces are admissible. The converse to this fact was an open problem in Topology. In this thesis, we prove that the converse demonstrating that uniformizable and admissible spaces form the same class of topological spaces. In addition, we studied the admissible topological spaces with respect to aspects of uniformity and topology. Key-words: uniformizable spaces, admissible spaces, Lebesgue covering, principal bundles, associated bundles.

9 SUMÁRIO Introdução 11 1 Espaços Uniformes Espaços uniformes - definições e exemplos Base para uma estrutura uniforme Topologia Uniforme Família de coberturas uniformes Espaços uniformes completos Espaços topológicos admissíveis Família admissível de coberturas abertas Espaços topológicos admissíveis - definições e exemplos Propriedades gerais dos espaços admissíveis Lema da cobertura de Lebesgue Funções uniformemente contínuas em espaços admissíveis Conjuntos limitados Espaços admissíveis completos Compacidade uniforme local Conexidade uniforme local Dimensão topológica Fibrados principais e associados Fibrados principais

10 Secção e trivialidade local Funções de transição Fibrados associados Família admissível de coberturas abertas em fibrados associados A Redes em espaços topológicos 88 B Ações de grupos e espaços quocientes 92 Bibliografia 94

11 INTRODUÇÃO Nesta dissertação realizamos um estudo geral dos espaços topológicos admissíveis no que diz respeito a aspectos de uniformidade e topologia. Dizemos que um espaço topológico é admissível se puder ser munido de uma família admissível de coberturas abertas. Um importante resultado provado em [16] diz que espaços uniformizáveis são admissíveis, porém a recíproca até então era um problema em aberto em Topologia. Neste trabalho provamos a validade da recíproca demonstrando que qualquer espaço uniformizável é admissível e vice-versa. Além disso, fornecemos algumas aplicações do Lema da cobertura de Lebesgue em espaços não métricos. A noção de família admissível de coberturas abertas foi introduzida em [13] no intuito de desenvolver a teoria de transitividade por cadeias para semifluxos. Seguindo a mesma linha de investigação, os artigos [1], [3],[17] e [18] expandiram a teoria de recorrência por cadeias para ações de semigrupos em espaços topológicos. O artigo [12] faz uso de tal conceito aplicado ao contexto da teoria de fibrados. Fazendo uso da estrutura admissível de um espaço admissível, a ideia central deste trabalho é estudar propriedades como completude, compacidade uniforme local, conexidade uniforme local e equicontinuidade uniforme, adaptando ao contexto da família admissível de coberturas abertas algumas demonstrações de resultados clássicos em teoria de espaços uniformes. A dissertação está organizada como segue. No Capítulo 1 desenvolveremos um estudo introdutório da teoria clássica de espaços uniformes com base em [22]. Tomamos o cuidado de ressaltar os principais objetivos da teoria, além de enfatizar

12 12 somente os resultados mais importantes que nortearão a construção do Capítulo 2. Apresentaremos na Seção 1.1 os dois principais métodos de construção de estruturas uniformes em um conjunto X, além disso forneceremos alguns exemplos de espaços uniformes. As Seções 1.2, 1.3 e 1.4 trazem respectivamente os conceitos de base e sub-base para uma estrutura uniforme, topologia uniforme e família de coberturas uniformes, cujo intuito é familiarizar o leitor com relação aos aspectos gerais da teoria. Encerramos o Capítulo 1 com uma breve apresentação do conceito de completude em espaços uniformes. O Capítulo 2 é dedicado aos espaços topológicos admissíveis. Em um enfoque mais amplo faremos um estudo detalhado de tais espaços investigando suas propriedades gerais. Mais especificamente, na Seção 2.2, construiremos algumas estruturas admissíveis sob certas classes de espaços topológicos cujo objetivo é dar exemplos de espaços admissíveis e suas respectivas famílias de coberturas abertas. Tal família de coberturas abertas é o conceito-chave desse trabalho e será devidamente definida na Seção 2.1. Sabemos que todo espaço uniformizável é admissível (Ver [16], Teorema 4). Provaremos no Capítulo 2 uma equivalência entre espaços topológicos uniformizáveis e admissíveis. Visto que um espaço topológico é uniformizável se, e somente se, é completamente regular (Ver [22], Teorema 38.2), concluímos neste trabalho que espaços topológicos admissíveis são regulares. Ainda com respeito ao desenvolvimento do Capítulo 2, destacamos o Lema da cobertura de Lebesgue para espaços topológicos admissíveis (Ver Seção 2.4) o qual fornece uma nova interpretação do número de Lebesgue em espaços não metrizáveis em função da família admissível de coberturas abertas. A demonstração de tal lema em espaços admissíveis foi apresentada em [16]. Uma propriedade relevante da família admissível de coberturas abertas é que sua estrutura admissível permite demonstrações mais elucidativas de alguns resultados clássicos em teoria de espaços uniformes. Denotando por C(X, Y ) o conjunto de todas funções contínuas de X em Y demostraremos que se K é um espaço admissível compacto, então F C(K, Y ) é uniformemente equicontínua se e somente se é equicontínua (Teorema 2.5.2, Seção 2.5). Nas Seções 2.8 e 2.9, introduziremos os conceitos de compacidade uniforme local e conexidade uniforme local em

13 13 espaços admissíveis cujo objetivo respectivamente é fornecer um bom critério na busca de espaços admissíveis completos e mostrar que espaços admissíveis compactos localmente conexos são necessariamente uniformemente localmente conexos. Ainda neste capítulo, introduziremos o conceito de continuidade uniforme de funções entre espaços admissíveis, apresentaremos a noção de conjunto limitado e além disso forneceremos uma descrição do conceito de dimensão topológica de Lebesgue, em função da família admissível de coberturas abertas (Ver Seção 2.10). No último capítulo do trabalho faremos um estudo introdutório da teoria de fibrados topológicos principais e associados, dando ênfase na demonstração detalhada dos resultados mais relevantes da teoria. O intuito principal do desenvolvimento da teoria de fibrados neste capítulo é a demonstração da continuidade uniforme da aplicação π E : E X que define o fibrado associado com respeito a duas famílias admissíveis de coberturas abertas sobre o espaço total e o espaço base, sendo o fibrado associado localmente trivial com fibra típica um espaço métrico compacto e espaço base localmente compacto e paracompacto.

14 CAPÍTULO 1 ESPAÇOS UNIFORMES Uma estrutura uniforme em um espaço topológico generaliza a estrutura gerada pela métrica de um espaço métrico. Em espaços topológicos não metrizáveis, os conceitos que fazem uso da relação ɛ δ, tais como; continuidade uniforme, completude de espaços e convergência uniforme não podem ser definidos. A teoria de espaços uniformes dá condições para que tais conceitos ditos uniformes sejam também definidos em espaços topológicos não metrizáveis. A estrutura responsável por permitir tal construção é chamada de estrutura uniforme. Neste capítulo apresentaremos dois métodos principais de construção de estruturas uniformes num determinado conjunto X. Para desenvolvimento teórico do capítulo adotaremos a notação e terminologia de Willard [22], porém indicamos a leitura de [6], [20], [7], os quais fornecem desenvolvimento detalhado da teoria geral de espaços uniformes.

15 1.1 Espaços uniformes - definições e exemplos Espaços uniformes - definições e exemplos Vejamos algumas definições iniciais: Definição Seja X um conjunto não vazio. Dado V X X definimos V 1 := {(x, y) X X : (y, x) V }. Para cada U, V X X considere U V := {(x, y) X X : ( z X)(x, z) U, (z, y) V }. Para cada V X X e para cada x X, a V -vizinhança de x é o conjunto V [x] := {y X : (x, y) V } Definimos a diagonal de X por := {(x, x) : x X} X X. Abaixo segue uma definição de espaço uniforme via família de vizinhanças diagonais, historicamente introduzida por A.Weil em [21]. Definição Um espaço uniforme é um par (X, D) formado por um conjunto X e uma família D X X chamada estrutura uniforme ou família de vizinhanças diagonais, que satisfaz as seguintes propriedades: 1. D D D. 2. D1, D2 D D1 D2 D. 3. D D E E D para algum E D. 4. D D E 1 D para algum E D. 5. D D, D E E D. Nota-se que em virtude da condição 1 cada elemento da estrutura uniforme D é chamado de vizinhança diagonal. Sendo assim diremos que x está D perto de y se (x, y) D para algum D D.

16 1.1 Espaços uniformes - definições e exemplos 16 O conceito básico aqui é que quaisquer dois pontos x, y estão próximos entre si, se (x, y) está próximo à diagonal de X. Observação 2-a Se D D então D 1 D, pelos itens (4) e (5). Observação 2-b Os itens (3) e (4) da definição anterior equivalem a: D D E E 1 D para algum E D. Suponha que (3) e (4) sejam válidos. Tome D D e E 1 D tal que E 1 E 1 D e E 2 D tal que E 1 2 E 1. Assim, basta tomarmos E = E 1 E 2, daí E E 1 D. Por outro lado, tome D D, encontre E D de modo que E E 1 D, assim E 1 D e se F = E E 1 logo F D e dessa forma F F D, portanto vale os itens (3) e (4). A estrutura uniforme generaliza a estrutura do espaço métrico, ou seja, todo espaço métrico corresponde a um espaço uniforme, como veremos mais adiante. Dado um conjunto qualquer X, podemos muni-lo com diferentes estruturas uniformes. Abaixo seguem dois exemplos de estruturas uniformes sobre um conjunto conhecidas como estruturas uniformes triviais. Exemplo A estrutura uniforme discreta sobre um conjunto X é dada por: D X := {V X X : V }. Exemplo A estrutura uniforme indiscreta sobre um conjunto X é dada por: D i {X X} Quando X = então D i é a estrutura uniforme vazia.

17 1.2 Base para uma estrutura uniforme Base para uma estrutura uniforme Nesta seção apresentamos o conceito de base de uma estrutura uniforme. Definição Uma base para uma estrutura uniforme D é qualquer sub-coleção E D tal que cada D D contém algum E E, ou seja: D D E E tal que E D. Proposição Uma coleção E de subconjuntos de X X é base para alguma estrutura uniforme em X se, e somente se, satisfaz os itens 1,3 e 4 da definição e 2 onde: 2 ) D 1, D 2 E D 3 D 1 D 2 para algum D 3 E. Definição Uma sub-base para D é uma sub-coleção E D, tal que todas intersecções finitas de elementos de E forma uma base para D. Proposição Dado um espaço uniforme (X, D), seja Sym(D) = {V D : V = V 1 }. Então Sym(D) formam uma base para D. Demonstração: Basta observar que para todo D D, temos que, E = D D 1 é um elemento simétrico. De fato, E = D D 1 = (D 1 ) 1 D 1 = (D 1 D) 1 = (D D 1 ) 1 = E 1, logo E = E 1. Como D D, então D 1 D, assim D D 1 D e veja que E = D 1 D D. Daí todo elemento D contém um elemento simétrico E. A proposição anterior nos diz que as vizinhanças diagonais simétricas, geometricamente aquelas que mantém simetria com relação à diagonal são vizinhanças fundamentais de qualquer estrutura uniforme. De certa forma, são num espaço uniforme o que as bolas são num espaço métrico. Seguem alguns exemplos de estruturas uniformes.

18 1.3 Topologia Uniforme 18 Exemplo Para cada a R, seja D a = {(x, y) x > a, y > a}. Dessa forma, a coleção E = {D a R 2 : a R} é base para uma estrutura uniforme em R. Com efeito, satisfaz as condições da Proposição ) Obviamente, D a para cada a R. 2 ) Sejam D a e D b E com a, b R. Se b a então D a D b = D a, se a b então D a D b = D b. Agora, tome c = max{a, b} daí D c D a D b. 3) Tome D a E, a R e observe que D a D a D a. De fato, se tomarmos (x, y) D a D a, então existe z R tal que (x, z) D a e (z, y) D a, logo x, z > a e y, z > a portanto (x, y) D a. 4) Se D a E, a R, existe D a = D 1 a E tal que D 1 a D a. Exemplo Para cada ɛ > 0, seja D ɛ = {(x, y) R 2 ; x y < ɛ}. A coleção E de todos conjuntos D ɛ, com ɛ > 0 é base para uma estrutura uniforme em R. De fato, 1) D ɛ para todo ɛ > 0. 2 ) Considere D ɛ, D δ E. Tome γ = min{ɛ, δ} então D γ E e D γ D ɛ D δ. 3) Seja D ɛ E, existe δ = ɛ 2 > 0 tal que D δ E e D δ D δ D ɛ. 4) Seja D ɛ E, existe D ɛ = D 1 ɛ E tal que D 1 ɛ D ɛ. 1.3 Topologia Uniforme Uma coleção de vizinhanças diagonais D representa uma estrutura maior do que a estrutura topológica no sentido de que, toda estrutura uniforme induz de maneira natural uma topologia sobre um conjunto X, podendo inclusive duas estruturas uniformes distintas gerar a mesma topologia. Nesta seção definiremos a topologia uniforme associada à estrutura uniforme D, dada pela família de vizinhanças diagonais. Além do mais, daremos alguns exemplos básicos de alguns espaços que admitem tal estrutura.

19 1.3 Topologia Uniforme 19 Definição Para cada x X e D D, nós definimos: D[x] = {y X (x, y) D}. Note que x D[x] pois (x, x) D. Se A X, D[A] = x A D[x]. Teorema Seja (X, D) um espaço uniforme. Para cada x X, a coleção D x = {D[x] D D} forma uma vizinhança básica em x, tornando X um espaço topológico. Demonstração: Primeiro note que x D[x] para cada x X. Veja também que D 1 [x] D 2 [x] = D 1 D 2 [x]. Assim a intersecção de vizinhanças é uma vizinhança. Finalmente, se D[x] D x, encontre E D tal que E E D. Então para qualquer y E[x], E[y] D[x], logo as propriedades de vizinhança são satisfeitas. Definição A topologia assim associada com a família de vizinhanças diagonais D é chamada de topologia uniforme gerada por D denotada por τ D, e definida como: τ D = {U X x U D D; D[x] U}. Definição Toda vez que a topologia do espaço puder ser obtida através de uma família de vizinhanças diagonais D, dizemos que X é um espaço topológico uniformizável. Definição Uma estrutura uniforme D é dita separada se, e somente se, D = D D A demonstração do teorema abaixo pode ser encontrada em ([22],Teorema 35.6,página 240,item b). Optamos por reproduzir tal demonstração no intuito de deixar o texto mais auto-suficiente. Teorema A topologia é Hausdorff se e somente D é separada.

20 1.3 Topologia Uniforme 20 Demonstração: Suponha D separada. Se x, y X, com x y, então para algum D D, (x, y) / D. Tome E D um elemento simétrico tal que E E D. Daí supondo z E[x] E[y] temos que (x, z) E e (y, z) E como E é simétrico (z, y) E e então (x, y) E E D logo (x, y) D, o que não ocorre, então E[x], E[y] são disjuntos. Por outro lado, se a topologia é Hausdorff, então se (x, y) /, x y assim E[x] D[y] = para algum D, E D, portanto E D D o qual não contém (x, y), daí (x, y) / D D D. Exemplo Em geral qualquer métrica d sobre um espaço X gera uma estrutura uniforme U d que tem como base a coleção de subconjuntos U d ɛ = {(x, y) X X d(x, y) < ɛ}. As estruturas uniformes U d geradas por uma métrica d são ditas metrizáveis. Exemplo Uma estrutura uniforme num espaço induzida por uma métrica d é sempre separada, pois U = Uɛ d = (x, y) X X; d(x, y) < ɛ} =. U U d ɛ>0 ɛ>0 Vejamos alguns exemplos de topologias geradas por estruturas uniformes. Exemplo A estrutura uniforme discreta gera a topologia discreta. Exemplo A estrutura uniforme indiscreta gera a topologia indiscreta. Exemplo Considere em R a estrutura uniforme que tem como base a coleção D a = {(x, y) x > a, y > a}. para cada a R. Observe que D a [x] = {x} toda vez que a x. Consequentemente esta estrutura uniforme gera a topologia discreta em R. Os dois últimos exemplos nos mostra que estruturas uniformes diferentes podem gerar topologias iguais. Segue uma importante caracterização de espaços uniformizáveis. Teorema Um espaço topológico é uniformizável se e somente se é completamente regular.

21 1.3 Topologia Uniforme 21 Demonstração: Ver [22], Teorema 38.2, página 256. Segue o seguinte corolário. Corolário Uma estrutura uniforme é metrizável se, e somente se, é separável e possui base enumerável. Demonstração: Ver [22], Corolário 38.4, página 258. Exemplo Considere Ω um conjunto bem ordenado não enumerável possuindo um maior elemento ω 1 com a a seguinte propriedade: se α Ω e α < ω 1 então {β Ω β α} é enumerável. Os elementos do conjunto Ω são ditos ordinais com ω 1 sendo o primeiro ordinal não-enumerável. Denotamos por Ω 0 = Ω {ω 1 } o conjunto dos ordinais enumeráveis. Para uma construção mais detalhada do conjunto dos números ordinais enumeráveis indicamos a leitura de [22], páginas 10 e 11. Vejamos o teorema abaixo. Teorema Seja A Ω um subconjunto enumerável não contendo ω 1 então sup A < ω 1. Demonstração: Ver [22], Teorema 1.20, página 11. O próximo exemplo nos mostra que o fato da topologia gerada por uma estrutura uniforme ser metrizável não garante que a estrutura uniforme seja metrizável. Exemplo Considere Ω 0 o conjunto ordinais enumeráveis. Para cada α Ω 0, seja D α = {(x, y) x = y ou x > α, y > α}. A estrutura uniforme gerada pela base {D α : α Ω 0 } não é metrizável pois não possui base enumerável já que todo subconjunto enumerável possui supremo inferior a ω 1. No entanto veja que qualquer base enumerável leva a construção da coleção D αn com a propriedade sup n {α n } = ω 1. Porém a topologia gerada é obviamente a discreta pois D α [β] = {β} se β < α. Vejamos agora como obter a topologia usual de R via estrutura uniforme.

22 1.3 Topologia Uniforme 22 Teorema Existe uma estrutura uniforme em R que induz a topologia usual de R. Demonstração: Defina D ɛ = {(x, y) R R; x y < ɛ} para cada ɛ > 0. Seja, U 0 = {U R R U D ɛ } para algum ɛ > 0. Afirmamos que U 0 é uma família de vizinhanças diagonais sobre R. De fato: 1. Seja U U 0 então ɛ > 0 tal que D ɛ U, daí veja que D 0 D ɛ e D 0 portanto U U U Se U, V U 0 então existem ɛ 1, ɛ 2 > 0 tais que D ɛ1 U e D ɛ2 V, assim D ɛ D ɛ1 D ɛ2 U V com ɛ = min{ɛ 1, ɛ 2 }. 3. Para todo U U 0 ɛ > 0 tal que D ɛ U assim D ɛ 2 D ɛ 2 D ɛ 2 U. Veja que, U. Mostremos que U U[x] = {y : (x, y) U U} = {y z R; (x, z) U, (z, y) U} e D ɛ 2 D ɛ 2 [x] = {y : (x, y) D ɛ 2 D ɛ 2 } = {y z R; (x, z) D ɛ 2, (z, y) D ɛ 2 } portanto D ɛ [x] = {y : (x, y) D ɛ } = {y : y x < ɛ/2} 2 2 assim, D ɛ 2 D ɛ 2 [x] = {y : x z < ɛ/2, z y < ɛ/2} {y : y x < ɛ} = D ɛ[x] para cada x R. Desse modo temos que assim D ɛ 2 D ɛ 2 U. D ɛ 2 D ɛ 2 D ɛ

23 1.3 Topologia Uniforme Se U U 0 então para cada V tal que U V temos que existe D ɛ U V então V U 0. Por fim, mostremos que topologia uniforme τ U0 gerada por U 0 coincide com a topologia usual de R. De fato considere W τ U0, sendo assim para cada x W temos que existe U U 0 tal que U[x] W. Porém D ɛ U para algum ɛ positivo assim (x ɛ, x + ɛ) = D ɛ [x] U[x] W portanto W é aberto na topologia usual da reta. Por outro lado, considere um aberto qualquer O na topologia usual de R. Sendo assim para cada x O existe ɛ > 0 tal que (x ɛ, x + ɛ) = D ɛ [x] O. Desde que D ɛ U 0 temos que por definição de τ U0, O τ U0 Por 1,2,3 e 4 temos que U 0 é um estrutura uniforme em R que induz a topologia usual. Segue logo abaixo a definição de função uniformemente contínua em espaços uniformes. Definição Sejam X, Y espaços uniformes com estruturas uniformes dadas respectivamente por D,E. Uma função f: X Y se diz uniformemente contínua se para cada E E existe D D tal que (x, y) D (f(x), f(y)) E. Sendo assim, vejamos. Teorema Toda função uniformemente contínua é contínua Demonstração: Suponha X, Y e D, E estruturas uniformes de X e Y respectivamente e f : X Y uma função uniformemente contínua. Veja que E[f(x)] é uma vizinhança básica de f(x) para algum E E, pela continuidade uniforme existe D D de modo que (f(x), f(y)) E. Portanto f(d[x]) E[f(x)] assim f é contínua em x X. Definição Uma aplicação f : X Y se diz um homeomorfismo uniforme se f é uniformemente contínua com inversa também uniformemente contínua. Obviamente pela definição anterior temos a seguinte proposição:

24 1.4 Família de coberturas uniformes 24 Proposição Todo homeomorfismo uniforme é homeomorfismo. Exemplo Um homeomorfismo pode não ser uniforme. De fato considere a seguinte função f : R + R + definida por f(x) = 1 x e a sequência de Cauchy dada por { 1 n } n N. Veja que f é homeomorfismo que não é uniforme, pois se fosse deveria levar sequências de Cauchy em sequências de Cauchy, porém leva { 1 n } n N em {n} n N a qual não é uma sequência de Cauchy. Observação: Existem espaços uniformes homeomorfos que não são uniformemente homeomorfos. Para o leitor mais interessado indicamos ([22],ex 39.E). Agora vejamos o conceito de equicontinuidade em espaços uniformes: Definição Seja X um espaço topológico e Y um espaço uniforme. Uma família F C(X, Y ) de funções contínuas se diz equicontínua em x X se e somente se para cada D D com D estrutura uniforme de Y existir vizinhança U de x tal que f(u) D[f(x)] para qualquer f F. Dizemos que a família F de funções f : X Y é equicontínua se for equicontínua em cada ponto de x X. 1.4 Família de coberturas uniformes A partir de agora desenvolveremos a construção de uma estrutura uniforme num espaço topológico em termos de uma família O de coberturas, e não mais em subconjuntos do produto cartesiano X X. Em outras palavras, mostraremos ser possível definir uma estrutura uniforme em X simplesmente listando coberturas para o espaço, as quais consistem de conjuntos de mesmo tamanho. Os resultados desta seção fornecerão uma apresentação alternativa da teoria de espaços uniformes mais adequada aos propósitos do próximo capítulo. Definição Uma cobertura de um espaço uniforme (X, D) se diz uma cobertura uniforme, se e somente, se pode ser refinada por uma cobertura da forma U D = {D[x] x X} para algum D D. Definição Se U é uma cobertura de X e A X, a estrela de A com respeito a cobertura U é o conjunto: St[A, U] = {U U A U }.

25 1.4 Família de coberturas uniformes 25 Definição Se U e V são coberturas de X, dizemos que U é um refinamento estrela de V e escrevemos U V, se e somente se para cada U U existe V V tal que St[U, U] V. Teorema A coleção O de todas coberturas uniformes de um espaço (X, D) possui as seguintes propriedades: a) se U 1, U 2 O, então para algum U 3 O,temos U 3 U 1 e U 3 U 2, b) se U U e U O então U O. Por outro lado, tome O uma família de coberturas de um conjunto X que satisfaz a) e b) então a coleção de todos conjuntos da forma D U = {U U U U} com U O é base para uma estrutura uniforme em X cujas coberturas uniformes são precisamente os elementos de O. Sendo assim, os conceitos de família de vizinhanças diagonais e família de coberturas uniformes são equivalentes. Demonstração: Ver[22], Teorema 36.2, página 244. Observação: Uma cobertura de um espaço métrico (X, d) é uniforme se é refinada por {B(x, r) : x X} para algum r > 0. Agora vejamos como ficam definidos os conceitos de base e sub-base em função da família de coberturas uniformes. Definição Uma base para uma estrutura uniforme O em X é uma subcoleção O de O tal que O = {U U U : U O }. Definição Qualquer família de coberturas O de X que satisfaz o item a) da definição é base para uma estrutura uniforme em X. Definição Uma sub-base para uma estrutura uniforme O é qualquer subcoleção O de O para a qual coleção de todas interseções finitas de elementos de O formam uma base para O, com a interseção de coberturas definida por U V = {U V : U U, V V} Teorema Uma estrutura uniforme é gerada por uma métrica d se e somente se as coberturas Uɛ d = {Uɛ d x X} por ɛ- esferas, ɛ > 0 formam uma base. Demonstração: Ver [22], Teorema 36.5 página 246.

26 1.5 Espaços uniformes completos Espaços uniformes completos Nesta seção introduziremos conceitos relativos à completude de espaços uniformes. Vários resultados serão listados, porém não demonstrados, já que no Capítulo 3 faremos em detalhes praticamente todas demonstrações referentes à completude de um espaço fazendo uso de de uma estrutura ainda mais geral do que a família de coberturas uniformes, a saber, a família admissível de coberturas abertas. Seguem algumas definições e resultados: Definição Seja O uma família de coberturas uniformes em X e Λ um conjunto dirigido. Uma rede (x λ ) λ Λ é uma O-rede de Cauchy se e somente se para cada U O existir λ 0 Λ tal que x λ1, x λ2 U toda vez que λ 1, λ 2 > λ 0. Sabemos que propriedade topológica se, e somente se, é invariante por homeomorfismos, ao passo que propriedade métrica se, e somente se, é invariante por isometrias. Considere novamente a função f : R + R + definida por f(x) = 1 e a x sequência de Cauchy dada por { 1 } n n N. Perceba que f é homeomorfismo, porém leva a sequência { 1 } n n N de Cauchy em {n} n N a qual não é de Cauchy. Dessa forma concluímos que ser de Cauchy não é propriedade topológica. Obviamente é uma propriedade métrica (invariante por isometrias). Sabemos por teoria de espaços métricos que se f : M N é uniformemente contínua, então leva sequência de Cauchy em sequências de Cauchy. Desde que definimos homeomorfismo uniforme como uma aplicação uniformemente contínua com inversa também uniformemente contínua, então temos que M é completo se, e somente se N é completo. Dessa forma concluímos então que ser completo é invariante por homeomorfismos uniformes. Buscando contextos mais gerais onde podemos falar em continuidade uniforme em ausência de métricas, percebemos que o conceito de estrutura uniforme nos permite entres outras coisas dizer que P é propriedade uniforme, se e somente se, é invariante por homeomorfismos uniformes. Seguem alguns resultados e definições envolvendo família de coberturas uniformes Definição Uma família de coberturas uniformes O é totalmente limitada, se e somente se, admite uma base consistindo de coberturas finitas. Se X é um espaço munido de uma família de coberturas uniformes totalmente limitada, dizemos que o espaço X é totalmente limitado.

27 1.5 Espaços uniformes completos 27 Lema X é totalmente limitado, se e somente, se cada rede em X possui sub-rede de Cauchy. Demonstração:Ver [22], Lema 39.8, página 262. Teorema Um espaço uniforme X é compacto, se e somente se, é completo e totalmente limitado. Demonstração:Ver [22], Teorema 39.9, página 262. Teorema Uma função uniformemente contínua definida em um subconjunto A de um espaço uniforme X num espaço uniforme completo Y pode ser estendida a A Demonstração:Ver [22], Teorema 39.10, página 262. Faremos mais adiante uma adaptação de tais resultados em função de uma família admissível de coberturas abertas para o espaço.

28 CAPÍTULO 2 ESPAÇOS TOPOLÓGICOS ADMISSÍVEIS A ideia central deste capítulo consiste em apresentar conceitos da teoria de famílias admissíveis de coberturas abertas. Neste capítulo apresentaremos um estudo em detalhes dos espaços topológicos admissíveis, investigando suas principais propriedades e, além disso, forneceremos algumas demonstrações de resultados clássicos de espaços uniformes adaptadas ao contexto da família admissível de coberturas abertas. No intuito de nos familiarizarmos com a estrutura admissível imposta por tal família, apresentaremos vários exemplos de espaços topológicos que admitem família admissível de coberturas abertas. Além do mais, mostraremos ser possível caracterizar a topologia de um espaço através da família admissível de coberturas abertas. Nesse sentido, uma família admissível de coberturas abertas garante ao espaço topológico propriedades muito similares, porém ainda mais gerais do que as propriedades comuns a espaços métricos. De fato, tal família nos permite, construir certos abertos que se comportam como ɛ-vizinhanças em espaços métricos, possibilitando generalizar vários resultados da teoria de espaços uniformes.

29 2.1 Família admissível de coberturas abertas Família admissível de coberturas abertas Começamos estabelecendo as devidas notações: Definição Se U e V são coberturas de X, dizemos que U refina V ou que U é um refinamento de V e escrevemos U V se, e somente se, cada U U está contido em algum V V. É fácil ver que a relação de refinamento é uma relação de pré ordem no conjunto de todas coberturas de X. De fato, 1) U U (propriedade reflexiva). 2) Se U V e V W então U W (propriedade transitiva). Lema Seja X conjunto e A X um subconjunto de X. Se U é uma cobertura qualquer de X Então: St[A, U] = St[a, U] a A Demonstração: Tome x St[A, U]. Assim x U para algum U U tal que U A. Portanto existe a A U, daí temos que x, a U U, logo x St[a, U]. Por outro lado tome x St[a, U]. Então x St[a, U] para algum a A. Daí, a A temos que x, a U para algum U U. Desse modo, x U para algum U U tal que U A então x St[A, U]. Relembremos agora a seguinte definição. Definição Se U e V são coberturas de X, dizemos que U é um refinamento estrela de V e escrevemos U V, se e somente se, para cada U U, existe V V tal que St[U, U] V. Definição Se U e V são coberturas de X, dizemos que U é um refinamento duplo de V e escrevemos U 1V, se e somente se, para quaisquer U 2 1, U 2 U tais que U 1 U 2 então U 1 U 2 V para algum V V. Segue abaixo uma importante proposição que relaciona refinamentos do tipo estrela e refinamentos duplos.

30 2.1 Família admissível de coberturas abertas 30 Proposição Todo refinamento estrela é um refinamento duplo. Demonstração: Suponha que U V. Sejam U 1, U 2 U tais que U 1 U 2. Desde que U V então St[U 1, U] V para algum V V. Sendo assim, como U 1 U 2 temos que por definição U 2 St[U 1, U] V. Portanto, U 1 U 2 St[U 1, U] V. Desse modo, temos que U 1V. 2 Observação: Nem todo refinamento duplo é um refinamento estrela. Em outras palavras, a recíproca da proposição anterior não é válida. Considere a cobertura aberta (topologia usual) de R dada por: U = {( n, n) : n N}. Veja que U 1 2 V pois dados U 1, U 2 U na forma U n = ( n, n) e U m = ( m, m), com m, n N tais que U 1 U 2 então: U 1 U 2 = U 1 U 1 se n m ou U 1 U 2 = U 2 U 2 se n m. Porém U não é um refinamento estrela de V. Observe que para todo n N temos que U 1 = ( 1, 1) U n = ( n, n, ) assim; St[(U 1, U] = St[( 1, 1), U] = R. Supondo U U teríamos que para U 1 U; St[U 1, U] = R U m para algum m N, logo R ( m, m) para algum m N, o que é um absurdo! Portanto, segue o resultado. O seguinte teorema nos será útil na demonstração de alguns resultados posteriores, sua demonstração pode ser encontrada em [22]. Teorema Um espaço X é paracompacto T 1 se, e somente se, toda cobertura aberta de X admite refinamento estrela. Demonstração: Ver[22], Teorema 20.14, página 149.

31 2.2 Espaços topológicos admissíveis - definições e exemplos 31 Definição Seja Y X um subconjunto aberto, suponha A Y um subconjunto qualquer de Y. Uma cobertura U de X é dita St[A, U] Y. A- subordinada a Y se Vejamos agora a definição de família admissível de coberturas abertas. Definição Uma família O de coberturas abertas de X se diz admissível se satisfaz as seguintes propriedades: 1. Para cada U O, existe V O tal que V 1 2 U. 2. Se Y X é um aberto qualquer de X e K um compacto em X tal que K Y, então existe U O cobertura aberta de X de modo que U é K- subordinada a Y. 3. Para quaisquer U, V O existe W O tal que W U e W V, ou seja, duas coberturas abertas quaisquer da família O admitem refinamento simultâneo. Note que as propriedades 1 e 3 equivalem a seguinte: Dadas U, V O existe W O tal que W 1U e W 1 V. Sendo assim, temos uma definição alternativa 2 2 de família admissível de coberturas abertas que nos será útil em alguns casos mais adiante ao longo do texto. Observação: As propriedades 1 e 2 da definição anterior garantem que as estrelas St[x, U] para x X e U O formam uma base para uma topologia em X,(Ver proposição [2.2.1]) enquanto que a propriedade 3 assegura que a família O é um conjunto dirigido segundo a relação de pré ordem por refinamentos. 2.2 Espaços topológicos admissíveis - definições e exemplos Nesta seção definiremos espaços topológicos admissíveis e daremos alguns exemplos. Definição Dizemos que um espaço topológico X é admissível se admitir família admissível de coberturas abertas. Em resultados que envolverem mais de um espaço topológico admissível, digamos X e Y, faremos uso da notação O(X) e O(Y ) para as famílias admissíveis de

32 2.2 Espaços topológicos admissíveis - definições e exemplos 32 coberturas abertas de X e Y respectivamente. Caso contrário, se X for o único espaço topológico admissível envolvido, indicaremos uma família admissível para X simplesmente por O. Definição Uma base para uma família admissível O em X é qualquer subcoleção O de O tal que O = {U : U U : U O }. Proposição Considere X um espaço topológico admissível com O família admissível de coberturas abertas. A coleção {St[x, U] x X, U O} é uma base para uma topologia em X. Demonstração: Veja que, por definição, para todo x X e U O, temos que St[x, U] é aberta, por ser união de abertos de X. Verifiquemos as condições de base: Para todo x X veja que x St[x, U]. Sejam St[x, U], St[y, V] elementos da família {St[x, U] x X, U O} tais que St[x, U] St[y, V]. Tome z St[x, U] St[y, V]. Desde que os conjuntos St[x, U], St[y, V] são abertos por definição, aplicando a condição 2) de família admissível ao compacto {z} St[x, U] St[y, V] temos que existe W O tal que St[z, W ] St[x, U] St[y, V]. Portanto, a coleção {St[x, U] x X, U O} é base para uma topologia em X. Teorema Considere (X, τ) um espaço topológico admissível com O família admissível de coberturas abertas. Um subconjunto U X é aberto se, e somente se, para cada x U existe U O tal que St[x, U] U. Ou seja, a topologia gerada pela base {St[x, U] x X, U O} coincide com a topologia já existente no espaço. Demonstração: Sejam U aberto em X e x U. Pela condição 2) de família admissível existe U x O tal que U x é {x}-subordinada ao aberto U, ou seja, St[x, U x ] U, logo U St[x, U x ] U assim U = St[x, U]. x U x U

33 2.2 Espaços topológicos admissíveis - definições e exemplos 33 Pelas duas proposições anteriores perceba que a topologia de um espaço admissível é caracterizada pelos conjuntos St[x, U]. Em resumo, tais conjuntos cumprirão papel similar ao desempenhado pelas bolas em espaços métricos. Segue logo abaixo um importante teorema de caracterização de espaços Hausdorff paracompactos. Teorema Se X é um espaço topológico Hausdorff paracompacto então a família de todas coberturas abertas de X é admissível. Demonstração: Tome X um espaço Hausdorff paracompacto e denote por O(X) a família de todas coberturas abertas de X. Como X é paracompacto Hausdorff, X é paracompacto T 1, portanto, pelo Teorema 2.1.1, temos que para cada U O(X) existe V O(X) tal que V U. Pela Proposição 2.1.1, V 1U. 2 Agora, considere Y X um subconjunto aberto de X e K Y um compacto contido em Y. Por hipótese, X é Hausdorff, e K compacto implica K fechado, assim U = {Y, X \ K} é uma cobertura aberta de X. Tome V O(X) tal que V U. Se V V com K V, então V / X \ K o que implica que V Y, portanto St[K, V] Y, daí V é K subordinada a Y. Por fim, veja que se U, V O(X), então U V U e U V V, portanto a família O(X) é admissível. Exemplo Se X é um espaço topológico Hausdorff compacto então a família O f de todas coberturas abertas finitas de X é admissível. De fato, todo espaço Hausdorff compacto é paracompacto T 1 e toda cobertura aberta admite uma subcobertura finita. Reproduziremos a demonstração do lema abaixo no intuito de tornar o texto mais claro, porém a mesma pode ser encontrada em ([14],Capítulo 2, página 42). Lema Seja (X, d) um espaço métrico. Para todo ɛ > 0 e Y X temos as inclusões: St[Y, U ɛ 2 ] B(Y, ɛ) St[Y, U ɛ]

34 2.2 Espaços topológicos admissíveis - definições e exemplos 34 Demonstração: Mostremos primeiramente que: St[Y, U ɛ ] B(x, ɛ). De fato 2 tome a St[Y, U ɛ ] assim a B(x, ɛ ) tal que B(x, ɛ ) Y. Assim existe y Y tal que y B(x, ɛ ) logo por desigualdade triangular; 2 d(a, y) d(a, x) + d(x, y) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Por fim, veja que dessa forma temos: d(a, Y ) = inf{d(a, y); y Y } d(a, y) < ɛ então a B(Y, ɛ) = {x d(x, Y ) < ɛ}. Mostremos agora que B(Y, ɛ) St[Y, U ɛ ]. Suponha a / St[Y, U ɛ ] então o elemento a não pertence a qualquer bola de raio ɛ que intercepte Y. Em especial a / B(y, ɛ) para todo y Y, ou seja, d(a, y) ɛ para todo y Y. Consequentemente, temos que ɛ é uma cota inferior para o conjunto {d(a, y); y Y } assim por definição de ínfimo: d(a, Y ) = inf{d(a, y); y Y } ɛ. Portanto a / B(Y, ɛ), e está demonstrado o lema. O próximo exemplo nos mostra que espaços métricos são admissíveis.(ver [13], exemplo 3, página 160) e ([14],Capítulo 2 página 42, Lema 2.4) Exemplo Seja (X, d) um espaço métrico, assim a família O d de todas coberturas U ɛ = {B(x, ɛ) : x X} com ɛ > 0 é admissível. Se U ɛ O d então U ɛ U ɛ. De fato, considere B(x 1, ɛ 2 ), B(x 2, ɛ 2 ) U ɛ 2 tais que B(x 1, ɛ 2 ) B(x 2, ɛ 2 ), logo existe z B(x 1, ɛ 2 ) e z B(x 2, ɛ 2 ) assim d(z, x 1) < ɛ 2 e d(z, x 2 ) < ɛ 2, portanto B(x 1, ɛ 2 ) B(x 2, ɛ 2 ) B(z, ɛ) U ɛ, pois se tivermos: a B(x 1, ɛ 2 ) B(x 1, ɛ 2 ) então d(a, z) d(a, x 1) + d(x 1, z) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ assim a B(z, ɛ). Se a B(x 2, ɛ 2 ) então d(a, z) d(a, x 2) + d(x 2, z) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ assim a B(z, ɛ). Por fim, Se a B(x 1, ɛ 2 ) B(x 2, ɛ 2 ) então d(a, z) d(a, x 1) + d(x 1, z) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ logo a B(z, ɛ). Seja U aberto em (X, d) e K U um compacto contido em U. Defina o fechado F = X \ U e a seguinte função contínua : g : K R g(a) = d(a, F ).

35 2.3 Propriedades gerais dos espaços admissíveis 35 Observe que g(a) > 0 para todo a F pois se g(a) = 0 para algum a F d(a, F ) = 0 então a F = F então a F absurdo! desde que F K =. Como g é contínua definida num compacto assume valor mínimo digamos ɛ = min{g(a); a K}. Sendo assim, temos que ɛ > 0 e B(K, ɛ) U. De fato B(K, ɛ) F =, portanto B(K, ɛ) está contido no complementar de F logo B(K, ɛ) U. Fazendo uso do lema anterior temos que St[K, U ɛ ] B(K, ɛ) U então St[K, U ɛ ] U. Sejam 2 2 U ɛ1 e U ɛ2 coberturas de X por ɛ 1, ɛ 2 -bolas. Assim tome ɛ = min{ɛ 1, ɛ 2 }, então U ɛ U ɛ1 e U ɛ U ɛ2. De fato, seja B(x, ɛ) U ɛ. Assim B(x, ɛ) B(x, ɛ 1 ) U ɛ1 e B(x, ɛ) B(x, ɛ 2 ) U ɛ Propriedades gerais dos espaços admissíveis Nesta seção investigaremos as principais propriedades topológicas dos espaços admissíveis. Teorema Seja X um espaço topológico admissível e O(X) uma família admissível de coberturas abertas para X. Tome Y X um subespaço topológico de X com a topologia induzida, para cada U O(X) defina: U Y = {U Y U U} Então O(Y ) = {U Y U O(X)} é uma família admissível de coberturas abertas para Y. Demonstração: Primeiramente observe que, as coberturas U Y O(Y ) são abertas em Y. Veja que os elementos U Y U Y são abertos em Y, para qualquer U O(X) já que U U com U cobertura aberta de X. 1. Tome U Y O(Y ) uma cobertura qualquer de O(Y ). Como X é admissível existe V O(X) tal que V 1U. Afirmamos que V 2 Y 1U 2 Y. De fato, sejam (V 1 Y ), (V 2 Y ) U Y tais que (V 1 Y ) (V 2 Y ) logo V 1 V 2 porém V 1, V 2 V com V 1U temos que V 2 1 V 2 U para algum U U. Por fim repare que (V 1 Y ) (V 2 Y ) = (V 1 V 2 ) Y U Y U Y, e está provado.

36 2.3 Propriedades gerais dos espaços admissíveis Seja A Y um aberto qualquer de Y e K A Y um compacto qualquer contido nesse aberto. Por definição de topologia induzida temos que A é aberto em X. Desde que K A Y assim K A, como X é admissível existe U O(X) tal que St[K, U] A. Considere U Y O(Y ). Afirmamos que St[K, U Y ] A Y. De fato seja a St[K, U Y ] então a U Y para algum U Y U Y com U U, tal que x U Y para algum x K. Dessa forma, temos que a, x U U e a, x Y. Portanto a St[K, U] A daí a A, e desde que a Y, teremos que a U Y. 3. Sejam U Y, V Y O(Y ) assim U, V O(Y ). Desde que O(Y ) é uma família admissível de coberturas abertas para X temos que existe W O(X) tal que W U e W V. Afirmamos que W Y U Y e W Y V Y. De fato seja W Y W Y, com W W porém W U então W U para algum U U. Portanto W Y U Y com U Y U Y, assim W Y U Y. Do mesmo modo, tomemos W Y W Y, com W W. Porém W V então W V para algum V V, e portanto, W Y V Y com U Y V Y. Assim W Y V Y. Veja que pelo teorema anterior temos que subespaços de espaços topológicos admissíveis também são admissíveis, ou seja, uma família admissível de coberturas abertas sobre o espaço X, induz de maneira natural uma família admissível de coberturas abertas sobre o subespaço Y. Lema Sejam X, Y espaços topológicos admissíveis e O(X) e O(Y ) suas respectivas famílias admissíveis de coberturas abertas. Para quaisquer U X, V Y, U O(X) e V O(Y ) temos que: St[U V, U V] = St[U, U] St[V, V] Demonstração: Tome (x, y) St[U V, U V] então (x, y) U x V y U V para algum U x V y U V tal que (U x V y ) (U V ). Logo existe (z, w) (U x V y ) (U V ). Daí z U x U e w V y V portanto x U x U tal que U x U e y V y V tal que V y V. Dessa forma, x St[U, U] e y St[V, V]

37 2.3 Propriedades gerais dos espaços admissíveis 37 portanto (x, y) St[U, U] St[V, V] assim St[U V, U V] St[U, U] St[V, V]. Reciprocamente tome (x, y) St[U, U] St[V, V], então x St[U, U] e y St[V, V] assim x U x U para algum U x U tal que U x U logo existe z U x U. De mesmo modo, y V y V tal que V y V logo existe w V y V. Dessa maneira o par (z, w) (U x V y ) (U V ) = U x V y U V. Portanto (x, y) U x V y U V com U x V y U V então (x, y) St[U V, U V]. Observação: Assim como espaços uniformes, existem também espaços admissíveis homeomorfos que não são uniformemente homeomorfos. Teorema Sejam X um espaço topológico admissível e O(X) uma família admissível de coberturas abertas de X. Considere Y um espaço homeomorfo a X. Então Y é admissível. Demonstração: Seja f : X Y um homeomorfismo entre os espaços topológicos X e Y. Suponha X admissível, e O(X) uma família admissível de coberturas abertas para X. Para cada U O(X) defina f(u) = {f(u) U U}. Induzindo a família admissível, os espaços são uniformemente homeomorfos. Assim a coleção O(Y ) = {f(u) U O(X)} é uma família admissível de coberturas abertas para Y. Primeiramente note que f é sobrejetora então f(x) = Y, desde X = U então Y = f(x) = f(u) para cada U O(X). Dessa forma, para U U U U cada U O(X) temos que f(u) é uma cobertura para Y. Por outro lado, temos que os elementos f(u) f(u) são abertos, pois cada U U é aberto, já que U é uma cobertura aberta da família O(X). Agora, como f é homeomorfismo, portanto uma aplicação aberta temos que f(u) é aberto logo f(u) é uma cobertura aberta de Y para cada U O(X). Mostremos que O(Y ) é admissível. 1. Seja f(u) O(Y ). Desde que O(X) é família admissível de coberturas abertas para X, considere V O(X) tal que V 1U. Afirmamos que: f(v) 1f(U). 2 2 De fato, sejam f(v 1 ), f(v 2 ) f(v) tais que f(v 1 ) f(v 2 ). Logo exite y = f(x 1 ) = f(x 2 ) com x 1 V 1 e x 2 V 2 desde que f é bijeção temos que x 1 = x 2 assim V 1 V 2. Como V 1U então V 2 1 V 2 U daí f(v 1 V 2 ) f(u) para algum U U, portanto f(v 1 ) f(v 2 ) f(v 1 V 2 ) f(u) para algum U U e está demonstrado o primeiro item.

38 2.3 Propriedades gerais dos espaços admissíveis Tome A Y um aberto qualquer em Y e K A um compacto contido no aberto A. Desde que f : X Y é homeomorfismo então f 1 : Y X é contínua, daí como K Y é compacto temos que f 1 (K) é compacto em X. Por outro lado, K A então f 1 (K) f 1 (A) como f é contínua e A é aberto em Y assim teremos f 1 (A) aberto em X. Desse modo temos um compacto f 1 (K) contido num aberto f 1 (A) de X, portanto, desde que X é admissível, aplicando a condição 2 de família admissível ao compacto f 1 (K) contido no aberto f 1 (A) existe U O(X) tal que St[f 1 (K), U] f 1 (A). Afirmamos mais uma vez que St[K, f(u)] A. Seja y St[K, f(u)], então existe x K tal que y, x f(u) f(u) para algum U U; então y = f(x 1 ) e x = f(x 2 ) com x 1, x 2 U. Logo x 1 St[f 1 (K), U] desde que x 1, x 2 U e x 2 f 1 (K), já que f(x 2 ) = x K. Agora como St[f 1 (K), U] f 1 (A) daí x 1 f 1 (A), portanto y = f(x 1 ) A e está demonstrado. 3. Sejam f(u) e f(v) O(Y ), assim U, V O(X). Desde que O(X) é uma família admissível de coberturas abertas para X existe W U e W V. Afirmamos que f(w) f(u) e f(w) f(v). Considere f(w ) f(w) então W W, porém W U assim W U para algum U U. Assim temos que f(w ) f(u) f(u), portanto, f(w) f(u). De mesmo modo, tome f(w ) f(w) então W W, porém W V assim W V para algum V V assim f(w ) f(v ) f(v) portanto f(w) f(v). Assim concluímos que O(Y ) é uma família admissível de coberturas abertas para Y, sendo assim Y é admissível. Agora provaremos que o produto cartesiano finito de espaços admissíveis é admissível. Teorema Sejam X, Y espaços topológicos admissíveis munidos respectivamente com as famílias admissíveis O(X) e O(Y ). Dados U O(X) e V O(Y ), defina U V = {U V : U U, V V} Então a família O(X Y ) = {U V; U O(X), V O(Y )}

39 2.3 Propriedades gerais dos espaços admissíveis 39 é uma família admissível de coberturas abertas para X Y. Demonstração: 1) Seja U V, um elemento qualquer de O(X Y ). Assim U O(X) e V O(Y ). Temos por hipótese que O(X) e O(Y ) são famílias admissíveis de coberturas abertas de X, Y respectivamente, logo existem U O(X) e V O(Y ) tais que U 1 2 U e V 1 2 V. Afirmamos que U V 1 2 U V. De fato tomemos U 1 V 1, U 2 V 2 U V tais que (U 1 V 1) (U 2 V 2) daí teremos que U 1 U 2 e V 1 V 2, Porém temos que U 1 2 U logo U 1 U 2 U U para algum U U. De modo inteiramente análogo V 1 2 V logo V 1 V 2 V V para algum V V. Por fim veja que: (U 1 V 1) (U 2 V 2) (U 1 U 2) (V 1 V 2) U V U V. Dessa forma mostramos ser válida a condição 1 de família admissível. 3) Sejam U V, U V O(X Y ). Então por definição da família de coberturas O(X Y ) temos que U, U O(X) e V, V O(Y ). Como O(X) e O(Y ) são famílias admissíveis de coberturas abertas para X, Y respectivamente temos que existe U 0 O(X) e V 0 O(Y ) tais que U 0 U, U e V 0 V, V. Afirmamos que U 0 V 0 U V, U V. De fato, se U 0 V 0 U 0 V 0 então U 0 U 0 e V 0 V 0. Como U 0 U temos que U 0 U U, para algum U U. Analogamente, V 0 V, daí V 0 V V, para algum V V. Portanto U 0 V 0 U V U V, assim U 0 V 0 U V. De modo inteiramente análogo mostra-se que U 0 V 0 U V. 2) Seja K N X Y um compacto contido em um aberto qualquer N do espaço produto X Y. Tome (x, y) K N. Desde que N é aberto em X Y existe um aberto básico na topologia produto digamos U x,y V x,y com U x,y aberto em X e V x,y aberto em Y, tal que (x, y) U x,y V x,y N. Assim x U x,y X e desde que X é admissível existe uma cobertura aberta U x,y O(X) a qual é {x}-subordinada ao aberto U x,y, ou seja, St[x, U x,y ] U x,y. De mesmíssimo modo temos y V x,y Y, e desde que Y é admissível existe uma cobertura aberta V x,y O(Y ) a qual é {y}-subordinada ao aberto V x,y, ou seja, St[y, V x,y ] V x,y. Portanto, temos que St[x, U x,y ] St[y, V x,y ] U x,y V x,y. Usando o Lema 2.3.1, temos que St[(x, y), U x,y V x,y ] = St[x, U x,y ] St[y, V x,y ] e desde que St[x, U x,y ] St[y, V x,y ] U x,y V x,y N então St[(x, y), U x,y V x,y ] N. Pela condição 1 já mostrada, tomemos Ux,y Vx,y O(X Y ) tal que Ux,y Vx,y 1U 2 x,y V x,y. Veja que K St[(x, y), Ux,y Vx,y]. Como K é compacto, extraímos uma (x,y) K