IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DE UM MODELO DE INTERCEPTAÇÃO UTILIZANDO UM ALGORITMO DE CALIBRAÇÃO AUTOMÁTICA

IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DE UM MODELO DE INTERCEPTAÇÃO UTILIZANDO UM ALGORITMO DE CALIBRAÇÃO AUTOMÁTICA Debora Yumi de Oliveira *& Pedro Luiz Borges Chaffe 2 & João Henrique Maedo Sá 3 Resumo Os modelos hidrológios possuem parâmetros ujos valores nem sempre podem ser obtidos a partir de relações om dados medidos em ampo. Seus valores podem ser estimados por meio da alibração do modelo. Neste estudo, o algoritmo de alibração automátia differential evolution adaptive Metropolis (DREAM) foi utilizado na identifiação dos parâmetros de um modelo de intereptação a partir de dados observados de huva interna de 6 eventos. A alibração foi realizada para ada evento separadamente. Foi verifiada uma grande variação nos valores dos parâmetros onforme o evento utilizado na alibração. A utilização dos parâmetros obtidos a partir da alibração om eventos om huva externa (Pg) superior a 5 mm promoveu uma boa estimativa da huva interna aumulada dos demais eventos, prinipalmente de eventos om Pg superior a 5 mm. Palavras-Chave Calibração automátia; Modelo de Rutter; DREAM differential evolution adaptive Metropolis. IDENTIFICATION OF A RAINFALL INTERCEPTION MODEL PARAMETERS USING AN AUTOMATIC CALIBRATION ALGORITHM Abstrat Hydrologial models often have parameters that an not be measured diretly. Their values an be inferred by alibration. In the present study, the differential evolution adaptive Metropolis (DREAM) algorithm was used for the identifiation of rainfall intereption model parameters. The model was alibrated against throughfall measurements of 6 rainfall events. The ranges of the parameters vary widely between individual rainfall events. The parameters obtained when alibrating the model using measurements of events with gross rainfall depth (Pg) higher than 5 mm were able to produe reasonable umulative throughfall preditions for the other events, espeially for those with Pg higher than 5 mm. Keywords Automati alibration; Rutter model; DREAM differential evolution adaptive Metropolis. INTRODUÇÃO O proesso de intereptação redistribui temporal e espaialmente a água da huva, influeniando a quantidade de água que hega ao solo. Um erro em sua estimativa (ou então sua desonsideração) pode ausar, portanto, erros na simulação dos proessos subsequentes. Dentre os modelos existentes utilizados para simular o proesso de intereptação, o modelo de Rutter (Rutter et al., 97; Rutter et al., 975) é um dos mais utilizados, sendo empregado em diferentes tipos de florestas (Muzylo et al., 29). Curso de Graduação em Engenharia Sanitária e Ambiental, Universidade Federal de Santa Catarina UFSC, debora.yo@grad.ufs.br 2 Departamento de Engenharia Sanitária e Ambiental, Universidade Federal de Santa Catarina UFSC, pedro.haffe@ufs.br. 3 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Ambiental PPGEA, Universidade Federal de Santa Catarina UFSC, joao.h.sa@posgrad.ufs.br * Autor Correspondente XXI Simpósio Brasileiro de Reursos Hídrios

Os modelos de intereptação possuem parâmetros que devem ser estimados adequadamente para que os resultados das simulações sejam onfiáveis. Alguns parâmetros podem estar relaionados a araterístias da baia em estudo, podendo ser determinados através de medições realizadas em ampo. Porém, alguns parâmetros englobam fenômenos que não foram representados pelos modelos, não podendo ser medidos diretamente. Uma forma de obter seus valores é a partir da alibração, onde se ompara as saídas do modelo e os dados observados. Os algoritmos de alibração automátia realizam a busa em uma direção definida omo o método Simplex de Nelder e Mead (965) ou então de forma aleatória omo amostradores Monte Carlo. Algoritmos de busa em uma direção definida podem onvergir para mínimos loais, enquanto que algoritmos de busa aleatória podem apresentar baixa taxa de onvergênia (Duan et al., 992). Em amostradores do tipo Markov Chain Monte Carlo (MCMC), os novos pontos ada ponto orresponde a um onjunto de parâmetros são gerados a partir do elemento atual da adeia; além disso, om uma erta probabilidade, a amostra é gerada de forma aleatória, promovendo uma melhor apaidade de exploração do algoritmo e evitando a onvergênia para mínimos loais (Beven, 22). Neste estudo o algoritmo DREAM foi utilizado na identifiação dos parâmetros do modelo de Rutter para o aso esparso (Valente et al., 997). A alibração foi realizada a partir de dados observados de huva interna de 6 eventos de preipitação. MATERIAIS E MÉTODOS Área de estudo Os dados utilizados foram oletados na baia experimental do rio Araponga, loalizada no muniípio de Rio Negrinho, norte do estado de Santa Catarina. A baia possui uma área de 5,3 ha e é oberta por Floresta Ombrófila Mista seundária. A huva externa foi medida em um loal sem obertura florestal próximo à abeeira da baia. A medição de huva interna foi realizada a partir de uma alha interligada a um pluviógrafo. Os dados de huva externa e huva interna foram registrados automatiamente a ada 5 min. Os dados meteorológios (temperatura, umidade relativa, veloidade do vento e radiação inidente e refletida) foram medidos na estação meteorológia Feio, loalizada a aproximadamente 3 km da baia em estudo. O registro de dados meteorológios foi realizado a ada min. Os dados onsiderados neste estudo orrespondem ao período de 26/2/24 a 6//24, totalizando 223 dias de monitoramento. Falhas no registro de dados de huva interna oorreram de 8/5/24 a 9/5/24 e de 29/8/24 a 9/9/24. Estes períodos foram retirados da série de dados utilizada nas simulações. A série de dados foi dividida em eventos de preipitação onsiderando os seguintes ritérios: () tempo mínimo entre um evento e outro (sem registro de huva externa) de 2h; (2) huva externa superior a,24 mm (orrespondente a uma basulada no pluviógrafo). Durante o período monitorado foram identifiados um total de 6 eventos om huva externa variando de,48 mm a 352,37 mm. Modelo de Rutter O modelo de Rutter (Rutter et al., 97; Rutter et al., 975) é um dos modelos mais utilizados para se estimar as perdas por intereptação em baias florestais. Este modelo onsidera a árvore omo um tanque de armazenamento, que possui omo entrada a huva inidente aima do dossel XXI Simpósio Brasileiro de Reursos Hídrios 2

(huva externa Pg) e saídas por evaporação e drenagem (drenagem de opa e esoamento pelos tronos). A perda por intereptação pode ser determinada de maneira indireta a partir da diferença entre a huva externa e a huva líquida (soma entre huva interna Tf e esoamento pelos tronos Sf). Este modelo foi modifiado por Valente et al. (997) para florestas om vegetação esparsa, isto é, florestas om muitos espaços abertos entre as opas das árvores, om a divisão da baia em dois ompartimentos: a área oberta e a área desoberta. O balanço é realizado para ada ompartimento separadamente, onforme apresentado na Figura. Esta versão do modelo onsidera que a água que hega aos tronos vem da opa, e não diretamente da preipitação inidente sobre os mesmos. O modelo de Rutter para o aso esparso possui ino parâmetros: fator de obertura (adimensional); apaidade de armazenamento de opa por unidade de obertura S (mm); apaidade de armazenamento de trono por unidade de obertura St, (mm); proporção de água desviada da opa para os tronos pd (adimensional); e taxa de evaporação de trono em relação à taxa de evaporação de opa ε (adimensional). Preipitação total R Perda por intereptação E + E t Entrada de área desoberta R Entrada de opa R Evaporação de opa E = E Evaporação de trono E t = E t, área desoberta área oberta ( ε ) E p, C S E = C ( ε ) E p, C < S S S C Preipitação livre R Drenagem de opa D = d(c S )/dt Entrada de trono p d D E ε E, C S = C p t, t, t, t, ε E p, Ct, < St, St, S t, C t, Gotejamento D i, = ( p d ) D Drenagem de trono D t, = d(c t, S t, )/dt Preipitação interna ( ) R + D i, Esoamento + pelos tronos = D t, Figura. Fluxograma do modelo de Rutter para o aso esparso (modifiado de Valente et al., 997). R (mm dia - ) é a intensidade da huva externa, (adimensional) é o fator de obertura, S (mm) é a apaidade de armazenamento de opa por unidade de obertura, C (mm) é o armazenamento de opa por unidade de obertura, E p (mm dia - ) é a taxa de evaporação potenial, ɛ (adimensional) é a proporção da taxa de evaporação de trono em relação à taxa de evaporação de opa, D (mm dia - ) é a taxa de drenagem de opa por unidade de obertura, p d é a proporção de água que é drenada da opa e direionada para os tronos, S t, (mm) é a apaidade de armazenamento de trono por unidade de obertura, C t, (mm) é o armazenamento de trono por unidade de obertura. Differential evolution adaptive Metropolis (DREAM) O algoritmo de alibração automátia differential evolution adaptive Metropolis (DREAM) (Vrugt et al., 28; Vrugt et al., 29) é um amostrador MCMC que tem omo bloo prinipal o Chuva líquida Rn XXI Simpósio Brasileiro de Reursos Hídrios 3

algoritmo differential evolution Markov Chain (DE-MC) proposto por ter Braak (26). O DREAM ombina araterístias de algoritmos genétios (evolução diferenial) om o ritério Metropolis, que determina se os pontos amostrados (novos onjuntos de parâmetros) irão ser aeitos ou não. Para aumentar a taxa de onvergênia, o DREAM adapta a distribuição proposta durante a busa, possibilitando maiores saltos no iníio. No algoritmo DE-MC, N adeias de Markov rodam em paralelo. Os saltos em ada adeia são realizados da seguinte maneira: () duas adeias são amostradas entre as N adeias restantes; (2) a diferença entre os elementos destas duas adeias (vetores x r e x r2, ada um representando um onjunto de parâmetros) é multipliada por um fator γ; (3) um vetor aleatório e é amostrado de uma distribuição simétria estreita; (4) a soma entre a diferença dos dois vetores e o vetor aleatório é adiionada ao elemento da adeia a partir do qual o salto está sendo realizado (x i ). O algoritmo DREAM surgiu a partir de três adaptações implementadas no DE-MC (Vrugt et al., 28): () atualização de um elemento de x om probabilidade de rossover CR, isto é, nem todas as dimensões de x são atualizadas simultaneamente; (2) maior número de pares de adeias utilizado nos saltos, permitindo um aumento na diversidade da distribuição proposta; (3) remoção de adeias onsideradas omo outliers, que fariam om que a onvergênia demorasse muito tempo para ser atingida. No algoritmo DREAM a amostra é gerada a partir de: δ i i r ( j) r2 ( n) = + ( ) ( ) + j= n= δ z x γ δ x γ δ x e () sendo x i o elemento atual da i-ésima adeia (i =,...,N); γ um fator de esala relaionado ao tamanho do salto; δ o número de pares de adeias utilizadas para gerar a amostra; r(j) e r2(n) ϵ {,...,N} om r(j) r2(n) i para j =,...,δ e n =,...,δ; e um vetor amostrado de uma distribuição normal N(, b) om b pequeno. Um ponto é aeito ou não à sequênia om probabilidade α (ritério Metropolis): i π ( z ) i min, se ( ) i i i π x > α( x, z ) = π ( x ) i se π ( x ) = (2) Neste estudo a densidade π(x) foi alulada para ada ponto j (j =,...,N) por (Vrugt et al., 23; Box e Tiao, 973): T 2 T 2 π ( x) = ( o ( ) ˆ j x o j ) (3) j= sendo oj(x) a variável simulada om o onjunto de parâmetros x no passo de tempo j, ôj a variável observada no passo de tempo j, e T o número de passos de tempo. O valor de γ deve ser definido pelo usuário. Neste trabalho foi adotado γ = 2,38/ (2δd) (ter Braak, 26) e N = 2d, sendo d a dimensão do problema (número de elementos de x). O primeiro elemento de ada adeia foi amostrado de uma distribuição uniforme om limites apresentados na Tabela. XXI Simpósio Brasileiro de Reursos Hídrios 4

Tabela. Intervalos dos parâmetros do modelo de Rutter para o aso esparso utilizados omo informação prévia na alibração. Parâmetro Desrição Intervalo Mín Máx Unidade Fator de obertura - S Capaidade de armazenamento da opa por unidade de obertura 2 mm S t, Capaidade de armazenamento de trono por unidade de obertura mm p d Proporção de água desviada da opa para os tronos - ε Proporção da taxa de evaporação de trono em relação à taxa de evaporação da opa - A alibração do modelo de intereptação foi realizada a partir de dados observados de huva interna para ada um dos 6 eventos identifiados no período monitorado. Do total de 25. iterações realizadas om o algoritmo DREAM, as primeiras 5. foram desartadas (número de iterações onsiderado sufiiente para onvergênia do algoritmo); assim, a faixa de variação para os parâmetros após alibração foi obtida a partir das últimas. simulações. A alibração foi seguida pela validação dos resultados, proesso em que o modelo é testado om uma série de dados independente daquela utilizada na alibração, para verifiar sua onfiabilidade. Neste estudo, a validação foi realizada om a totalidade da série de dados disponível (6 eventos), sendo alulado o erro relativo da huva interna aumulada para ada evento, onforme a seguinte equação: T oˆ j o j ( x) j= j= ER( x ) = (4) T oˆ j= T j onde ER(x) é o erro relativo para o onjunto de parâmetros x. RESULTADOS E DISCUSSÃO As faixas de valores dos parâmetros obtidas na alibração para ada evento são apresentadas na Figura 2. Os diagramas de aixa foram onstruídos om as últimas. amostras geradas pelo algoritmo DREAM, ada um representando um evento, apresentados em ordem resente de huva externa (Pg). Verifia-se que há uma variação da faixa de valores dos parâmetros onforme o evento utilizado na alibração. Eventos om Pg inferior a 2 mm (eventos à esquerda da linha traejada) não possibilitaram a redução da faixa iniialmente atribuída aos parâmetros do modelo. Resultado similar foi obtido para os 22º, 35º e 36º eventos (destaados em vermelho). Nestes eventos, a huva interna observada foi superior à huva externa, o que pode ter oorrido por uma onentração do gotejamento da opa sobre a área de oleta de huva interna. A alibração om dados observados de huva interna não possibilita a identifiação do parâmetro St,. Para a identifiação deste parâmetro seria neessário utilizar medições de esoamento pelos tronos. Os erros relativos (ER) da huva interna aumulada ao final de todo o período monitorado, alulados para ada faixa de valores dos parâmetros obtida na alibração, são apresentados na Figura 3a. Verifia-se que foram obtidos menores valores de ER para eventos om Pg superior a 5 mm (pontos à direta da linha traejada). Os resultados das simulações om a faixa de valores dos parâmetros obtida a partir da alibração do 3º evento (Pg de 35 mm) são apresentados na Figura 3b. Como pode ser observado, foi obtido um bom ajuste da série simulada à série observada. XXI Simpósio Brasileiro de Reursos Hídrios 5

2 5 S (mm).6 (-).8.4 5.8.8.6.6 ε (-) d p (-).2.4.4.2.2 Figura 2. Variação dos valores dos parâmetros do modelo de Rutter para o aso esparso em função da huva externa (Pg) (ada diagrama de aixa representa os resultados de um evento eventos são apresentados em ordem resente de Pg). Os diagramas de aixa foram onstruídos utilizando as últimas. amostras geradas pelo algoritmo DREAM. Cada diagrama é omposto por uma aixa e duas hastes: a mara entral da aixa representa a mediana do onjunto de dados (perentil 5); a linha inferior e superior da aixa indiam respetivamente os perentis 25 (Q) e 75 (Q3); as hastes maram os valores Q,5 IQR e Q3 +,5 IQR, sendo IQR o intervalo interquartil (IQR = Q3 Q); os pontos fora destes limites são onsiderados outliers. 3 Chuva interna aumulada (mm) Erro relativo (%) 8 6 4 2 2 3 4 5 6 7 Chuva externa do evento utilizado na alibração (mm) 8 Conjunto ótimo de parâmetros 25 2 5,62 - S 9,85 mm S t, 9,85 mm pd,36 - ε,2-5 2 4 6 8 2 4 6 8 Número de simulações (a) (b) Figura 3. (a) Erro relativo da huva interna aumulada ao final do período em função da huva externa (Pg) do evento utilizado na alibração. (b) Validação dos resultados para a faixa de valores dos parâmetros obtida om o 3º evento (Pg igual a 35 mm) (pontos representam dados observados e linhas em inza os resultados das simulações; o valor de huva interna aumulada foi zerado ao final de ada evento). Os erros relativos alulados para a huva interna aumulada de ada evento são apresentados na Figura 4. Cada oluna representa os resultados da validação para uma faixa de parâmetros obtida na alibração. Os eventos a partir dos quais foram estimadas as faixas de valores dos parâmetros são apresentados em ordem resente de huva externa da esquerda para a direita. Como a alibração resultou em uma faixa de valores para os parâmetros, e não em apenas um onjunto ótimo de parâmetros, as simulações resultaram também em uma faixa de valores de huva interna. Na Figura 4 são apresentados os valores máximos de erro relativo enontrados. Optou-se por onsiderar os valores máximos de erro relativo uma vez que os erros relativos mínimos poderiam estar relaionados a situações em que a faixa de valores para os parâmetros foi ampla (alibração sem redução signifiativa da faixa iniialmente atribuída aos parâmetros). Nestes asos, a faixa de valores de huva interna simulada poderia abrangir o valor observado, e o erro relativo mínimo XXI Simpósio Brasileiro de Reursos Hídrios 6

seria zero. De maneira geral, os erros relativos para eventos om Pg inferior a 5 mm resultaram em valores próximos a % (prinipalmente em eventos om Pg < 2 mm) não sendo inluídos na Figura 4 para failitar a visualização dos demais resultados. Um valor elevado de erro relativo pode estar assoiado a duas situações distintas: () grande divergênia entre os valores de huva interna simulados e observados; (2) ampla faixa de valores para os parâmetros após a alibração. Verifia-se que eventos om huva externa inferior a 5 mm não resultaram em uma faixa de valores para os parâmetros apaz de forneer um bom ajuste da série simulada à série observada quadrantes superior e inferior esquerdos na Figura 4. De maneira geral, eventos om huva externa superior a 5 mm proporionaram melhores resultados tanto para eventos menores (Pg < 5 mm) quadrante superior direito na Figura 4, quanto para eventos om Pg superior a 5 mm quadrante inferior direito na Figura 4. Chuva externa (mm) 5 5 5 6 6 6 7 7 7 2 2 5 6 6 9 2 23 23 29 Chuva externa (mm) 5 5 5 6 6 6 7 7 7 2 2 5 6 6 9 2 23 23 29 3 3 32 32 33 34 35 4 4 42 49 65 65 73 352 3 3 32 32 33 34 35 4 4 42 49 65 65 73 352 Legenda ER < 25% 25% < ER < 5% 5% < ER < 75% ER > 75% Figura 4. Erro relativo (ER) da huva interna aumulada por evento. Em ada oluna são apresentados os resultados da validação para uma faixa de valores dos parâmetros obtida na alibração. As élulas om ontorno em preto representam os erros relativos obtidos na alibração (evento utilizado na obtenção dos valores dos parâmetros é o mesmo do empregado no álulo do erro relativo). CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES Foi verifiada uma variação nos valores dos parâmetros ao se utilizar diferentes eventos na alibração. A utilização de eventos om Pg abaixo de 2 mm na alibração do modelo de intereptação não possibilitou uma redução signifiativa da faixa de valores iniialmente atribuída aos parâmetros. Eventos om Pg inferior a 5 mm possibilitaram a identifiação de uma faixa de valores para os parâmetros que, entretanto, não proporionaram bons resultados ao ser empregada nas simulações om os demais eventos. De forma geral, a alibração om eventos om Pg superior a XXI Simpósio Brasileiro de Reursos Hídrios 7

5 mm resultou em faixas de valores para os parâmetros que proporionaram boas estimativas da huva interna aumulada dos demais eventos, prinipalmente de eventos om Pg superior a 5 mm. Cabe salientar que neste trabalho a alibração foi realizada apenas om dados de huva interna, o que não permite a identifiação de todos os parâmetros do modelo (parâmetro St,, relaionado ao esoamento pelos tronos, não pode ser identifiado). Para a estimativa dos valores de todos os parâmetros é neessário que a alibração seja realizada a partir de dados de huva interna e esoamento pelos tronos. REFERÊNCIAS BEVEN, K.J. (22). Rainfall Runoff Modelling: The Primer. 2. ed. Wiley-Blakwell, Chihester, 488 p. BOX, G.E.P.; TIAO, G.C. (973). Bayesian Inferene in Statistial Analysis. Addison-Wesley, Reading, 588 p. DUAN, Q.; SOROOSHIAN, S.; GUPTA, V. (992). Effetive and effiient global optimization for oneptual rainfall-runoff models. Water Resour. Res., 28(4), pp.5-3. MUZYLO, A.; LLORENS, P.; VALENTE, F.; KEIZER, J.J., DOMINGO, F.; GASH, J.H.C. (29). A review of intereption modelling. J. Hydrol., 37, pp.9-26. NELDER, J.A.; MEAD, R. (965). A simplex method for funtion minimization. Comput. J., 7, pp.38-33. RUTTER, A.J.; KERSHAW, K.A.; ROBINS, P.C.; MORTON, A.J. (97). A preditive model of rainfall intereption in forests, I. Derivation of the model from observations in a plantation of Corsian Pine. Agr. Meteorol., 9, pp.367-384. RUTTER, A.J.; MORTON, A.J.; ROBINS, P.C. (975). A preditive model of rainfall intereption in forests, II. Generalization of the model and omparison with observations in some oniferous and hardwood stands. J. Appl. Eol., 2(), pp.367-38. ter BRAAK, C.J.F. (26). A Markov Chain Monte Carlo version of the geneti algorithm Differential Evolution: easy Bayesian omputing for real parameter spaes. Stat. Comput., 6(3), pp.239-249. VALENTE, F.; DAVID, J.S.; GASH, J.H.C. (997). Modelling intereption loss for two sparse eualypt and pine forests in entral Portugal using reformulated Rutter and Gash analytial models. J. Hydrol., 9, pp.4-62. VRUGT, J.A.; GUPTA, H.V.; BOUTEN, W.; SOROOSHIAN, S. (23). A Shuffled Complex Evolution Metropolis algorithm for optimization and unertainty assessment of hydrologi model parameters. Water Resour. Res., 39(8). VRUGT, J.A.; ter BRAAK, C.J.F.; CLARK, M.P.; HYMAN, J.M.; ROBINSON, B.A. (28). Treatment of input unertainty in hydrologi modeling: Doing hydrology bakward with Markov hain Monte Carlo simulation. Water Resour. Res., 44(2). VRUGT, J.A.; ter BRAAK, C.J.F.; DIKS, C.G.H.; ROBINSON, B.A.; HYMAN, J.M.; HIGDON, D. (29). Aelerating Markov hain Monte Carlo simulation by differential evolution with selfadaptive randomized subspae sampling. Int. J. Nonlinear Si, (3), pp.27-288. XXI Simpósio Brasileiro de Reursos Hídrios 8