Guia do professor - Sistemas de Coordenadas Introdução O uso de sistemas de coordenadas se apresenta em algumas situações do dia-a-dia. Quando precisamos encontrar uma rua em um mapa de uma cidade, como os mapas disponíveis em algumas listas telefônicas, normalmente a cidade é particionada em linhas e colunas identificadas por letras e números. Figura 1 - Mapa com região da Cidade de Porto Alegre Nos livros de Geografia, em Atlas geográficos, nos livros de História as coordenadas estão lá para facilitar a localização de pontos do planeta graficamente representados nos mapas. Pilotos de avião, helicópteros assim como capitães de navios e agora também motoristas de automóveis civis, graças ao advento dos aparelhos de navegação via GPS (Global Posicioning System) fazem uso de sistemas de coordenadas. Por exemplo, para a correta leitura e interpretação de um mapa na qual estão representadas rotas aéreas (ver figura a seguir), é fundamental saber trabalhar com sistemas de coordenadas. 1
Figura 2 - Mapa aéreo de região próxima a Porto Alegre Em outras áreas como as Engenharias, a Química, a Física e a Matemática os sistemas de coordenadas também estão presentes eles servem para descrever pontos em gráficos de funções. Essas funções, por sua vez, podem estar representando os mais diversos fenômenos. Existem muitos tipos de sistemas de coordenadas. Esses sistemas podem ser basicamente de dois tipos sistemas de coordenadas ordenadas e sistemas de coordenadas não-ordenadas. No mapa da figura 1, temo um exemplo de sistema de coordenadas em que a ordem dos pares não é relevante. Ou seja, podemos localizar uma região no mapa indo pelas coordenadas (2, B) ou (B, 2). No primeiro caso existem subtipos de sistemas de coordenadas. Nos nossos objetos de aprendizagem tentamos explorar dois tipos de sistemas. O sistema cartesiano ou retangular e o sistema polar. No sistema cartesiano de coordenadas, para o caso de duas variáveis, isto é, um sistema de duas dimensões, temos dois eixos ordenados, ortogonais e com origens coincidentes. Para localizarmos um ponto ou o descrevermos, utilizamos pares ordenados. Normalmente chamamos o eixo horizontal de eixo das abscissas. O outro, vertical, eixo das ordenadas. Ao descrevermos simbolicamente um ponto, atribuímos uma letra latina maiúscula e entre parênteses posicionamos da esquerda para direita a abscissa e a ordenada do ponto separadas por vírgula ou ponto e vírgula. 2
Em um gráfico, para localizarmos um ponto como A(2;3), basta traçarmos uma perpendicular ao eixo das abscissas passando pelo ponto 2 deste eixo e uma perpendicular ao eixo das ordenadas passando por 3 deste eixo. A interseção das duas perpendiculares é o ponto A. Em muitos casos, é mais simples usarmos o outro tipo de sistema de coordenadas abordado no nosso segundo objeto de aprendizagem: o sistema de coordenadas polares. Nesse sistema, precisamos de duas informações para descrever um ponto um ângulo em graus ou radianos e a distância entre o ponto e a origem, que chamamos de raio. Um sistema de coordenadas polares no plano consiste de um ponto fixo O, chamado de pólo (ou origem) e de um raio que parte do pólo, chamado eixo polar. Em tal sistema de coordenadas, podemos associar a cada ponto P no plano um par de coordenadas polares (r, α), onde r é a distância de P ao pólo e α é o ângulo entre o eixo polar e o raio OP. O número r é chamado de coordenada radial (ou distância polar) de P enquanto que α é a coordenada angular (ou ângulo polar) de P. (adaptado de Anton, 2000 e Batschelet, 1978). Observe o desenho a seguir: O ponto P tem coordenadas cartesianas P(x, y) e coordenadas polares P(r, α). Com as informações da figura, estabelecemos as seguintes relações: x = r.cos α e y = r. sen α. 3
Objetivos Proporcionar aos alunos a oportunidade de manipularem objetos com diferentes tipos de sistemas de coordenadas. Com isso, os alunos estarão, de forma empírica, reconhecendo a importância desse conhecimento para descrever a localização de pontos aspecto importante para áreas da Matemática como Geometria Analítica e Estudo de Funções. Desenvolver a habilidade de localizar e representar pontos nos sistemas de coordenadas retangulares e polares. Essas habilidades são requisitos indispensáveis à compreensão de gráficos de funções (Matemática, Física e Química) e interpretação de mapas (Geografia e História). O estudante precisa ser capaz de a partir da descrição de um ponto, localizálo em um gráfico ou mapa e fazer o processo inverso, isto é, a partir de um gráfico ou mapa referir-se a um certo ponto a partir da descrição do ponto através do sistema de coordenadas utilizado. Pré-Requisitos Dependendo da atividade escolhida, teremos pré-requisitos diferentes. No caso da Atividade 1, acreditamos que o pré-requisito seja apenas reconhecer os símbolos (letras e numerais). Na realidade a primeira atividade pode ser vista como uma introdução ao sistema de coordenadas cartesianas ou retangulares, conforme a apresentação formal descrita na introdução. Já para o caso da Atividade 2 os pré-requisitos são: conhecer medida de ângulos, conhecer os elementos de uma circunferência, conhecer medidas de comprimento. Se você desejar promover uma atividade em que se faça uma transposição do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas polares o pré-requisito é que os alunos saibam trigonometria. Por outro lado, a necessidade da trigonometria para poder realizar uma atividade como essa, pode ser o ponto de partida para o início do estudo desta área da Matemática. Na sala de aula Você pode, por exemplo, conversar com os alunos sobre as experiências deles com sistemas de coordenadas. Perguntando se já jogaram batalha naval, war, xadrez, se já viram filmes de salvamentos na selva ou caminhadas por trilhas, etc. 4
Uma outra dica é levar à sala um mapa mundi ou um Atlas. Aliás, com um Atlas é possível mostrar que certos mapas utilizam sistemas de coordenadas diferentes (planisfério, projeção polar...). Na sala de computadores A preparação para a sala de computadores resume-se em acessar a página onde estão as atividades. Para isso, recomenda-se que alguém deixe os equipamentos ligados e que se verifique as condições da rede e conectividade, bem como se todos possuem os plugins necessários para executar as atividades (Macromedia Flash Player). Material necessário O material de anotações dos alunos é suficiente para as atividades propostas. Lembramos que aqui oferecemos algumas possibilidades de uso dos objetos de aprendizagem. Você pode criar muitas outras atividades envolvendo outros materiais como mapas, etc. Para saber mais Você pode aproveitar a sala de computadores e acessar o endereço http://www.ibge.gov.br/ibgeteen/atlasescolar/index.shtm. Nesse endereço você encontra boas explicações sobre cartografia, GPS e os alunos terão mais exemplos da utilidade dos sistemas de coordenadas no cotidiano. Atividades Atividade 1 Coordenadas Caça ao tesouro Nesta atividade se espera que os alunos sejam capazes utilizar um sistema de coordenadas retangulares não ordenado e que com isto localize pontos do mapa. É importante que durante a utilização do objeto o professor questione os alunos quanto a viabilidade de utilizar o par da coordenada em outra ordem, 5
ressaltando assim que neste caso não há diferença quando citamos um par O4 ou 4O, o que não acontecerá depois, quando for apresentado o Plano Cartesiano. A utilização do objeto e manipulação com o sistema de coordenadas não ordenadas servirá para introdução das cordenadas cartesianas. Ao explorar o objeto e jogar o caça ao tesouros os alunos podem se questionar quanto ao fato de usarem um sistema de coordenadas alfanumérico e portanto, que a ordem não interfere na definição da coordenada escolhida. Essa questão pode surgir naturalmente, com os alunos testando coordenadas como F5 ou 5F ou ainda pode ser proposto a eles que experimentem isso. Visto que o jogo dá erro com diposições diferentes dessas, como o uso de dois números ou duas letras. Além disso, o uso de uma coordenada que não pertence ao sistema de coordenadas usado no jogo dá um retorno ao aluno que pode ser explorado. Tentando por exemplo 16D, o jogo indica Desculpe capitão, mas este lugar não está na ilha. O professor pode discutir com os alunos por que o jogo traz essas mensagens e que signifcados elas têm. ` O contraponto com o Plano cartesiano é importante depois da utilização do objeto, pois vai ajudar a assegurar a importância da ordem estabelecida na definição das coordenadas cartesianas. Por isso utilizam-se pares ordenados. Sugestão de atividades posteriores: Utilize um sistema de coordenadas com as classes das sala de aula. Esta pode ser uma atividade para iniciar com o sistema cartesiano, mas se preferir utilize o sistema de coordenadas alfa-numérico mesmo. Defina com os alunos que as cada fileira será uma letra e cada classe da fileira um número. Assim os alunos irão se dispor num sistema onde não há repetição de classes na hora de citar alguém. Haverá uma correspondência biunívoca entre o número de alunos e as posições definidas na sala? Há classes sobrando? Pense a respeito. Por exemplo, a sala de aula esquematizada abaixo com cinco fileiras de seis classes cada uma. 6
É importante desenhar com os alunos o esquema no quadro para que eles acompanhem o desenvolvimento da atividade. Cada aluno receberá um cartão de cor verde e outro e cor vermelha. Definindo com os alunos o sistema de coordenadas e colocando-o também no quadro, o professor vai começar a brincadeira. Ele deverá dizer um nome de aluno e a localização que ele se encontra usando um par ordenado. Os alunos deverão então usar os cartões para dizer se a afirmação do professor está certa ou errada. O cartão vermelho indica que a afirmação está errada e o verde que está correta. O aluno que errar sai do jogo. Atividade 2 e 3 Radar e Navegando (Coordenadas Polares) Neste objeto o aluno terá a possibilidade de conhecer e utilizar um sistema de coordenada que normalmente não é explorado na escola, provocando sua curiosidade para descobrir novos sistemas. O professor deverá explicar para os alunos o uso de sistemas de coordenadas polares. A atividade 2 faz que o aluno explore o conceito e utilize-o de forma a localizar os objetos situados na tela, indicando distância e ângulo. 7
Já na atividade 3 o aluno deve realizar o processo contrário. Os objetos estão colocados na tela e o aluno deverá ir navengando na tela indicando o caminho com as coordenadas polares, este processo de reversibilidade pelo qual o aluno passa realizando as duas atividades é especificamente rico para a construção do conceito e pode auxiliar o professor na avaliação do entendimento do assunto. Como sabemos, reversibilidade operacional é a capacidade de o aluno fazer e desfazer uma ação, seguindo na linha de raciocínio de volta ao ponto de partida. 8
Sugestão de Atividade O professor pode organizar no pátio da escola, um caça ao tesouro onde os alunos se utilizarão somente das dicas encontradas por eles mesmos no pátio. Elaborar uma lista de coordenadas polares utilizando o espaço escolar e uma bússola. Cada grupo de alunos utilizará sua própria bússula. Cada grupo partindo de um determinado lugar terá no pátio seu próprio conjunto de coordenadas espalhadas e escondidas. Através da primeira coordenada terão de chegar na segunda medindo passos e usando a medida em graus que lhes foi dada. É interessante que antes de realizar a atividade o professor auxilie os alunos no manuseio da bússula, ensinando-lhes seu funcionamento. Referências ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte, vol. 2, 6a. ed., Porto Alegre: Bookman, 2000. BATSCHELET, E. Introdução à Matemática para Biocientistas. EDUSP, SP, 1978. Para saber mais Rede Interativa Virtual de Educação: Localizando no plano http://rived.proinfo.mec.gov.br/atividades/matematica/geometriaanalitica/atividad e1/atividade1.htm 9