MÓDULO 2 Verificação da segurança aos estados limites últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

MÓDULO 2 Verificação da segurança aos estados limites últimos de elementos com esforço 1. Idealização das propriedades dos materiais 1.1. RELAÇÕES TENSÃO-EXTENSÃO PARA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS E.L. ÚLTIMOS 1.1.1. Betão Diagrama parábola rectângulo σc fck f cd = f ck γ c, γ c = 1.5 0.85 fcd σc = 1000εc (250εc - 1) 0.85 fcd 2 3.5 εc Nota: σ c está limitado a 0.85 f cd por forma a ter em conta a possível diminuição da tensão de rotura do betão quando este está sujeito a tensões elevadas de longa duração. 1.1.2. Aço σs fyk fyd f yd = f yk γ s, γ s = 1.15 Es = 200 GPa Classe f yk [MPa] f yd [MPa] ε yd [ 10-3 ] -3.5 εyd 10 εs A235 A400 A500 235 400 500 205 348 435 1.025 1.74 2.175 fyd 21

2. Flexão Simples 2.1. ANÁLISE DA SECÇÃO Hipóteses adoptadas: - Hipótese de Bernoulli - ε - = 3.5 (Deformação máxima de encurtamento no betão) c - ε s = 10 (Deformação máxima de alongamento nas armaduras) - σ c = 0 se ε c > 0 o betão não resiste à tracção εc 3.5 LN x (-) Fc z MRd (+) εs 10 Fs Equações de Equilíbrio Equilíbrio axial: F s = F c Equilíbrio de momentos: M Rd = F s z 2.2. MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR Este método permite simular, de forma simples, a resultante das tensões de compressão no betão. εc 0.85 fcd 0.85 fcd σc (-) x 0.8x 0.85 fcd 0.7 3.5 εc 22

Deste modo, LN x d εc (-) 0.8x 0.85 fcd Fc 0.4x z = d - 0.4x (+) εs Fs 2.2.1. Cálculo de M Rd Dados: geometria da secção, quantidade de armadura, f cd, f yd i) Admitir que σ s = f yd (ε s ε yd ), ou seja, que as armaduras estão em cedência ii) Determinar posição da linha neutra Por equilíbrio axial, F c = F s 0.85 f cd A c (x) = A s f yd x =? iii) Calcular o momento resistente Por equilíbrio de momentos, M Rd = A s f yd (d 0.4x) iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: ε s ε yd Rotura convencional: ε c = 3.5 ou ε s = 10 A partir da posição da linha neutra anteriormente calculada, e admitindo que a rotura se dá pelo betão, obtém-se a extensão ao nível da armadura. εc = 3.5 (-) (+) εs x Se ε s ε yd a hipótese considerada inicialmente está correcta Se ε s < ε yd F s < A s f yd (ao contrário do que foi admitido), pelo que a posição da LN não está correcta. Esta situação não é desejável e, caso se verifique, deverão adoptar-se procedimentos que conduzam a que as armaduras estejam em cedência (ε s ε yd ). Este assunto será retomado posteriormente. Caso se aceitasse esta situação, como, por condição de equilíbrio F c = F s, há que diminuir a força de compressão e aumentar a força de tracção É necessário subir a posição da LN (o problema resolve-se por iterações até F c = F s ). 23

Através da posição da linha neutra é possível saber se a rotura convencional se dá pelo betão ou pela armadura: Posição da LN para ε c = 3.5 e ε s = 10 εc = 3.5 (-) x d x 3.5 = d 13.5 x = 0.26 d (+) εs=10 (esta situação corresponde ao máximo aproveitamento da capacidade dos materiais) Deste modo, se x < 0.26 d ε c < 3.5 ε s = 10 se x > 0.26 d ε c = 3.5 ε s < 10 (rotura pela armadura) (rotura pelo betão) Posição da LN para ε c = 3.5 e ε s = ε yd (início da cedência do aço) c = 3.5 A400 : ε yd = 1.74 (-) x d x 3.5 = d 3.5 + 1.74 x = 0.67 d A500 : ε yd = 2.175 (+) εs=εyd x 3.5 = d 3.5 + 2.175 x = 0.62 d Deste modo, se x 0.67 d no caso de se utilizar aço A400, ou se x 0.62 d no caso de se utilizar aço A500 o aço está em cedência Deverá garantir-se que as armaduras se encontram em cedência na situação de rotura, por duas razões fundamentais. A primeira pode considerar-se como sendo essencialmente de ordem económica: a armadura utilizada deve ser integralmente aproveitada e, portanto, mobilizada integralmente a sua capacidade resistente. Por outro lado, a peça deve apresentar ductilidade disponível em situação de rotura: deve poder evidenciar deformações apreciáveis por cedência das armaduras, sem perda de capacidade resistente. 24

MRd As4 (x4;εs4;menor ductilidade) As3 (x3;εs3) As2 (x2;εs2) (1) (2) As1 (x1;εs1;maior ductilidade) εcx = -3.5 1 R (-) x As (+) εs (1) εs=εyd ( 1/R) y ( ) 1/ R 1/R u (2) Rotura da secção por esmagamento do betão comprimido (εc 3.5 ) ou deformação da armadura (εs 10 ) 1 R = - ε cx x Para garantir um nível mínimo de ductilidade disponível deve procurar garantir-se que x 0.5 d. 2.2.2. Dimensionamento das armaduras Dados: geometria da secção, f cd, f yd, M sd 0.85 fcd x LN 0.8x Fc d z M sd As Fs b i) Admitir que σ s = f yd (ε s ε yd ), ou seja, que as armaduras estão em cedência ii) Determinar posição da linha neutra Por equilíbrio de momentos, M sd = F c z = 0.85 f cd b 0.8x (d 0.4x) x =... F c =... iii) Calcular a área de armadura necessária Por equilíbrio axial, F c = F s 0.85 f cd b 0.8x = A s f yd A s =? iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: ε s ε yd 25

EXERCÍCIO 2 Considere a viga representada na figura seguinte e adopte γ G = γ Q = 1.5 q 0.55 3φ20 0.30 5.00 Materiais: C25/30 A400 (f cd = 16.7MPa) (f yd = 348MPa) Calcule a máxima sobrecarga q que pode actuar com segurança sobre a viga. RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2 Método do diagrama rectangular simplificado 0.85 fcd x LN 0.8x Fc 0.4x d z M Rd Fs 1. Cálculo do M Rd Equações de equilíbrio (flexão simples) ΣF = 0 F c = F s (1) ΣM = 0 M Rd = F s z = F s (d - 0.4x) (2) 26

F c = 0.8x b 0.85 f cd = 0.8x 0.30 0.85 16.7 10 3 = 3406.8x F s = A s f yd = 9.42 10-4 348 10 3 = 327.8kN (A s (3φ20) = 9.42cm 2 ) (1) F c = F s x = 327.8 3406.8 = 0.096m z = d 0.4x = 0.55 0.4 0.096 = 0.51m (2) M Rd = F s z = 327.8 0.51 = 167.2kNm Verificação da hipótese de cedência do aço (ε s ε yd ) c = 3.5 (-) (+) εs 0.096 0.454 0.55 ε s 0.454 = 3.5 0.096 ε s = 16.6 Como ε máx s = 10 ε s = 10 e ε c < 3.5 10 0.454 = ε c 0.096 ε c = 2.11 Comportamento dúctil: ε s > ε yd (critério mínimo; é desejável que ε s > 4 a 5 ) ε yd = f yd ε s = 348 200 10 3 = 1.74 x d = 0.096 0.55 = 0.175 < 0.26 ε c < 3.5 ε s = 10 rotura pela armadura 3. Cálculo da sobrecarga máxima (M sd M Rd ) M sd = p sd L 2 8 167.7kNm p sd 8 167.7 5 2 = 53.7kN/m p sd = 1.5 (g + q) q = 53.7 1.5-0.30 0.60 25 = 31.3kN/m 27

EXERCÍCIO 3 (CONT.) Considere a estrutura da figura seguinte: 4.00 4.00 4.00 4.00 Materiais: C25/30, A400 10.00 S2 Acções: Peso próprio Revestimento=2.0 kn/m 2 Sobrecarga = 3.0 kn/m 2 Coeficientes de majoração: γ G = γ Q = 1.5 S1 Coeficientes de combinação: ψ 1 = 0.4 ; ψ 2 = 0.2 3.00 Secção da viga: 0.30 0.85 m 2 Espessura da laje: 0.15m c) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão da viga (Secções S1 e S2) c.1) utilizando o método do diagrama rectangular simplificado c.2) F s z c.3) com recurso a tabelas c.4) pormenorize as armaduras de flexão 28

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 (CONT.) ALÍNEA C) 1. Modelo de cálculo: g, q S2 S1 0.85 10.00 3.00 0.30 2. Envolvente do diagrama de esforços DMF [knm] S2 (+) 660.2 272.0 S1 (-) ALÍNEA C.1) Secção S2 (M + = 660.2 knm) sd 0.85 fcd x LN 0.8x Fc 0.80 z Msd As Fs 0.30 F c = 0.85 f cd 0.8x b = 0.85 16.7 10 3 0.8x 0.3 = 3406.8x F s = A s f yd = A s 348 10 3 Equilíbrio de momentos: ΣM AS = M sd 3406.8x (0.8 0.4x) = 660.2 x = 0.282 m F c = 3406.8 0.282 = 960.7 kn 29

Equilíbrio de forças F s = F c A s 348 10 3 = 960.7 A s = 960.7 348 10 3 10 4 = 27.6cm 2 Verificação da hipótese de cedência do aço εc = 3.5 Admitindo que ε c = 3.5 (-) 0.282 ε c = 3.5 ε s = 0.282 0.518 (+) εs 0.518 ε s = 6.43 > ε yd = 1.74 A armadura está em cedência (a secção tem comportamento dúctil) Secção S1 (M - = 272.0 knm) sd 0.30 As Fs 0.80 z M sd LN x 0.8x Fc 0.85 fcd Equilíbrio de momentos: ΣM AS = M sd 3406.8x (0.8 0.4x) = 272.0 x = 0.105m F c = 357.7kN Equilíbrio de forças F s = F c A s 348 10 3 = 357.7 A s = 357.7 348 10 3 10 4 = 10.28cm 2 Verificação da hipótese de cedência do aço Admitindo que ε c = 3.5, ε s 3.5 = 0.695 0.105 ε s = 23.2 > 10 ε s = 10 ε c = 1.51 30

2.3. DIAGRAMAS DE ROTURA POSSÍVEIS DE UMA SECÇÃO SUJEITA À FLEXÃO SIMPLES Na figura seguinte apresentam-se os diagramas de deformação de uma secção de betão armado, para quatro áreas de armadura distintas (área de armadura crescente). M Rd,1 < M Rd,2 < M Rd,3 < M Rd,4 εc εc εc εc (-) x1 (-) x2 (-) x3 (-) x4 M Rd As (+) εs (+) εs (+) εs (+) εs (As muito pequeno) (As maior) (...) (...) 1 2 3 4 Apresentam-se em seguida as relações constitutivas do aço e do betão, com indicação qualitativa das tensões e extensões dos dois materiais para os casos acima indicados. σc σs 0.85 fcd 1 2 3e 4 fyd 3 1 e 2 4 2 3.5 εc εyd 10 εs Conforme se pode observar na figura seguinte, para baixos níveis de armadura, existe proporcionalidade entre a área de armadura e o momento resistente da secção. À medida que a quantidade de armadura aumenta, esta relação passa a ser não linear, ou seja, o aumento da armadura traduz-se em acréscimos cada vez menores de momento resistente. Este comportamento deve-se à sucessiva diminuição do braço do binário (z) com o aumento da área de armadura. M Rd M 4 M 3 M 2 M 1 1 2 3 4 As 31

2.4. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES GRANDEZAS ADIMENSIONAIS 2.4.1. Método Geral d d2 LN As2 x εc εs2 (-) σc Fs2 Fc λx M F c = ψ f cd b x F s2 = σ s2 A s2 As1 (+) εs1 Fs1 F s1 = σ s1 A s1 b ψ f cd = σ c y da Ac bx ; λx = σ c y da σ c da ψ coeficiente que define o valor da resultante das tensões de compressão no betão λ coeficiente que define a posição da resultante das tensões de compressão no betão Equações de Equilíbrio Equilíbrio axial: F s = F c ψf cd bx + σ s2 A s2 = σ s1 A s1 (1) Equilíbrio de momentos: ΣM As = M M = ψ f cd b x (d - λx) + σ s2 A s2 (d - d 2 ) (2) (Equações não lineares) Cálculo por iterações i) Fixar ε s = 10 e ε c = 3.5 ii) Calcular as forças axiais F Se F c + F s2 > F s1 εc < 3.5 (-) x < 0.26d (a LN tem de subir para diminuir F C ) (+) εs=10 É necessário arbitrar valores de ε c até que ΣF = 0 32

Se F c + F s2 < F s1 c = 3.5 (-) x > 0.26d (a LN tem de baixar para aumentar F c ) (+) εs<10 É necessário arbitrar valores de ε c até que ΣF = 0 ii) Calcular M Rd Definida a posição da LN e o diagrama de extensão, calcular M Rd Nota: Este é um processo de cálculo moroso. Na prática recorre-se a programas de cálculo automático ou a tabelas de cálculo. Para elaborar tabelas é necessário trabalhar com grandezas adimensionais, por forma a que sejam válidas para secções com qualquer geometria. 2.4.1.1. Grandezas adimensionais Equações de Equilíbrio ψf cd bx = σ s1 A s1 - σ s2 A s2 (1) M = ψ f cd b x (d - λx) + σ s2 A s2 (d - d 2 ) (2) Substituindo (1) em (2), M = σ s1 A s1 (d λx) σ s2 A s2 (d λx) + σ s2 A s2 (d d 2 ) = = σ s1 A s1 (d λx) + σ s2 A s2 (λx d 2 ) (3) Considerando A s2 = β A s1 e σ s = f yd, a equação (3) toma a forma M = A s1 f yd d 1 - λ x d + β A s1 f yd d λ x d - d 2 d Transformando esta equação numa forma adimensional (dividindo todos os termos por b d 2 f cd ), resulta M b d 2 f = A s1 f yd cd b d f cd 1 - λ x d + β µ = ω (1 λk) + βω λ k - d 2 d A s1 f yd b d f cd λ x d - d 2 d 33

µ = M b d 2 f cd (Momento flector reduzido); k = x d ω = A s1 f yd b d f cd (Percentagem mecânica de armadura) 2.4.2. Método do Diagrama Rectangular Simplificado 2.4.2.1. Grandezas adimensionais εc d LN x (-) 0.8x Fc 0.4x z MRd As (+) εs Fs b M Rd = F s z = F s (d 0.4x) Admitindo que o aço está na cedência, M Rd = A s f yd (d 0.4x) Transformando a equação anterior numa forma adimensional, resulta M Rd b d 2 f = A s f yd cd b d f cd 1-0.4 x d = A s b d f yd f cd 1-0.4 x d µ Rd = ω (1 0.4k) µ Rd = M Rd b d 2 f cd (momento flector reduzido); k = x d ω = A S b d f yd f cd (percentagem mecânica de armadura) F c = F s 0.8 (kd) b 0.85 f cd = A s f yd k = 1.47 A S b d f yd f cd = 1.47 ω Visto que, µ Rd = ω (1 0.4k) e substituindo o resultado anterior, obtém-se a seguinte expressão para cálculo do momento flector reduzido em função da percentagem mecânica de armadura: µ Rd = ω (1 0.588 ω ) 34

2.4.3. Utilização de Tabelas As tabelas podem ser utilizadas para: i) Determinar o momento resistente de uma secção, dadas as armaduras; ii) Determinar as armaduras, dado o momento solicitante 2.4.3.1. Dimensionamento de armaduras Dado M Sd determina-se µ = M sd b d 2 f cd Tabelas (µ, β) ω 1 A s1 = ω 1 b d f cd f yd A s2 = β A s1 2.4.3.2. Determinação da capacidade resistente Dado A s1 e A s2 determina-se ω e β Notas: Tabelas (β, ω) µ M Rd = µ b d 2 f cd (i) No dimensionamento de uma secção, a posição da L.N. deve ser controlada por forma a que a armadura traccionada atinja a tensão de cálculo (rotura dúctil) Caso isso não aconteça, será necessário adoptar armaduras de compressão ou aumentar a secção da viga. (ii) Numa viga, existe sempre armadura de compressão, por razões construtivas, com um nível não inferior a β = 0.1. Através do µ (adimensional) e da posição da LN (k) é possível ter uma noção da dimensão do momento actuante numa dada secção: Momento elevado k próximo de 0.668 (A400) ε s próximo de ε yd µ 0.25 Momento médio k < 0.5 (secção dúctil, dimensionamento adequado) µ 0.10 a 0.25 Momento pequeno µ 0.10 35

2.5. ESTIMATIVA DO MOMENTO RESISTENTE Fc d z M As Fs Para momentos de ordem de grandeza pequena a média verifica-se que, para secções rectangulares, z 0.9 d, pelo que, M = F s z A s f yd 0.9 d A s = M 0.9 d f yd Pela observação das tabelas de flexão simples (pág. 9) verifica-se que: para µ < 0.15, z > 0.9 d (lado da segurança) para µ > 0.15, z < 0.9 d (contra a segurança) 36

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 (CONT.) ALÍNEA C.3) Secção S2 (M + = 660.2 knm) sd µ = M sd b d 2 f = 660.2 cd 0.3 0.8 2 16.7 10 3 = 0.206 ω = 0.241; k = 0.351 A s = ω bd f cd f yd = 0.241 0.30 0.80 16.7 348 104 = 27.76 cm 2 Secção S1 (M - = 272.0 knm) sd µ = 272.0 0.3 0.8 2 16.7 10 3 = 0.085 ω = 0.091; k = 0.163 A s = ω bd f cd f yd = 0.091 0.30 0.80 16.7 348 104 = 10.48 cm 2 ALÍNEA C.2) F s = A s f yd z 0.9d M 0.9 d f yd A s A s = M 0.9 d f yd M + sd = 660.2kNm A s = M - sd = 272.0kNm A s = 660.2 0.9 0.8 348 10 3 10 4 = 26.34cm 2 272.0 0.9 0.8 348 10 3 10 4 = 10.86cm 2 37

2.6. PARÂMETROS QUE INFLUENCIAM O VALOR DO MOMENTO RESISTENTE Armadura de tracção Fc 2Fc z M Rd < z As Fs 2As 2Fs O momento resistente é quase proporcional à área de armadura, para momentos não muito elevados. Para momentos elevados, a variação é menos significativa. Armadura de compressão Fc As2 Fs2 Fc z M Rd >z As1 Fs1 As1 Fs1 A influência da armadura de compressão no valor do momento resistente, apenas é importante para esforços elevados. Para o nível de esforços usuais, a variação é pouco significativa. Largura da secção Fc Fc z M Rd >z As Fs As Fs A influência da largura da secção no valor do momento resistente, apenas é importante para esforços elevados. Para o nível de esforços usuais, em que geralmente a área comprimida é pequena, a variação é pouco significativa. 38

Classe do betão Fc Fc M Rd z >z As Fs As Fs A influência do aumento da classe do betão no valor do momento resistente, apenas é importante para esforços elevados. Para o nível de esforços usuais, em que geralmente a área comprimida é pequena, a variação é pouco significativa. 39

2.7. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS EM VIGAS Armaduras principais: Asseguram a resistência do elemento estrutural relativamente aos esforços de dimensionamento. Armaduras secundárias: Têm como função: - Garantir o bom funcionamento das armaduras principais; - Ajudam a rigidificar as malhas de armaduras; - Controlam a fendilhação localizada; - Asseguram a ligação entre partes de elementos que têm tendência a destacar-se. h d φ est = 6 ou 8 mm (para vigas pequenas) 10 a 12 mm (para vigas maiores) φ long = 12 a 16 mm (para vigas pequenas) = 20 a 25 mm (para vigas maiores) s b c c recobrimento Altura útil: d = h - c - φ est - φ long 2 2.7.1. Recobrimento das armaduras O recobrimento das armaduras desempenha as seguintes funções: (i) mecânica: Destina-se a garantir que há betão suficiente a envolver a armadura, e assim garantir a sua aderência por forma a que se verifique uma eficiente transmissão de forças entre o betão e o aço (c φ ou φ eq ) (ii) protecção contra a entrada dos agentes agressivos e consequentemente contra a corrosão das armaduras (recobrimento definido em função da agressividade do ambiente de exposição) (consultar Volume 4 Apontamentos Complementares) 40

2.7.2. Distância livre mínima entre armaduras (s) A distância livre entre armaduras deve ser suficiente para permitir realizar a betonagem em boas condições, assegurando-lhes um bom envolvimento pelo betão e as necessárias condições de aderência e protecção. No caso de armaduras para betão armado, s min = ( φ maior, φ eq maior, 2 cm ) A distância livre entre armaduras pode ser calculada pela expressão, s = b - 2c - 2φ est - n φ long n - 1, n número de varões É necessário compatibilizar a distância entre varões com a dimensão máxima do inerte (s 1.2 a 1.5 D máx ) e ter em atenção o espaço necessário para introdução do vibrador (aconselhável: 4 5 cm junto à face inferior e 7 10 cm junto à face superior) 2.7.3. Agrupamentos de armaduras Os agrupamentos de armaduras devem ser evitados sempre que possível, dado que prejudicam a aderência aço/betão. Relativamente ao número máximo de varões que é possível agrupar, - para o caso de armaduras traccionadas, n 3 - para o caso de armaduras comprimidas, n 4 (Em qualquer direcção não pode haver mais que 2 varões em contacto) O diâmetro equivalente de um agrupamento pode ser calculado pela expressão φ eq = Σφ 2 i 55mm 41

Exemplos: (mais indicado) (aceitável) (desaconselhável) 2.7.4. Princípios a ter em atenção na pormenorização das armaduras A escolha do tipo de pormenorização no que respeita ao número de varões e diâmetros a adoptar deve ter em atenção os seguintes factores: - custo da mão de obra menor número de varões - facilidade de betonagem menor número de varões - liberdade de dispensa maior número de varões - menos problemas de fendilhação maior número de varões 2.7.5. Dobragem de armaduras Condições a satisfazer: - Não afectar a resistência do aço - Não provocar o esmagamento ou fendilhação do betão quando a armadura for traccionada O diâmetro mínimo de dobragem depende: - Tipo de aço - Diâmetro do varão - Tipo de armadura (armaduras em geral, estribos, cintas, ganchos, etc.) 42

2.7.6. Posicionamento das armaduras O posicionamento das armaduras, antes da betonagem, é assegurado pelos seguintes elementos: Espaçadores garantem o recobrimento das armaduras c Cavaletes garantem o correcto posicionamento das armaduras superiores nas lajes h Varões construtivos (armaduras secundárias) garantem o espaçamento vertical entre varões longitudinais 43

2.8. DIMENSIONAMENTO DE SECÇÕES EM T 2.8.1. Largura efectiva 2.8.1.1. Definição No dimensionamento de vigas com banzos ou com ligação a lajes, pode tirar-se partido da existência destes elementos, principalmente se se situarem na zona comprimida da secção. h f d0 b1 bw b2 Neste caso, a distribuição de tensões no banzo não é uniforme: as zonas laterais deformam-se menos que a zona central da alma (devido à deformação por corte) efeito de shear lag, tal como se pode observar na planta ilustrada em seguida. ε Simplificadamente, considera-se uma largura efectiva (b ef ) onde se admite que a distribuição de tensões é uniforme Fc bef σx,max M 44

2.8.1.1. Cálculo da largura efectiva (i) Banzo comprimido bef h f dl da bw Para o caso genérico apresentado na figura anterior, a largura efectiva pode ser obtida através da expressão: bw + 1 b ef = min 5 L 0 b w + da, onde L 0 representa a distância entre pontos de momento flector nulo (d L d a / 2) b ef (2 a 4) h f Determinação de L 0 Lc L L L L0 1.5Lc 0.6L 0.4L 0.8L (ii) Banzo traccionado No caso de se tratar de um banzo traccionado, d L 4h f (h f espessura do banzo) 45

2.8.2. Dimensionamento de secções em T por tabelas Exemplo: b b w = 5 ; h f d = 0.125 h f /d = 0.10 ω 1 b b = 4 ω a w h f /d = 0.15 ω 2 h f /d = 0.10 ω 3 b b = 6 ω b w h f /d = 0.15 ω 4 ω Casos particulares: Dado que se considera que o betão não resiste à tracção, o dimensionamento de uma secção em T pode ser efectuado como se esta se tratasse de uma secção rectangular nos seguintes casos: (i) se a linha neutra estiver no banzo, caso este esteja comprimido (acontece na generalidade dos casos) secção rectangular de largura b ef ; bef bef LN Fc LN Fc M M As Fs As Fs bw (ii) se a linha neutra estiver na alma e o banzo estiver traccionado secção rectangular de largura b w bef As Fs As Fs LN M LN M Fc Fc bw bw 46

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 (CONT.) ALÍNEA D) Dimensionamento das armaduras considerando a contribuição da laje Viga em T bef h f = 0.15 m h f h = 0.85m h b w = 0.30m bw bw + 1 b ef = min 5 L 0 b w + da 1 0.30 + = min 5 0.8 10 = 1.9m 0.30 + 3.7 = 4.0m = 1.9 m Hipóteses para o dimensionamento da secção: (i) Se a L.N. estiver no banzo da secção, o dimensionamento pode ser efectuado como se a secção fosse rectangular, de largura b ef. (ii) Se a L.N. estiver na alma da secção, o dimensionamento terá de ser efectuado com base em tabelas de secção em T (ou recorrendo ao método do diagrama rectangular simplificado). Para verificar se a L.N. está no banzo, M Sd = 660.2kNm µ = 660.2 1.9 0.8 2 16.7 10 3 = 0.033 k = 0.093 x = k d = 0.093 0.8 = 0.074m < 0.15 m a LN está no banzo µ = 0.033 ω = 0.034 A s = ω b d f cd f yd = 0.034 1.9 0.8 16.7 348 104 = 24.8 cm 2 47

2.8.3. Simplificação de secções para efeitos de dimensionamento à flexão simples 1) Secção real b b bw 2bw b' b' 2) Secção real bw 2bw b b 3) Secção real bw bw b b 48

Secções a considerar no dimensionamento à flexão 1) b 2bw M M b' b' b (se a LN estiver no banzo) (se a LN estiver no banzo) Nota: Se a LN estiver na alma da secção, o dimensionamento poderá ser efectuado com base numa secção em T (considerando a existência do banzo que estiver comprimido, e desprezando o banzo traccionado) 2) e 3) bw M M b bw (se a LN estiver na alma) b (se a LN estiver no banzo) 49

EXERCÍCIO 4 Considere a estrutura da figura seguinte: sc cp S2 S1 3.50 10.00 3.50 0.20 0.20 Materiais: C20/25, A400 1.00 Acções: pp + revest. = 20.0 kn/m sobrecarga = 40.0 kn/m 1.00 0.15 Coeficientes de majoração: γ G = γ Q = 1.5 a) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão da viga (secções S1 e S2) b) Pormenorize as armaduras de flexão. 50

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 4 ALÍNEA A) 1. Esforços de dimensionamento psd 3.50 10.00 3.50 DMF [knm] 551.3 551.3 (-) (-) (+) 573.8 p sd = 1.5 (20 + 40) = 90 kn/m M sd S! = - p sd L 1 2 2 = - 90 3.52 2 = -551.3 knm M sd S2 = p sd L 2 2 8 - M sd S! = 90 102 8-551.3 = 573.8 knm 2. Determinação das armaduras (E.L.U. flexão) Secção S2 (M + = 573.8 knm) sd 0.20 0.20 LN LN 1.00 M sd 1.00 0.40 51

µ = M sd bd 2 f = 573.8 cd 0.40 0.95 2 13.3 10 3 = 0.120 ω = 0.131 A s = ω bd f cd f yd = 0.131 0.40 0.95 13.3 348.0 104 = 19.03 cm 2 Secção S1 (M - = 551.3 knm) sd Hipótese: a LN encontra-se no banzo da secção M sd 1.00 LN LN 1.00 1.00 µ = M sd bd 2 f = 551.3 cd 1.0 0.95 2 13.3 10 3 = 0.046 k = 0.112 k = x d x = k d = 0.112 0.95 = 0.106 LN está no banzo µ = 0.046 w = 0.048 A s = ω bd f cd f yd = 0.048 1. 0 0.95 13.3 348.0 104 = 17.42cm 2 52

EXERCÍCIO 3 (CONT.) Considere a estrutura da figura seguinte: 4.00 4.00 4.00 4.00 Materiais: C25/30, A400 Acções: Peso próprio Revestimento=2.0 kn/m 2 Sobrecarga = 3.0 kn/m 2 10.00 Coeficientes de majoração: γ G = γ Q = 1.5 Coeficientes de combinação: ψ 1 = 0.4 ; ψ 2 = 0.2 3.00 Secção da viga: 0.30 0.85 m 2 Espessura da laje: 0.15m e) Dimensione e pormenorize a laje da zona sombreada. 53

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 (CONT.) ALÍNEA E) 1. Cálculo das acções Peso próprio pp = γ betão h = 25 0.15 = 3.8 kn/m 2 Revestimentos rev = 2.0 kn/m 2 Sobrecarga sc = 3.0 kn/m 2 p sd = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 ( 3.8 + 2.0 + 3.0 ) = 13.2 kn/m 2 2. Modelo de cálculo psd 4.00 4.00 4.00 4.00 Comentários ao modelo de cálculo: (i) Numa laje, as armaduras de flexão são calculadas por metro de largura, ou seja, considerando uma secção com 1 m de base, e altura igual à altura da laje. (ii) Face à relação de vãos que se verifica, a laje tem um comportamento em flexão cilíndrica (armada numa só direcção). 3. Cálculo dos esforços 13.2 kn/m 2 DMF [knm/m] 22.4 15.3 22.4 (+) 16.4 (-) (-) (-) (+) (+) 7.6 7.6 (+) 16.4 54

4. Cálculo das armaduras Altura útil Disposição das armaduras principais e de distribuição numa laje armada numa direcção: - - As As,dist As + + As,dist Determinação da altura útil: d = h - c - φ long 2 h (0.025 a 0.03) m Armaduras principais (adoptou-se d = 0.12 m) M sd [knm/m] µ ω A s [cm 2 /m] -22.4 0.093 0.099 5.73 Armadura adoptada -15.3 0.064 0.067 3.86 16.4 0.068 0.072 4.15 7.6 0.032 0.033 1.89 Armadura mínima Esta armadura deve ser colocada em todas as zonas (e direcções) onde a laje possa estar traccionada. Além disso, a armadura principal adoptada não deverá ser inferior à armadura mínima. As quantidades mínimas de armadura em lajes, podem ser quantificadas através da imposição de percentagens mínimas de armadura, que variam consoante o tipo de aço utilizado: ρ min = 0.25% para A235 ρ min = 0.15% para A400 ρ min = 0.12% para A500 A percentagem de armadura define-se através da expressão ρ = A s b d 100. 55

No caso do exercício, A400 ρ min = 0.15% ρ = A s b d 100 A s,min = ρ min b d 100 = 0.15 0.12 100 10 4 = 1.80 cm 2 /m Armaduras de distribuição (em flexão cilíndrica m transv = ν m princ. ) A s [cm 2 /m] A s, dist. [cm 2 /m] Armadura adoptada 5.73 0.20 5.73 = 1.15 3.86 0.20 3.86 = 0.77 4.15 0.20 4.15 = 0.83 1.89 0.20 1.89 = 0.38 Armadura de bordo simplesmente apoiado Junto às vigas de bordo, é necessário dispor de armadura na direcção perpendicular às mesmas, na face superior, por forma a controlar a fendilhação. Esta fendilhação deve-se ao facto da viga, por possuir alguma rigidez de torção (que foi desprezada no cálculo dos esforços), impedir a livre rotação da laje quando esta se deforma, conforme está ilustrado na figura seguinte. A armadura a adoptar deverá ser, pelo menos, a quantidade de armadura mínima (neste caso, A s,min = 1.80 cm 2 /m ), com a seguinte disposição: L/4 As,min 0.2As,min 56

3. Esforço Transverso 3.1. COMPORTAMENTO ELÁSTICO Numa viga de betão não fendilhada (comportamento elástico) definem-se as seguintes trajectórias principais de tensão: σ σ + τ A trajectórias das compressões principais trajectórias das tracções principais Elemento A t σc Quando σ f = f ct, inicia-se a fendilhação por esforço transverso 3.2. COMPORTAMENTO APÓS FENDILHAÇÃO Flexão + Esforço transverso Flexão Flexão + Esforço transverso A fendilhação tende a ser perpendicular à direcção das tensões principais de tracção. 57

3.3. MODELO DE TRANSMISSÃO DE CARGAS PARA O APOIO θ Este modelo poderá assemelhar-se a uma treliça, onde as armaduras transversais e longitudinais funcionam como tirantes, e o betão comprimido entre fendas com uma resultante assimilável a uma escora ou biela comprimida. θ z z cotg θ z cotg θ bielas comprimidas (resultante da zona de compressões correspondente) tirantes (resultante das forças de tracção nos estribos no comprimento z cotgθ) Assim, neste modelo de treliça, cada barra representa (ou é a resultante de) um campo de tensões: (1) Campo de tracções verticais (2) Campo de compressões inclinadas z cotg θ estribos verticais (ou inclinados) z cotg θ bielas inclinadas 58

(3) Campo de tracções e compressões paralelas ao eixo compressão tracção banzo comprimido; armadura longitudinal É assim possível relacionar os esforços (M e V) com as tensões nos diferentes elementos: armaduras transversais, armaduras longitudinais e bielas comprimidas. 3.3. POSSÍVEIS MODOS DE ROTURA (i) Rotura dos estribos (ii) Rotura por esmagamento do betão (nas bielas comprimidas) (iii) Rotura por arrancamento da armadura inferior do apoio (amarração insuficiente) ou rotura da armadura (armadura insuficiente) 59

3.4. AVALIAÇÃO DAS TENSÕES / FORÇAS NOS DIFERENTES ELEMENTOS DA TRELIÇA (admitindo uma inclinação θ para as bielas comprimidas na alma) 3.4.1. Tracções nos estribos cargas que se transmitem directamente para o apoio cargas que se transmitem directamente para o apoio θ z θ b z cotg θ z cotg θ b DEVsd Vsd(x) x x Vsd(x) zona do diagrama de esforço transverso que interessa para efeitos de dimensionamento da armadura transversal Vsd (x) F s V sd A sw f yd V sd (x) A sw s f yd V sd (x) z cotg θ A sw s V sd (x) z cotg θ f yd b z cotg θ Asw x = b 2 + z cotg θ ; z 0.9d A sw s - área de aço por unidade de comprimento (armadura distribuída por m). V sd (x) - força vertical por unidade de comprimento. z cotg θ Os estribos têm que ser prolongados até ao apoio por forma transmitir para a zona superior da viga as forças devidas às escoras assinaladas na figura. EUROCÓDIGO 2: O valor do esforço transverso resistente é dado pelo menor valor entre (1) e (2), V Rd,s = A sw s z f ywd cotg θ A sw s V sd z cotg θ f ywd onde f ywd representa o valor de cálculo da tensão de cedência da armadura de esforço transverso. (1) 60

3.4.2. Compressão na alma θ a Fc θ Fc Fs Vsd sen θ = V sd F c F c = V sd sen θ b z cotg θ σ c = F c b w a sen θ = σ c = a z cotg θ a = (z cotg θ) sen θ = z cos θ = z cos θ V sd sen θ b w z cos θ σ c = V sd (x) 0.9d b w sen θ cos θ A máxima compressão surge junto ao apoio - zona onde V sd é máximo. A rotura ocorre, em geral, na biela a seguir ao apoio, onde a resistência θ do betão à compressão é menor (na última biela em leque surge um R z cotg θ Rotura campo biaxial de tensões que conduz a um aumento da resistência à compressão do betão). As tensões de tracção nos estribos originam uma diminuição da resistência à compressão do betão, pelo que σ c 0.6 f cd Na biela em leque considera-se para verificação da segurança σ c 0.85 f cd R A 0.85 f cd apoio EUROCÓDIGO 2 (cont.) V Rd,max = α cw b w z ν 1 f cd cotg θ + tg θ onde α cw = 1 para estruturas sem pré-esforço e ν 1 = 0.6 nos casos em que f ck 60 MPa (2) Pelo que, esta expressão pode ser escrita na forma V Rd,max = b w z 0.6 f cd cotg θ + tg θ V Rd,max (cotg θ + tg θ) z b w = 0.6f cd V Rd,max z b w sen θ cos θ = 0.6f cd 61

3.4.3. Influência do esforço transverso nas compressões e tracções paralelas ao eixo Uma vez que os esforço exteriores são M e V, a resultante dos esforços axiais tem que ser nula. Deste modo, para equilibrar a componente horizontal de F c tem que se verificar uma variação nas compressões e tracções devidas a M. θ θ Vsd V 2 Fc cotg θ V 2 cotg θ θ Fc FT Vsd F V T = F c cos θ = V sen θ cos θ = V cotg θ É necessário distribuir a força de tracção F V igualmente pelos banzos comprimido e T traccionado por forma a não alterar o momento aplicado à secção. F M F V F M F V M V + = V M F M F V F M F V F M = M z ; FV = V 2 cotg θ 3.4.3.1. Apoio de extremidade z θ1 θ θ b z cotg θ b + z 2 2 cotg θ 62

R θ 1 Fc FT R = F c sen θ 1 F c = R sen θ 1 F T = F c cos θ 1 F T = R cos θ 1 sen θ 1 = R cotg θ 1 cotg θ 1 = b 2 + z 2 cotg θ z = 0.5 b z + 0.5 cotg θ Como F T depende da largura do apoio, pode tomar-se por simplificação: 1) Apoio pontual (b = 0) cotg θ 1 = 0.5 cotg θ F T = R 2 cotg θ 2) z 2b cotg θ 1 = 0.5 b 2b + 0.5 cotg θ = 0.25 + 0.5 cotg θ F T = R (0.25 + 0.5 cotg θ) 1.20 R (θ 1 40 ) 3.4.3.2. Apoio de continuidade FT = const. z θ θ θ1 θ1 θ θ M V z + 2 cotg θ M - V cotg θ z 2 z cotg θ b z cotg θ DFT M/z V 2 cotg θ Nota: Na zona central, a inclinação das compressões varia entre θ e 90 (cotg 90 = 0) 63

3.4.3.3. Armadura longitudinal no vão Considere-se a viga simplesmente apoiada representada na figura seguinte, bem como os correspondentes diagramas de força de tracção na armadura longitudinal. M FT M/z + V FT V/2 cotg θ = M+V FT M/z + V/2 cotg θ α = d dx M z = 1 z dm dx = V z As flexão por outro lado, α tg α = V/2 cotg θ x V/2 cotg θ α M/z V 2 cotg θ 1 x = V z x = z 2 cotg θ x necessária As Para ter em conta o aumento da tracção na armadura longitudinal é suficiente considerar uma translação do diagrama de momentos de x. 64

3.5. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 3.5.1. Quantidade mínima de armadura: As áreas mínimas de armadura transversal, podem ser quantificadas através da imposição de percentagens mínimas de armadura, que variam consoante o tipo de aço utilizado: ρ w,min = 0.16% para A235 ρ w,min = 0.10% para A400 ρ w,min = 0.08% para A500 A percentagem de armadura transversal define-se através da expressão ρ w,min = A sw s b w 100. 3.5.2. Espaçamento entre estribos Por forma a evitar que a fenda se forme entre estribos, o espaçamento máximo entre estribos deverá respeitar a condição: s 0.5 d, onde d representa a altura útil do elemento. Usualmente utilizam-se espaçamentos entre 0.075 m e 0.30 m (ou, mais aconselhável, entre 0.10 m e 0.25 m). 65

EXERCÍCIO 5 Considere a estrutura da figura seguinte: q = 12kN/m g = 25kN/m 0.60 0.30 5.00 Materiais: C25/30, A00 a) Calcule as armaduras transversais admitindo, para inclinação das bielas de compressão, ângulos de 30 e 45. b) Verifique, para ambas as situações, a tensão máxima de compressão nas bielas. c) Calcule, para ambas as situações, os efeitos na armadura longitudinal. RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5 ALÍNEA A) 1. Determinação dos esforços p sd = γ g g + γ q q = 1.5 (12 + 25) = 55.5 kn/m M Sd = pl2 8 = V Sd = 55.5 5 2 55.5 52 8 = 138.8kNm = 173.4kNm 2. Cálculo das armaduras transversais para θ = 30 z cotg θ = 0.9 d cotg θ = 0.9 0.55 cotg 30 = 0.87m V sd (z cotg θ) = 138.8 0.87 55.5 = 90.5kN 66

A sw s V sd z cotg θ f = 90.5 yd 0.87 348 10 3 10 4 = 3.0 cm 2 /m 3. Cálculo das armaduras transversais para θ = 45 z cotg θ = 0.9 0.55 cotg 45 = 0.5m V sd (z cotg θ) = 138.8 0.5 55.5 = 111.1kN A sw s = 111.1 348 10 3 0.5 = 6.39cm2 /m ALÍNEA B) i) θ = 30 σ c = V sd 0.9 d b w sen θ cos θ = 90.5 0.3 0.5 sen 30 cos 30 = 1393kN/m2 ii) θ = 45 σ c = 111.1 0.3 0.5 sen 45 cos 45 = 1481kN/m2 σ c < 0.6 f cd = 0.6 16.7 10 3 = 10020kN/m 2 Cálculo do máximo esforço transverso que pode ser aplicado sem esmagar o betão i) θ = 30 V máx Rd = 0.6 f cd b w z cosθ senθ = 0.6 16.7 10 3 0.3 0.5 sen 30º cos 30º = 650.8kN ii) θ = 45 V máx Rd = 0.6 16.7 103 0.3 0.5 sen 45º cos 45 = 751.5kN 67

ALÍNEA C) 1. Armadura no apoio de extremidade i) Considerando um apoio pontual b = 0 F s = R 2 cotg θ θ = 30 F s = 138.8 2 θ = 45 F s = 138.8 2 cotg 30 = 120.2kN cotg 45 = 69.4kN ii) Considerando a largura do apoio F s = 1.2 R = 1.2 138.8 = 166.6kN A s F s f yd = 166.6 348 10 3 10 4 = 4.79cm 2 Comentário: menor θ maior área de armadura nos apoios 2. Cálculo do comprimento de translacção θ = 30 x = z 2 θ = 45 x = z 2 cotg θ = 0.5 2 cotg θ = 0.5 2 cotg 30 = 0.43m cotg 45 = 0.25m Comentário: menor θ maior comprimento de translacção 68

3.6. AMARRAÇÃO DE ARMADURAS 3.6.1. Comprimento de amarração Considere-se um varão de aço embebido, num determinado comprimento, no interior de um bloco de betão, conforme ilustrado na figura seguinte. fbd Fs = As fyd lb f bd tensão de aderência É possível definir o valor do comprimento necessário l b para que, quando o varão for submetido à máxima força de tracção que suporta, não haja escorregamento entre os dois materiais. Deste modo, F Rc F s A c f bd F s, onde A c = π φ l b e representa a área de betão em contacto com a armadura. A c f bd F s π φ l b f bd = A s f yd π φ l b f bd = π φ2 4 f yd De onde resulta l b = φ 4 f yd f bd (Comprimento de amarração base) O valor da tensão de aderência (f bd ) depende de vários factores: Características de aderência da armadura (alta varões nervurados -, ou normal varões lisos); Classe do betão Condições de betonagem (boas condições ou más condições) 69

O comprimento de amarração necessário pode ser calculado através da expressão onde, l b,net = l b α 1 A s,cal. A s,ef. α 1 é um coeficiente que tem em conta o tipo de amarração e toma o valor 1.0 para amarração recta e 0.7 para amarração curva (cotovelo ou gancho); O quociente A s,cal. A s,ef. entra em linha de conta com a proporção da tensão instalada na armadura relativamente à tensão de cálculo. 10φ 100mm L b.net 0.3L b varões traccionados 0.6L b varões comprimidos Condições de betonagem (aderência) Os varões dizem-se em condições de boa aderência se verificarem uma das seguintes condições: formem com a horizontal um ângulo entre 45º e 90º; estejam integrados em elementos com espessura (na direcção da betonagem) inferior a 25 cm; quando a espessura excede 25 cm, os varões estão em boas condições de aderência se se situarem na metade inferior do elemento ou a mais de 30 cm da sua face superior. 70

EXEMPLO Calcular o comprimento de amarração necessário de um varão φ16 solicitado por uma força de 45kN. Materiais: C25/30 lb,net A400NR 45 kn RESOLUÇÃO: C25/30 lb = 30φ = 30 1.6 = 48cm Amarração recta Alta aderência α 1 = 1 Boas cond. de betonagem (Quadro do artigo 81º do REBAP) A s.ef = 2.01cm 2 A s.cal = 45 34.8 = 1.29cm2 L b.net = l b α 1 A s.cal. A s.ef. = 48 1 1.29 2.01 = 30.8 cm 71

3.6.2. Comprimento de emenda As emendas dos varões das armaduras ordinárias devem, se possível, ser evitadas e caso sejam necessárias, devem ser efectuadas em zonas em que os varões estejam sujeitos a tensões pouco elevadas. As emendas de varões podem ser realizadas por sobreposição, por soldadura, ou por meio de dispositivos mecânicos especiais (acopladores, por exemplo) No que se refere às emendas por sobreposição, o comprimento de emenda (l b0 ) deve satisfazer as expressões: lb0 F F (i) Varões comprimidos: l b0 = l b (apenas emendas rectas) (ii) Varões traccionados: l b0 = α 2 l b.net mas l b0 min (20cm;15φ) O valor do coeficiente α 2 depende dos seguintes factores: relação entre a secção dos varões emendados e a secção total dos varões distâncias entre emendas na mesma secção transversal distância da emenda à face lateral da secção Limites ao número de varões a emendar numa secção Varões comprimidos: Sem limitação Varões traccionados Varões de alta aderência: - todos se φ L 16mm - ½ A s se φ L 16mm Varões de aderência normal - ½ A s se φ L 16mm - ¼ As se φ L 16mm Condição para que duas emendas possam ser consideradas em secções diferentes 1.5 lb0 72

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5 (CONT.) ALÍNEA D) (Pormenorização da armadura longitudinal, considerando-se θ = 30 ) 1. Cálculo da armadura necessária a meio vão M sd = 173.4kNm µ = M sd bd 2 f = 173.4 cd 0.3 0.55 2 16.7 10 3 = 0.114 ω = 0.124 A s = ω b d f cd f yd = 9.84cm2 Adoptam-se 2φ16 + 2φ20 (10.3cm 2 ) Visto que A apoio s 4.79cm 2, é possível dispensar 2φ16 2. Cálculo do M Rd correspondente a 2φ20 (6.28cm 2 ) ω = A s b d f yd f cd = 6.28 10-4 0.3 0.55 348 16.7 = 0.079 µ = 0.075 M Rd = µ b d 2 f cd = 0.075 0.3 0.55 2 16.7 10 3 = 113.7kNm 3. Determinação da secção de dispensa de armadura 55.5 kn/m M(x) = 138.8 x 55.5 x2 2 = = 138.8 x 27.75x 2 DMF 138.8 kn 138.8 kn x M sd = M Rd 138x - 27.75x 2 = 113.7 x = 3.97m x = 1.03m M(x) (+) l b,net = l b α A s,cal. 1 A = 30φ A s,cal. s,ef. A = 30 0.016 6.28 s,ef. 10.3 = 0.29m a L = z 2 cotg θ = 0.43m Secções de dispensa de armadura: x 1 = 1.03 a L L b.net = 1.03 0.43 0.29 = 0.31m x 2 = 3.97 + a L + L b.net = 3.97 + 0.43 + 0.29 = 4.69m 73

EXERCÍCIO 6 Para a estrutura já analisada no Exercício 3 determine: a) As armaduras transversais necessárias ao longo da viga b) A distribuição de armaduras longitudinais ao longo da viga c) Pormenorize as armaduras na viga RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 6 ALÍNEA A) 1. Determinação do esforço transverso solicitante p=1 kn/m 10.00 3.00 DEV [kn] 4.55 (+) 3.0 (+) (-) 5.45 Considerando alternância de sobrecarga, p=1 kn/m DEV [kn] 5.0 (+) (-) 5.0 p=1 kn/m DEV [kn] ( ) 3.0 0.45 (+) V A sd = 1.5 (28.25 4.55) + 1.5 (12 5) = 282.8kN 74

V B.esq sd V B.dir sd = 1.5 (28.25 5.45) + 1.5 (12 5.45) = 392.0kN = 1.5 (28.25 + 12) 3 = 181.1kN i) Envolvente do diagrama de esforço transverso 282.8 (+) 181.1 (+) 282.8 329.0 181.1 (-) 329.0 ii) Determinação de V sd (z cotg θ) Considerando θ = 30, d = 0.80m ; z 0.9 d = 0.72 m z cotg θ = 0.72 cotg 30 = 1.25 m V sd,a (z cotg θ) = 282.8 60.4 1.25 = 207.3 kn V sd,b esq (z cotg θ) = 329 60.4 1.25 = 253.5 kn V sd,b dir (z cotg θ) = 181.1 60.4 1.25 = 105.6 kn 2. Verificação das compressões i) Bielas comprimidas σ máx c = V sd (z cotg θ) z b w senθ cosθ = 253.5 0.72 0.30 sen 30 cos 30 = 2710.3kN/m2 2.7MPa 0.6 f cd = 0.6 16.7 = 10.02MPa σ máx c 0.6 f cd ii) Apoio σ c = R A ap 0.85 f cd R B = 329.0 + 181.1 = 510.1kN sd σ c = 510.1 0.3 0.3 = 5667.8kN/m2 5.7MPa 0.85 f cd = 0.85 16.7 = 14.2MPa 75

3. Cálculo da armadura transversal nos apoios i) Apoio A A sw s = V sd (z cotg θ) z cotg θ f yd = 207.3 0.72 cotg 30 348 10 3 10 4 = 4.78cm 2 /m ii) Apoio B (esq.) A sw s = 253.5 0.72 cotg 30 348 10 3 10 4 = 5.84cm 2 /m iii) Apoio B (dir.) A sw s = 105.6 0.72 cotg 30 348 10 3 10 4 = 2.43cm 2 /m iv) Cálculo da armadura mínima (A400) ρ w,min = 0.10 A sw s min 1 b w 100 = 0.10 A sw s min = 0.10 0.30 100 10 4 = 3.0cm 2 /m (adoptam-se estribos φ8//0.25) 4. Determinação da zona da viga em que se adopta (A sw /s) min i) Cálculo de V Rd, min Estribos φ8//0.25 4.02 cm 2 /m V Rd = A sw s z cotg θ f yd = 4.02 10-4 0.72 cotg 30 348 10 3 = 174.5 kn 174.5 282.8 1 60.4 329.0 181.1 x1 x2 x 1 = 282.8-174.5 60.4 = 1.79m x 2 = 329-174.5 60.4 = 2.56m 76

ALÍNEA B) A apoio s 4φ16 + 2φ12; A vão s 6φ25 1. Cálculo do comprimento de translacção a L = z 2 cotg θ = 0.72 2 cotg 30 = 0.62m 2. Armadura inferior i) Plano de dispensas: 6φ25 4φ25 2φ25 ii) Capacidade resistente da viga após as dispensas Armadura A s [cm 2 ] ω µ M Rd [knm] 4φ25 19.63 0.170 0.154 493.8 2φ25 9.82 0.085 0.080 256.5 x2 x1 x4 x3 272.0 256.5 256.5 493.8 493.8 660.2 iii) Cálculo das coordenadas x Carregamento correspondente ao máximo momento no vão sc=12.0 kn/m cp=28.3 kn/m 10.00 3.00 DMF [knm] 282.8 kn (-) (+) x 77

60.4 kn/m x M(x) M(x) = 282.8 x 60.4 x2 2 = 282.8 x 30.2x2 282.8 kn M Sd = 493.8kNm 282.8 x 30.2 x 2 = 493.8 x 3 = 7.04m x 2 = 2.32m M Sd = 256.5kNm 282.8 x 30.2 x 2 = 256.5 x 4 = 8.35m x 1 = 1.02m iv) Cálculo dos comprimentos para dispensa da armadura Dispensa de 6φ25 4φ25 x 2 = x 2 a L L b.net = 2.32 0.62 0.50 = 1.20 m x 3 = x 3 + a L + L b.net = 7.04 + 0.62 + 0.50 = 8.16 m C25/30; A400NR boas condições de aderência L b = 30φ = 30 0.025 = 0.75m l b,net = l b α 1 A s,cal. A s,ef. = 30φ A s,cal. A s,ef. = 0.75 4 6 = 0.50 m Dispensa de 4φ25 2φ25 x 1 = x 1 a L L b.net = 1.02 0.62 0.38 = 0.02 m x 4 = x 4 + a L + L b.net = 8.35 + 0.62 + 0.38 = 9.35 m l b,net = l b α 1 A s,cal. A s,ef. = 30φ A s,cal. A s,ef. = 0.75 2 4 = 0.38 m v) Verificação da armadura no apoio 1) Considerando pilares 0.30 0.30 [m 2 ]: F T = R cotgθ 1 = R 0.5 b z + 0.5 cotgθ = 282.8 0.5 0.30 0.72 + 0.5 cotg 30 =303.8kN A s = 303.8 348 10 3 10 4 = 8.73cm 2 < As (4φ25) = 19.63cm 2 78

2) Considerando indirectamente a dimensão do pilar F T = 1.2 R = 1.2 282.8 = 339.4 kn As = 9.75cm2 < 19.63cm 2 3) Considerando um apoio pontual F T = R 2 cotgθ 1 = 282.8 2 cotg 30 = 244.9kN A s = 7.04cm 2 < 19.63cm 2 3. Armadura superior i) Plano de dispensas: 4φ16 + 2φ12 4φ16 2φ16 ii) Capacidade resistente da viga após as dispensas Armadura A s [cm 2 ] ω µ M Rd [knm] 4φ16 8.04 0.070 0.066 211.6 2φ16 4.02 0.035 0.034 109.0 272.0 211.6 211.6 109.0 109.0 x2 x1 x4 x3 iii) Cálculo das coordenadas x Carregamento correspondente ao máximo momento negativo no apoio e no vão à esquerda do apoio: sc=12.0 kn/m cp=28.3 kn/m p consola sd p vão sd = 60.4kN/m = 1.5 28.25 = 42.4kN/m 79

V dir = 3.0 (12 + 28.25) 1.5 = 181.1kN sd V esq sd = (5.45 28.25 + 0.45 12.0) 1.5 = 239.0kN Consola 272 knm 181.1 kn x 60.4 kn/m Msd(x) M sd (x) = 60.4 x x 2 181.1 x + 272.0 = 30.2x 2 181.1x + 272.0 M sd = 211.6kNm 30.2 x 1 2 181.1x 1 + 272.0 = 211.6 x 1 = 0.35 m M sd = 109.0kNm 30.2 x 3 2 181.1x 3 + 272.0 = 109.0 x 3 = 1.10 m Vão Msd(x) x 42.4 kn/m 272 knm 239.0 kn M sd (x) = 42.4 x x 2 21.2x 2 239x + 272.0 M sd = 211.6kNm 21.2 x 2 2 239 x 2 + 272.0 = 211.6 x 2 = 0.26 m M sd = 109.0kNm 21.2 x 4 2 239 x 4 + 272.0 = 109.0 x 4 = 0.73 m M sd = 0 21.2 x 5 2 239 x 5 + 272.0 = 0 x 5 = 1.28 m 239.0 x + 272.0 = 4) Cálculo dos comprimentos para dispensa da armadura Dispensa de 4φ16 + 2φ12 4φ16 x 1 = x 1 + a L + L b.net = 0.35 + 0.62 + 0.42 = 1.39 m x 2 = x 2 + a L + L b.net = 0.26 + 0.62 + 0.42 = 1.30 m L b.net = 45φ A s,cal. A s,ef. = 45 0.012 8.04 8.04 + 2.26 = 0.42 m Dispensa de 4φ16 2φ16 x 3 = x 3 + a L + L b.net = 1.10 + 0.62 + 0.36 = 2.08 m x 4 = x 4 + a L + L b.net = 0.73 + 0.62 + 0.36 = 1.71 m x 5 = 1.28 + 0.62 + 0.22 = 2.12m L b.net = 45φ A s,cal. A s,ef. = 45 0.016 2/4 = 0.36 m L b.min = 0.3 45φ = 0.3 45 0.016 = 0.22 m 80

3.7. ARMADURA DE LIGAÇÃO BANZO-ALMA Na figura seguinte ilustra-se a degradação das tensões de compressão da alma, para o banzo de uma viga em T. z cotg θ1 Fc' θ2 fc' fc z θ1 Fc z cotg θ1 onde, f c representa força distribuída nas bielas comprimidas da alma f c representa a força distribuída nas bielas comprimidas do banzo F c e F c representam as resultantes das forças distribuídas nessas bielas Em planta, z cotg θ1 F ' c = F c 2 cos θ 1 1 cos θ 2 Fc' F T = F ' c sen θ 2 = F c 2 cos θ 1 sen θ 2 cos θ 2 = Fc cos θ1 θ2 FT = F c 2 tg θ 2 cos θ 1 A sf = F T f A sf syd s = F T z cotg θ 1 f yd = F c sen θ 1 2 z cotg θ 2 f yd Como F c = V sen θ A sf 1 s = V 2 z cotg θ 2 f yd θ 1 =θ 2 A armadura de ligação banzo-alma é metade da armadura de esforço transverso A sf s = 1 2 A sw s Nota: Numa viga pertencente a uma laje vigada, a armadura da laje é normalmente suficiente para absorver as forças de tracção na ligação banzo-alma. 81

3.8. ARMADURA DE SUSPENSÃO 3.8.1. Apoios indirectos 1 P 2 h1 1 V 2 h2 A viga transmite as cargas à viga através das bielas comprimidas. A carga transmitida à viga principal terá de ser transmitida para a face superior através de estribos de suspensão A s = V f yd Se as faces superiores das duas vigas estiverem ao mesmo nível, a área da secção dos estribos de suspensão pode ser reduzida de acordo com a seguinte expressão: F T = h 2 h V 1 A s = F T Nota: A armadura calculada deve ser adicionada à armadura de esforço transverso. f yd A distribuição dos estribos de suspensão deve ser feita da seguinte forma: máx(b2;h1) 1 b2 2 82

3.8.2. Cargas suspensas A carga tem que ser transmitida para a face superior da viga através de uma armadura de suspensão. A armadura é dimensionada para absorver a totalidade da carga suspensa. A s F s f yd, F s carga suspensa 83

EXERCÍCIO 7 Considere a estrutura da figura seguinte: sc cp S2 S1 3.50 10.00 3.50 0.20 0.20 Materiais: C20/25, A400 1.00 Acções: pp + revest. = 20.0 kn/m sobrecarga = 40.0 kn/m 1.00 0.15 Coeficientes de majoração: γ G = γ Q = 1.5 a) Para a estrutura já analisada no Exercício 4, verifique a segurança ao Estado Limite Último de Esforço Transverso e pormenorize as armaduras transversais na secção. 84

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 7 ALÍNEA A) 1. Verificação da segurança ao E.L.U. de Esforço Transverso i) Determinação de V sd p sd = 1.5 (20 + 40) = 90kN/m DET [kn] 450.0 (+) (-) 315.0 315.0 (-) (+) 450.0 θ = 30º z cotg θ = 0.9 0.95 cotg 30 = 1.48m V sd, dir (z cotg θ) = 450 1.48 90 = 316.8.5kN V sd, esq (z cotg θ) = 315 1.48 90 = 181.8kN ii) Verificação das compressões na alma σ c = V sd (z cotg θ) z b w sen θ cos θ = 316.8 0.9 0.95 0.40 sen 30 cos 30 = 2139.2kN/m2 0.6 f cd = 0.6 13.3 10 3 = 7980kN/m 2 > σ c iii) Cálculo da armadura transversal junto aos apoios A sw s = V sd (z cotg θ) z f yd cotg θ A sw s dir = 316.8 1.48 348 10 3 10 4 = 6.15cm 2 /m A sw s esq = 181.8 1.48 348 10 3 10 4 = 3.53cm 2 /m 85

2. Cálculo da armadura de suspensão Nota: Admite-se que a sobrecarga está a actuar no banzo inferior cp* = cp pp almas = 20 (0.20 1.0 2) 25 = 10kN/m Força de suspensão: F s = 1.5 (10 + 40) = 75.0kN/m cp*+sc A s s = suspensão 75.0 348 10 3 10 4 = 2.16cm 2 /m (a adicionar à armadura de esforço transverso) A s s A s s dir TOT esq TOT = A sw s = A sw s dir esq + + A s s = 6.15 + 2.16 = 8.31cm 2 /m susp A s s = 3.53 + 2.16 = 5.69m susp 3. Cálculo da armadura transversal mínima A sw s min = 4cm 2 /m 4. Cálculo da armadura de ligação banzo-alma A sf s = V sd 2 z cotg θ 2 f syd θ 1 = θ 2 A sf s = 1 2 A sw s A dir s 6.15 s = 2 = 3.08cm 2 /m ; A esq s 3.53 s = 2 = 1.77cm 2 /m 86

5. Armadura transversal de flexão no banzo cp* + sc = 10 + 40 = 50 kn/m cp*+sc p sd = 1.5 50 / 0.6 = 125.0 kn/m 2 0.80 0.80 pl 2 /12 pl 2 12 µ= = 125 0.802 12 = 6.7kN/m M sd b d 2 f = 6.7 cd 1.0 0.12 2 13.3 10 3 = 0.035 ω = 0.037 pl 2 /24 A s =ω b d f cd f yd = 0.037 1.0 0.12 13.3 348 104 = 1.70cm 2 /m (A stot /ramo) dir = (A stot /ramo) esq = 3.08 2 + 1.70 = 3.24cm 2 /m 1.77 2 + 1.70 = 2.59cm 2 /m 87

3.9. SECÇÕES COM LARGURA VARIÁVEL Nos casos em que as secções apresentam largura variável, b w considera-se como a menor largura numa zona compreendida entre a armadura traccionada e ¾ da altura útil bw bw 3/4 d d No caso de secções circulares, poderá considerar-se uma secção rectangular equivalente, com as seguintes características: AsL AsL/2 de D be 0.9D de = 0.45 D + 0.64 d - D 2 (expressão aferida experimentalmente) 3.10. ARMADURA INCLINADA Nos casos em que a armadura de esforço transverso for constituída por armadura inclinada (e não vertical), há que ter em conta esse facto no modelo de treliça, já que a armadura se destina a absorver as tensões de tracção representadas pelos tirantes, conforme se ilustra na figura abaixo θ α Fs V z z cotg θ z cotg α bielas comprimidas tirantes z cotg θ + z cotg α 88

F A sw f yd V sd sen α A sw V sd sen α 1 f yd Fs α Vsd A sw s A sw s = = V sd sen α 1 z (cotg θ + cotg α) 1 f yd V sd z (cotg θ + cotg α) sen α f yd F c = F s cos α = V cotg α Barras horizontais: Fs α θ Ft Fc F T = F s cos α + F c cos θ = V sd sen α F T = V sd (cotg θ + cotg α) cos α + V sd sen θ cos θ 3.11. CARGAS CONCENTRADAS JUNTO AO APOIO As cargas que actuam junto ao apoio podem ser transmitidas directamente para este, através de uma biela inclinada (a < z/2) P a As cargas afastadas do apoio são transmitidas pelo mecanismo de treliça (a > 2z) P a Numa zona intermédia, parte da carga é transmitida directamente para o apoio e a outra parte é transmitida pelo mecanismo de treliça. 89

3.11.1. Regras de dimensionamento a < z/2 A carga é transmitida directamente para o apoio (não é necessário acréscimo de armadura transversal). a > 2 z A carga é totalmente transmitida pelo mecanismo de treliça (considerar a totalidade do esforço transverso relativo à carga concentrada) z/2 < a < 2 z Para o dimensionamento da armadura transversal apenas deve ser considerada uma parcela da carga: P 1 = 2a z - 1 1 3 P 90

EXERCÍCIO Considere a estrutura seguinte. P 0.65 0.40 0.40 0.40 0.40 5.00 Calcule as armaduras transversais necessárias, considerando apenas a actuação da carga P sd = 300kN. 91