Universidade Federal do Rio de Janeiro

Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matemática Departamento de Matemática Lista 4 de Modelagem Matemática-PROFMAT 1. Fazer uma análise crítica das Listas 2 e 3 de Exercícios, apontando sua avaliação, com justificativas, dos seguintes itens: (i) clareza na redação; (ii) objetividade da redação; (iii) os exercícios estão/não estão em ordem crescente de dificuldade; (iv) os exercícios abordam todos os conceitos e propriedades apresentados no curso ou não; (v) o melhor e o pior exercício de cada lista; (vi) sugestão de exercícios importantes que não foram incluídos. 2. Apresentar uma lista (justificando o porquê das escolhas) de 3 tópicos de Matemática do Ensino Médio que são mais pobres de problemas contextualizados que necessitam de modelagem matemática. Esta pobreza é para ser entendida no seguinte sentido: livros didáticos e outros materiais fornecidos não têm/ têm muito pouco/ têm em quantidade suficiente, mas são exercícios forçados. Sugerir algum problema de modelagem para um dos tópicos, de preferência aquele em que a situação for a pior, na sua opinião. 3. Considere os seguintes dados: numa campanha de preservação do meio ambiente, uma prefeitura dá desconto na conta de água em troca de latas de alumínio e garrafas de plástico (PET) arrecadadas. Para um kg de alumínio, o desconto é de dois reais e noventa centavos na conta de água, para um kg de plástico, o desconto é de dezessete centavos. Formule um problema a partir destes dados, que seja plausível, isto é, que possa ocorrer com uma família que saiba dos dados. O problema deve necessitar de Modelagem Matemática( de preferência recair em Sistemas Lineares ou Programação Linear) para resolver. 4. Considere os seguintes dados: João recebeu uma indenização no valor de 25000 reais. Investiu uma parte no 1

mercado de ações, a segunda parte em renda fixa e a terceira num fundo de aposentadoria. Depois de um ano ele recebeu um total de 1620 reais de lucro, das três aplicações. O fundo de ações pagou 6% ao ano, o de renda fixa 7% e o de aposentadoria complementar 8%. Formule um problema a partir destes dados, que seja plausível, isto é, que possa realmente ocorrer com João. O problema deve necessitar de Modelagem Matemática( de preferência recair em Sistemas Lineares ou Programação Linear) para resolver. 5. Considere os seguintes dados: Fernando foi a um caixa eletrônico e fez um saque em cédulas que incluem de cinquenta e de cem. Formule um problema a partir destes dados, que seja plausível, isto é, que possa realmente ocorrer com Fernando, ou com uma pessoa que esteja vendo a retirada de Fernando. O problema deve necessitar de Modelagem Matemática( de preferência recair em Sistemas Lineares ou Programação Linear) para resolver. 6. Modelar e, quando possível, resolver, os dois problemas a seguir: (a) Três objetos estão ligados um ao outro por fios inextensíveis e de inércia desprezível, de modo que um deles, o objeto B, está em cima de uma mesa horizontal, perfeitamente lisa, e os objetos A e C, ligados ao outro por fios, estão suspensos no ar, de duas extremidades opostas da mesa, por polias. Não há atrito entre os fios e as polias. Os objetos A, B e C têm massas respectivas iguais a 5kg, 2kg e 3kg. A aceleração da gravidade é tomada como, aproximadamente igual a 10m/s 2. Determine a aceleração do sistema de objetos e as trações nos fios, sendo T 1 a tração no fio que une os objetos A e B e T 2 a tração no fio que une os objetos B e C, supondo que o sistema parte do repouso. (b) Uma empresa de petróleo possui uma refinaria no norte e 2 unidades de produção de óleos lubrificantes, uma no norte, junto da refinaria, e uma no sul. Estas duas unidades de produção fabricam 2 tipos de óleo: O Normal e o Super, cuja composição é a seguinte: o Normal tem volume 80% de óleo 2

base proveniente da refinaria e 20% de aditivo, comprado em fornecedor; o Super tem volume 60% de óleo base e 40% de aditivo. As duas unidades de produção têm uma capacidade de produção de 2000 horas por ano cada uma, e se dividem pela produção dos 2 tipos de óleo lubrificante, com o rendimento de produção (em litros/hora) da unidade norte sendo de 1800, para produzir o Normal e de 1600, para produzir o Super. Já na unidade sul, o rendimento é de 2000, para produzir o Normal e 1500 para produzir o Super. Cada hora de produção da unidade norte tem um encargo de 1000 dólares e, na unidade sul, de 900 dólares. O óleo base é produzido na refinaria (junto à unidade norte), com um custo de 2 dólares o litro. O seu transporte para a unidade de produção sul acarreta um custo adicional de 0,2 dólares/litro. A refinaria tem uma capacidade de produção de 6 milhões de litros de óleo base por ano. Quanto ao aditivo, é adquirido de um fornecedor a 15 dólares o litro. Cada litro de óleo lubrificante é vendido pela empresa a 6 dólares/litro e 7 dólares /litro, os tipos Normal e Super, respectivamente. O mercado tem capacidade anual para absorver 3 milhões de litros de óleo Normal e 2,5 milhões de litros de óleo Super. (a) Formule um PPL para maximizar a receita das vendas; (b) Qual a função objetivo se o objetivo for maximizar o lucro? 7. Modelar e, quando possível, resolver, os dois problemas a seguir: (a) No estudo da transferência de calor, uma consideração importante é determinar a distribuição assintótica de temperatura( ou seja, para que valores tende a temperatura em equilíbrio) em uma placa fina retangular (espessura desprezível), quando a temperatura no seu bordo é conhecida. Suponha que em uma placa as laterais do bordo estão mantidas a 20 0 (lados horizontais), a 10 0 (face vertical do lado esquerdo) e a 40 0 (face lateral do lado direito). Suponha que a placa é dividida, utilizando-se retas paralelas aos lados, em 12 retângulos, com 14 vértices sobre o bordo e 6 vértices internos à placa. A partir de leis físicas, sabe-se que a temperatura em cada um desses vértices é aproximadamente igual à média das temperaturas dos 4 vértices vizinhos mais 3

próximos-à esquerda, acima, à direita, abaixo. Determine a temperatura em cada um desses 6 vértices internos. (b) Uma agência de correios necessita de um número diferente de funcionários de acordo com o dia da semana: 17 na segunda, 13 na terça, 15 na quarta, 19 na quinta, 14 na sexta, 16 no sábado e 11 no domingo. Por exigência sindical cada funcionário trabalha 5 dias consecutivos e folga 2. Formule um modelo tal que o número de empregados contratados seja o mínimo necessário para atender às necessidades de mão de obra da agência dentro da lei. 8. Modelar e, quando possível, resolver, os dois problemas a seguir: (a) Considere uma mesa de bilhar coberta com papel para esboço de gráficos, com os dois eixos coordenados dividindo a mesa em 4 retângulos iguais. Uma câmera está montada acima da mesa de modo a focalizar toda a sua superfície. A velocidade do obturador da câmera tem um valor fixo, de modo que ele permanece aberto durante um intervalo de tempo t 0 que pode ser aproximadamente igual a 1 segundo, mas não sabemos o seu valor exato, apenas que não muda de uma foto para outra. Suponha que recebemos 3 bolas de bilhar K 0, K 1 e K 2, de cores diferentes e massas respectivas M 0, M 1 e M 2. Suponha M 0 = 50g. Suponha as bolas K 1 e K 2 inicialmente em repouso, encostadas uma na outra, de modo que ponto de tangência é a origem do sistema de coordenadas e elas tenham seus centros sobre o eixo vertical. Suponha que a bola K 0, situada a 50cm da origem, com centro no eixo horizontal, é impulsionada em linha reta na direção de K 1 e K 2 e nesta hora é tirada a primeira foto. Após a colisão de K 0 com as outras duas, é tirada a segunda foto. K 0 se deslocou com velocidade V 0, antes da colisão e W 0 depois. As bolas K 1 e K 2 estavam em repouso antes da colisão e se deslocam com velocidades respectivas W 1 e W 2 depois. Com a câmera não é possível medir as velocidades, mas é possível medir as distâncias percorridas, de modo que se obtém R 0 = (30, 5), R 1 = (20, 20) e R 2 = (20, 10) como sendo os vetores posição das bolas K 0, K 1 e K 2, respectivamente, após t 0 segundo depois da colisão. Sabe-se que é 4

válida a lei física da conservação do momento linear, isto é, o momento linear antes da colisão, dado pela soma dos produtos das massas pelas velocidades de cada bola é igual ao momento linear depois da colisão. Determine a massa da bola K 1 e da bola K 2. (b) Uma companhia deseja fabricar uma nova liga metálica com 30% de chumbo, 20% de zinco e 50% de estanho, a partir de minérios procedentes de 5 minas diferentes, M 1, M 2, M 3, M 4, M 5. O minério M 1 tem 30% de chumbo, 60% de zinco e 10% de estanho e custa 8,5 reais o quilo. M 2 tem 10% de chumbo, 20% de chumbo e 70% de estanho, custando 6 reais o quilo. O minério M 3 tem 50% de chumbo, 20% de zinco e 30% de estanho, custando 8,0 reais o quilo. O minério M 4 tem 10% de chumbo, 10% de zinco e 89% de estanho, custando 5,7 reais/kg e M 5 tem 50% de chumbo, 10% de zinco e 40% de estanho, custando 8,8 reais/kg. Quais as proporções dos 5 minérios que devem ser misturadas para produzir a nova liga, com o menor custo possivel? 9. Modelar e, quando possível, resolver, os dois problemas a seguir: (a) Três proprietários de casas, um pedreiro, um eletricista e um bombeiro hidráulico querem fazer obras em suas respectivas casas. Eles concordam em trabalhar 10 dias cada um, de acordo com o seguinte esquema (ex. a linha 1 representa o número de dias de trabalho utilizados para reformar a cada do pedreiro por cada um dos profissionais): Pedreiro Eletricista B.Hidráulico Pedreiro 2 1 6 Eletricista 4 5 1 B.Hidráulico 4 4 3 Para efeito de impostos, eles devem declarar e pagar um ao outro um salário diário razoável, mesmo para o trabalho que cada um faz em sua própria casa. Seus salários diários normais são cerca de 100, mas eles concordam em ajustar seus respectivos salários/dia de modo que saiam empatados, ou seja, o total pago por cada operário é igual ao total recebido por cada operário. 5

i. Determine qual deve ser o salário diário de cada um, de modo que fiquem o mais próximo possível de seus salários/dia habituais. ii. A partir da modelagem para este problema particular, elabore uma fórmula geral de modelagem para problemas similares. (b) Um fazendeiro tem 200 hectares(ha) de área de terra, onde planeja cultivar trigo, arroz e milho. A produção esperada é de 1,8 T (tonelada)/ha de área plantada com trigo, 2,1 T/Ha de área plantada com arroz e de 2,9T/Ha de área plantada com milho. Para atender o consumo interno de sua fazenda ele deve plantar, pelo menos 12Ha de trigo, 16Ha de arroz e 20Ha de milho. Ele tem condição de armazenar, no máximo, 700T de grãos. O trigo dá um lucro de 1,20 reais/kg, o arroz de 0,60 reais/kg e o milho, de 0,28 reais/kg. Quantos hectares de cada produto ele deeve plantar para ter lucro máximo? 10. Modelar e, quando possível, resolver, os dois problemas a seguir: (a) Uma cidade americana, no século XIX, tinha 3 indústrias: uma mina de carvão, uma usina elétrica e uma ferrovia local. Para produzir um dolar de carvão a mina precisa pagar vinte e cinco centavos de eletricidade para a usina, para seus equipamentos e vinte e cinco centavos para a ferrovia, para suas necessidades de transporte. Para produzir um dólar de eletricidade, a usina requer sessenta e cinco centavos de carvão como combustível, cinco centavos de sua própria eletricidade para equipamento auxiliar e cinco centavos de gastos com a ferrovia para suas necessidades de transporte. Para fornecer um dolar de transporte a ferrovia gasta cinquenta e cinco centavos com carvão para combustível e dez centavos com eletricidade para seu equipamento auxiliar. Numa certa semana a mina recebe pedidos no valor de cinquenta mil dolares em carvão para fora da cidade e a usina recebe um pedido de vinte e cinco mil dólares também para fora da cidade. Não há demanda externa para a ferrovia. i. Quanto cada uma das três deve produzir naquela semana para atender exatamente suas próprias necessidade e a demanda externa? 6

ii. A partir da modelagem para este problema particular, elabore uma fórmula geral de modelagem para problemas similares. (b) Uma companhia de aviação pretende comprar 3 tipos de aviões de passageiros novos: T 1, para curtas distâncias (ponte-aérea), que custa 3,5 milhões de dólares (M), T 2, para vôos domésticos de média distância, que custa 5M e T 3, para vôos internacionais de longa distância, que custa 6,7M. A diretoria autorizou um gasto máximo de 150M na compra total. A procura por transporte aéreo faz prever que os aviões vão estar sempre lotados. Estima-se que o lucro anual líquido será de 0,42M para cada avião T 3, 0,30M para cada avião T 2 e 0,23M para cada avião T 1. A companhia terá pilotos treinados para pilotar, no máximo, 30 novos aviões. Se comprarem somente avião T 1, a divisão de manutenção tem disponibilidade para cuidar de, no máximo, 40 novos aviões. Cada avião T 2 precisa de 1/3 a mais de manutenção do que T 1 e o T 3 precisa de 2/3 a mais de manutenção que T 1. Esta é apenas uma análise preliminar, mas a diretoria deseja uma estimativa de quantos aviões de cada tipo devem ser comprados de forma a maximizar o lucro. 11. Com respeito aos 5 últimos problemas duplos, deve ser feito o seguinte: (i) cada grupo de 2 alunos vai ficar responsável por cada um dos problemas duplos; (ii) cada grupo deve montar uma aula para cada um, cujo público alvo seja de alunos do Ensino Médio; (iii) objetivo inicial de cada aula será modelar/resolver cada problema; (iv) objetivo adicional seja induzir os alunos a criar problemas, a partir de observações do seu cotidiano, de tópicos de outras disciplinas do Ensino Médio e de notícias de jornal; (v) tarefas para ajudar/ dar sugestões aos alunos devem ser apresentadas ao final de cada aula. As aulas deverão ser entregues digitadas, no formato Plano de Aula, incluindo motivação, histórico do problema, aspectos teóricos supostos já abordados em aulas anteriores, aspectos teóricos a serem abordados, técnicas que serão usadas para obter adesão/participação ativa dos alunos, tarefas para casa individuais, sugestão de trabalhos em grupo, etc. Também terão que ser apresentadas em sala (no curso de Modelagem), usando powerpoint. 7