x + 2y 3z = 0. Determine o(s) valor(es) do 4x + y + (a 2 14)z = a + 2 número real a para que o sistema tenha 2 sen α cos β + 3 tg γ = 3

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1 UMA INTRODUÇÃO À MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO - Lista 2 x + 2y 3z = 0 1. Considere o sistema 3x y + 5z = 2. Determine o(s) valor(es) do 4x + y + (a 2 14)z = a + 2 número real a para que o sistema tenha (a) nenhuma solução. (b) uma única solução. (c) uma infinidade de soluções. 2 sen α cos β + 3 tg γ = 3 2. Resolva o sistema 4 sen α + 2 cos β 2 tg γ = 2 para valores de α, β e γ no 6 sen α 3 cos β + tg γ = 9 intervalo [0, 2π] = 1 x y z 3. Determine x, y e z que satisfaçam o sistema = 0. x y z = 5 x y z 4. Arquimedes foi um brilhante inventor e matemático grego que viveu antes de Cristo. Certa vez ele recebeu um pedido de um rei. Este queria saber se sua coroa era realmente de outro puro, como tinha sido afirmado por seu ourives. Só que não seria permitido danificar a coroa. Arquimedes descobriu o volume da coroa usando o seguinte recurso. Mergulhou-a num tanque de 20cm de comprimento por 14 cm de largura, que estava cheio de água até a altura de 16 cm. Com a coroa dentro do tanque, a altura de água mudou para 16,5 cm. Pesando a coroa ele obteve um total de 2 kg. Ele sabia que o volume de 1kg de ouro é de 50cm 3, então ele pode responder a pergunta feita pelo rei. (a) Determine qual foi o volume da coroa e responda se ela toda de ouro ou não, e porque. 1

2 (b) Suponha que a coroa fosse feita de ouro e prata. O volume de 1kg de prata é 100cm 3. Descubra qual a quantidade de ouro e qual a quantidade de prata que seriam usados na coroa. 5. Criminosos sequestraram o gato de uma cantora e exigiram um resgate de 9450 reais, que deveria ser pago unicamente em notas de 100 e de 50, num total de 120 notas. (a) Quantas notas de cada tipo os sequestradores pediram? (b) As quantidades pedidas visavam permitir que os criminosos dividissem igualmente cada tipo de notas. O que se pode concluir sobre os conhecimentos de Matemática dos criminosos? 6. (OBMEC) Um aluno criativo inventou um quadrado mágico (tipo SUDOKU) que tem as seguintes propriedades: todos os números dos campos livres são números inteiros; em cada linha, coluna ou diagonal, o número do meio é a média aritmética dos outros dois. Qual o valor da soma dos números que apareceram nas casas com sinal de interrogação?? 7 9? (UF-Go) Um caminhão transportou em duas viagens um total de 50 toneladas de soja. Na primeira viagem o caminhão carregado pesou 45 toneladas e na segunda 35 toneladas. Determine a quantidade de soja transportada na primeira viagem e o peso do caminhão vazio. 8. (VUNESP-SP) Numa campanha de preservação do meio ambiente, uma prefeitura dá desconto na conta de água em troca de latas de alumínio e garrafas de plástico (PET) arrecadadas. Para um kg de alumínio, o desconto é de dois reais e noventa centavos na conta de água, para um kg de plástico, o desconto é de dezessete centavos. 2

3 (a) Uma família obteve dezesseis reais e vinte centavos de desconto na conta de água, com a troca de alumínio e garrafas. Se a quantidade (em kg) de plástico que a família entregou foi o dobro da quantidade de alumínio, quanto foi a quantidade de plástico que a família entregou? (b) Formule um problema a partir dos dados gerais, que seja plausível e não forçado e falsamente contextualizado como o do item (a). 9. João recebeu uma indenização no valor de reais. Investiu uma parte no mercado de ações, a segunda parte em renda fixa e a terceira num fundo de aposentadoria. Depois de um ano ele recebeu um total de 1620 reais de lucro, das três aplicações. O fundo de ações pagou 6% ao ano, o de renda fixa 7% e o de aposentadoria complementar 8%. Havia 6000 reais a mais investido em renda fixa do que na previdência complementar. (a) Determine qual a quantia investida em cada tipo de investimento. (b) Formule um problema a partir dos dados gerais, que seja plausível e não forçado e falsamente contextualizado como o do item (a). 10. (UF-Pb) Fernando foi a um caixa eletrônico e fez um saque em cédulas de cinco, dez e vinte reais. Sabe-se que ele retirou 14 cédulas e que a quantia retirada foi a mesma para cada tipo de cédula. (a) Qual a quantia sacada por Fernando? Quantas cédulas de que tipo? (b) Formule um problema a partir de retiradas de caixa eletrônico, em que as opções de notas incluam de cinquenta e de cem. 11. Um biólogo colocou 3 espécies de bactérias, I, II e III, em um tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por e fontes diferentes de alimentos, A, B e C. A cada dia serão colocadas no tubo 1500 unidades de A, 3000 unidades de B e 4500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia: a da espécie I consome 1 unidade de A, 1 de B e 1 de C; a da espécie II consome 1 de A, 2 de B e 3 de C; a da espécie III consome 1 de A, 3 de B e 5 de C. Quantas 3

4 bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? 12. Um comerciante de café vende 3 misturas de grãos. (a) Um pacote com a mistura da casa contém 300g de café colombiano e 200g de café da sumatra. Um pacote com a mistura especial contém 200g de café colombiano, 200g de café da etiópia e 100g de café da sumatra. Um pacote com a mistura gourmet contém 100g de café colombiano, 200g de café da etiópia e 200g de café da sumatra. O comerciante tem 30kg de café colombiano, 15 kg de café da etiópia e 25kg de café da sumatra. Se ele desejar usar todo o estoque de café, quantos pacotes de cada mistura ele deve preparar? (b) Suponha agora que a mistura da casa leva 300g de colombiano, 50g de etíope e 150g da sumatra e a de mistura gourmet leva 100g de colombiano, 350g de etíope e 50g da sumatra e que ele tem em estoque 30kg de colombiano, 15kg de etíope e 15kg da sumatra. Suponha que a mistura da casa dá lucro de cinquenta centavos, a mistura especial dá lucro de um real e cinquenta centavos e a mistura gourmet dá lucro de dois reais. Quantos pacotes de cada tipo ele deve fazer para usar todo o estoque e maximizar o lucro? Quanto será este lucro máximo? 13. O coração da cidade de Metrópolis consiste em 4 ruas de mão única, paralelas duas a duas e que se cruzam perpendicularmente (veja figura 1 no final da lista). O fluxo de tráfego é medido em cada cruzamento, em algumas direções. Durante o horário comercial, quando o trânsito é mais crítico, as medidas médias foram as seguintes: no cruzamento A, o fluxo de veículos que chegam, pelas duas ruas perpendiculares, é de 10 veículos por minuto por cada uma; fluxo de veículos que parte do cruzamento B, e que segue na direção vertical é de 20 veículos por minuto, e na direção horizontal é de 5 veículos por minuto; o cruzamento C, o fluxo que chega na horizontal é de 15 veículos por minuto, e na vertical é de 15 veículos por minuto; finalmente, o fluxo de veículos que parte do cruzamento D é de 15 por minuto na horizontal e de 10 por minuto na vertical. 4

5 (a) Encontre os fluxos desconhecidos. (b) Se o tráfego na rua CD for regulado pelos sinais do quarteirão de modo que o fluxo de C para D seja de 10 veículos por minuto, qual será o fluxo médio nas outras ruas? (c) Quais são os fluxos mínimo e máximo possíveis em cada trecho de rua do primeiro item? (d) De que modo o resultado mudaria se todos os sentidos de fluxo fossem trocados? 14. Uma editora publica um bestseller em potencial com 3 encadernações diferentes: capa mole, capa dura e luxo. Cada exemplar de capa mole necessita de 1 minuto para costura e 2 minutos para cola. Cada exemplar de capa dura necessita de 2 minutos para costura e 4 minutos para cola. Cada exemplar com a encadernação de luxo necessita de 3 minutos para costura e 5 minutos para cola. O local onde são feitas as costuras fica disponível 6 horas por dia e o local onde se cola fica disponível 11 horas por dia. (a) Determine quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia de modo que os locais de trabalho sejam totalmente aproveitados e que todos os três tipos de encadernação sejam obrigatóriamente produzidos. (b) Supondo que o lucro na venda de 1 livro de capa mole é de 2 reais, na venda do de capa dura é de 6 reais e no de encadernação de luxo seja de 20 reais, qual o número de livros de cada tipo que aproveita totalmente os locais de trabalho e dá também o maior lucro? 15. Considere o circuito elétrico denominado ponte de Wheatstone (veja figura 2 no final da lista), onde E = 14V, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, R 3 = 1Ω, R 4 = 2Ω, R 5 = 1Ω. (a) Encontre o valor das correntes i, i 1, i 2, i 3, i 4 e i 5. (b) É possível mudar a resistência somente no ramo DA de modo que a que passa no ramos AC se anule? 5

6 16. Faça o balanceamento das reações químicas abaixo e dê o nome de cada composto químico que aparece: (a) (NH 4 ) 2 CO 3 NH 3 + H 2 O + CO 2 (b) C 2 H 2 Cl 4 + Ca(OH) 2 C 2 H Cl 3 + Ca Cl 2 + H 2 O 17. Deseja-se contruir um circuito (veja figura 3 no final da lista), com E 1 = 280V, E 2 = 100V, E 3 = 50V, R 1 = 20Ω, R 2 = 30Ω, R 3 = 50Ω, R 4 = 40Ω, R 5 = 100Ω. Dispõe-se de uma tabela de preços dos vários tipos de resistência, assim como as correntes máximas que elas suportam sem queimar. De que tipo deve ser escolhida cada resistência, para que o circuito funcione com segurança e sua fabricação seja a de menor custo possível? 20Ω 30Ω 40Ω 50Ω 100Ω 0,5A 10,00 10,00 15,00 15,00 20,00 1,0A 15,00 20,00 15,00 15,00 25,00 3,0A 20,00 22,00 20,00 20,00 28,00 5,0A 30,00 30,00 34,00 34,00 37, Três objetos estão ligados um ao outro por fios inextensíveis e de inércia desprezível, de modo que um deles, o objeto B, está em cima de uma mesa horizontal, perfeitamente lisa, e os objetos A e C, ligados ao outro por fios, estão suspensos no ar, de duas extremidades opostas da mesa, por polias. Não há atrito entre os fios e as polias. Os objetos A, B e C têm massas respectivas iguais a 5kg, 2kg e 3kg. A aceleração da gravidade é tomada como, aproximadamente igual a 10m/s 2. Determine a aceleração do sistema de objetos e as trações nos fios, sendo T 1 a tração no fio que une os objetos A e B e T 2 a tração no fio que une os objetos B e C, supondo que o sistema parte do repouso. 19. No estudo da transferência de calor, uma consideração importante é determinar a distribuição assintótica de temperatura( ou seja, para que valores tende a temperatura em equilíbrio) em uma placa fina retangular (espessura desprezível), quando a temperatura no seu bordo é conhecida. Suponha que em uma placa as laterais do 6

7 bordo estão mantidas a 20 0 (lados horizontais), a 10 0 (face vertical do lado esquerdo) e a 40 0 (face lateral do lado direito). Suponha que a placa é dividida, utilizandose retas paralelas aos lados, em 12 retângulos, com 14 vértices sobre o bordo e 6 vértices internos à placa. A partir de leis físicas, sabe-se que a temperatura em cada um desses vértices é aproximadamente igual à média das temperaturas dos 4 vértices vizinhos mais próximos-à esquerda, acima, à direita, abaixo. Determine a temperatura em cada um desses 6 vértices internos. 20. Considere uma mesa de bilhar coberta com papel para esboço de gráficos, com os dois eixos coordenados dividindo a mesa em 4 retângulos iguais. Uma câmera está montada acima da mesa de modo a focalizar toda a sua superfície. A velocidade do obturador da câmera tem um valor fixo, de modo que ele permanece aberto durante um intervalo de tempo t 0 que pode ser aproximadamente igual a 1 segundo, mas não sabemos o seu valor exato, apenas que não muda de uma foto para outra. Suponha que recebemos 3 bolas de bilhar K 0, K 1 e K 2, de cores diferentes e massas respectivas M 0, M 1 e M 2. Suponha M 0 = 50g. Suponha as bolas K 1 e K 2 inicialmente em repouso, encostadas uma na outra, de modo que ponto de tangência é a origem do sistema de coordenadas e elas tenham seus centros sobre o eixo vertical. Suponha que a bola K 0, situada a 50cm da origem, com centro no eixo horizontal, é impulsionada em linha reta na direção de K 1 e K 2 e nesta hora é tirada a primeira foto. Após a colisão de K 0 com as outras duas, é tirada a segunda foto. K 0 se deslocou com velocidade V 0, antes da colisão e W 0 depois. As bolas K 1 e K 2 estavam em repouso antes da colisão e se deslocam com velocidades respectivas W 1 e W 2 depois. Com a câmera não é possível medir as velocidades, mas é possível medir as distâncias percorridas, de modo que se obtém R 0 = (30, 5), R 1 = (20, 20) e R 2 = (20, 10) como sendo os vetores posição das bolas K 0, K 1 e K 2, respectivamente, após t 0 segundo depois da colisão. Sabe-se que é válida a lei física da conservação do momento linear, isto é, o momento linear antes da colisão, dado pela soma dos produtos das massas pelas velocidades de cada bola é igual ao momento linear depois da colisão. Determine a massa da bola K 1 e da bola K 2. 7

8 21. Três proprietários de casas, um pedreiro, um eletricista e um bombeiro hidráulico querem fazer obras em suas respectivas casas. Eles concordam em trabalhar 10 dias cada um, de acordo com o seguinte esquema (ex. a linha 1 representa o número de dias de trabalho utilizados para reformar a cada do pedreiro por cada um dos profissionais): Pedreiro Eletricista B.Hidráulico Pedreiro Eletricista B.Hidráulico Para efeito de impostos, eles devem declarar e pagar um ao outro um salário diário razoável, mesmo para o trabalho que cada um faz em sua própria casa. Seus salários diários normais são cerca de 100, mas eles concordam em ajustar seus respectivos salários/dia de modo que saiam empatados, ou seja, o total pago por cada um é igual ao total recebido dos outros dois. (a) Determine qual deve ser o salário diário de cada um, de modo que fiquem o mais próximo possível de seus salários/dia habituais. (b) A partir da modelagem para este problema particular, elabore uma fórmula geral de modelagem para problemas similares. 22. Uma cidade americana, no século XIX, tinha 3 indústrias: uma mina de carvão, uma usina elétrica e uma ferrovia local. Para produzir um dolar de carvão a mina precisa pagar vinte e cinco centavos de eletricidade para a usina, para seus equipamentos e vinte e cinco centavos para a ferrovia, para suas necessidades de transporte. Para produzir um dólar de eletricidade, a usina requer sessenta e cinco centavos de carvão como combustível, cinco centavos de sua própria eletricidade para equipamento auxiliar e cinco centavos de gastos com a ferrovia para suas necessidades de transporte. Para fornecer um dolar de transporte a ferrovia gasta cinquenta e cinco centavos com carvão para combustível e dez centavos com eletricidade para seu equipamento auxiliar. Numa certa semana a mina recebe pedidos no valor de 8

9 cinquenta mil dolares em carvão para fora da cidade e a usina recebe um pedido de vinte e cinco mil dólares também para fora da cidade. Não há demanda externa para a ferrovia. (a) Quanto cada uma das três deve produzir naquela semana para atender exatamente suas próprias necessidade e a demanda externa? (b) A partir da modelagem para este problema particular, elabore uma fórmula geral de modelagem para problemas similares. OBSERVAÇÃO: os últimos 5 exercícios não estão incluídos em modelos estudados em sala, são desafios para os alunos. 9

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