MODELO DE SOLOW: O MODELO BÁSICO Profa. Maria Isabel Busato
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO Hipóteses do Modelo Economia fechada e sem governo; Economia produz um único bem que pode ser investido ou consumido (PIB); Os fatores de produção são transformados através de uma função de produção que contém um conceito de máximo possível através da transformação dos Fatores de Produção; Mercados competitivos, estrutura de equilíbrio geral, com livre mobilidade de fatores; Preços flexíveis (todos os preços, incluindo juros, salários etc), reagindo à oferta e procura, logo determinados pela escassez relativa; Há certo estado das artes, por ora exógeno.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO A primeira questão que queremos colocar para discussão é: É possível que uma economia desfrute de taxas de crescimento positivas simplesmente economizando e investindo em seu estoque de capital? Qual é a resposta do Modelo Básico de Solow para tal questão?
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO A estrutura básica do Modelo de Solow: O modelo de Solow foca 4 variáveis: Produto (Y), Capital (K), Emprego (L) e Tecnologia (A), inicialmente daremos ênfase em um modelo sem progresso técnico. O modelo é construído em torno de duas equações: 1) Uma função de produção que descreve como os insumos (K,L) são combinados para gerar produto (Y) 2) Uma equação de acumulação de capital.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO Função de Produção: Y t = F(K t, L t ) Onde: Y t é o fluxo de produto produzido no tempo t; K t representa o capital físico, tal com máquina, prédios, etc.; L t representa o número de trabalhadores e as horas de trabalho; Assume-se um setor de produção no qual o produto é homogêneo e pode ser consumido (C) ou Investido (I). O investimento é usado para criar novas unidades de bens de capital ou para repor a depreciação.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO Propriedades da função de produção neoclássica: 1) RETORNOS CONSTANTES DE ESCALA F(λK, λl) = λ F(K,L) para qualquer λ > 0 É importante notar que a definição de escala inclui somente os dois insumos rivais. 2) Rendimentos marginais positivos, mas decrescentes: F K > 0, F L > 0, 2 F K 2 < 0 2 L L < 0 O uso adicional do fator variável adiciona positivamente o produto, mas essas adições decrescem com o aumento do uso do fator variável
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO Propriedades da função de produção neoclássica: 3) Condições Inada (Inada, 1963) F lim K 0 K = lim F L 0 L = lim K F K = lim L F L = 0 O produto marginal do capital (ou trabalho) se aproxima do infinito se o capital (ou trabalho) se aproxima a zero, e se aproxima a zero, se o capital (ou trabalho) tende para o infinito. 4) Essencialidade F 0, L = F K, 0 = 0 É Impossível produzir com zero de algum dos insumos.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO Uma forma funcional específica que atenda a tais propriedades, para expressar a Primeira equação Fundamental do modelo, a Função Cobb-Douglas: Eq 1 Y = K α L 1 α α é constante com valor 0 < α < 1. O modelo de Solow quer então mostrar de que maneira o crescimento do estoque de capital, e o crescimento populacional (sem considerar por ora os avanços técnicos) interagem e como afetam a produção total de bens e serviços. a) discutiremos a oferta total a partir de uma função e produção do tipo Cobb-Douglas. b) apresentaremos a demanda através de sua forma intensiva (variáveis por trabalhador) e dividiremos a produção por trabalhador (y) em consumo por trabalhador (c) e investimento por trabalhador (i) Logo: y = c + i, equação que retomaremos ao longo da exposição
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO A função de Produção na forma intensiva (per capita) Y = Kα L 1 α L L = Eq (2) y = k α Onde: y = Y L e k = K L
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EQUAÇÃO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL A segunda equação fundamental: Acumulação de Capital Eq (3) K = sy dk reescrevendo Eq (3.1) K = K t K t 1 K K = s Y K d variação do estoque de capital por período, ou seja, K = dk s = Taxa de poupança => S/Y d = taxa de depreciação dt
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EQUAÇÃO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL Escrevendo a equação de acumulação de capital em sua forma intensiva (em termos per capita) Sabe-se que k = K ; Vamos aplicar log e derivar essa equação em relação ao L tempo para encontrar taxas. Log k = log K log L => Derivando em relação ao tempo temos Eq (3.2) Eq (3.3) Eq (3.3) k k = K K L L reescrevendo K = k + L, Igualando 3.3 e 3.1 temos K k L k = s Y d n k K
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EQUAÇÃO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL (cont...)equação capital forma intensiva (em termos per capita) Eq (3.3) Eq (3.4) k = s Y d n, fazendo k K (Y) L (K) temos L k = sy d + n k No estado estacionário k=0 => sy = d + n k A equação 3.4 (de acumulação de capital per capita) permite afirmar que: A acumulação de capital per capita, k, tende a aumentar se aumenta s ; e tende a diminuir se a depreciação ou o crescimento populacional crescem.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: AS DUAS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS NA FORMA INTENSIVA Eq (2) y = k α Eq (3.4) k = sy d + n k em s.s sy = d + n k Agora estamos aptos a analisar algumas mudanças em seus parâmetros.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EFEITO MUDANÇA NA TAXA DE POUPANÇA As simulações a seguir foram produzidas imaginando uma economia inicialmente em s.s com as seguintes condições iniciais: s old: 0,3 ; s new: 0,4 ; k inicial=9 ; d=0,1 À nova taxa de poupança o capital aumenta, mas não imediatamente para o novo nível de s.s (k*), de modo que ao nível de k inicial, o investimento supera o necessário para manter k constante. Mais recursos são usados para i e delta k é positivo, logo k começa a crescer. k cai gradativamente devido à hipótese de rendimentos decrescentes para o capital. Logo, mudanças na taxa de poupança geram efeito-nível permanente nas variáveis per capta e efeito taxa apenas temporário.
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109 115 121 127 133 139 145 151 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EFEITO MUDANÇA NA TAXA DE POUPANÇA s k 0,45 0,70 18 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 16 14 12 10 8 0 0,00 1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 6 1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 i c y 1,8 2,6 4,5 1,6 2,4 4 1,4 1,2 2,2 2 3,5 1 1,8 3 0,8 1,6 2,5 0,6 0,4 1,4 1,2 2 0,2 1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 1 1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 1,5 1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: PROPRIEDADES DO S.S. Em s.s sy = d + n k Os asteriscos indicam que as variáveis se encontram em s.s. Logo, k = sy n+d, mas y = k α Então k = sk α n+d y = k α Temos: y = Assim, em s.s s n+d => k 1 α = s n+d => k = s n+d 1 α 1 1 α Substituindo na fção de produção Δs > 0 => Δy > 0 ou seja, maior taxa de poupança implica nível de produto per capta maior; Δn ou Δf > 0 => Δy < 0, maiores taxas de cresc populacional ou de depreciação, implicam menor nível de produto per capta.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: PROPRIEDADES DO S.S. Taxa de crescimento do produto agregado Y Sabe-se que y = Y L Log y = log Y log L (derivando em t) temos: d log y dt = d log Y dt - d log L dt => y y = Y Y L L Como em s.s. y y =0, temos que Y Y = n Taxa de crescimento do estoque de capital agregado, K Sabe-se que y = K L log k = log K log L (derivando em t) temos: k k = K K n Como em s.s. k k =0, temos que K K = n Logo a tx de crescimento do produto (Y) e do capital (K) em ss é n
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: SÍNTESE DOS RESULTADOS Trajetória de Crescimento equilibrado Solow Básico sem progresso técnico Variável Taxa de crescimento Y* n K* n C* = (1-s) Y* n I* = sy* n 1 * Y * n W* = * * Y * n y* 0 k* 0 c*=(1-s) y* 0 i*=sy* 0 w*= 1 * y * 0
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO Conclusão: A experiência mostra que crescimento e investimento possuem taxas positivamente relacionadas no LP e no modelo de Solow o efeito de um aumento permanente da taxa de poupança (e no investimento) leva apenas a efeitos transitórios sobre as taxas de crescimento per capta no longo prazo. Além disso, a experiência mostra que as variáveis per capta têm crescimento positivo no LP, o que essa versão do modelo também não é capaz de explicar. Logo, o modelo básico de Solow não dá uma resposta satisfatória para tais fatos. As extensões do modelo buscam dar respostas mais aceitáveis para esses.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO Análise da Distribuição no modelo neoclássico: Os fatores de produção são remunerados de acordo com suas produtividades marginais (isso pode ser derivado das condições de maximização de lucro. Da max lucro sabe-se que o valor do PmgL (p*pmgl)=w Y = K α L 1 α (1) PmgL = Y L = 1 α Kα L α PmgL = (1 α) K L PmgK = Y K = αkα 1 L 1 α PmgK = α L K 1 α De 2 e 3 pode-se notar que um aumento na quantidade de Trabalho (capital), faz cair (aumentar) a produtividade marginal do trabalho e aumentar (cair) a produtividade marginal do capital. α (2) (3)
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO Reescrevendo os produtos marginais, para discutir distribuição: PmgL = 1 α Y L (4) (Para provar basta substituir a função de produção em Y) PmgK = α Y K (5) Podemos agora verificar que se os fatores são remunerados às suas respectivas produtividades marginais, o parâmetro α de fato informa quando da renda se destina à m.d.o e quanto se destina ao capital. F(K,L) = (PmgL x L) + (PmgK x K) ou, de modo equivalente: F(K,L) = wl + rk = Y O que significa que o pagamento aos fatores exaure o produto. Y = wl + rk e (...)
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO Disso resulta que o montante total pago à mão de obra é simplesmente igual a (1- α ), vejamos: PmgL L = 1 α Y L L 1 α Y Logo (1-α)Y é a participação dos salários na produção. PmgK K = α Y K K αy Logo αy é a participação da remuneração do capital na produção. Esse resultado mostra que a Participação/distribuição da renda correspondente à m.d.o e ao capital são uma constante. Bem como, a proporção entre a renda do capital e do trabalho, também são uma constante (α/1- α).
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO Logo, graficamente podemos construir (equilíbrio mercado de trabalhos e de capital) (pegar gráficos nas planilhas de apoio)