º trimestre SALA DE ESTUDOS Data: 11/17 Ensino Médio º ano A, B e C. Prof. Maurício Nome: nº CONTEÚDOS: EQUAÇÃO DA RETA E EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA. 1. (Eear 017) O triângulo ABC a) escaleno b) isósceles c) equiângulo d) obtusângulo formado pelos pontos A (7, ), B ( 4, ) e C ( 4, ) é:. (Eear 017) Seja ABC triângulo. a) (, 1). b) (, ). c) (1, ). d) (, 1). um triângulo tal que A(1, 1), B(, 1) e C(5, ). O ponto é o baricentro desse. (Mackenzie 017) Duas pessoas patinam sobre o gelo descrevendo trajetórias circulares. As circunferências descritas por elas são dadas pelas equações (x ) (y 1) 10 e (x ) y 1, respectivamente. A distância entre os dois pontos de interseção das circunferências é a) b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 4. (Pucrj 017) Assinale o valor da área do quadrado de vértices (, 9), (4, 6), (1, 0) e ( 5, ). a) 0 b) 5 c) d) 45 e) 45 60 5. (Feevale 016) Na figura a seguir, o ponto A representa uma praça, e o ponto B, uma livraria. Página 1 de 16
Considerando quilômetro (km) como unidade de medida, a menor distância entre a praça e a livraria é de aproximadamente a) 4 km. b) 5 km. c) 6 km. d) 7 km. e) 8 km. 6. (Eear 016) Considere os pontos A(, 8) e B(8, 0) A distância entre eles é de a) 14 b) c) 7 d) 10 7. (Eear 016) O triângulo determinado pelos pontos A( 1, ), B(, 1) e C(4, ) tem área igual a a) 1 b) c) d) 6 8. (Ufrgs 017) Os pontos A, B, C, D, E e F ponto A tem coordenadas (1, 0) e o ponto D determinam um hexágono regular ABCDEF de lado 1, tal que o tem coordenadas ( 1, 0), como na figura abaixo. Página de 16
A equação da reta que passa pelos pontos B a) y x. b) c) d) e) y x. y x. y x. y x. e D é 9. (Unisc 017) Os pontos (0, 1), (1, ) e (, k) a) 0 b) c) d) 8 e) 8 do plano são colineares. O valor de k é igual a 10. (Upe-ssa 017) No plano cartesiano, a reta s: 4x y 1 0 intersecta o eixo das abscissas no ponto e o eixo das ordenadas no ponto B. Nessas condições, qual é a distância entre os pontos A e B? a) 5 A b) 5 c) d) e) 11. (Mackenzie 017) A equação da mediatriz do segmento que une os pontos P (1, ) e Q (5, 4) é a) x y 9 0 b) x y 9 0 c) x y 0 d) x y 7 0 e) x y 11 0 1. (Fgv 017) No plano cartesiano, a região determinada pelas inequações simultâneas x y 0 tem área igual a: a) π b),5π Página de 16 x y 4 e
c) π d),5π e) 4π 1. (Eear 016) A equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(0, 1) a) y 7x 1 b) y 6x 1 c) d) 7 y x 1 6 6 y x 1 7 e B(6, 8) é dada por 14. (Eear 016) A reta s a) y x b) y x 5 0 c) y x 15 d) y x que passa por P(1, 6) e é perpendicular a r : y x é 15. (Eear 016) Dada a reta r : x y 5 0 e o ponto P(5, 6), a distância de P à reta r a) 91 b) 0 1 c) 91 91 d) 1 1 16. (Fgv 016) No plano cartesiano, a reta de equação x 4y 17 tangencia uma circunferência de centro no ponto (1,1). A equação dessa circunferência é: a) x y x y 4 0 b) c) d) e) x y x y 0 x y x y 5 0 x y x y 0 x y x y 1 0 17. (Unioeste 01) Os valores de k para que as retas x + ky = e x + y = 1 sejam paralelas e perpendiculares entre si, respectivamente, são a) e 1. b) 1 e 1. c) 1 e 1. d) e. e) e. 18. (Acafe 017) Os pontos A(1, 1), B(1, 9) e C(7, 1) são os vértices do triângulo inscrito numa circunferência de é Página 4 de 16
equação a) 9. b) 0. c) 65. d) 8. x y mx ny p 0. O valor de m n p é igual a: 19. (Mackenzie 016) A equação da circunferência concêntrica à circunferência a) b) c) d) e) à reta 4x y 0 0 é (x ) (y1) 6 (x ) (y1) 5 (x ) (y1) 0 (x ) (y1) 16 (x ) (y1) 9 (x ) (y1) 1 e tangente 0. (Pucsp 016) Na figura tem-se a representação de coordenados nos pontos A e B. λ, circunferência de centro C e tangente aos eixos Se a equação de λ é a) 8 ( π ) b) 8 ( π 4) c) 4 ( π ) d) 4 ( π 4) é x y 8x 8y 16 0, então a área da região hachurada, em unidades de superfície, 1. (G1 - ifal 016) O diâmetro de uma circunferência tem extremidades nos pontos A(, 6) e B(4, 0) do plano cartesiano. A equação reduzida dessa circunferência é a) (x 1) (y ) 18. b) c) d) e) (x 1) (y ) 7. (x 1) (y ) 9. (x ) (y ) 18. (x ) (y ) 7.. (Cefet MG 01) Em um plano, uma reta que passa pelo ponto P(8,10) tangencia a circunferência x y 4x 6y 0 no ponto A. A medida do segmento PA, em unidades de comprimento, é a) 1. Página 5 de 16
b) 4. c) 45. d) e) 69 85... (Acafe 01) O comprimento da corda determinada pela reta x y (, ) e o raio mede cm é igual a: a) 4 cm b) 5 cm c) 4 cm d) cm sobre a circunferência cujo centro é 4. (Fgv 010) Dada a circunferência de equação x + y 6x 10y + 0 = 0, seja P seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de P e: a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1 5. (Ufrgs 010) Os pontos de interseção do círculo de equação (x - 4) + (y - ) = 5 com os eixos coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é a). b) 4. c) 5. d) 6. e) 8 Página 6 de 16
Gabarito: Resposta da questão 1: [A] Calculando os quadrados das medidas dos lados do triângulo ABC, encontramos d (A, B) ( 4 7) ( ) 11, d (A, C) ( 4 7) ( ) 146 e d (B, C) ( 4 4) ( ) 5 Portanto, sendo d (A, C) d (A, B) d (B, C), podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo escaleno. Resposta da questão : Sabendo que as coordenadas do baricentro correspondem à média aritmética simples das coordenadas dos vértices do triângulo, vem 1 5 11, (,1). Resposta da questão : Os pontos de intersecção entre as duas circunferências são solução do sistema abaixo: x y 1 10 i x y 1 ii Subtraindo membro a membro as equações (ii) e (i), temos: x y x y 1 1 10 y y y 1 y 4 y Substituindo y na equação i, x 1 10 x 9 x x 0 ou x x 6 Assim, os pontos de intersecção entre as duas circunferências são A 0, e Logo, B 6,. Página 7 de 16
da,b 6 0 da,b 6 0 da,b 6 Resposta da questão 4: Do enunciado, temos: Assim, a área do quadrado acima é dada por: A ABCD ABCD ABCD ABCD d C,D A 4 1 6 0 A 9 6 A 45 Resposta da questão 5: [C] A(,1) e B(4,) d 4 1 7 6,08 km Resposta da questão 6: A distância d entre os pontos A e B será dada por: d ( 8) (8 0) 6 64 100 10 Resposta da questão 7: [A] Utilizando a regra de Sarrus para o cálculo do determinante, temos: Página 8 de 16
1 1 1 D 1 1 1 4 1 4 D 11 6 4 6 D Logo, a área do triângulo será dada por: 1 A 1 Resposta da questão 8: [B] Considerando a circunferência circunscrita no hexágono regular, podemos escrever que a medida α ADB ˆ será dada por: 60 α 0 do ângulo Portanto, o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos B m tg0 A reta pedida passa pelo ponto D( 1, 0) e tem coeficiente angular Portanto, sua equação será dada por: y 0 (x ( 1)) y x Resposta da questão 9: Do enunciado, temos: e D será dado por: m. Página 9 de 16
mr m m AB AC Então, ( 1) k ( 1) 10 0 k 1 1 k 1 k 8 Resposta da questão 10: [A] Intersecção com o eixo x (y 0). 4x 0 1 0 4x 1 x A(, 0) Intersecção com o eixo y (x 0). 4 0 y 1 0 y 1 y 4 B(0, 4) Logo, a distância entre os pontos A d (0 ( )) (4 0) 5 5 e B será dada por: Resposta da questão 11: [A] Seja r a reta mediatriz do segmento formado pelos pontos P Observe a figura abaixo: e Q. Página 10 de 16
1 5 xm 4 ym 1 4 m PQ 51 6 m PQ 4 m PQ Como r PQ e m 0, PQ m m PQ r 1. Então, m r 1 mr mr M,1 Assim, a equação da reta r é dada por: y 1 x y 1 x 6 y x 6 x y 9 0 Resposta da questão 1: [A] Sobre as inequações apresentadas: x y 4 Circunferência de raio e centro na origem. Página 11 de 16
x y 0 Reta que passa pelo segundo e quarto quadrantes cortando-os diagonalmente, passando também pela origem. Assim, existirá um segmento de reta pertencente à mesma que é diâmetro da circunferência anterior. Assim, a região delimitada será um semicírculo de raio, π S S π ou seja: Resposta da questão 1: [C] O coeficiente linear da reta é b 1, 8 1 7 a 6 0 6 pois ela passa pelo ponto A(0, 1) e o coeficiente angular a será dado por: Portanto, a equação da reta será dada por: 7 y ax b y x 1 6 Resposta da questão 14: Sabendo que o coeficiente angular da reta r perpendiculares é ms 1 ms 1, podemos escrever: é e que o produto dos coeficientes angulares de duas retas Logo, a equação da reta r será dada por: 15 y 6 (x 1) y x 6 y x Resposta da questão 15: Calculando a distância do ponto P(5, 6) a reta r, 5 6 5 1 1 d ( ) 1 1 1 temos: Resposta da questão 16: [B] Do enunciado, temos: Página 1 de 16
r r 1 4 117 4 10 5 10 r 5 r Assim, a equação da circunferência acima é: x 1 y 1 x x 1 y y 1 4 x y x y 0 Resposta da questão 17: [E] (r) x ky mr k (s) x y 1 m 1 s Para que r seja paralela a s: mr ms 1 k k Para que r seja perpendicular a s: mr ms 1 ( 1) 1 k k Resposta da questão 18: [B] Representando os pontos no plano cartesiano tem-se um triângulo retângulo com ângulo reto em A. Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa circunferência de diâmetro igual à hipotenusa. Pelo teorema de Pitágoras tem-se que a hipotenusa é igual a 10 e, portanto, o raio é igual a 5. centro O da circunferência será o ponto médio do segmento BC. Assim, pode-se escrever: O Página 1 de 16
17 9 1 O, O4, 5 Eq. circunferência x 4 y 5 5 m 8 x y 8x 10y 16 0 n 10 m n p 8 0 48 0 Resposta da questão 19: [B] p 16 O centro da circunferência dada é dado por (, 1), (x ) (y 1) R. Sendo R 4 1 0 5 R R 5. 4 5 Portanto, a equação pedida será dada por: (x ) (y1) 5 Resposta da questão 0: [C] a distância do ponto (, 1) logo a circunferência pedida terá equação da forma à reta de equação 4x y 0 0. Determinando o centro e o raio da circunferência. x y 8x 8y 16 0 x 8x 16 y 8y 16 16 (x 4) (y 4) 4 O centro é o ponto (4, 4) e o raio mede 4. Calculando a área do setor de π 4 AS 4π 4 90 do círculo determinado por esta circunferência, temos: Calculando, agora, a área do triângulo ABC. 4 4 AΔABC 8 Portanto, a área do segmento circular pedida é: A AS AΔABC A 4π 8 A 4 π Resposta da questão 1: [A] O ponto médio entre os pontos A e B será o centro da circunferência. Assim, pode-se escrever: xa xb ya yb 4 6 0 Pm C,, C(1, ) O comprimento do raio será igual à metade da distância entre os pontos A e B. Tem-se: R (xb x A ) (yb y A) (1 ) ( 6) R 18 Página 14 de 16
Assim a equação reduzida dessa circunferência será Resposta da questão : (x 1) (y ) 18. x y 4x 6y 0 x y 16 Centro C(,) e raio r = 4, então: CA = 4 e PC = (8 ) (10 ) 85 Portanto: PA = 85 4 PA 69 Resposta da questão : A equação da circunferência é dada por (x ) (y ) 9. Se a reta y x determina uma corda na circunferência, então as abscissas das extremidades dessa corda são tais que: (x ) (x 5) 9 x 4x 4 x 10x 5 9 Logo, (, 0) e (5, ) x 7x 10 0 x ou x 5. são as extremidades da corda e, portanto, o comprimento da mesma é (5 ) ( 0) 9 9 cm. Resposta da questão 4: [A] x 6x + 9 + y 10y + 5 = 0 + 9 + 5 (x ) + (x 5) = 4 Centro C(,5) e raio R = Logo, o ponto de ordenada máxima será: P(, 5 + ) = P(, 7) Somando as coordenadas temos: + 7 = 10. Resposta da questão 5: [B] Com o eixo x( y = 0) Página 15 de 16
(x - 4) + (0 ) = 5 x = 8 ou x = 0 logo os pontos são (0,0) ou (8,0) Com o eixo y ( x = 0) (0-4) + (y-) = 5 y = 0 ou y = 6, logo os pontos são (0,0) e (0,6) Portanto a área será A = 6.8 4 Página 16 de 16