ANÁLISE DINÂMICA NÃO LINEAR DE ESTRUTURAS RETICULADAS SOB AÇÃO SÍSMICA CONSIDERANDO INTERAÇÃO SOLO ESTRUTURA E COMPORTAMENTO ELASTO-PLÁSTICO DO SOLO. Luis Fernando Paullo M. Paulo Batista Gonçalves lf_pm21@hotmail.com paulo@ puc-rio.br Departamento de Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rua Marquês de São Vicente 225, 22451-900, RJ, Rio de Janeiro, Brasil Ricardo A. M. Silveira Andréa R. D. Silva ramsilveira@yahoo.com.br andreadiassilva@yahoo.com.br Departamento de Engenharia Civil da Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto Morro do Cruzeiro s/n, 35400-000, MG, Ouro Preto, Brasil Resumo. A interação solo-estrutura tem sido amplamente estudada no decorrer dos últimos anos, já que a maioria das estruturas civis é apoiada sobre o solo. Nesta área, o estudo de sistemas estruturais submetidos a ações sísmicas é um tópico particularmente importante, já que este tipo de solicitação, com um grande conteúdo de frequências, tem uma grande influência no comportamento do solo, dado que as propriedades do solo variam com a frequência de excitação. É desenvolvida, no presente trabalho, uma metodologia de análise dinâmica não linear de sistemas estruturais reticulados considerando interação sol- estrutura com comportamento não linear do solo e não linearidade geométrica da estrutura. O solo é representado por molas unidimensionais com comportamento elasto-plástico. O sistema é submetido à ação sísmica. O problema no espaço é resolvido por disretização do sistema em elementos finitos e o problema no tempo é abordado através da integração direta do sistema de equações de movimento pelos métodos de Newmark ou Runge-Kutta, em associação com o método iterativo de Newton-Raphson. É feita uma análise paramétrica para estudar a influência do comportamento elasto-plástico do solo na resposta no tempo do sistema, assim como na curva de ressonância. Palavras Chave: Análise dinâmica não linear, Interação solo-estrutura, Excitação sísmica, Comportamento elasto-plástico do solo.
Análise Dinâmica Não Linear de Estruturas Reticuladas sob Ação Sísmica Considerando Interação Solo Estrutura e Comportamento Elasto-Plástico do Solo 1 INTRODUÇÃO O estudo da resposta dos sistemas estruturais com consideração da interação soloestrutura tem sido objeto de grande interesse em dinâmica das estruturas, já que a maioria das estruturas ou obras civis é apoiada direta ou indiretamente sobre o solo. Um tópico de particular interesse nesta área é o estudo da resposta dinâmica do sistema solo-estrutura submetido a ações sísmicas. Eventos sísmicos representam uma das solicitações dinâmicas mais complexas em engenharia estrutural. A importância do estudo deste tipo de solicitações considerando o efeito solo-estrutura esta ligado à característica inerente ao solo de mudar suas propriedades em função do conteúdo de frequências. O estudo da não linearidade geométrica das estruturas tem sido um tema relevante dentro da análise estrutural, especialmente no caso de estruturas esbeltas como pórticos, arcos, estruturas reticuladas, etc. No estudo da não linearidade geométrica, as formulações são divididas de acordo com o tipo de referencial usado. Distintos pesquisadores têm desenvolvido formulações em referenciais Lagrangianos totais e atualizados. Galvão (2000, 2004) e Silva (2009) destacam os trabalhos feitos por Wong e Loi (1990), Torkamani et al. (1997) e Pacoste e Erikson (1995) como contribuições importantes no estudo de formulações Lagrangianas. Comparações entre formulações não lineares geométricas têm também despertado o interesse de muitos pesquisadores. Neste ramo, podem ser citados os trabalhos de Galvão (2004) e Silva (2009). No presente artigo, são empregadas apenas formulações em referencial Lagrangiano atualizado. Neste contexto, a interação solo-estrutura torna-se um tópico imprescindível na abordagem de problemas de estruturas submetidas a sismos. Diversos pesquisadores têm estudado este fenômeno. Uma das hipóteses mais simples é a consideração de solo como meio elástico, por exemplo, Hetenyi (1946), Vlasov (1966) e Aristizábal-Ochoa (2003) e recentemente, Nguyen (2008) e Paullo (2010). Uma hipótese mais realística consiste na consideração do solo como um meio contínuo, como em Alsaleh e Shahrour (2009), e Clouteau et al. (2012). Uma hipótese simplificadora é a consideração do solo como apoios discretos flexíveis, que é útil quando o objetivo é estudar a influência do solo no comportamento da estrutura. Wolf (2002), Halabian (2002) e Ganjavi e Hao (2012), dentre outros, adotaram esta hipótese simplificadora. É desenvolvida, no presente trabalho, uma metodologia de análise dinâmica não linear de estruturas reticuladas planas com consideração do efeito de interação solo-estrutura através de modelos simplificados de mola com comportamento não linear. A resolução do sistema é realizada através do método incremental de integração direta da equação de movimento pelo método de Runge-Kutta. É feita uma análise paramétrica para estudar a influência do comportamento elasto-plástico na resposta do sistema, quando submetido a ações sísmicas. As implementações são feitas sobre a base do programa CA-ASA, implementado incialmente por Silveira (1995), com base na versão modificada por Silva (2009).
L.F. Paullo Muñoz, P.B. Gonçalves, R.A.M. Silveira, A. R. D. Silva 2 FORMULAÇÃO 2.1 Obtenção de equações de equilíbrio Considerando apenas a inércia translacional do elemento e o amortecimento associado a este movimento (hipótese compatível com a teoria de Euler-Bernoulli), a equação de equilíbrio dinâmico para um instante t pode ser obtida através do principio dos trabalhos virtuais como:,=,+,, +,, onde é o campo dos deslocamentos dependentes do tempo, a densidade do material, c o coeficiente de amortecimento e é o campo de forças externas dependentes do tempo. Considerando a teoria de viga coluna de Euler-Bernoulli o campo dos deslocamentos pode ser obtido através da interpolação dos deslocamentos nodais expressa na sua forma matricial como:,=.,,=.,,=. (2) onde é a matriz que contém as funções de interpolação. No presente trabalho são consideradas funções Hermitianas para a interpolação da flexão e funções lineares para as deformações axiais (Silva, 2009). A relação cinemática entre deformações e deslocamentos é dada por:,=. onde é obtida por diferenciação e combinação da matriz (Galvão, 2004). Considerando as Eqs. (1-3), obtém-se finalmente a expressão matricial de equilíbrio dinâmico não linear do elemento dada por: +.+= (4) onde: = =,=, =, O vetor de forças internas F em um instante de análise t+ t, pode ser obtido como: = +Δ, Δ =.Δ (6) onde ΔU é o incremento dos deslocamentos nodais, KU é a matriz de rigidez que inclui os efeitos de não linearidade geométrica, e que é obtida seguindo as formulações propostas em Galvão (2004) e Silva (2009), é definido como a combinação de um vetor de magnitudes constante F r multiplicado por uma função de intensidade no tempo: =. O vetor F r é obtido através da integração de, no domínio do espaço. Considerando a função de carregamento externo,=., tem-se: (1) (3) (5) (7)
Análise Dinâmica Não Linear de Estruturas Reticuladas sob Ação Sísmica Considerando Interação Solo Estrutura e Comportamento Elasto-Plástico do Solo = (8) 2.2 Consideração do efeito solo-estrutura através de modelos discretos Seja o sistema solo-estrutura submetido a deslocamento de base, sendo o solo representado por um sistema discreto que tem apenas possibilidade de deslocamento na direção horizontal, tal como mostrado na Fig. 1. Figura 1. Sistema unidimensional discreto solo-estrutura A flexibilidade do solo está representada por um sistema discreto mola-amortecedor com valores de constantes de rigidez k h. No caso convencional de base fixa, ou seja, quando o valor de k h tende para infinito, o deslocamento u1(t) = 0 e o sistema pode ser reduzido a um grau de liberdade descrito pela equação de movimento: m.u t+c u t+k u t= m ut (9) Esta redução é obtida impondo a condição de contorno u1(t) = 0. Porém, quando u1(t) é diferente de zero, o sistema completo deve ser considerado. Tem-se então: m 0. u + c 0 m u c c c u + k u k k u k u = m m u (10) Para o sistema descrito em Eq. (9) não ser singular as constantes de mola e amortecimento devem ser adicionados aos correspondentes graus de liberdade, obtendo-se: m 0. u + c c 0 m u c c +c u + k k u u k k +k u = m m u (11) Generalizando para um sistema com vários graus de liberdade, a inclusão da flexibilidade do solo pode ser entendida como a adição de uma matriz diagonal de rigidez e amortecimento correspondentes ao solo nos graus de liberdade correspondentes à base. Então, o sistema descrito em (4) pode ser modificado para: ++ ++ = (12) onde as Matrizes e são diagonais e com termos nulos nos graus exclusivos à estrutura..
L.F. Paullo Muñoz, P.B. Gonçalves, R.A.M. Silveira, A. R. D. Silva 2.3 Comportamento elasto-plástico do solo O solo de fundação é representado por molas unidimensionais elasto-plásticas cuja evolução no domínio elasto-plástico é descrita através da função de escoamento: + =0 (13) onde é a força na mola, é o limite de escoamento, β é o módulo de encruamento e p é a deformação plástica acumulada na mola. No caso de β ser considerado constante, a rigidez da mola no regime elasto-plástico pode ser calculada como: k elástico. β k elasto plástico = k elástico + β (14) A Eq. (14) indica que a rigidez da mola no regime elasto-plástico pode ser descrita como uma função bi linear, como representada na Fig. 2. Figura 2. Comportamento elasto-plástico do solo representado por uma função bilinear Em geral os meios contínuos como o solo apresentam uma evolução de escoamento não linear, portanto a obtenção de uma expressão expedita para a rigidez elasto-plástica, como a mostrada na Eq. (14), pode ser difícil ou até inviável. Para contornar este problema, recorre-se à análise incremental, através da qual é possível obter aproximações da rigidez no regime elasto-plástico para pequenos incrementos de carga. No presente trabalho é feito o cálculo das forças internas nas molas na fase elasto-plástica seguindo o algoritmo de Euler implícito. Detalhes podem ser obtidos em Souza Neto (2008). 2.4 Integração direta do sistema de equações de equilíbrio No presente trabalho a resposta no tempo é obtida através da integração direta do sistema de equações de equilíbrio dinâmico. Para isto, é empregado o método de Runge-Kutta implícito de quarta ordem, utilizando a quadratura de Gauss para a obtenção dos coeficientes do arranjo de Butcher (Butcher, 2008). O método é adaptado para ser empregado em sistemas não lineares em conjunto com um método iterativo de tipo secante. Maiores detalhes podem ser encontrados em Butcher (2008).
Análise Dinâmica Não Linear de Estruturas Reticuladas sob Ação Sísmica Considerando Interação Solo Estrutura e Comportamento Elasto-Plástico do Solo 3 EXEMPLOS NUMÉRICOS 3.1 Arco circular abatido e solo com comportamento linear No presente trabalho é estudado um arco cujas propriedades geométricas são tomadas do trabalho de Silva (2009). O arco é submetido a um deslocamento vertical de base e a uma força estática aplicada no topo do mesmo. O arco é modelado com 20 elementos barra de igual cumprimento, sendo as propriedades geométricas e do material mostradas na Tabela 1. P 1 H = L/20 k r 1 k r k h h 1-1 L b Figura 3. Modelo de arco abatido. Tabela 1. : Propriedades do Arco Parâmetro Símbolo Unidade Valor Módulo de Elasticidade E MPa 2000 Área da seção Transversal A dm 2 1.00 Inércia da Seção I dm 4 1.00 Cumprimento do vão L m 10.0 Densidade do material ρ dg/cm 3 0.0240 Na Fig. 4 é mostrada variação do deslocamento vertical do centro do arco no tempo considerando um deslocamento de base sinusoidal. A excitação de base tem uma duração de Tg =25seg e com amplitude de aceleração A = 0.8g (0.8 vezes a aceleração da gravidade). Para este exemplo, o arco é apoiado rigidamente. Após o término da excitação de base, a resposta tende a estabilizar-se em uma posição de equilíbrio coincidente com a solução estática não linear do arco sob uma carga vertical de magnitude P, validando desta forma a implementação da integração numérica.
L.F. Paullo Muñoz, P.B. Gonçalves, R.A.M. Silveira, A. R. D. Silva Deslocamento vertical (m) Figura 4. Deslocamento vertical de B x t. C=0.75M, ω=0.80rad/s. Duração da excitação de base Tg = 25s, A=0.8g Quando a amplitude da excitação de base cresce de 0.8g para 2.2g, pode ser observado que a resposta na fase permanente após o término da excitação de base, tende para uma resposta correspondente a uma configuração de equilíbrio estático pós-crítico (Fig. 5), indicando que houve flambagem da estrutura durante a excitação dinâmica. Isto mostra a influência da amplitude de excitação de base na resposta do sistema não linear. Figura 5. Relação P x deslocamento vertical de B na fase permanente. C=0.75M, ω=0.80rad/s. Duração da excitação de base: Tg = 25s Na Fig. 6, pode ser observada a resposta do deslocamento vertical do meio do arco no tempo para uma excitação sinusoidal de duração Tg = 15seg. Neste exemplo é considerada a flexibilidade horizontal do solo de fundação representado por molas horizontais com rigidez linear k h. Observa-se que há uma grande diferença entre a consideração de base rígida e base flexível. Observa-se também que para valores de k h > 10 6 kn/m a resposta do sistema é muito próxima à resposta de base rígida. De forma similar, para valores de k h <10 4 kn/m, a resposta é similar à de uma base rotulada. Deslocamento vertical (m) kh = Infinito (rígido) kh = 10 10 kn/m kh = 10 10 kn/m kh = 10 10 kn/m kh = 10 10 kn/m ü g(t)=asen(ωt) t (s) Figura 6. Deslocamento vertical de B x t. A=0.4g, C=0.75M, ω=5. 0rad/s, P=0.2. kr=rígido. Duração da excitação de base: Tg = 15s
Análise Dinâmica Não Linear de Estruturas Reticuladas sob Ação Sísmica Considerando Interação Solo Estrutura e Comportamento Elasto-Plástico do Solo Na Fig. 7, pode-se observar a curva de ressonância do deslocamento vertical em B quando é considerado um apoio flexível à rotação com rigidez linear k r. Observa-se que, quando diminui o valor de k r, há uma redução no valor da frequência de ressonância e um incremento do valor do deslocamento máximo. Deslocamento Horizontal Máximo (m) Engastado Articulado kr = 10 6 knm/rad kr = 10 4 knm/rad kr = 10 4.5 knm/rad ü g(t)=asen(ωt) ω (rad/s) Figura 7. Deslocamento horizontal máximo de B na fase permanente x frequência de excitação. A=0.4g, C=0.25M, P=0, k h =infinito 3.2 Torre esbelta de com massa concentrada no topo e solo elasto-plástico Considera-se nesta seção um modelo reduzido da torre de concreto simulada por Halabian e Naggar (2002), que simula um reservatório de água elevado. No presente trabalho simplifica-se o problema de Halabian e Naggar (2002), modelando a estrutura como uma coluna de seção transversal constante, engastada na base, e com uma massa concentrada no topo, simulando a caixa d água. A estrutura é composta por 10 elementos tipo barra de igual comprimento e é submetida a um deslocamento horizontal de base, tal como ilustrado na Fig. 8. As propriedades do modelo são mostradas na Tabela 2. A torre é apoiada considerando flexibilidade rotacional do solo, através de uma mola com comportamento elasto-plástico com rigidez elástica k r e rigidez elasto-plástica k ep, o regime elasto-plástico é considerado quando o momento na mola e igual ou maior que Mp. Ma EI=c H k r üg(t ) Figura 8. Esquema do modelo de torre, com apoio elasto-plástico.
L.F. Paullo Muñoz, P.B. Gonçalves, R.A.M. Silveira, A. R. D. Silva Tabela 2. Propriedades de Torre Parâmetro Símbolo Unidade Valor Modulo de Elasticidade E GPa 31.00 Área da seção Transversal A m 2 6.28 Inercia da Seção I m 4 39.52 Altura da torre H m 70.00 Densidade do material ρ kg/ m 3 2400.00 Massa concentrada Ma kg 150000.00 Influência da Não Linearidade Geométrica e Solo Linear. Nesta seção é avaliado o efeito da não linearidade geométrica da estrutura considerando solo elástico linear. Deslocamento horizontal (m) ω (rad/s) B ü g(t)=asen(ωt) ω (rad/s) Figura 9. Deslocamento horizontal máximo de na fase permanente x frequência de excitação. A=0.4g, C=0.25M. Solo Linear Na Fig. 9 pode-se observado que, considerando uma aceleração de base de amplitude A=0.4g, o efeito da não linearidade geométrica se traduz em um leve incremento do deslocamento máximo na ressonância e uma leve diminuição do valor da frequência de
Análise Dinâmica Não Linear de Estruturas Reticuladas sob Ação Sísmica Considerando Interação Solo Estrutura e Comportamento Elasto-Plástico do Solo ressonância. O efeito é similar tanto para a base rígida quanto para a consideração de base elástica com rigidez rotacional linear. Deslocamento horizontal (m) B ü g(t)=asen(ωt) A (g) Figura 10. Deslocamento horizontal máximo de B na fase permanente vs. aceleração na base. ω=5.19rad/seg, C=0.25M, k r =rígido Na Fig. 10 observa-se que a não linearidade geométrica dos elementos estruturais reduz o valor do deslocamento máximo com respeito ao valor linear à medida que cresce a amplitude da excitação da base. Porém, este efeito é significativo apenas quando a amplitude de aceleração de base é maior que quatro vezes a aceleração da gravidade. Valores de aceleração de base superiores a 4 vezes a aceleração da gravidade são excessivos se considerado que nos sismos as acelerações máximas oscilam na ordem de 0.5 a 1 vez a aceleração da gravidade e, supondo amplificações por condições de sítio (solo com características de amplificação), entre 2.5 a 3 vezes a aceleração da gravidade. Por outro lado, o nível de deslocamento atingido é excessivo para situações práticas. Influencia da Plasticidade no Solo. Nesta seção é avaliado o efeito do comportamento elastoplástico do solo na resposta de estruturas submetidas a ação sísmica. Na Fig. 11 é mostrada a resposta no tempo do deslocamento horizontal do topo da torre, considerando uma mola rotacional elasto-plástica com momento de plastificação Mp e rigidez no regime elasto-plástico k ep. Pode ser observado que, quando considerado um comportamento elasto-plástico da mola rotacional que representa o solo, os deslocamentos na fase permanente diminuem; isto é devido à dissipação da energia na plastificação. Neste caso não é possível considerar plasticidade perfeita já que o sistema ficaria hipostático. Também pode ser observado que, quando diminuí a rigidez no regime elasto-plástico, os deslocamentos máximos na fase permanente diminuem.
L.F. Paullo Muñoz, P.B. Gonçalves, R.A.M. Silveira, A. R. D. Silva Deslocamento Horizontal (m) Linear NL, kep = 0.5 kr NL, kep = 0.5 kr B ü g(t)=asen(ωt) t (s) Figura 11. Deslocamento horizontal de B vs. t. A=0.4g, C=0.25M, k r =10 11 knm/rad, ω=5.40rad/s, Mp=160MNm Na Fig. 12 é ilustrado o comportamento histerético da mola rotacional elasto-plástica para os dois valores de rigidez elasto-plástica considerados, observando-se que a diminuição da rigidez no regime elasto-plástico traz consigo aumento nas deformações plásticas acumuladas. Momento na Base (KNm) Kep = 0.5K Kep = 0.25K Rotação (rad) Figura 12: Relação Momento vs. Rotação na base. A=0.4g, C=0.25M, k r =1011kNm/rad, ω=5.40rad/s, Mp=160MNm. Agora é apresentada a resposta do sistema quando submetido à ação de um sismo real, para isto é empregado o registro de aceleração da componente Leste-Oeste do sismo El Centro, que tem uma componente máxima de aceleração de 0.39g.
Análise Dinâmica Não Linear de Estruturas Reticuladas sob Ação Sísmica Considerando Interação Solo Estrutura e Comportamento Elasto-Plástico do Solo Linear NL, kep = 0.25 kr ü (m/s 2 ) (m) t (s) Figura 13. Deslocamento horizontal de B vs. t. Sismo El centro E-O. C=0.25M, kr=10 11 knm/rad. Mp=80MNm Figura 14. Relação Momento vs. Rotação na base. Sismo artificial. C=0.25M, kr=10 11 knm/rad. Mp=80MNm Na Fig. 13 e 14 pode ser observado que a consideração do comportamento elasto-plástico do solo modifica a resposta do sistema, diminuindo os deslocamentos, evidenciando a dissipação associada à plasticidade, assim como a ocorrência de um deslocamento permanente em virtude da acumulação de deformação plástica no solo. 4 CONCLUSÕES Foi desenvolvida uma metodologia, como parte do programa CA-ASA, para a análise dinâmica não linear de estruturas considerando excitação de base bem como a não linearidade do solo e da estrutura e empregando o algoritmo de integração de Runge-Kutta. A coerência dos resultados foi atestada através da análise de um arco abatido com grande não linearidade geométrica. A consideração do solo como apoio elástico modifica a resposta dos sistemas estudados. Em todos os casos a consideração de apoios mais flexíveis leva a uma diminuição do valor das frequências naturais de vibração, assim como um incremento no valor dos deslocamentos máximos. A plasticidade do solo produz uma diminuição da resposta em deslocamento da torre submetida a sismo sinusoidal, devido à dissipação envolvida.
L.F. Paullo Muñoz, P.B. Gonçalves, R.A.M. Silveira, A. R. D. Silva A consideração de plasticidade do solo na torre submetida ao sismo El Centro diminui o valor dos deslocamentos máximos, devido à dissipação plástica da base e produz um deslocamento permanente após o fim do sismo. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem o suporte financeiro da CAPES, CNPq, FAPERJ e FAPEMIG. REFERENCES Alsaleh, H. & Shahrour, I., 2009. Influence of plasticity on the seismic soil micropiles structure interaction. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, vol. 29, pp. 574-578. Aristizábal-ochoa, J.D., 2003. Estructura de vigas sobre suelos elásticos de rigidez variable, Revista Internacional de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil, vol. 3, n. 2, pp. 157-174. Butcher, J.C., 2008. Numerical methods for ordinary differential equations: 2nd ed. John Wiley & Sons Ltd., New York. Clouteau, D., Brocb, D., Devésac, G., Guyonvarhc, V. & Massinc, P., 2012. Calculation methods of Structure Soil Structure Interaction (3SI) for embedded buildings: Application to NUPEC tests. Soil Dynamics and Earthquake Engineering. Vol. 32, pp. 129 142. Galvão, A. S., 2000. Formulações Não-lineares de Elementos Finitos para Análise de Sistemas Estruturais Metálicos Reticulados Planos. MSc dissertation, Civil Engineering Department-PUC-Rio/Rio de Janeiro, Brazil. Galvão, A. S., 2004. Instabilidade Estática e Dinâmica de Pórticos Planos com Ligações Semi-rígidas, DSc. thesis, Civil Engineering Department-PUC-Rio/Rio de Janeiro, Brazil. Ganjavi, B. & Hao, H., 2012. A parametric study on the evaluation of ductility demand distribution in multi-degree-of-freedom systems considering soil structure interaction effects. Engineering Structures. vol. 43, pp. 88-104. Halabian, A.M. & Hesham El Naggar, M., 2002. Effect of non-linear soil structure interaction on seismic response of tall slender structuresion. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, vol 22, pp. 639-658. Hetenyi, M., 1946. Beams on elastic Foundation. The University of Michigan Press, Michigan. Nguyen, V-H. & Duhamel, D., 2008. Finite element procedure for nonlinear structures in moving coordinates. Part II: Infinite beam under moving harmonic loads. Computers and Structures, vol. 86, pp. 2056-2063. Pacoste, C. & Eriksson, A., 1995. Element behavior in post-critical plane frame analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 125, pp. 319-343. Paullo Muñoz, L. F., 2010. Análise Dinâmica de Vigas Apoiadas em Fundação Elástica sob a Ação de Cargas Móveis. DSc dissertation, Civil Engineering Department - PUC-Rio/ Rio de Janeiro, Brazil. Silva, A.R.D., 2009. Sistema Computacional para Análise Avançada Estática e Dinâmica de Estruturas Metálicas. DSc thesis, Departamento de Engenharia Civil Escola de Minas UFOP/Ouro Preto, Brazil.
Análise Dinâmica Não Linear de Estruturas Reticuladas sob Ação Sísmica Considerando Interação Solo Estrutura e Comportamento Elasto-Plástico do Solo Silveira, R.A.M., 1995. Análise de Elementos Estruturais Esbeltos com Restrições Unilaterais de Contato. Dsc thesis, Civil Engineering Department-PUC-Rio/Rio de Janeiro. Brazil. Souza Neto, E. A., Pèric, D. & Owen, D.R.J., 2008. Computational Methods for Plasticity: Theory and applications. John Wiley & Sons Ltd., Singarpure. Torkamani, M.A.M., Sonmez, M. & Cao, J. E, 1997. Second-order elastic plane-frame analysis using finite-element method. Journal of Structural Engineering, vol. 12, n. 9, pp. 1225-1235. Vlasov, V. Z. & Leontiev, N. N., 1966. Beams, plates and Shells on elastic foundations. Jerusalem: Israel Program for Scientific Translation. Wolf, J.P., 2002. Foundation Vibration Analysis Using Simple Physical Models. Prentice- Hall. Englewood Cliffs, New Jersey. Wong,M.B. & Tin-Loi, F. E., 1990. Analysis of frames involving geometrical and material nonlinearities. Computers & Structures, vol. 34, n. 4, pp. 641-646.