REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E O ENSINO DE ÁLGEBRA: PROPOSIÇÕES DE UMA SITUAÇÃO DE ENSINO PROPOSTA NO LIVRO DIDÁTICO

REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E O ENSINO DE ÁLGEBRA: PROPOSIÇÕES DE UMA SITUAÇÃO DE ENSINO PROPOSTA NO LIVRO DIDÁTICO Raquel Taís Breunig 1 raqueltaisb@yahoo.com.br Cátia Maria Nehring 2 catia@unijui.edu.br Resumo: O presente texto faz parte do projeto de pesquisa Propostas Curriculares de Matemática e Aquisição Conceitual na Perspectiva dos Registros de Representação, enfocando conceitos da Álgebra. Consideramos a Teoria dos Registros de Representação Semiótica, de Duval (2003), as dimensões da Álgebra propostas nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL, 1998), e a análise da Coleção de Livros Didáticos Tudo é Matemática, de Luiz Roberto Dante (2002), em relação aos registros de representação algébricos. Diante disto, selecionamos uma situação de ensino proposta no livro didático de sétima série, a qual é proposta a um grupo de alunos de oitava série, discutindo os registros de representação algébrica que podem ser explorados e as proposições dos alunos considerando o Registro da Língua Materna, Registro Gráfico e Registro Funcional. A partir da análise dos procedimentos dos alunos podemos concluir que a maioria deles não coordena os diferentes registros algébricos. Palavras-chave: Registro de Representação Semiótica; Ensino de Álgebra; Ensino Fundamental. Introdução Buscamos neste artigo refletir sobre o ensino de Álgebra no Ensino Fundamental, a partir de atividades desencadeadas pela pesquisa, a fim de problematizar, relatar e analisar ações realizadas neste processo. Nesta produção, temos a preocupação de trazer conclusões parciais, envolvendo o Projeto de Pesquisa Propostas curriculares de Matemática e Aquisição Conceitual na Perspectiva dos Registros de Representação, principalmente em relação ao ensino de Álgebra para o Ensino Fundamental, enfatizando situações de ensino apresentadas em uma coleção de livros didáticos, considerando os registros de representação e procedimentos realizados por alunos em uma situação de ensino. 1 Acadêmica do Curso de Matemática Licenciatura, da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul UNIJUÍ, e Bolsista PIBIC/CNPq. 2 Prof. Dra. do Departamento de Física, Estatística e Matemática DEFEM, e do Programa de Mestrado em Educação nas Ciências, da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul UNIJUÍ. 82

Considerando que a necessidade maior dos alunos é uma compreensão sólida dos conceitos algébricos e a capacidade de usar o conhecimento em situações novas e as vezes inesperadas (COXFORD e SHULTE, 1994, p. 2), bem como a identificação das dimensões da Álgebra: aritmética generalizada, funcional, equações e estrutural; por parte do aluno, para o desenvolvimento de suas habilidades e competências em relação ao ensino de matemática. Estes motivos nos levam a analisar uma coleção de livros didáticos Tudo é Matemática, de Luiz Roberto Dante (2002), dando ênfase à identificação dos Registros Algébricos, a partir da teoria dos Registros de Representação Semiótica, de Raymond Duval (2003), e das propostas oficiais Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (1998). Consideramos, ainda, os livros didáticos como um dos recursos mais utilizados pelos professores no momento da elaboração do seu planejamento, porque trazem, em seu conteúdo, atividades diferenciadas e situações que auxiliam o professor, fazendo com que, na maioria das vezes, o professor dependa quase que exclusivamente dos livros didáticos para a organização e encaminhamento dos conteúdos e das aulas de matemática. Com esta afirmação buscamos analisar os livros didáticos em relação ao ensino de Álgebra, considerando os registros algébricos. A partir desta análise, foram selecionadas três atividades do livro didático de sétima série, na qual os conceitos algébricos são mais enfatizados, sendo propostas a alunos de oitava série de três escolas distintas e analisadas à luz da teoria dos Registros de Representação, considerando os procedimentos dos alunos em relação à coordenação de registros e os tratamentos desenvolvidos. A partir da análise supracitada, trazemos, primeiramente, uma discussão em relação ao ensino de Álgebra considerando os Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2003), juntamente com as transformações entre os registros de representação e as dimensões da Álgebra propostas pelos documentos oficiais. Escolhemos uma situação de ensino dentre as três selecionadas para a pesquisa citada anteriormente, na qual analisamos os possíveis registros de representação, as possibilidades de tratamento, bem como os procedimentos realizados pelos alunos. Registros de Representação Semiótica e o Ensino de Álgebra 83

A necessidade de que alunos tenham uma apreensão conceitual sólida e significativa de conceitos matemáticos, especificamente no ensino da Álgebra, tem possibilitado reflexões e pesquisas que aprofundam a discussão das metodologias de ensinar e aprender. Sendo que Raymond Duval (2003) traz, em sua teoria dos Registros de Representação, que em Matemática nem tudo é perceptível ou observável através de objetos concretos, para tanto, há a necessidade das representações semióticas para uma verdadeira apreensão e evolução do pensamento matemático. Duval (2003) classifica as representações semióticas utilizadas em matemática em quatro tipos distintos de registros 3 : língua natural, figuras geométricas, sistemas de escrita (numéricas, algébricas e simbólicas) e gráficos cartesianos. Sendo que podem ocorrer dois tipos distintos de transformações destas representações semióticas: o tratamento, que implica em permanecer em um mesmo objeto matemático, buscando o melhor registro de representação para expressá-lo, como, por exemplo, a resolução de uma equação x 2 = 0 x = 2 ; e a conversão, em que há uma troca de registros dentro de um mesmo objeto matemático, como, por exemplo, passar do registro da escrita algébrica de uma equação para o registro gráfico cartesiano, sendo importante salientar que há algumas complicações enfrentadas pelos alunos diante desta transformação, em relação ao reconhecimento dos diferentes registros. O autor ainda propõe que ocorra a coordenação de no mínimo dois registros de representação semiótica para que haja um aprendizado significativo. Considerando o proposto por Duval (2003), podemos afirmar que:... a apreensão conceitual dos objetos matemáticos somente será possível a partir da coordenação, pelo sujeito que aprende, de vários registros de representação. Ou seja, quanto maior for a mobilidade com registros de representação diferentes do mesmo objeto matemático, maior será a possibilidade de apreensão deste objeto. (DAMM, 1999, p. 143-144 apud NEHRING e POZZOBON, 2008). Diante destas reflexões, pode-se perceber a importância da coordenação dos registros de representação semiótica em matemática, pois permite uma melhor compreensão do objeto, estabelecendo um meio de acesso ao entendimento e à aprendizagem matemática através da conversão entre os registros. 3 O termo registro é utilizado por Duval para nomear as várias representações semióticas utilizadas em matemática. 84

O ensino de Álgebra e os Registros de Representação Semiótica Considerando o ensino de Álgebra como um campo de pesquisa bastante promissor, pois alunos e professores relatam dificuldades diante deste Bloco de Conteúdos 4, e, conforme Coxford e Shulte (1994), os alunos são treinados para armazenar informações e manipular objetos matemáticos. Para que esta situação se converta é importante que os alunos tenham uma compreensão dos conceitos algébricos, sendo necessário um olhar gestor, para os objetos matemáticos, considerando o aporte teórico dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2003), pois, como vimos, anteriormente, esta teoria é um instrumento de grande importância em relação ao ensino e à aprendizagem de conteúdos matemáticos. Coxford e Shulte (1994) ainda salientam que é necessário que haja uma fundamentação teórica rica em significados, desde o início do aprendizado, para que o aluno construa um significado concreto, no que tange ao ensino de Álgebra, sendo necessário considerar as dimensões da dela como necessárias na construção e compreensão dos conceitos algébricos. Sendo que, a partir desta afirmação, elencamos as dimensões para o ensino de Álgebra propostas nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (1998). Dimensões da Álgebra Uso das letras Conteúdos (conceitos e procedimentos) (BRASIL, 1998, p. 116) Aritmética Generalizada Letras como generalizações do modelo aritmético Propriedades das operações generalizações de padrões aritméticos Funcional Equações Estrutural Letras como variáveis para expressar relações e funções Variação de grandezas Letras como incógnitas Resolução de equações Letras como símbolo abstrato Cálculo algébrico obtenção de expressões equivalentes 4 NEHRING e POZZOBON (2008) situam em seu texto que os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) propõem para o Ensino de Matemática quatro blocos de conteúdos: Números e Operações (Aritmética e Álgebra), Espaço e Forma (Geometria), Grandezas e Medidas (ligações entre os diferentes campos da Matemática) e Tratamento da Informação (Estatística e Probabilidade). Sendo que o ensino de Álgebra é apresentado no bloco de Número e Operações. 85

A partir deste quadro, identificamos a importância ressaltada pelos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (1998), da necessidade de propor situações de ensino que instiguem os alunos a elaborar conceitos algébricos a partir da compreensão dos registros algébricos, considerando: Registro Aritmético (RA) a linguagem algébrica é usada para expressar ou traduzir padrões numéricos e geométricos; Registro Funcional (RF) são expressas relações e variáveis; Registro de Equações (Req) as letras são entendidas como incógnitas; Registro Estrutural (RE) neste registro a letra assume a dimensão de símbolo abstrato; Registro Língua Materna (RLM) neste registro as situações são apresentadas na língua natural; e, finalmente, o Registro Figural envolve figuras geométricas e gráficos. Identificados estes registros, fizemos a análise de uma coleção de livros didáticos, considerando o ensino de Álgebra, a qual é abordada por NEHRING e POZZOBON (2009), e que desencadeou outras situações de pesquisa, inclusive este texto em que propomos uma situação de ensino considerando o proposto no LD. Proposição da situação de ensino A partir da análise dos livros didáticos (NEHRING e POZZOBON, 2009), selecionamos três situações de ensino, propostas no livro didático de sétima série, de Luiz Roberto Dante (2002) Tudo é Matemática, onde os conceitos algébricos são mais enfatizados, visando propor tais atividades a três turmas de oitava série, do Ensino Fundamental, de três escolas da Educação Básica. Com intuito de analisar os procedimentos dos cinquenta e sete alunos 5 deste nível de ensino, sob a ótica dos Registros de Representação Semiótica, sendo que neste texto explicitamos a análise de apenas uma das situações de ensino, que será especificada a seguir, considerando os resultados esperados e os resultados obtidos, destacando os registros de representação que podem ser mobilizados e coordenados pelos alunos. 5 Foram distribuídos sessenta e cinco questionários às três turmas, e destes retornaram 57. 86

Em geral, ao fazerem experimentos, os cientistas elaboram um gráfico com os dados obtidos e depois procuram descobrir uma fórmula que corresponda a esse gráfico. Faça o mesmo: para cada gráfico abaixo, escreva uma fórmula correspondente, dando o valor de y em função de x. a) b) Figura 1: situação de ensino proposta (DANTE, 2002, p. 123 7ª série). Esta situação de ensino envolve três tipos de registros de representação: Registro da Língua Materna, Registro Gráfico e Registro Funcional. O Registro da Língua Materna sugere situações-problema através da língua portuguesa, como pode ser observado na situação de ensino, por meio do enunciado: Para cada gráfico abaixo, escreva uma fórmula correspondente, dando o valor de y em função de x. É necessário que haja compreensão em relação ao enunciado, ou seja, interpretá-lo, identificando o que é uma função e como ela se define, considerando y em função de x, entendendo x como variável independente e y como variável dependente. O Registro Gráfico representa a planificação das coordenadas no plano cartesiano, com o intuito de escrever a fórmula solicitada no enunciado, ou seja, é necessária a identificação das coordenadas representadas nos planos para a formação da função, reconhecendo e identificando as variáveis dependentes e independentes. O Registro Funcional, que define as letras como variáveis, é a solução do problema, sendo necessária a coordenação dos registros para que este ocorra. Esta situação de ensino foi selecionada em função da grande maioria dos alunos não conseguir coordenar os registros de representação algébricos propostos na situação. 87

É significativo destacar que, dos cinquenta e sete alunos, apenas vinte realizaram a conversão do registro gráfico para o registro funcional, sendo que, dentre estes, dez obtiveram sucesso na atividade de conversão no registro do primeiro gráfico, nove realizaram a conversão entre os registros nos dois gráficos, e, em um caso, podemos identificar uma dificuldade em relação à identificação das ordenadas e abscissas, como podemos observar nas figuras 2, 3 e 4, listadas abaixo: Figura 2: Conversão do RG RF na atividade a e b. Figura 3: Conversão do RG RF na atividade a. Figura 4: Troca de ordenadas. Figura 5: Conversão do RG RLM na atividade a. Na figura 2, o aluno A realiza a conversão do RG RF nas duas situações apresentadas (a e b), ou seja, do Registro Gráfico para o Registro Funcional, porém, identificando x como variável independente. Na figura 3, o aluno B também realiza a conversão do RG RF, porém, podemos perceber que na situação b o aluno não tem êxito 88

em sua resposta, ou seja, não houve a identificação do coeficiente linear, prejudicando a conversão para o Registro Funcional. Na figura 4, percebemos que o aluno C também realiza a conversão do RG RF, porém, percebemos que o aluno possui dificuldades em reconhecer as ordenadas e as abscissas, bem como definir a variável dependente e independente. O aluno D (figura 5) realiza a conversão do RG RLM, ou seja, o aluno identificou a existência de uma regularidade ao escrever que x é o dobro de y, porém, não conseguiu afirmar algebricamente sua proposição, ou seja, possui dificuldades em reconhecer as ordenadas e as abscissas, porém, demonstra compreender as dimensões das letras como incógnita e variável, utilizando, para isso, o registro da língua materna. Observamos ainda, que, dos demais alunos, sete não resolveram a situação de ensino e os demais, ou seja, os trinta alunos, realizaram um tratamento numérico do gráfico, identificando os valores de x e y, como podemos observar na figura 6. Podemos perceber que estes alunos não entendem as letras como variáveis, demonstrando que existe dificuldade na coordenação do RLM RG PF, ou seja, coordenar o Registro da Língua Materna, Registro Gráfico para o Registro Funcional. Figura 6: Tratamento numérico do RG. Através destas análises percebemos a importância e a dificuldade da atividade de conversão entre os registros de representação no ensino de matemática e o reconhecimento deles por parte dos alunos. Pois a conversão entre os registros de representação, especificamente no ensino de Álgebra, permite ao aluno reconhecer diferentes formas de 89

representar uma expressão algébrica, adquirindo uma base concreta para uma aprendizagem de Álgebra mais sólida e rica em significados (BRASIL, 1998, p. 117). No entanto, percebemos que os alunos possuem dificuldades em realizar a conversão entre os diferentes registros de representações inerentes ao conceito algébrico. Pode-se destacar que, como já constatado em análises anteriores (BREUNIG, 2009 e NEHRING e POZZOBON, 2009), a coleção de livros didáticos analisada, a qual propõe tal atividade, não enfatiza a coordenação de registros, bem como, nas salas de aula, como podemos perceber no registro de um aluno nesta atividade, onde destaca que aprendemos a fazer gráficos, mas não tirar a fórmula dele, ou seja, fica evidente que é enfatizada apenas a conversão do sentido Registro Funcional para o sentido do Registro Gráfico, ou seja, existe a ênfase apenas em um sentido, o que não é condição necessária para a apreensão conceitual do ensino de matemática. Considerações Parciais Neste trabalho analisamos uma situação de ensino em relação aos registros de representação, considerando o ensino e a aprendizagem de Álgebra no Ensino Fundamental, com a intenção de compreender as dificuldades e o entendimento apresentado pelos alunos em relação aos conceitos algébricos, enfatizando o Registro Gráfico e o Registro Funcional. Assim, podemos considerar que, segundo Coxford e Shulte (1994), os alunos continuam sendo treinados para armazenar informações e para desenvolver a competência no desempenho de manipulações algorítmicas, ou seja, como podemos observar nos protocolos dos alunos, especificados neste trabalho, a maioria deles realizou apenas o tratamento numérico do Registro Gráfico, identificando apenas os valores de x e y, bem como demonstraram dificuldades em identificar as abscissas e ordenadas, dificultando o desenvolvimento do Registro Funcional. Podemos afirmar que, para que haja um aprendizado significativo por parte dos alunos, é necessário propor:... situações que levem os alunos a construir noções algébricas pela observação de regularidades em tabelas e gráficos, estabelecendo relações, do que desenvolver o estudo da Álgebra apenas enfatizando as manipulações com expressões e equações de uma forma meramente mecânica. (BRASIL, 1998, p. 116). 90

Acreditamos na importância da teoria dos Registros de Representação Semiótica no planejamento e elaboração de situações de ensino, com perspectivas de construção de conceitos matemáticos pelos alunos, considerando, assim, um aprendizado significativo e que possibilita uma apreensão conceitual dos mesmos. Referências BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de Educação. Brasília: MEC, SEF, 1998. (Anos Finais do Ensino Fundamental) BREUNIG, R. T. Os registros de representação e o livro didático. IN: Anais do X Encontro Gaúcho de Educação Matemática. UNIJUI/RS, 2009. COXFORD, Arthur F. e SHULTE, Albert P. As idéias da álgebra. Traduzido por Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. 1ª Edição. São Paulo: SP, Editora Ática, 2002. (Coleção 5ª à 8ª série). DUVAL, Raymond. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: MACHADO, Silvia Dias Alcântara (Org). Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica. Campinas, SP: Papirus, pp. 11-33, 2003. (Coleção Papirus Educação). NEHRING, Cátia Maria e POZZOBON, Marta Cristina Cezar. Um olhar sobre os PCN e o Ensino de Álgebra na Perspectiva dos Registros de Representação. In: CONGRESSO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 1., ENCONTRO REGIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8, ENCOTRO REGIONAL DE ENSINO DE FÍSICA, 3., 2008, Ijuí. Anais... Ijuí, RS: UNIJUÍ-DeFEM, 2008. 1 CD. Comunicação Científica, p. 01-13. (a) NEHRING, C. M.; POZZOBON, M. C. C. A intervenção docente no ensino de álgebra: atividades de livro didático e registros de representação. IN: Anais do X Encontro Gaúcho de Educação Matemática. UNIJUI/RS, 2009. 91