Teoremas de De Morgan

Teoremas de De Morgan Augustus De Morgan - Matemático e lógico britânico. Concebeu as Leis de De Morgan e foi o primeiro a introduzir o termo e tornar rigorosa a idéia de indução matemática. Fonte:http://pt.wikipedia.org/wi ki/augustus_de_morgan

Teoremas de DeMorgan Teorema 1: O complemento de um produto de variáveis é igual a soma dos complementos das variáveis Para duas variáveis

Teorema 1 (cont)

Teoremas de DeMorgan Teorema 2: O complemento da soma de variáveis é igual ao produto dos complementos das variáveis Para duas variáveis

Teorema 2 (cont)

Exemplos 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 3 (cont) Aplicando De Morgan

Exemplo 4 Seja:, e Aplicando De Morgan:

Exemplo 5 Seja:, e Aplicando De Morgan:

Exemplo 6 Seja:, e Aplicando De Morgan para cada termo:

Exemplo 7 A expressão para um exclusive-or é: Usando o Teorema de De Morgan, ou qualquer outra propriedade dá Álgebra Booleana, desenvolva uma expressão para o exclusive-nor De Morgan Propriedade Distributiva

Expressão Algébrica para um Circuito Lógico combinações

Avaliando a Expressão = 1 se se somente se e ou se e se e e Independente dos valores de C e D

e e e Independente dos valores de C e D

Simplificação usando Álgebra Booleana

Propriedade distributiva

Soma de Produtos e Produto de Soma

Domínio de uma Expressão Booleana Conjunto de variáveis contidas na expressão, quer de forma complementada ou nãocomplementada. Domínio: A, B, C Domínio: A, B, C, D

Soma de Produtos (SOP) Toda expressão booleana pode ser representada como uma soma de produtos Soma de Produtos (SOP) Pode aparecer termo isolado

Exemplo 1 : Representação em Formas: Soma de Produtos

Representação em Formas: Soma de Produtos Exemplo 2 :

Escrita de uma expressão como Soma de Produtos (SOP) Se somente variáveis individuais aparecem complementadas, como no exemplo 1, necessitamos apenas usar a Lei Distributiva - Se um sinal de complemento aparecer sobre uma combinação de variáveis, como no exemplo 2, usarmos De Morgan quantas vezes necessárias até que o sinal de complemento apareça apenas sobre variáveis individuais

Conversão para SOP

Representação em Formas Padrão de Soma de Produtos Forma não padrão de soma de produtos Uma expressão padrão SOP é aquela na qual TODAS as variáveis aparecem em cada produto da expressão. Cada termo em uma SOP é denominado Mintermo

Convertendo termos produtos em SOP Passo 1: Multiplique cada termo produto que não seja padrão por um termo constituído pela soma de uma variável que falta e seu complemento. Isto resulta em dois termos produtos (pode-se multiplicar qualquer termo por um sem alterar o valor original) Passo 2: Repita o passo 1 até que todos os termos resultantes contenham todas as variáveis do domínio, quer de forma complementada ou não

Exemplo de conversão 1

Exemplo de conversão 2

Produto de Somas (POS) Pode aparecer termo isolado

Produto de Somas Numa expressão POS,uma barra não pode se estender por mais de uma variável, mas pode ter mais de uma barra em variáveis de um termo SIM NÃO USAR DE MORGAN

Produto de Somas Acima foi usada a propriedade distributiva A + (B + C) = (A + B) (A + C)

Produto de Somas: Exemplo 2

Forma padrão do Produto de Somas O conjunto completo do domínio das variáveis não está representado no primeiro termo O conjunto completo do domínio das variáveis está representado em todos os termos Cada termo em uma POS é denominado Maxtermo

Convertendo um termo soma em POS padrão Passo 1: Para cada produto não-padrão adicione um termo composto pelo produto da variável que falta pelo seu complemento. Passo 2: Aplique a regra: Repita o passo 1 até todos os termos resultantes de soma conterem todas as variáveis do domínio, quer de forma complementada, ou não

Exemplo

Expressões Booleanas e Tabela Verdade

Especificação de Funções em termos de Mintermos f(a,b,c) = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 3 4 5 6 7 f(a,b,c) = m 3 + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 f(a,b,c) = m (3, 4, 5, 6, 7) f(a,b,c) = (3, 4, 5, 6, 7)

Especificação de Funções em termos de Maxtermos f(a,b,c) = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 3 6 f(a,b,c) = M 0. M 1. M 2. M 3. M 6 f (A,B,C) = ΠM (0, 1, 2, 3, 6) f (A,B,C) = Π(0, 1, 2, 3, 6)

Convertendo SOP em Tabela Verdade

Convertendo POS em Tabela Verdade

Relação entre Mintermos, Maxtermos e Tabela Verdade

Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh e Tabela Verdade

Mapa de Karnaugh para 3 variáveis

Mapa de Karnaugh para 4 variáveis

Adjacência de células

Mapeando uma expressão SOP Padrão

Ex: Mapear a expressão abaixo em um mapa de Karnaugh

Ex2: Mapear a expressão abaixo

Mapeando expressões não padrões SOP

Simplificação usando MK: observações importantes A combinação de células que for selecionada deve incluir deve incluir todos as células pelo menos uma vez (uma célula pode aparecer em mais de uma combinação) As combinações devem ser selecionadas com a finalidade de incluir o maior número possível de células, de tal modo que todas as células sejam incluídas pelo menor número de combinações O número de células que deve ser considerado como grupo deve ser uma potência de 2.

Simplificação de expressões SOP usando MK

Implicantes Primos Denominação das combinações (produtos). Pode acontecer que não seja necessário usar todos os primos implicantes p 1 = m 2 + m 3 p 2 = m 8 + m 12 p 3 = m 2 + m 10 p 4 = m 8 + m 10 f = p 1 + p 2 + p 3 ou f = p 1 + p 2 + p 4 OBS: Uso de p 1 é obrigatório, caso contrário m 3 não seria incluído

Determinando a expressão SOP mínima do MK Agrupe as células que contenham 1s. Cada grupo de células contendo 1 s cria um termo produto composto de todas as variáveis que ocorram somente em uma forma (complementada ou não). Determine o termo produto mínimo para cada grupo

Algorítmo que leva à expressão mínima para uma função lógica

Passo 1 Assinalar e considerar como implicante primo essencial qualquer célula que não possa ser combinada com nenhuma outra

Passo 1

Passo 2 Identificar as células que podem ser combinadas com uma única outra célula somente de uma maneira. Assinalar estas combinações. Células que podem ser combinadas em grupos de dois, de mais de uma maneira, são deixados temporariamente de lado

Passo 2

Passo 3 Identificar células que podem ser combinadas com três outras células somente de uma maneira. Se as quatro células de tais combinações ainda não estiverem incluídas em grupos de dois, assinalar a combinação de quatro. Novamente, uma célula que pode ser combinada em um grupo de quatro de mais de uma maneira deve ser deixada temporariamente de lado.

Passo 3

Passo 4 Repetir o processo para grupos de oito, etc.

Passo 5 Se, encerrado o processo, ainda restarem algumas células não inclusas em grupamentos, elas podem ser combinadas umas com as outras ou com células já incluídas em outras grupamentos, lembrando que a intenção é de obter o menor número de grupamentos possível.

Determinando a expressão SOP mínima do MK Cada grupo de células contendo 1 s cria um termo produto composto de todas as variáveis que ocorram somente em uma forma (complementada ou não).

Passo 5

Para um mapa com 3 variáveis: a) um grupo com 1 célula produz um termo produto com 3 variáveis b) um grupo com 2 células produz um termo produto com 2 variáveis c)um grupo com 4 células produz um termo com 1 variável d) um grupo de 8 células produz um valor de 1para a expressão

Para um mapa com 4 variáveis: a) um grupo com 1 célula produz um termo produto com 4 variáveis b) um grupo com 2 células produz um termo produto com 2 variáveis c) um grupo com 4 células produz um termo com 1 variável d) um grupo de 8 células produz um termo com uma variável e) um grupo de 16 células produz um valor de 1 para a expressão

Ex. Determine os termos produtos para o MK abaixo

Use um MK para minimizar a SOP padrão abaixo:

Use um MK para minimizar a SOP abaixo

Mapeando direto de uma tabela verdade

Condições Don t care