9 de Junho de 2011
Gráfico de Controle para Média
Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Construir e interpretar gráficos para variáveis, tais como X, R e S. Construir e interpretar gráficos para proporção de defeituosos e número de defeituosos.
Gráfico de Controle para Média
Quando monitoramos uma medida de qualidade: monitoramos tanto a média quanto sua variabilidade. O controle sobre a média é feito pelo gráfico de controle para médias. Considere que a característica analisada tenha distribuição normal. Suponha que a média (µ) e o desvio-padrão (σ) são conhecidos.
Queremos construir o gráfico de controle para X. Sabemos que X N(µ,σ 2 /n). Então podemos usar µ como linha central. Considerando 3-σ de distância, os limites sã dados por LSC = µ+3σ/ n LS = µ LIC = µ 3σ/ n
Se µ e σ são desconhecidos, podemos estimá-los. Isso é feito com base em uma amostra retirada quando o processo estava sob aparente controle. Recomenda-se no mínimo o uso de 20 a 25 amostras preliminares. Suponha que m amostras preliminares são usadas. Cada uma delas tem tamanho n. Tipicamente n será 4, 5 ou 6.
Seja X i a média da i-ésima amostra. A média da população µ é estimada pela média global ˆµ = X = i X i n. Podemos tomar X como a linha central do gráfico. σ pode ser estimado a partir do desvio-padrão ou amplitude das amostras. Há pouca perda de eficiência ao estimar σ a partir da amplitude.
Precisamos de uma relação entre a amplitude (R) e o desvio padrão (σ). R é uma variável aleatória. Então também é variável aleatória. Temos que amplitude relativa = W = R σ E(W) = d 2 e os valores de d 2 foram tabelado para vários valores de n (Tabela XI). Temos ainda que o desvio padrão de W é dado por Var(W) = d3.
Como R = σw E(R) = µ R = E(σW) = σe(w) = σd 2 ou seja µ r = σd 2 Var(R) = σ 2 R = Var(σW) = σ2 Var(W) = σ 2 d 2 3 ou seja σ r = σd 3.
Seja R i a amplitude da i-ésima amostra. Seja a amplitude média. R é estimador de µr. R = 1 m Como σ = R/W o estimador é não viciado para σ pois ( ) R E(ˆσ) = E d 2 n i=1 ˆσ = R d 2 R i = µ R d 2 = d 2σ d 2 = σ.
Os limites para o gráfico de controle ficam σ R LSC = X + 3 n = X + 3 d 2 n LC = X Definindo os limites ficam σ R LIC = X 3 n = X 3 d 2 n A 2 = 3 d 2 n LSC = X + A2 R LIC = X A2 R.
Gráfico de Controle de X (a partir de R) A linha central e os limites superior e inferior do gráfico são dados por LSC = x + A 2 r LC = x LIC = x A 2 r em que A 2 é tabelada, para vários tamanhos de amostra (Tabela XI).
Exemplo: Uma peça componente de um motor de avião é fabricada por um processo de modelagem. A abertura do rotor nessa modelagem é um parâmetro importante. Queremos construir o gráfico de controle para X. 20 amostras de tamanho 5 são coletadas. Para cada uma dessas amostras as médias são calculadas.
Exemplo: (continuação) A tabela a seguir mostra os dados obtidos.
Exemplo: (continuação) Temos que x = 33, 3 r = 5, 8. Da tabela temos que para um tamanho de amostra 5 A 2 = 0, 577 Então os limites do gráfico de controle de X são x ± A 2 r = 33, 32±(0, 577)(5, 8) = 33, 32± 3, 35.
Exemplo: (continuação) Portanto os limites do gráfico de controle ficam LSC = 33, 32+3, 35 = 36, 67 LC = 33, 32 LIC = 33, 32 3, 35 = 29, 97 Abaixo encontra-se o gráfico construído As amostras 6, 8, 11 e 19 estão fora de controle.
Podemos querer construir um gráfico para verificar a variabilidade do processo. Uma possibilidade é o gráfico de amplitude. A linha central desse gráfico será dada por R = 1 m m R i. i=1 Para determinarmos os limites precisamos estimar o desvio padrão de R. Temos que ou seja R = σw então Var(R) = σ 2 Var(W) σ R = Var(R) = σ Var(W) = σd 3.
Então σ R será estimado por σˆ R = d 3ˆσ mas vimos que e portanto ˆσ = R d 2 R σˆ R = d 3. d 2
Os limites ficam da forma LSC = R + 3d 3 d 2 R = ( 1+ 3d ) 3 R d 2 Definindo LC = R LIC = R 3d 3 d 2 R = D 3 = ( 1 3d ) 3 d 2 ( 1 3d 3 d 2 D 4 = ) R ( 1+ 3d ) 3 d 2 os limites ficam LSC = D 4 R LIC = D 3 R.
Gráfico R A linha central, e os limites superior e inferior de um gráfico para R são LSC = D 4 r LC = r LIC = D 3 r onde r é a amplitude média da amostra. As constantes D 3 e D 4 são tabeladas para vários tamanhos de amostra (Tabela XI).
Observações: O LIC para um gráfico R pode ser um número negativo. Nesse caso, estabelecemos LIC=0. Todos os valores observados de r i serão não negativos. Logo nenhum ponto pode cair abaixo de zero. O gráfico de R deve ser analisado antes do gráfico de X. Se a variação do processo não é constante, os limites calculados para o X podem ser mal interpretados.
Exemplo: Uma peça componente de um motor de avião é fabricada por um processo de modelagem. A abertura do rotor nessa modelagem é um parâmetro importante. Queremos construir o gráfico de controle para R. 20 amostras de tamanho 5 são coletadas. Para cada uma dessas amostras as médias são calculadas.
Exemplo: (continuação) A tabela a seguir mostra os dados obtidos.
Exemplo: (solução) Os limites são dados por: LSC = D 4 r Da tabela X temos LC = r LIC = D 3 r D 3 = 0 D 4 = 2, 115.
Exemplo: (solução) Os limites ficam LSC = D 4 r = (2, 115)(5, 8) = 12, 17 LC = r = 5, 8 LIC = D 3 r = 0(5, 8) = 0 Veja abaixo o gráfico de controle para R. A amostra 9 está fora de controle.
Ao invés de usarmos a amplitude, podemos fazer gráficos para o desvio-padrão. Esse gráfico é chamado gráfico de S. Quando usamos o gráfico de S, usamos o desvio-padrão para encontrar os limites do gráfico de X. Normalmente o tamanho de cada amostra é pequeno (<10). Nesse caso há pouca diferença entre o gráfico X usando R ou S.
Vimos que S é estimador tendencioso σ E(S) = c 4 σ onde c 4 é uma constante próxima de um mas não igual a um. Temos ainda que V(S) = σ 2 (1 c 2 4 ). Então a linha central e os limites do gráfico de controle são LSC = c 4 σ + 3σ 1 c4 2 LC = c 4 σ LIC = c 4 σ 3σ 1 c 4
Suponha que temos m amostras de tamanho n. Seja S i o desvio-padrão da i-ésima amostra. Defina S = n i=1 S i m. Como E( S) = c 4 σ, um estimador de σ é ˆσ = S c 4. Os limites do gráfico são dados por (erro no livro) LSC = c 4 σ + 3σ 1 c 24 = s + 3 s 1 c 2 c4 4 LC = c 4 σ = s LIC = c 4 σ 3σ 1 c 4 = s 3 s c 4 1 c 2 4
Gráfico de S LSC = s+3 s c 4 1 c 2 4 LC = s LIC = s 3 s c 4 1 c 2 4 onde c 4 é encontrado na Tabela X. Observação: no gráfico de S pode o LIC pode resultar em um valor negativo. Nesse caso o que se faz é colocar LIC=0.
Exemplo: Uma peça componente de um motor de avião é fabricada por um processo de modelagem. A abertura do rotor nessa modelagem é um parâmetro importante. Queremos construir o gráfico de controle para R. 20 amostras de tamanho 5 são coletadas. Para cada uma dessas amostras as médias são calculadas.
Exemplo: (continuação) A tabela a seguir mostra os dados obtidos.
Da tabela temos que c 4 = 0, 94 então 3 s c 4 1 c 2 4 345 = 32, 1 0, 94 0, 94 2 = 2, 533.
Então os limites são LSC = 2, 345+2, 553 = 4, 898 LS = 2, 345 LIC = 2, 345 2, 553 = 0, 208 estabelecemos LIC = 0. A amostra 9 está fora de controle.
Podemos construir o gráfico de X a partir de S. Gráfico de Controle de X (a partir de S) O estimador de σ passa a ser ˆσ = s c 4. Os limites ficam LSC = ˆµ+3ˆσ/ n = x + 3 s c 4 n LS = µ = x LIC = ˆµ 3ˆσ/ n = x 3 s c 4 n
Exemplo: Para o exemplo anterior os limites ficam LSC = x + 3 s 3(2, 345) = 33, 32+ c 4 n 0, 94 5 LS = µ = x = 33, 32 LIC = x 3 s 3(2, 345) = 33, 32 c 4 n 0, 94 5