Programa de Iniciação Científica Júnior PIC. Manual

Programa de Iniciação Científica Júnior PIC Manual

Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas OBMEP Coordenador Geral da OBMEP: Claudio Landim (IMPA). Programa de Iniciação Científica PIC Coordenador do PIC: Mário Jorge Dias Carneiro (UFMG). Coordenadora Acadêmica: Claudia Vasconcelos (OBMEP). Coordenadora da Comunidade no Fórum: Sonia Regina Di Giacomo (UFMS). Coordenadores do Fórum: Ana Lúcia da Silva (UEL), Francisco Dutenhefner (UFMG), Luciana Cadar Chamone (MG), Maria Cecília Ribeiro (CEFET MG), Moacir Rosado Filho (UFES) e Victor Gonzalo Lopes Neumann (UFU). Coordenadores Regionais de Iniciação Científica: AC: Jerssiney de Oliveira Escola Joaquim Falcão Macedo, AL: Sinvaldo da Gama UFAL, AM: Danilo Benarós UFAM, AP: Marcio Bahia UNIFAP, BA: Luzinalva Morim UFBA, CE: Onofre Farias C7S, DF: Kellcio Araújo UNB, ES: Luzia Casati UFES, GO: José Hilário UFG, MA: João de Deus da Silva UFMA, MG01: Gilcione Costa UFMG, MG02: Fernanda Moura UFV, MG03: Francinildo Ferreira UFSJ, MG04: Luiz Alberto Salomão UFU, MG05: Marise Silveira Unimontes, MG06: Wevesson Dalmaso Sellin UFVJM, MS: Sonia Regina Di Giacomo UFMS, MT: Martinho Araújo UFMT, PA: Augusto César Costa UFPA, PB: José de Arimatéia UFCG, PE: Jorge Antonio Hinojosa UFRPE, PI: Gilvan de Oliveira UFPI, PR01: Ana Lucia da Silva UEL, PR02: Florinda Miyaoka UFPR, RJ01: Jair Salvador UFRJ, RJ02: Jones Colombo UFF, RJ03: Ivail Muniz Pedro II, RN: José Querginaldo UFRN, RO: Carlos Vinícius Ramos UNIR, RR: Raimundo Nonato Araújo UFRR, RS: Elizabeth aa Costa UFRGS, SC: Lício Bezerra UFSC, SE: Valdenberg da Silva UFS, SP01: José Carlos Rodrigues FTC - UNESP, SP02: Aparecida da Silva IBILCE/UNESP, SP03: Raul Ribeiro Anglo Atibaia, SP04: Pablo Ganassim Etapa, SP05: Debora Bezerra Universidade Metodista de São Paulo, TO: Dirlei Ruscheinsky UFT.

0 Sumário 1 Quase tudo que você deve saber sobre o PIC 1 1.1 O que é a Iniciação Científica?............................. 1 1.2 A equipe......................................... 1 1.3 Como funcionará o PIC-2011.............................. 2 1.4 A Bolsa do CNPq para o PIC.............................. 2 1.5 As obrigações dos alunos que participam do PIC.................... 3 1.6 Como aproveitar bem os encontros presenciais..................... 4 1.7 Como participar do fórum............................... 4 1.8 Algumas boas ideias................................... 4 1.9 Regras de participação no fórum............................ 5 1.10 Certificado........................................ 5 1.11 Encontro do Hotel de Hilbert.............................. 6 1.12 O Hotel de Hilbert.................................... 6 2 Conteúdos 7 2.1 Grupo 1 Nível 1 Multiplicidade 1.......................... 7 2.2 Grupo 2 Nível 1 Multiplicidade 2 e Nível 2 Multiplicidade 1........... 8 2.3 Grupo 3 Nível 2 Multiplicidade 2 e Nível 3 Multiplicidade 1........... 8 2.4 Grupo 4 Nível 2 Multiplicidade 3 e Nível 3 Multiplicidade 2........... 9 2.5 Grupo 5 Nível 2 Multiplicidade 4 e Nível 3 Multiplicidade 3........... 9 2.6 Grupo 6 Nível 3 Multiplicidades 4, 5, 6 e 7..................... 10 3 O que é TEX? 11 3.1 Knuth inventou o TEX.................................... 11 3.2... e Lamport criou o LATEX............................... 12 4 Escrevendo e desenhando no fórum 15 4.1 Exemplos Básicos.................................... 15 4.2 Letras Gregas...................................... 16 4.3 Aritmética........................................ 16 4.4 Geometria........................................ 17 4.5 Setas........................................... 17 iii

iv Sumário 4.6 Símbolos Diversos.................................... 18 4.7 Conjuntos........................................ 18 4.8 Matrizes e Determinantes................................ 18 4.9 Somatórios e Produtórios................................ 19 4.10 Diversos......................................... 20 4.11 Construindo figuras com LATEX............................. 20 5 Calendário dos Encontros 23 6 Coordenadores Regionais de Iniciação Científica CRICS 45 7 O PECI 49

1 Quase tudo que você deve saber sobre o PIC Você foi convidado a participar do Programa de Iniciação Científica da OBMEP (PIC). Antes de tudo, entenda que participar desse Programa é um privilégio porque você vai aprender Matemática muitíssimo interessante e tecnologias modernas de comunicação, e ainda conhecer muitos colegas que também têm interesse pela Matemática. É muito importante que você conheça o que é esse Programa, quais são as suas obrigações como aluno ou como bolsista e que se prepare para aproveitá-lo da melhor maneira possível. Vamos lá! 1.1 O que é a Iniciação Científica? A Iniciação Científica em Matemática serve para transmitir aos alunos cultura matemática básica e treiná-los no rigor da leitura e da escrita de resultados, nas técnicas e métodos, na independência do raciocínio analítico, entre outros. Serve também para estimular a criatividade através do confronto com os problemas interessantes da Matemática. 1.2 A equipe Como todas as atividades da OBMEP, o PIC é de responsabilidade da Direção Acadêmica da OBMEP, que conta com a seguinte equipe para sua execução: Coordenação Acadêmica Coordenadores Regionais de Iniciação Científica (CRIC) Administradores do Fórum (AF) Coordenadores do Fórum (CF) 1

2 Quase tudo que você deve saber sobre o PIC Moderadores do Fórum (MF) Professores Orientadores (PO) Monitores Os Coordenadores Regionais de Iniciação Científica (CRIC s), em sua maioria professores universitários, são os responsáveis regionais pelo PIC. Consulte-os sempre que achar necessário. Os dados para contato podem ser encontrados na página 45 ou no site www.obmep.org.br. Os Administradores do Fórum e os Coordenadores do Fórum dirigem os trabalhos virtuais num fórum, batizado em 2009 de Hotel de Hilbert (HH). Os Professores Orientadores e os Monitores trabalham com os alunos em encontros presenciais. A Coordenação Acadêmica, sediada no IMPA, dá o suporte administrativo a todas as atividades do PIC. 1.3 Como funcionará o PIC-2011 O PIC consta das seguintes atividades: Dez encontros presenciais. Discussões virtuais Hotel de Hilbert. Tarefas para serem executadas em casa e no Hotel de Hilbert. Estudo em grupo ou individual em casa. Atividades virtuais. Os encontros presenciais são dirigidos por Professores Orientadores e neles os alunos recebem o material de estudo, orientação e o cronograma de Estudos sobre os temas a serem estudados entre dois encontros. Esse material é discutido no fórum, entre os alunos, sob orientação dos Moderadores do Fórum. Os Professores Orientadores e os Moderadores em sua maioria são professores universitários. 1.4 A Bolsa do CNPq para o PIC Ser bolsista do CNPq é um diferencial importante na vida dos alunos pela excelência que caracteriza essa bolsa e, com certeza, é uma valorização especial do currículo escolar. Espera-se de um bolsista uma grande dedicação ao Programa, e que sua participação seja uma experiência enriquecedora pessoal e acadêmica, a marcá-lo por toda a sua vida. Atenção! Só pode ter bolsa do CNPq o aluno que durante a vigência do PIC estiver regularmente matriculado em escola pública. Por isso, no início do programa e em janeiro de 2013, você deverá enviar o comprovante de matrícula em escola pública.

As obrigações dos alunos que participam do PIC 3 1.5 As obrigações dos alunos que participam do PIC Bom desempenho nas atividades de estudos: atenção, dedicação, cumprimento das tarefas; Assiduidade nas aulas presenciais de no mínimo 80%; Participação regular nas atividades no Hotel de Hilbert. A ausência do fórum por um período superior a 45 dias acarretará no desligamento automático do programa; Cumprir do Calendário do PIC; Enviar os documentos solicitados; Manter seus dados atualizados; Atender as normas disciplinares do PIC. Além dos encontros presenciais, os alunos devem dedicar 4 a 6 horas semanais, no mínimo, para cumprir suas atividades no PIC (estudar conteúdos, resolver problemas, participar do fórum, etc.). E ainda: os alunos terão uma avaliação a cada encontro presencial com o Professor Orientador e tarefas quinzenais no fórum. Os alunos do Nível 3 com multiplicidades 4, 5, 6 e 7 terão avaliações mensais no fórum, que substituirão as avaliações presenciais dos demais alunos. Essas tarefas e avaliações receberão um conceito A,B,C,D ou E, de acordo com o critério: A = ótimo B = bom C = deve melhorar D = precisa melhorar muito E = insuficiente ou não postou no fórum O não cumprimento de uma dessas obrigações pode levar ao desligamento do aluno do Programa e ao cancelamento da bolsa. Os alunos do Nível 1, multiplicidades 1 e 2, do Nível 2, multiplicidades 1, 2, 3 e 4, e do Nível 3, multiplicidades 1, 2 e 3, que receberem cinco conceitos E nas tarefas quinzenais no fórum ou tiverem mais de duas faltas nos encontros presenciais serão desligados do Programa e, se bolsistas, terão suas bolsas canceladas. Os alunos do Nível 3, multiplicidades 4,5, 6 e 7, que receberem cinco conceitos E nas tarefas quinzenais no fórum ou receberem dois conceitos E nas avaliações mensais no fórum serão desligados do Programa e, se bolsistas, terão suas bolsas canceladas.

4 Quase tudo que você deve saber sobre o PIC 1.6 Como aproveitar bem os encontros presenciais Não espere aulas expositivas como as da escola, elas serão raras. Discuta com seu Professor Orientador e colegas os assuntos e problemas tratados no fórum. Avalie com o Professor Orientador o cumprimento do seu cronograma de estudos. Apresente pontualmente as tarefas que lhe foram solicitadas. Estude com antecedência o material a ser tratado no encontro presencial e aproveite esses encontros para esclarecer as dúvidas. 1.7 Como participar do fórum O endereço do fórum é www.obmep.org.br/forum. O seu acesso ao fórum será mediante o login e a senha. Acesse o fórum com frequência para estar em dia com os assuntos em discussão. Participe das discussões com perguntas, sugestões, dúvidas e respostas. Tente resolver os problemas e postar soluções ou ideias de solução. Tire suas dúvidas sobre os textos estudados. Sinta-se à vontade para propor problemas. Lembre-se de que existem várias maneiras de resolver um mesmo problema. Assim, se um determinado problema no fórum já foi resolvido, leia a solução do seu colega com atenção. Caso tenha alguma dúvida, peça esclarecimentos. Escreva também a sua solução no fórum, mesmo que o problema já tenha sido resolvido. Obedeça às regras de participação no fórum. 1.8 Algumas boas ideias Mantenha-se em dia com o seu Cronograma de Estudos não se atrase! Tente ler tudo de primeira mão, antes de qualquer explicação. Caso não entenda, não se desespere, isso é absolutamente normal e um excelente exercício para o seu cérebro. Leia outra vez e muitas outras vezes mais. Não desista nunca, alguns assuntos e problemas são mesmo duros de vencer e exigem tempo, paciência e garra. Estude com antecedência o material a ser tratado no encontro presencial ou no fórum. Aproveite para se tornar um autodidata e usufruir disso pelo resto da vida!

Regras de participação no fórum 5 1.9 Regras de participação no fórum 1. As regras de convivência e boas maneiras usuais em qualquer sala de aula são essenciais no fórum. 2. Aqui utilizamos o português formal. Não use linguagem de internet, como vc no lugar de você, Aki no lugar de aqui, etc. 3. Não escreva o texto todo em maiúsculas. Utilize maiúsculas apenas quando necessário. 4. Evite usar fontes grandes demais ou pequenas demais. 5. Evite abusar de cores nas mensagens. Elas só devem ser usadas para destacar parte da mensagem. 6. Não esqueça que este fórum é um ambiente de ensino-aprendizagem. Não escreva ou coloque imagens que fujam desse interesse. 7. Mensagens que fogem ao conteúdo abordado em determinado subfórum podem ser movidas para outros subfóruns e as que fugirem ao conteúdo do fórum podem ser apagadas. 8. Antes de criar um novo tópico, verifique se um tópico com o mesmo problema ou assunto já foi criado, evitando a duplicação de tópicos. 9. Não coloque um novo problema em um tópico já criado. Se você quer propor um novo problema, crie um novo tópico. 10. Links para sites externos são permitidos somente quando tratar de material relacionado ao conteúdo estudado no fórum. 11. Para usar imagens, faça upload diretamente no fórum. Não utilize sistema de compartilhamento de terceiros porque nesses sistemas as imagens são apagadas após determinado tempo. 12. Procure escrever mensagens com enunciados de problemas completos e soluções claras. Use a ferramenta LATEX para conteúdos com equações e símbolos matemáticos. 13. Procure colocar no título das mensagens uma descrição do problema proposto, como Altura do triângulo a partir dos lados. Jamais utilize títulos do tipo: Mais um problema, Resolvam essa, Problema Fácil. 14. O fórum poderá ser fechado em dias específicos para manutenção técnica ou em dias de provas importantes, como a primeira fase da OBMEP. O principal objetivo do fórum é a troca de conhecimento entre todos os seus usuários. Não se preocupe em postar apenas as soluções para os problemas propostos. Escreva soluções ainda que incompletas, leia as soluções de seus colegas de turma, esclareça suas dúvidas e as de seus colegas, seja participativo. Além da discussão de problemas, o fórum deve ser usado também para que o aluno esclareça dúvidas sobre a teoria estudada. 1.10 Certificado Os alunos que cumprirem o programa, com bom aproveitamento e assiduidade, receberão um certificado de participação.

6 Quase tudo que você deve saber sobre o PIC 1.11 Encontro do Hotel de Hilbert Fique atento! A partir de 2012 o EHH (Encontro do Hotel de Hilbert) será dirigido a no máximo 200 alunos selecinados de acordo com o seu desempenho no PIC. Esse encontro a ser realizado em julho de 2013 terá a duração de 5 dias e constará de minicursos, gincanas e atividades sociais, culturais e esportivas. 1.12 O Hotel de Hilbert Em 2010 a Coordenação Acadêmica da OBMEP lançou entre os alunos um concurso para batizar o fórum do PIC. A proposta vencedora foi Hotel de Hilbert, sugerida pelo aluno REILTON BERNARDES DOS SANTOS COUTINHO, de Salvador Bahia. Quem foi Hilbert? O alemão David Hilbert (1862 1943) foi um dos maiores matemáticos do século XX, com importantes contribuições em diversos ramos da matemática. Em 1900, ministrou uma importante conferência no Congresso Internacional de Matemáticos, na qual propôs uma lista de problemas em aberto, os quais segundo Hilbert, deveriam nortear a matemática do século. Saiba mais sobre o Hotel de Hilbert O Hotel de Hilbert é o cenário de vários resultados contra-intuitivos. Considere um hotel com infinitos quartos, com os números 1, 2, 3,.... Suponha que todos os quartos estejam ocupados e chega um novo hóspede. Como a gerência do hotel poderá acomodar o novo hóspede? A solução é fácil. Basta passar o hóspede do quarto 1 para o 2, o do 2 para o 3 e assim por diante. O novo hóspede poderá ser então acomodado no quarto 1. Solução análoga poderá ser aplicada se chega ao hotel um ônibus com qualquer quantidade finita de hóspedes. Suponha agora que chegue ao hotel um ônibus com uma quantidade infinita de passageiros, acomodados nas poltronas 1, 2, 3,.... Como a gerência pode acomodar estes infinitos hóspedes? A solução ainda é fácil. Basta passar o hóspede do quarto 1 para o 2, o do 2 para o quarto 4, o do 3 para o 6 e assim por diante, isto é, o hóspede do quarto n passa ocupar o quarto 2n. Procedendo assim, todos os quartos ímpares ficarão vazios e poderão ser ocupados pelos passageiros do ônibus. Deixamos agora o seguinte problema: Suponha que estão para chegar ao hotel infinitos ônibus marcados com os números 1, 2, 3,.... Cada um destes ônibus trará infinitos passageiros que estão acomodados em poltronas numeradas com 1, 2, 3,.... O Hotel de Hilbert poderá receber todos estes hóspedes? Se a resposta for afirmativa, ajude o gerente a fazer a distribuição dos quartos.

2 Conteúdos Os conteúdos estudados no PIC variam de acordo com o nível (1, 2 ou 3) e com o número de participações no programa, o qual chamamos de multiplicidade. Assim, um aluno que participa pela segunda vez do programa tem multiplicidade 2. 2.1 Grupo 1 Nível 1 Multiplicidade 1 (1) Aritmética: Discussão de alguns problemas do tema paridade para motivação inicial. Sistema decimal e operações. Bases numéricas. Aritmética sem álgebra. (2) Resolução de problemas. Algoritmo da divisão. Múltiplos e divisores. Critérios de divisibilidade: 2, 3, 5, 9 e 10. Números primos. Fatoração numérica: decompor um número em fatores primos. Resto da soma e do produto. (3) Resolução de problemas. MMC e MDC. (4) Geometria: Medida, comprimento e razão de segmentos. Reconhecer e identificar as principais figuras geométricas: ponto, reta, segmento, triângulo, quadrilátero, polígonos, etc. Ângulos e medida de ângulos. Comentar sobre o uso do transferidor. Quando falar das propriedades de triângulos, comentar a desigualdade triangular como condição de existência. Propriedades dos triângulos e quadriláteros; triângulos isósceles e eqüiláteros, paralelogramos e trapézios. (5) Ângulos entre retas paralelas cortadas por uma transversal, soma dos ângulos de um triângulo, bissetriz, mediatriz, altura. Lugares geométricos básicos. Circunferência e propriedades. (6) Áreas e perímetros de figuras geométricas simples: retângulos, triângulos, paralelogramos e trapézios. Áreas e perímetros em malhas quadriculadas. (7) Dobraduras. Problemas sobre todos os assuntos estudados nos 3 módulos. (8) Combinatória: Exploração do princípio multiplicativo através da resolução de vários exemplos dos materiais selecionados. 7

8 Conteúdos (9) Probabilidade Princípios básicos. (10) Atividades de Contagem a partir da Criptografia. 2.2 Grupo 2 Nível 1 Multiplicidade 2 e Nível 2 Multiplicidade 1 (1) Aritmética: Discussão de alguns problemas do tema paridade para motivação inicial. Sistema decimal e operações. Bases numéricas. Aritmética sem álgebra. (2) Resolução de problemas. Algoritmo da divisão. Múltiplos e divisores. Critérios de divisibilidade: 2, 3, 5, 9 e 10. Números primos. Fatoração numérica: decompor um número em fatores primos. Resto da soma e do produto. Aritmética com álgebra. (3) Resolução de problemas. MMC e MDC. (4) Geometria: Medida, comprimento e razão de segmentos. Reconhecer e identificar as principais figuras geométricas: ponto, reta, segmento, triângulo, quadrilátero, polígonos, etc. Ângulos e medida de ângulos. Comentar sobre o uso do transferidor. Quando falar das propriedades de triângulos, comentar a desigualdade triangular como condição de existência. Propriedades dos triângulos e quadriláteros; triângulos isósceles e eqüiláteros, paralelogramos e trapézios. Ângulos entre retas paralelas cortadas por uma transversal, soma dos ângulos de um triângulo, bissetriz, mediatriz, altura. Circunferência e propriedades. (5) Congruência e semelhança de triângulos. (6) Áreas e perímetros de figuras geométricas simples: retângulos, triângulos, paralelogramos e trapézios. Áreas e perímetros em malhas quadriculadas. Teorema de Pitágoras. (7) Dobraduras. Problemas sobre todos os assuntos estudados nos 3 encontros. (8) Contagem:Exploração do princípio multiplicativo através da resolução de vários exemplos dos materiais selecionados. (9) Probabilidade Princípios básicos. (10) Criptografia. 2.3 Grupo 3 Nível 2 Multiplicidade 2 e Nível 3 Multiplicidade 1 (1) Aritmética: Números naturais. Sistema decimal Posicional. Múltiplos e divisores, critérios de divisibilidade (2, 3, 5, 9, 10), Potenciação. Números primos, crivo de Erastóstenes. Teorema Fundamental da Aritmética.

Grupo 4 Nível 2 Multiplicidade 3 e Nível 3 Multiplicidade 2 9 (2) Números inteiros (múltiplos, divisores, paridade, MMC, MDC). Algoritmo de Euclides, relação de Bezout. Equações Diofantinas Lineares. (3) Aritmética dos restos e critérios de divisibilidade. Equações Diofantinas. (4) Geometria Semelhança de triângulos. Teorema de Pitágoras (história, enunciado, recíproca, ternos pitagóricos, generalização, teorema do espaço). (5) Áreas. O número π. Problemas. (6) Trigonometria do triângulo retângulo. (7) Introdução às construções geométricas elementares, lugares geométricos. (8) Combinatória e Probabilidade: (9) Métodos de contagem e probabilidade. (10) Contagem. (11) Princípio da Casa dos Pombos. 2.4 Grupo 4 Nível 2 Multiplicidade 3 e Nível 3 Multiplicidade 2 (1) Aritmética: Algoritmo da Divisão. Algoritmo de Euclides. Aplicações da Relação de Bèzout (2) Equações Diofantinas Lineares. Congruências. (3) Teorema Chinês do Resto. Criptografia RSA. (4) Geometria: Áreas. (5) Construções Elementares. Lugares Geométricos. Expressões Algébricas. (6) Trigonometria. (7) Combinatória e Probabilidade: Métodos de Contagem. Probabilidade. (8) Mais Permutações e Combinações. Probabilidade Condicional. (9) Indução: Indução Matemática aplicações. (10) Indução Matemática problemas.

10 Conteúdos 2.5 Grupo 5 Nível 2 Multiplicidade 4 e Nível 3 Multiplicidade 3 (1) Aritmética e Criptografia: Divisibilidade e restos. Congruência e equações diofantinas. (2) Aritmética Modular. Teorema de Euler (via teoria de números, sem usar grupos). (3) Sistemas de Congruências. Teorema Chinês do Resto. Criptografia RSA. (4) Geometria: Desigualdades. Movimentos rígidos e congruência. Ângulos. (5) Área. Problemas diversos. (6) Geometria analítica plana: coordenadas, distâncias, equações da reta, ângulo entre retas, área de um triângulo, circunferência (7) Números Complexos e Equações Algébricas: Forma algébrica e forma trigonométrica de um número complexo. Raízes da unidade. (8) Polinômios complexos. Divisão de polinômios. Redução do grau de uma equação algébrica. Teorema Fundamental da Álgebra. Relação entre coeficientes e raízes. (9) Grafos: conceitos, contagem de arestas, grafos de Euler. (10) Grafos: isomorfismo, árvores, teorema de Euler, grafos orientados. 2.6 Grupo 6 Nível 3 Multiplicidades 4, 5, 6 e 7 Para estes alunos será desenvolvido um curso inteiramente no fórum. Os alunos que participaram deste programa em 2011 terão um programa diferenciado o qual abordará os assuntos Vetores e Matrizes. (1) Jogos Combinatórios Jogos: pseudo-jogos - brincadeiras, simetria, posições vencedoras, análise a partir do final do jogo - um método para encontrar posições vencedoras. (2) Invariantes: introdução, coloração, restos como invariantes. (3) Desigualdades: quem é maior?, a desigualdade principal, indução e desigualdades, transformações, desigualdades para todos. (4) Geometria Analítica Plana: Coordenadas na reta e no plano, distância entre dois pontos, gráfico de uma função, a reta como gráfico de uma função afim. (5) Retas paralelas, reta paralela a uma reta por um ponto dado, reta que passa por dois pontos dados, retas perpendiculares.

Grupo 6 Nível 3 Multiplicidades 4, 5, 6 e 7 11 (6) Linhas de nível, a reta como linha de nível, desigualdades lineares, retas paralelas e retas coincidentes, distância de um ponto a uma reta. (7) Sistemas lineares com duas incógnitas, equações paramétricas. (8) Vetores no plano, o produto interno de dois vetores. (9) Combinações afins, projeção ortogonal de um vetor. (10) Áreas do paralelogramo e do triângulo, mudança de coordenadas.

3 O que é TEX? 3.1 Knuth inventou o TEX... O problema de escrever matemática no computador surgiu na década de 70. Um dos primeiros grandes matemáticos a pesquisar em Ciência da Computação, Donald Knuth da Universidade de Stanford, encontrou uma solução que continua atual mais de trinta anos depois. Por volta de 1976, Knuth tinha escrito os dois primeiros volumes da coleção e Art of Computer Programming e estava totalmente insatisfeito com o resultado impresso. Ele não queria apenas que o livro fosse impresso, mas queria algo belo. Knuth partiu para a busca de uma solução. Um dos primeiros passos foi a interrupção de sua pesquisa por um ano para, acompanhado por sua esposa, assistir aulas de design com o professor de arte de Stanford, Matthew Kahn. A ideia era tentar capturar a essência do design, não apenas seu visual. Por exemplo, como um processador deveria quebrar as linhas em um parágrafo? Esteticamente, o ideal é que não existam espaços excessivos entre as palavras e que não existam muitos hifens. Knuth 13

14 O que é TEX? transformou esse problema em combinatória e fez um algoritmo que calcula a maneira ótima de quebrar as linhas em um parágrafo. Como resultado do seu trabalho, surgiram o processador de textos TEX e o sistema de descrição de fontes METAFONT, ambos colocados em domínio público. O TEX foi projetado com dois objetivos principais em mente: permitir que qualquer pessoa possa produzir livros de alta qualidade com um esforço razoável e dar exatamente o mesmo resultado em todos os computadores, agora e no futuro. 3.2... e Lamport criou o L A TEX No início da década de 80, o matemático Leslie Lamport planejava escrever o livro Great American Concurrency Book e digitar utilizando TEX. Ele escreveu um conjunto de macros que facilitaram bastante o trabalho. Essas macros foram posteriormente colocadas em domínio público. Era o início do LATEX. Lamport até hoje não escreveu o livro pretendido, mas em 1986 lançou o livro LATEX: A Document Preparation System, que ajudou a popularizar o LATEX. De lá para cá, vários conjuntos de macros para TEX surgiram, como ConTeXt e JadeTeX, mas sem dúvida o LATEX é o mais utilizado. Hoje o TEX é popular em todo o mundo, principalmente na área acadêmica, notadamente em matemática, física, ciência da computação e engenharias. Uma das vantagens do LATEX é a sua modularização. Qualquer um pode escrever um conjunto de macros que automatizam determinados procedimentos e facilitam a vida de todos. No caso do LATEX, estas macros são chamadas de pacotes e existem milhares de pacotes escritos por centenas de usuários ao redor do mundo. A principal desvantagem inicial do TEX é que não é um editor WYSIWYG (acrônimo da expressão em inglês What You See Is What You Get O que você vê é o que você recebe). Isto significa que digitamos o texto usando uma linguagem específica, compilamos e depois vemos o resultado. Isto pode parecer muito estranho para quem está acostumado a editores WYSIWYG, como o Word, mas é uma barreira que pode ser facilmente superada.

... e Lamport criou o L A TEX 15 Curiosidades Knuth até hoje não terminou a coleção e Art of Computer Programming. Dos sete volumes previstos inicialmente, somente três volumes completos foram lançados, além de cinco fascículos do volume 4. Ele recebeu inúmeros prêmios como pesquisador em Ciência da Computação e em agosto de 1999 seu nome foi dado a um pequeno planeta descoberto por P. Pravec and P. Kusnirák. Desde 2001, Lamport é pesquisador da Microso. Existem versões de TEX para praticamente todos os sistemas operacionais, incluindo Windows, Mac OS X e Linux. O código fonte do TEX foi colocado em domínio público, e Knuth recomenda modificações ou experiências com esse código fonte, mas, para garantir a mesma saída em todas as versões do TEX, ele deseja que qualquer novo programa obtido tenha outro nome. Para garantir isso, a American Mathematical Society registrou a marca TEX e qualquer implementação do sistema deve passar por um teste antes de ser chamada de TEX. O nome TEX deve ser pronunciado como tekh. O X representa a letra grega χ (chi). TEX é uma abreviação de τεχνη (techn), que também é a origem da palavra técnico. Knuth escreveu cinco livros sobre TEX: e TEX book, TEX: e Program, e META- FONT book, METAFONT: e Program e Computer Modern Typefaces, todos lançados pela Addison-Wesley. As versões de TEX são numeradas como aproximações do número π. A versão atual é a 3.141592. Knuth deseja que, após a sua morte o TEX não seja alterado, com exceção da versão, que deverá ser a π. Analogamente, as versões de METAFONT são numeradas como aproximações do número e, base dos logaritmos naturais. Atualmente, os grupos de usuários TEX (www.tug.org) de diversos países são responsáveis pela distribuição, manutenção e atualizações nas macros para TEX.

4 Escrevendo e desenhando no fórum O fórum do Programa de Iniciação Científica está associado a uma instalação do programa LATEX, utilizado para digitar matemática. Para tal, você deve digitar [tex] comandos [/tex]. Por exemplo, digitando [ t e x ] \ f r a c { 3 } { 8 } [ / t e x ] o sistema converterá seu código para uma imagem contendo 3. A imagem só é exibida na mensagem 8 a ser visualizada clicando no botão Prever ou no botão Enviar. Sugerimos que você aprenda inicialmente a escrever os exemplos básicos abaixo, os quais representam mais de 90% da utilização do LATEX no fórum. 4.1 Exemplos Básicos 3+5... 3 + 5 7-2... 7 2 \times... 3\times2... 3 2 3\cdot2... 3 2 \frac{3}{8}... 3 8 3/8... 3/8 \dfrac{3}{8}... 3 8 20\div3... 20 3 \ne... \pm... ± 10\%... 10% a_1... a 1 b_{23}... b 23 x^{11}... x 11 \sqrt{2}... 2 3 \sqrt[3]{2}... 2 <... < 2<3... 2 < 3 \le... a\le b... a b \ge... a\ge b... a b (1,2)... (1, 2) [1,2]... [1, 2] \{... { \}... } \{1,2\}... {1, 2} \mid-3\mid... 3 17

18 Escrevendo e desenhando no fórum Atenção! A melhor maneira de aprender a digitar em LATEX é praticando. Você não precisa decorar todos os comandos. Consulte-os neste manual, quando precisar. Após alguma prática, você já conhecerá os principais comandos e com certeza terá prazer em escrever usando o LATEX. 4.2 Letras Gregas \pi... \Pi... \alpha... \beta... \gamma... \Gamma... π Π α β γ Γ \Delta... \delta... \epsilon... \phi... δ ϵ ϕ λ \lambda... \mu... µ \rho... \sigma... \Sigma... \theta... \Omega... \omega... ρ σ Σ θ Ω ω 4.3 Aritmética \equiv... \pmod{n}... (mod n) a\equiv b\pmod{n}... a b (mod n) \phi(n)... ϕ(n) \lfloor x\rfloor... x \lceil x\rceil... x

Geometria 19 4.4 Geometria \angle ABC... \measuredangle ABC... A\hat{B}C... \widehat{abc}... r\parallel s... r\perp s... ABC ABC AˆBC \circ... 90^{\circ}... \overline{ab}... \vec{v}... v \arco{ab}... AB 1 \triangle ABC... ABC \cong... = \triangle ABC \cong \triangle XYZ ÂBC r s r s ABC = XYZ 90 AB \sim... \triangle ABC \sim \triangle XYZ ABC XYZ 4.5 Setas \iff... \Rightarrow... \Leftarrow... \Longrightarrow... = \longrightarrow... \mapsto... \rightarrow... \searrow... \downarrow... \swarrow... \leftarrow... \nwarrow... \uparrow... \nearrow... 1 Comando personalizado para o fórum

20 Escrevendo e desenhando no fórum 4.6 Símbolos Diversos \$... $ \dots..... \ldots..... \vdots.... \cdots... \ddots..... \ell...l \infty... \therefore... \approx... \bullet... \diamond... \Diamond... \Box... \heartsuit... \spadesuit... \diamondsuit... \clubsuit... \star... \bigstar... \square... \blacksquare... \TeX... TEX \LaTeX... LAT E X \S... \P... 4.7 Conjuntos \in... \not\in... \subset... \not\subset... \cap... \cup... \emptyset... \mathbb{n}... \mathbb{z}... \mathbb{q}... N Z Q R C P(X) \mathbb{r}... \mathbb{c}... \mathcal{p}(x)... 4.8 Matrizes e Determinantes 1 2 \begin{matrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{matrix}... 3 4 ( ) 1 2 \begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}... 3 4 [ ] 1 2 \begin{bmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{bmatrix}... 3 4 { } 1 2 \begin{bmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{Bmatrix}... 3 4 \begin{vmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{vmatrix}... 1 2 3 4

Somatórios e Produtórios 21 \begin{vmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{Vmatrix}... \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}... \det{a}... 4.9 Somatórios e Produtórios 1 2 3 4 1 2 3 det A n \sum_{i=1}^{n} i^2... i=1 i2 n \displaystyle\sum_{i=1}^{n} i^2... i 2 i=1 100 \sum_{i=1}^{100} i(i+1)... i=1 i(i + 1) 100 \displaystyle\sum_{i=1}^{100} i(i+1)... i(i + 1) i=1 10 i \prod_{i=1}^{10} \frac{i}{i+1}... i=1 i+1 10 i \displaystyle\prod_{i=1}^{10} \frac{i}{i+1}... i + 1 i=1 \displaystyle\sum_{i\ge 1} \frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6}... i 1 1 i 2 = π2 6

22 Escrevendo e desenhando no fórum 4.10 Diversos \begin{cases}x+y=10\\ x-y=4\end{cases}... { x + y = 10 x y = 4 40 {}}{ 1\overbrace{22\dots2}^{40}5... 1 22... 2 5 \underbrace{11\dots1}_{100}... 11 }{{... 1 } 100 (\dfrac{ax+b}{cx+d})... ( ax + b cx + d ) ( ) ax + b \left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)... cx + d Você poderá praticar e aprender mais sobre LATEX no fórum de Suporte. Acesse o tópico Escrevendo Matemática com comandos LAT E X. No mesmo fórum, você aprenderá a inserir imagens e a criar figuras com o LATEX. 4.11 Construindo figuras com L A TEX É possível fazer desenhos dos mais variados tipos usando LATEX. Existem centenas de pacotes para fazer figuras. No fórum foram instalados os pacotes pstricks e pst-eucl. Os comandos para desenhar figuras devem estar entre as tags [teximg] e [/teximg]. Apresentamos a seguir alguns exemplos básicos de figuras feitas com pstricks. Em todos os casos, a imagem mostrada à direita contém, para facilitar a compreensão, uma grade de pontos que não consta no código exibido.

Construindo figuras com L A TEX 23 4.11.1 Traçando segmentos de reta Os comandos abaixo definem uma caixa com extremidades (0,0) e (4,4) e três segmentos de reta que têm por extremidades os pontos designados. O parâmetro opcional no segundo segmento ([linestyle=dashed]) muda o estilo da linha para tracejado. 4 \begin{pspicture}(0,0)(4,4) \psline(0,1)(1,4) \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,4) \psline{->}(1,0)(4,3) \end{pspicture} 3 2 1 0 0 1 2 3 4 4.11.2 Circunferências Para construir uma circunferência, devemos informar o centro e o raio com o comando \pscircle(x,y){r}, sendo (x,y) as coordenadas do centro da circunferência e r o raio. Na segunda circunferência, aumentamos a espessura da linha com o parâmetro [linewidth=2pt]. 4 \begin{pspicture}(0,0)(4,4) \pscircle(2,2){2} \pscircle[linewidth=2pt](3,3){1} \end{pspicture} 3 2 1 0 0 1 2 3 4

24 Escrevendo e desenhando no fórum 4.11.3 Rotulando Pontos O pacote pst-euclides nos permite dar nome aos pontos e depois utilizar os nomes dados para fazer outras construções. O comando \pstgeonode[posangle=α](x,y){nome} marca um ponto de coordenadas (x,y) com o rótulo Nome. O ângulo do rótulo em relação ao ponto é dado pelo parâmetro opcional PosAngle. B 4 \begin{pspicture}(0,0)(4,4) \pstgeonode(4,3){a} \pstgeonode[posangle=90](1,4){b} \pstgeonode[posangle=180](0,1){c} \pstgeonode[posangle=-90](3,0){d} 3 2 A \psline(a)(b)(c)(d)(a) \end{pspicture} C 1 4.11.4 Utilizando coordenadas polares 0 0 1 2 3 4 É possível utilizar coordenadas polares para definir os pontos. Neste caso, devemos indicar a distância r do ponto à origem e o ângulo θ formado entre o segmento de reta que une esse ponto à origem e o eixo x. As coordenadas polares devem ser separadas por ponto e vírgula: (r;θ). 2 D \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \psline(2;0)(2;72) \psline(2;72)(2;144) \psline(2;144)(2;216) \psline(2;216)(2;288) \psline(2;288)(2;0) \psline[linestyle=dashed](2;0)(2;144) \pscircle(0,0){2} \end{pspicture} 1 0-1 -2-2 -1 0 1 2

5 Calendário dos Encontros A parte presencial do Programa de Iniciação Científica será realizada em dez encontros presenciais, cada um com 8 horas/aula. Os Coordenadores Regionais de Iniciação Científica devem indicar as datas dos encontros nos polos, respeitando o seguinte calendário. Encontro Datas Prováveis Zero A partir de 19/05/12 1 02/06/12 2 30/06/12 3 28/07/12 4 18/08/12 5 01/09/12 6 22/09/12 7 20/10/12 8 10/11/12 9 24/11/12 10 15/12/12 Nas páginas a seguir, você encontrará espaço para anotar a agenda dos encontros presenciais. Nossa sugestão é que você faça a anotação no final da aula, juntamente com o seu Professor Orientador. 25

Encontro1 Data: / / Local: Nota da Avaliação: Conteúdos Trabalhados: Conteúdos a serem estudados em Casa: (indicar material e páginas) Exercícios Resolvidos: 26

27 Exercícios a serem resolvidos em Casa: Anotações: Comunicações entre a Família e o Professor Orientador:

6 Coordenadores Regionais de Iniciação Científica CRICS O Coordenador Regional de Iniciação Científica (CRIC) é o responsável em sua Região/UF pelo Programa de Iniciação Científica (PIC), bem como pelo acompanhamento dos bolsistas da OBMEP. Abaixo, encontra-se a relação de todos os Coordenadores Regionais de Iniciação Científica. Alguns Estados estão divididos em sub-regiões. AC Jerssiney Correa de Oliveira Endereço Eletrônico: cric_ac@obmep.org.br Telefone: (68) 9962-1643 AL Sinvaldo Silva da Gama Endereço Eletrônico: cric_al@obmep.org.br Telefone: (82) 3214-1407 AM Danilo Benarrós (CR) Endereço Eletrônico: cric_am@obmep.org.br Telefone: (92) 3647-4400 AP Marcio Aldo Lobato Bahia Endereço Eletrônico: cric_ap@obmep.org.br Telefone: (96) 3312-1700 BA Luzinalva Miranda de Amorim (CR) Endereço Eletrônico: cric_ba@obmep.org.br Telefone: (71) 3283-6287 CE Onofre Campos da Silva Farias Endereço Eletrônico: cric_ce@obmep.org.br Telefone: (85) 9673-0309 DF Kellcio Oliveira Araujo Endereço Eletrônico: cric_df@obmep.org.br Telefone: (61) 3107-6488 ES Luzia Maria Casati Endereço Eletrônico: cric_es@obmep.org.br Telefone: (27) 4009-7665 47

48 Coordenadores Regionais de Iniciação Científica CRICS GO José Hilário da Cruz Endereço Eletrônico: cric_go@obmep.org.br Telefone: (62) 3521-1288 MA João de Deus Mendes da Silva Endereço Eletrônico: cric_ma@obmep.org.br Telefone: (98) 8121-9137 MG01 Gilcione Nonato Costa Endereço Eletrônico: cric_mg01@obmep.org.br Telefone: (31) 3409-5790 MG02 Fernanda Moura Endereço Eletrônico: cric_mg02@obmep.org.br Telefone: (31) 3899-3006 MG03 Francinildo Nobre Ferreira Endereço Eletrônico: cric_mg03@obmep.org.br Telefone: (32) 3379-2549 MG04 Luiz Alberto Duran Salomão Endereço Eletrônico: cric_mg04@obmep.org.br Telefone: (34) 3239-4156 MG05 Marise Fagundes Silveira Endereço Eletrônico: cric_mg05@obmep.org.br Telefone: (38) 3229-8274/75 MG06 Wevesson Dalmaso Sellin Endereço Eletrônico: cric_mg06@obmep.org.br Telefone: (31) 3522-6037 MS Sonia Regina Di Giacomo Endereço Eletrônico: cric_ms@obmep.org.br Telefone: (67) 3345-7043 MT Martinho da Costa Araujo (CR) Endereço Eletrônico: cric_mt@obmep.org.br Telefone: (65) 3615-8917 PA Augusto Cesar dos Reis Costa Endereço Eletrônico: cric_pa@obmep.org.br Telefone: (91) 9124-1227 PB José de Arimatéia Fernandes (CR) Endereço Eletrônico: cric_pb@obmep.org.br Telefone: (83) 3310-1161 PE Jorge Antonio Hinojosa Endereço Eletrônico: cric_pe@obmep.org.br Telefone: (81) 332-64-84 PI Gilvan Lima de Oliveira Endereço Eletrônico: cric_pi@obmep.org.br Telefone: (86) 3215-5835

49 PR01 Ana Lucia da Silva Endereço Eletrônico: cric_pr01@obmep.org.br Telefone: (43) 3371-5868 PR02 Florinda Katsume Miyaoka Endereço Eletrônico: cric_pr02@obmep.org.br Telefone: (41) 3361-3660 RJ01 Jair Salvador Endereço Eletrônico: cric_rj01@obmep.org.br Telefone: (21) 2562-7505 r. 214 RJ02 Jones Colombo Endereço Eletrônico: cric_rj02@obmep.org.br Telefone: (21) 2620-5809 RJ03 Ivail Muniz Endereço Eletrônico: cric_rj03@obmep.org.br Telefone: (21) 2697-3631 RN Jose Querginaldo Bezerra Endereço Eletrônico: cric_rn@obmep.org.br Telefone: (84) 3215-3780 RO Carlos Vinícius da Costa Ramos Endereço Eletrônico: cric_ro@obmep.org.br Telefone: (69) 9983-1514 RR Raimundo Nonato Araujo Pedro Endereço Eletrônico: cric_rr@obmep.org.br Telefone: (95) 3621-3141 RS Elizabeth Quintana Ferreira da Costa Endereço Eletrônico: cric_rs@obmep.org.br Telefone: (51) 3308-6217 SC Licio Hernanes Bezerra (CR) Endereço Eletrônico: cric_sc@obmep.org.br Telefone: (48) 3721-9558 r.4205 SE Valdenberg Araujo da Silva (CR) Endereço Eletrônico: cric_se@obmep.org.br Telefone: (79) 3212-6836 SP01 José Carlos Rodrigues (CR) Endereço Eletrônico: cric_sp01@obmep.org.br Telefone: (18) 3229-5385/5359 SP02 Aparecida Francisco da Silva (CR) Endereço Eletrônico: cric_sp02@obmep.org.br Telefone: (17) 3221-2335 SP03 Raul Cintra de Negreiros Ribeiro Endereço Eletrônico: cric_sp03@obmep.org.br Telefone: (11) 4412-8163

50 Coordenadores Regionais de Iniciação Científica CRICS SP04 Pablo Rodrigo Ganassim Endereço Eletrônico: cric_sp04@obmep.org.br Telefone: (11) 5084-7508 SP05 Debora Bezerra Endereço Eletrônico: cric_sp05@obmep.org.br Telefone: (11) 4366-5886 TO Dirlei Ruscheinsky Endereço Eletrônico: cric_to@obmep.org.br Telefone: (63) 3653-1531

7 O PECI O PECI, Preparação Especial para Competições Internacionais, é um programa da OBMEP destinado a preparar um grupo seleto de alunos da OBMEP para as competições internacionais. Ele foi criado em 2009 e vem trazendo bons resultados. As atividades são virtuais, no fórum do PECI, e presenciais, em encontros que ocorrem ao longo do ano. Em 2012 os alunos estão participando de 9 encontros presenciais, com professores com muita experiência em olimpíadas internacionais. Nestes três anos, os alunos do PECI já obtiveram mais de 20 premiações internacionais, incluindo três medalhas conquistadas em 2011 na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO) realizada em Amsterdã, Holanda. A aluna Maria Clara Mendes Silva da Escola Estadual Oscar de Castro (Pirajuba MG) foi premiada com medalha de Bronze e os alunos Henrique Gasparini Fiúza do Nascimento do Colégio Militar de Brasília e André Macieira Braga Costa do Colégio Militar de Belo Horizonte ganharam medalha de prata. A seleção para participar do PECI é realizada anualmente para alunos que cursarão o último ano no ensino fundamental. Os alunos são escolhidos para participar da seleção a partir do desempenho no PIC. Apresentamos a seguir alguns problemas propostos na seleção do PECI. Seleção 2012 Primeiro Dia 1. É possível escrever os números inteiros de 1 a 15 nas casas de um tabuleiro 3 5, um número em cada casa, de modo que a soma dos números de cada uma das linhas seja a mesma e a soma dos números de cada uma das colunas seja a mesma? Justifique. 51

52 O PECI 2. Sobre o lado BC do triângulo isósceles ABC de base AC são marcados os pontos M e N tais que MN = AN e os ângulos BÂM e NÂC são iguais. Determine a medida do ângulo MÂC. Ḅ. M A C N 3. O número 4 9 + 6 10 + 3 20 é primo? Justifique sua resposta. 4. Em uma competição matemática participaram 8 estudantes, aos quais foram dados 8 problemas. (a) Ao final, observou-se que cada problema foi resolvido por cinco estudantes. Prove que existem dois estudantes tais que cada problema foi resolvido por no mínimo um dos dois. (b) Se cada problema foi resolvido por quatro estudantes, mostre que não necessariamente existem dois estudantes tais que cada problema foi resolvido por no mínimo um dos dois. Segundo Dia 5. André possui uma máquina que só tem três botões A, B e C e um visor que permite exibir um número inteiro de cada vez. Ao ser ligada, a máquina sempre exibe o número 1. Apertando o botão A, o número n que está no visor é trocado por n + 3. Apertando o botão B, o número m que está no visor é trocado por seu triplo, ou seja, 3m. O botão C só funciona se o número p que está no visor for múltiplo de 3 e neste caso o número é trocado por p/3. (a) Mostre como fazer para que o número 11 apareça no visor da máquina. (b) Existe algum número inteiro positivo que não pode aparecer no visor da máquina?

53 6. Como mostra a figura, o retângulo grande é formado por quatro retângulos menores com áreas iguais a 12 cm 2, 24 cm 2, 36 cm 2 e 48 cm 2, respectivamente. 12 36. 24 48 Determine a área da região sombreada. 7. Pinóquio possui 8 moedas de pesos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 gramas que parecem iguais, exceto por seus rótulos que indicam o respectivo peso de cada uma. Ele tem a disposição uma balança de pratos. Mostre que, usando a balança uma só vez, ele pode demonstrar que o peso de pelo menos uma das moedas está correto. 8. O inteiro positivo n possui dois divisores distintos a e b tais que (a 1)(b + 2) = n 2. Prove que o número 2n é o quadrado de um número inteiro. Seleção 2011 Primeiro Dia 9. (a) A soma de quatro inteiros positivos consecutivos pode ser um número primo? Justifique sua resposta. (b) A soma de três inteiros positivos consecutivos pode ser um número primo? Justifique sua resposta. 10. O triângulo ABC é isósceles de base BC e BÂC = 48. Os pontos D e E estão sobre os lados AB e AC, respectivamente, tais que DĈA = 9 e EˆBC = 33. Determine a medida do ângulo C ˆDE.

54 O PECI 11. Sejam a e b números inteiros consecutivos. Prove que o número a 2 + b 2 + (ab) 2 é um quadrado perfeito. 12. Seja n um número natural maior ou igual a 5. Considere o conjunto X = {1, 2,..., n}. Prove que é possível distribuir todos os elementos de X em dois conjuntos A e B, cada elemento em exatamente um conjunto, de tal modo que a soma dos elementos de A é igual ao produto dos elementos de B. Por exemplo, para n = 5, uma solução é escolher A = {3, 5} e B = {1, 2, 4}, pois 3 + 5 = 1 2 4. Segundo Dia 13. Robério escreveu 2011 números de tal modo que cada um deles, exceto o primeiro e o último, são iguais à soma dos dois números vizinhos. Assim, o segundo é igual a soma do primeiro com o terceiro, o terceiro é igual a soma do segundo com o quarto e assim por diante. Sabe-se que o primeiro número é 1 e o número na posição 2010 é igual a 1/3. Determine o número na posição 1500. 14. 2001 cartas com os números 1, 2,..., 2001 escritos são colocadas sobre uma mesa, com a face escrita virada para cima. Adriano e Bruna alternadamente retiram uma carta de sua escolha da mesa até que todas as cartas tenham sido retiradas. Adriano retira a primeira carta. Ao final, cada jogador soma os números das cartas que retirou. Vence o jogador que obtém o algarismo das unidades maior que o algarismo das unidades de seu oponente. Qual jogador pode ganhar sempre e qual estratégia ele deve usar para vencer? 15. Um inteiro positivo a > 1 é dado. Nós o copiamos duas vezes e obtemos o número b = aa, múltiplo de a 2. Encontre todos os possíveis valores de b/a 2. Observação: Por exemplo, se a = 37, então b = 3737. 16. M e N são os pontos médios dos lados BC e AD, respectivamente, do quadrado ABCD. K é um ponto arbitrário sobre o reta AC de tal modo que o ponto A está sobre o segmento de reta KC. O segmento KM intersecta o lado AB no ponto L. Prove que K ˆNA = L ˆNA.

55 Seleção 2010 Primeiro Dia 17. Sobre uma reta r tome um segmento de extremos A e B. Fora do segmento AB, mas sobre a reta r, existem 19 pontos distintos tais que alguns estão antes do ponto A, outros antes do ponto B e nenhum ponto está entre A e B. A soma das distâncias de todos os pontos que estão antes de A até o ponto A é igual à soma das distâncias de todos os pontos que estão antes de B até o ponto B. Prove que a soma das distâncias de todos os pontos que estão antes de A até o ponto B não pode ser igual à soma das distâncias de todos os pontos que estão antes de B até o ponto A. 18. A distância de Leningrado a Moscou é de 660 quilômetros. De Leningrado a cidade de Likovo é 310 quilômetros, de Likovo a Klin é 200 quilômetros e de Klin a Moscou é 150 quilômetros. Qual é a distância de Likovo a Moscou? 19. Sejam a, b e c números reais tais que a 3 + 2a + 1 = 0 b 3 + 2b + 1 = 0 c 3 + 2c + 1 = 0 Prove que a + b + c = 0. 20. No concurso Monetário participam equipes formadas por 75 meninos e 25 meninas. O organizador decide a posição dos cem integrantes da equipe em 100 cadeiras ao redor de uma mesa circular e dá uma moeda a cada um deles. Quando o organizador dá a ordem, cada integrante entrega sua moeda a um de seus dois vizinhos ou fica com ela. Feito isso, o organizador concede à equipe um ponto por cada menino que tenha exatamente uma moeda, um ponto por cada menina que tenha exatamente duas moedas e nenhum ponto por cada integrante que se enquadra em qualquer outra situação. Determinar qual é a pontuação máxima que a equipe pode obter e indicar como devem proceder os integrantes da equipe para obter essa pontuação máxima. 21. No triângulo ABC, AB = AC e BÂC = 20. Um ponto D está sobre o lado AB e AD = BC. Calcule o ângulo BĈD.

56 O PECI Segundo Dia 22. Os números naturais x e y possuem dois algarismos cada e são tais que x é o dobro de y. Além disso, um dos algarismos de y é a soma dos algarismos de x e o outro algarismo de y é a diferença dos algarismos de x. Determine todos os possíveis valores de x e y. 23. Seja ABC um triângulo equilátero de centro O e lado de comprimento 3. Sejam M um ponto sobre o lado AC e P um ponto sobre o lado AB de tal forma que CM = 1 e AP = 1. Calcule as medidas dos ângulos do triângulo MOP. 24. (a) Verifique a identidade (a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3(a + b)(b + c)(c + a). (b) Resolva o sistema x + y + z = 1 x 2 + y 2 + z 2 = 1 x 3 + y 3 + z 3 = 1. 25. Devemos distribuir 900 pedras em k pilhas, de modo que sejam satisfeitas as condições a seguir: (i) todas as pilhas têm quantidades distintas de pedras; (ii) se dividirmos uma das pilhas em duas pilhas não vazias, as k + 1 pilhas resultantes não mais terão quantidades distintas de pedras. Ache o menor valor possível de k.