n. 26 PRODUTO CARTESIANO

n. 26 PRODUTO CARTESIANO Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596 1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim era Renatus Cartesius, daí vem o nome cartesiano. Obteve reconhecimento matemático por sugerir a fusão da álgebra com a geometria - fato que gerou a geometria analítica e o sistema de coordenadas que hoje leva o seu nome. Por vezes chamado de "o fundador da filosofia moderna" e o "pai da matemática moderna", é considerado um dos pensadores mais importantes e influentes da História do Pensamento Ocidental. O pensamento de Descartes era revolucionário para uma sociedade feudalista em que ele nasceu. Foi um dos precursores do movimento, considerado o pai do racionalismo, e defendeu a tese de que a dúvida era o primeiro passo para se chegar ao conhecimento. Descartes criou, em suas obras método e Meditações. Discurso sobre o

Descartes instituiu a dúvida: só se pode dizer que existe aquilo que puder ser provado, sendo o ato de duvidar indubitável. Também consiste o método de quatro regras básicas: Verificar se existem evidências reais e indubitáveis acerca do fenômeno ou coisa estudada; Analisar, ou seja, dividir ao máximo as coisas, em suas unidades mais simples e estudar essas coisas mais simples; Sintetizar, ou seja, agrupar novamente as unidades estudadas em um todo verdadeiro; Enumerar todas as conclusões e princípios utilizados, a fim de manter a ordem do pensamento. O PLANO CARTESIANO O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem (O, O). O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém se o plano cartesiano ortogonal. Cada ponto P = (a, b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origem ( 2, O) para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo). O segundo número indica o deslocamento a partir da origem (O, 3) para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Logo, a indicação do ponto A no plano cartesiano é: A = ( 2, 3) e de B = (4, 3). Observe os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus).

Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido antihorário. PRODUTO CARTESIANO DE DOIS CONJUNTOS Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por A B, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x, y) onde x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B. Este produto é representado por A B, que se lê: A por B, A vezes B, A cartesiano B. Os conjuntos A e B dizem-se fatores do produto cartesiano A B, sendo A o primeiro fator e B o segundo fator. Simbolicamente temos: A B = { (x, y)/ x A e y B} Se A B, logo B A = { (y, x)/ y B e x A} E (x, y) (y, x), segue-se que A B B A, isto é, o produto cartesiano de dois conjuntos não goza da propriedade comutativa. Se A possui m elementos e B, possui n elementos, então A B possui m x n elementos: n(a B) = n(a). n(b)

Exemplo: Seja A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d}, então A B será composto por 4 x 3 = 12 pares ordenados, quais sejam: A B = {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d), (2, a), (2, b), (2, c), (2, d), (3, a), (3, b), (3, c)(3, d)} QUADRADO CARTESIANO DE UM CONJUNTO Particularmente quando A = B, o produto: A B = B A = A A chama-se o quadrado cartesiano do conjunto A, ou apenas o quadrado do conjunto A. Indicamos esse tipo de conjunto por A 2, que se lê: A dois. Os elementos de A 2 são todos os pares ordenados (x, y) tais que x e y pertencem a A. Simbolicamente: A 2 = { (x, y)/ x, y A } O conjunto de todos os pares ordenados idênticos (x, x), com x A, que é uma parte de A 2, chama-se a diagonal do quadrado cartesiano A 2 de A e indica-se por D A. Simbolicamente: D A = { (x, x)/ x A } Exemplo: Seja o conjunto A = {1, 2, 3}, logo: A 2 = { (x, y)/ x, y A } A 2 = { (1, 1), (1, 2), (1,3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} D A = { (x, x)/ x A }

D A = { (1, 1), (2, 2), (3, 3)} Observe que o quadrado A 2 tem 3 2 = 9 elementos e que a sua diagonal D A tem 3 elementos. Dispondo os elementos de A 2 em forma de quadrado temos: A diagonal do quadrado é composta pelos pares ordenados idênticos (1, 1), (2, 2), (3, 3) o que justifica a denominação que se dá ao subconjunto { (1, 1), (2, 2), (3, 3)} de A 2. REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DO PRODUTO CARTESIANO O produto cartesiano A B pode ser representado graficamente por um diagrama cartesiano, por uma tabela de dupla entrada ou por um diagrama sagital. DIAGRAMA CARTESIANO Tomam-se dois eixos ortogonais, 0x e 0y, representa-se sobre o eixo 0x o conjunto A e sobre o eixo 0y, o conjunto B. A seguir deve-se traçar paralelas a esses dois eixos pelos pontos que representam os elementos de A e de B. Os pontos de

intersecção dessas paralelas representam os pares ordenados (x, y), elementos de A B. Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d}, o diagrama cartesiano do produto A B é: A B = {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d), (2, a), (2, b), (2, c), (2, d), (3, a), (3, b), (3, c)(3, d)} TABELA DE DUPLA ENTRADA Numa tabela de dupla entrada escrevem-se os elementos do conjunto A na 1ª coluna da esquerda e os elementos do conjunto B na 1ª linha. Na intersecção da linha x com a coluna y, se encontra o par ordenado (x, y) A B. Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d}, a tabela de dupla entrada do produto A B é:

DIAGRAMA SAGITAL Constroem-se os diagramas de Venn dos conjuntos A e B, e cada um dos elementos de A é ligado por uma flecha a todos os elementos de B. Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d}, o diagrama sagital do produto A B é: PROPRIEDADES DO PRODUTO CARTESIANO P1: A relação A B = é equivalente a A = ou B =, isto é:

A B = A = ou B = Suponhamos que A B = A e B Então, se A e B, x (x A) e y (y B) (x, y)[ (x, y) A B] A B O que contraria a hipótese A B =. Logo, A = ou B =. Suponhamos agora que A B, A = ou B = Então, se A B, (x, y) [(x, y) A B] x A e y B A e B O que contraria a hipótese A = ou B =. Logo, A B =. P2: A relação A B = B A é equivalente a A = ou B = ou A = B, isto é: A B = B A ( A = ou B = ou A = B) Se A = ou B = então, A B = = B A (Por P1). E se, por hipótese, A = B, então A B = B A. Suponhamos agora que A, B e A B. A B implica que: x ( x A e x B) ou x ( x A e x B) Se x A, como B, existe y B e portanto, (x, y) A B Mas, como por hipótese x B, então (x, y) B A. Logo, A B B A.

Agora, suponha que x A P3: A B ( A E B E e E A E B) Como A B então: (x, y) A E x A x B e y E e y E (x, y) B E A E B E Seja A = {1, 2, 3}, B = { a, b, c}, E = {7, 8} Como A B então: A = {1, 2, 3}, B = { a, b, c, 1, 2, 3}, E = {7, 8} Logo, A E = {(1, 7), (1, 8), (2, 7), (2, 8), (3, 7), (3, 8)} B E = {(a, 7), (a, 8), (b, 7), (b, 8), (c, 7), (c, 8)(1, 7), (1, 8), (2, 7), (2, 8), (3, 7), (3, 8)} Como A B então: (x, y) E A x E x E e y A e y B (x, y) E B E A E B Seja A = {1, 2, 3}, B = { a, b, c}, E = {7, 8} Como A B então: A = {1, 2, 3}, B = { a, b, c, 1, 2, 3}, E = {7, 8} Logo,

E A = {(7, 1), (8, 1), (7, 2), (8, 2), (7, 3), (8, 3)} E B = {(7, a), (8, a), (7, b), (8, b), (7, c), (8, c)(7, 1), (8, 1), (7, 2), (8, 2), (7, 3), (8, 3)} P4: i. A e A B A E B E ii. A e B A E A B E A proposição (i) é verdadeira no caso particular em que B =. Agora, suponhamos que B. Como por hipótese A, segue que se x A e y B, então: (x, y) A B (x, y) A E y E Logo, y B y E, isto é, B E. Seja A = {1, 2, 3}, B = { a, b, c}, E = {7, 8} Como B E então: A = {1, 2, 3}, B = { a, b, c}, E = {7, 8, a, b, c} Logo, A E = {(1,7), (1,8), (1, a), (1, b), (1, c), (2,7), (2,8), (2, a), (2, b), (2, c)(3,7), (3,8), (3, a), (3, b), (3, c)} A B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c)} De modo análogo prova-se a proposição (ii).

P5: Distributividade do produto cartesiano em relação a intersecção: i. A (B E) = (A B) (A E) ii. (A B) E = (A E) (B E) A (B E) = {(x, y)/ x A e y (B E)} = {(x, y)/ x A e ( y B e y E)} = {(x, y)/(x A e y B) e (x A e y E)} = {(x, y)/ (x, y) A B) e (x, y) A E) } = (A B) (A E) De modo análogo prova-se a proposição (ii). P6: Distributividade do produto cartesiano em relação a união: i. A (B E) = (A B) (A E) ii. (A B) E = (A E) (B E) A (B E) = {(x, y)/ x A e y (B E)} = {(x, y)/ x A e ( y B ou y E)} = {(x, y)/(x A e y B) ou (x A e y E)} = {(x, y)/ (x, y) A B) ou (x, y) A E) } = (A B) (A E) De modo análogo prova-se a proposição (ii).

P7: Distributividade do produto cartesiano em relação à diferença: i. A (B E) = (A B) (A E) ii. (A B) E = (A E) (B E) A (B E) = {(x, y)/ x A e y (B E)} = {(x, y)/ x A e ( y B e y E)} = {(x, y)/(x A e y B) e (x A e y E)} = {(x, y)/((x, y) A B) ou ((x, y) A E) } = (A B) (A E) De modo análogo prova-se a proposição (ii). P8: Distributividade do produto cartesiano em relação a diferença simétrica: i. A (B E) = (A B) (A E) ii. (A B) E = (A E) (B E) A (B E) = A [(B E) (B E)] = [A (B E)] [ A (B E)] = [(A B) (A E)] [(A B) (A E)] = (A B) (A E) De modo análogo prova-se a proposição (ii).

P9: (A B) (E F) = (A E) (B F) (A B) (E F) = {(x, y)/(x, y) A B e (x, y) E F} = {(x, y)/(x A e y B) e (x E e y F)} = {(x, y)/(x A e x E) e (y B e y F)} = {(x, y)/(x A E) e (y B F)} = (A E) (B F) P10: (A B) (E F) = (A E) (B F) (A B) (E F) = {(x, y)/ x A B e y E F} = {(x, y)/(x A e x B) e (y E e y F)} = {(x, y)/(x A e y E) e (x B e y F)} = {(x, y)/(x, y) (A E) e (x, y) (B F)} = (A E) (B F) DIFERENÇA SIMÉTRICA A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à união desses conjuntos, mas não pertencem a intersecção deles: A B = {x / x A B e x A B}

Exercícios: 1. Apresente os conjuntos A, B e E que satisfaçam as condições simultaneamente: a. A B = {a, b, c, 1, 2, 4} b. A E = {a, b, 1, 2, 3, 4} c. A B = {a, b} d. A E = {1, 2} e. B E = {4} f. A B E = {a, b, c, 1, 2, 3, 4} 2. Sejam os conjuntos A = {1,2,3}, B = {2,3,4} e E = {a, b, c}. Calcule e represente geometricamente: a. (A B) (A E) b. A (B E) c. (A B) (A E) d. A (B E)

3. Considerando A B, {(0, 5), ( 1, 2), (2, 1)} A B e n(a B) = 12, represente A B pelos seus elementos. 4. Sendo A = {x Z / 2 < x 4} e B o conjunto de todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 7 e 35, quantos elementos tem A B? 5. Sabendo que {(1, 2), (4, 2)} A 2 e que n(a 2 ) = 9, represente, pelos elementos, o conjunto A 2. Resoluções: 1. Apresente os conjuntos A, B e E que satisfaçam as condições simultaneamente: a. A B = {a, b, c, 1, 2, 4} b. A E = {a, b, 1, 2, 3, 4} c. A B = {a, b} d. A E = {1, 2} e. B E = {4} f. A B E = {a, b, c, 1, 2, 3, 4} R: A = {a, b, 1, 2} B = {a, b, c, 4} E = { 1, 2, 3, 4} 2. Sejam os conjuntos A = {1,2,3}, B = {2,3,4} e E = {a, b, c}. Calcule e represente geometricamente:

a. (A B) (A E) R : (A B) (A E) = b. A (B E) R: {(1,2), (1,3), (1,4), (1, a), (1, b), (1, c), (2,2), (2,3), (2,4), (2, a), (2, b), (2, c), (3,2), (3,3), (3,4), (3, a), (3, b), (3, c)} c. (A B) (A E) R: {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4), (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c)} d. A (B E) R: A (B E) = A = 3. Considerando A B, {(0, 5), ( 1, 2), (2, 1)} A B e n(a B) = 12, represente A B pelos seus elementos. A = { 1, 0, 2} e B = {5, 2, 1} Mas como A B, logo B = { 1, 0, 2, 5} R: A B = {( 1, 1), ( 1, 0), ( 1, 2), ( 1, 5), (0, 1), (0, 0), (0, 2), (0, 5), (2, 1), (2, 0), (2, 2), (2, 5)} 4. Sendo A = {x Z / 2 < x 4} e B o conjunto de todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 7 e 35, quantos elementos tem A B? R: A B tem 54 elementos. 5. Sabendo que {(1, 2), (4, 2)} A 2 e que n(a 2 ) = 9, represente, pelos elementos, o conjunto A 2.

R: O número de elementos de A 2 é igual ao quadrado de elementos de A, portanto, n(a 2 ) = [n (A)] 2 = 9 Logo, n (A) = 3 Se A é um conjunto com 3 elementos e como {(1, 2), (4, 2)} A 2 então (1, 2) A 2 e (4, 2) A 2. Logo, A = {1, 2, 4}. Portanto, A 2 = A A = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 4)} Referências ALENCAR FILHO, Edgard de. Teoria Elementar dos Conjuntos. 20 ed. 1ª reimpressão. São Paulo: Nobel, 1986. GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Fundamentos da Matemática: uma introdução à lógica matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2 ed. Maringá: Eduem, 2008. PRODUTO CARTESIANO. Disponível em: <http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/wp- content/uploads/sites/12/2016/06/apostila-matematica-1-02- RELA%C3%87%C3%95ES-e-FUN%C3%87%C3%95ES-cassio-.pdf >. Acesso em: 28 maio 2017.