CAP 3 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE EM PAREDES CILÍNDRICAS (SISTEMAS RADIAIS) Prof. Antonio Carlos Foltran
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 2 Carregamento de forno LD em aciaria Fonte: Companhia Siderúrgica Nacional, 204.
Associação em série de camadas de alvenaria refratária: A mais interna de tijolos densos e a mais externa de tijolos isolantes. 3
Arcos autoportantes são muito usados até hoje na produção em larga escala do vidro. Desde os queimadores à abobada dos fornos. 4
EQUAÇÃO GOVERNANTE Equação do Calor Dp em coordenadas cilíndricas: r r T kr r + r 2 φ T k φ + z k T z + q ሶ = ρc T p t Simplificações: Unidimensional; Regime permanente; Sem geração de calor; Condutividade térmica constante. Lei de Fourier: q r = ka dt dr = k 2πrL dt dr d r dr k d r dr dt kr dr = 0 dt r dr = 0 Notar que q r é constante na direção radial, pois a taxa de calor que entra é igual a taxa de calor que sai do domínio. 5
EQUAÇÃO GOVERNANTE Integrando a equação k r d dr dt r dr = 0 න d r dt dr d dr dt r dr = 0: = න 0 dr r dt dr = C dt dr = C r න dt = න C r dr T = C ln r + C T r = C ln r + C 2 Solução geral Para condições de contorno do tipo Dirichlet: Em r = r, T = T Em r = r 2, T = T 2 T r = T T 2 ln r T r = T T 2 ln r ln ln r r + T r r 2 + T 2 ou: Solução, vide Anexo 6
EQUAÇÃO GOVERNANTE Observe que a distribuição de temperatura em uma parede cilíndrica é logarítmica e não linear, assim como uma parede plana nas mesmas condições; Substituindo tal distribuição de temperatura na Lei de Fourier, obtém-se a seguinte expressão para a taxa de transferência de calor: q r = 2πLk T s, T s,2 ln r 2 r Desta equação pode-se deduzir que a resistência térmica por condução é da forma: R cond = ln r 2 r 2πLk 7
CIRCUITO TÉRMICO Associação em série: C Rconv, = h 2πLr r A r 2 B T,2, h 2 R cond,a = ln r 2 r 2πLk A T,, h r 3 r 4 R cond,b = ln r 3 2πLk B R cond,c = ln r 4 r3 2πLk C R conv,2 = h 4 2πLr 4 T, T,2 R conv, R cond,a R cond,b R cond,c R conv,2 8
CIRCUITO TÉRMICO Para a associação em série, a taxa de transferência de calor é dada por: q r = T, T,4 + ln r 2 r + ln r 3 + ln r 4 r3 + 2πLr h 2πLk A 2πLk B 2πLk C 2πLr 4 h 4 O resultado anterior também pode ser dado em termos do Coeficiente Global de Transferência, U: q r = T, T Onde U é arbitrário, função,4 = UA T R, T,4 de alguma das áreas. eq Exemplo: Para a Área : U = U A = U 2 A 2 = U 3 A 3 = U 4 A 4 + r ln r 2 h k A r + r ln r 3 k B + r ln r 4 k C r3 + r e r4 h 4 9
(Exemplo 3.4 modificado do livro): Observando as equações das resistências térmicas por condução e convecção em paredes cilíndricas, é possível observar que quando o raio da camada externa r 2 aumenta, a resistência à transferência de calor por condução aumenta e a resistência à convecção diminui. Isso indica que pode haver uma espessura ótima para a camada de isolamento. Com esta ideia em mente: a) Calcule a espessura da camada de isolamento que maximiza a resistência térmica (minimiza a taxa de transferência de calor). b) Confirme o resultado através dos cálculos da resistência total por unidade de comprimento p/ um tubo de cobre de 0mm de diâmetro externo tendo as seguintes camadas de isolamento: 0, 2, 5, 0, 20 e 40 mm. O isolamento é composto por lã de vidro, k=0,55 W/mK e o coeficiente de convecção externo é 5 W/m 2 K. R cond,b = ln r 2 r 2πLk B R conv,2 = h 2 2πLr 2 Fluido : T,, h r 0 r B (isolamento) Fluido 2: A T 0 T,2, h 2 T T 2 r 2 Exemplos de aplicação desta técnica: ) Isolamento de fios elétricos com isolante (elétrico e térmico); 2) Isolamento de tubulações de vapor. T T 0 T T 2 T,2 0 R conv, R cond,a R cond,b R conv,2
Exemplos de aplicação deste exemplo: ) Isolamento de fios elétricos com isolante (elétrico e térmico); 2) Isolamento de tubulações de vapor.
Resolução a): Associação em série, somam-se as resistências individuais: R total = ln r r 2πLk + h2πlr Para L = m: Observe que, apesar de haverem resistências térmicas de condução no tubo de cobre e convecção interna, tais efeitos não foram incluídos na eq. ao lado, pois independem de r 2. Observe também que r 2 foi chamado de r, a fim de reforçar que ele é a variável independente (é ele que desejamos variar para descobrir qual a espessura ótima de isolamento). R total = ln r r 2πk + h2πr Onde R indica a resistência por unidade de comprimento da tubulação. dr total dr = 0 d dr ln r r 2πk + h2πr = 2πkr h2πr 2 = 0 r = k h Para saber se o resultado maximiza ou minimiza a resistência total, a segunda derivada deve ser avaliada. Assim sendo: d 2 R total dr 2 = d dr Ou seja, não há uma espessura ótima de isolamento, mas há um raio crítico r cr : 2πkr h2πr 2 = h2 2πk 3 > 0 Ponto de mínima. que determina uma mudança no comportamento da transferência de calor em função do raio da seguinte forma: Se r < r cr, + isolamento q r Se r > r cr, + isolamento q r r cr k h Onde q r é a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento da tubulação. 2
Resistência Total [mk/w] Resolução b): Calculando o raio crítico: r cr = k h = 0,055 5 = 0,0 m Calculando para diversos valores de espessura da camada de isolamento pode-se construir o gráfico: 8 7 6 5 4 3 esp = r cr r esp = 0,0 0,005 esp = 0,006 m Rcond [mk/w] Rconv [mk/w] Rtotal [mk/w] Observe esse efeito na prática: 2 0 0,006 0 0,0 0,02 0,03 0,04 Espessura da camada de isolamento [m] 3
EXERCÍCIOS 3.35a) Uma tubulação de vapor de 0,2 m de diâmetro externo é isolada com uma camada de silicato de cálcio (k = 0,04 W/mK). Se a espessura do isolamento é 20 mm e suas superfícies interna e externa são mantidas à T = 800 K e T2 = 400 K, respectivamente, qual é a perda de calor por unidade de comprimento (q ) da tubulação? q r = ka dt dr q r = k 2πrL d dr q r = k 2πrL = k 2πrL dt dr T T 2 ln r T T 2 ln r q r = k 2πL T T 2 q r = k 2πL T T 2 ln r 2 r ln r r ln e r r + T Lei de Fourier para a taxa de transcal em geometria cilíndrica. T r = T T 2 ln r ln r r + T, logo: Por unidade de comprimento: q r = q r L = k 2π T T 2 ln r 2 r Substituindo os valores: q r = 0,04 2π q r = 908,57 W m 800 400 ln 0,08 0,06 Esta é a solução do problema, mas há uma outra abordagem: por resistência térmica, menos poderosa, porém mais simplificada. Façamos esta análise: 4
EXERCÍCIOS 3.35a) solução por resistência térmica (observe como ela é simplificada!). Dê preferência para esta abordagem quando for fazer a prova bimestral: T r r 2 T 2 R cond = ln r 2 r 2πLk R cond = ln r 2 r 2πk T T 2 R cond = ln 0,08 0,06 2π0,04 R cond R cond = 0,440250229 m K W R eq = T q q = T R eq = 400 0,4402 Fazendo por unidade de comprimento. q = 908,57 W m R eq = T q 5
EXERCÍCIOS 3.39) Um tubo de aço inoxidável AISI 304 (k = 4,4 W/mK) utilizado para transportar produtos farmacêuticos resfriados tem diâmetro interno 36 mm e espessura de parede 2 mm. As temperaturas dos produtos farmacêuticos e do ar ambiente estão à 6 C e 23 C, respectivamente, enquanto os coeficientes de convecção interno e externo são, respectivamente, 400 W/(m 2 K) e 6 W/(m 2 K). a) Qual o ganho de calor por unidade de comprimento (q ) da tubulação? b) Qual o ganho de calor por unidade de comprimento do tubo, se uma camada de isolamento térmico com k = 0,05 W/(mK) for aplicada, revestimento externamente a tubulação? Meio: T,, h r 0 r B (isolamento) Fluido 2: A T 0 T,2, h 2 T T 2 r 2 R cond = ln r ext rint 2πLk R conv = h2πlr 6 T T 0 T T 2 T,2 R conv, R cond,a R cond,b R conv,2
EXERCÍCIOS a) Resolução: R eq = R conv, + R cond,a + R conv,2 R eq = + ln h 2πr r r0 2πk A + h 2 2πr 2 q = T R = 23 6 eq,3495605 q = 2,597 W m R eq = 2π400. 0,08 + ln 0,020 0,08 2π4,4 + 2π 6. 0,02 R eq =,3495605 m K W b) R eq = R conv, + R cond,a + R cond,b + R conv,2 R eq = + ln r r0 + ln r 2 r + h 2πr 2πk A 2πk B h 2 2πr 2 q = T R = 23 6 eq,290636 q = 7,734 W m R eq = + ln r r0 + ln r 2 r + h 2πr 2πk A 2πk B h 2 2πr 2 R eq = 2π400. 0,08 + ln 0,020 0,08 2π4,4 + ln 0,03 0,02 2π0,05 + 2π6. 0,03 7 R eq =,290636 m K W
EXERCÍCIOS Comentários sobre o exercício 3.39: a) Neste problema q é pequeno a ponto da hipótese de que a radiação não influencia na transcal perde a validade. Supondo que T 2 = T, = 6 C = 279K e que as vizinhanças estejam a T viz = 23 C = 296K. Supondo também que σ = 5,670 0 8 W m 2 K 4 e que ε 2 = 0,7, teremos: q rad = εσ 2πr 2 T viz 4 T 2 4 q rad = 0,7 5,67 0 8 2π0,03 296 4 279 4 q rad = 8,07 W m Da ordem de q calculado na pág. anterior! b) O raio crítico é r cr = k = 0,05 = 0,00833 m < 20 mm. Portanto acrescentar h isolamento é vantajoso neste caso. 6 8
EXERCÍCIOS 3.5a) Vapor d água superaquecido a 575 C é conduzido de uma caldeira para a turbina de uma usina de geração de potência elétrica através de tubos de aço (k = 35 W/(mK)), com diâmetro interno igual a 300 mm e 30 mm de espessura de parede. Para reduzir a perda térmica para a vizinhança e manter uma temperatura externa segura, de forma que alguém possa encostar sem se queimar, uma camada de silicato de cálcio (k = 0,0 W/(mK)) é aplicada nos tubos. A degradação do isolante é reduzida ao cobri-lo com uma folha fina de alumínio que possui uma emissividade ε = 0,20. A temperatura do ar e das paredes da planta de potência é igual a 27 C. Considerando que a temperatura da superfície interna do tubo de aço seja igual à do vapor e que o coeficiente de convecção externo à folha de alumínio seja 6 W/(m 2 K), qual é a mínima espessura de isolante necessária para garantir que a temperatura do alumínio não seja superior à 50 C? Qual é a perda de calor correspondente, por metro de comprimento de tubo? 3.54) Um fio elétrico, com 2 mm de diâmetro, é isolado por um forro emborrachado (k = 0,3 W/(mK)) de 2 mm de espessura e a interface forro/fio é caracterizada por uma resistência térmica de contato de R" t,c = 3 0 4 m 2 K/W. O coeficiente de convecção na superfície externa do forro é igual a 0 W/(m 2 K) e a temperatura do ar ambiente igual a 20 C. Se a temperatura do isolante não pode exceder os 50 C, qual é a potência elétrica máxima permitida que pode ser dissipada por unidade de comprimento do condutor? Qual é o raio crítico do isolante? 9
ANEXO SOLUÇÃO PARTICULAR PARA A EQ. DO CALOR COM DUAS C.C. DIRICHLET Solução Geral: T r = C ln r + C 2 Condições de contorno: Em r = r, T = T T = C ln r + C 2 Em r = r 2, T = T 2 T 2 = C ln r 2 + C 2 Juntas, elas formam um sistema linear de equações: T = C ln r + C 2 T 2 = C ln r 2 + C 2 Que pode ser resolvido para C 2 subtraindo as Eqs.: T = C ln r + C 2 T 2 = C ln r 2 C 2 Eq. () Eq. (2) 20 T T 2 = C ln r C ln r 2 C 2 + C 2
T T 2 = C ln r ln r 2 Utilizando a propriedade dos logaritmos: ln a ln b = ln a b : T T 2 = C ln r r 2 C = T T 2 ln r Para encontrar C 2 podemos adicionar C ln r em ambos os lados da Eq. (): T + C ln r = C ln r + C ln r + C 2 T + C ln r = C ln r + ln r + C 2 =0 T + C ln r = C ln r r + C 2 Usando a propriedade: ln a + ln b = ln ab C 2 = T + C ln r C 2 = T + T T 2 ln r ln r 2
Substituindo as constantes C e C 2 na Solução Geral: T r = C ln r + C 2 teremos a Solução Particular: T r = T T 2 ln r ln r + T + T T 2 ln r ln r T r = T T 2 ln r ln r + ln r + T Usando novamente a propriedade dos logaritmos ln a + ln b = ln ab temos: T r = T T 2 ln r ln r r + T 22