ELETRÔNIC DIGITL Parte 5 Mapas de Karnaugh Prof.: Michael 1
É um método gráfico usado para simplificar uma equação lógica ou para converter uma tabelaverdade no seu circuito lógico correspondente, de uma forma simples e metódica. Tocci e Widmer; Problemas com mais de 4 entradas tornam-se demasiadamente complicados para serem resolvidos de forma manual, necessitando geralmente da utilização de computadores. 2
Resolvendo a expressão obtida da tabela-verdade, utilizando os teoremas booleanos, obtém-se: 0 1 0. 1. L =. +. 13.a plicando a propriedade distributiva, colocaremos em evidência o L =.( + ) 8 L =.1 2 plicando o teorema 8. plicando o teorema 2. 8) X + X = 1 2) X. 1 = X L = O Mapa de Karnaugh facilitará a resolução dos problemas baseados na tabela-verdade através da resolução gráfica 3
Para apresentarmos o Mapa de Karnaugh voltaremos a utilizar a tabela-verdade da questão anterior; 0 1 1. 0 1. O Mapa de Karnaugh para duas variáveis é dado por: Cada espaço em branco será completado com o seu nível lógico equivalente da tabela-verdade, sendo a coordenada dada pela intersecção da coluna e linha..... 4
Iniciaremos preenchendo o Mapa de Karnaughcom todos os 1s, no endereço equivalente; 0 1 0.. 1 1. Preenchendo o restante com 0s 1. 0 1 0 1 5
pós o Mapa de Karnaugh ter sido totalmente preenchido, procura-se agrupar os elementos em pares. Para isso, a formação dos pares ocorre por elementos que estejam adjacentes, ao lado, na vertical ou horizontal, não podendo ser na diagonal; No exercício temos 1 um par formado pelos dois elementos da direita. Como não temos nenhum outro elemento a simplificação deste par é o resultado final. 0 1 0 1 6
Osistemacom2variáveiséomaissimplese nãocompensao esforço, pois a sua resposta é quase direta, mas vale aqui como apresentação do conceito do Mapa de Karnaugh. sua aplicação fica mais interessante com 3 ou 4 variáveis; lgumas combinações de pares possíveis do mapa com duas variáveis são mostradas abaixo. 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 Resp: + 7
Mapa de Karnaugh com 3 variáveis Podemos estender o conceito de mapa para o caso de termos 3 variáveis, e assim obtemos a seguinte configuração: C C C C..C..C..C..C..C..C..C..C 8
Exemplo1:partirdatabela verdade obtenha a expressão reduzida utilizando o Mapa de Karnaugh; Inicialmente selecionamos todos os elementos que estejam em nível lógico alto (1) e obtemos sua expressão; C L 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 C C C C C 9
De acordo com os elementos da tabela verdade colocamos 1 no Mapa de Karnaugh e depois completamos o restante com 0;.C C C C C 1 1 1 0 1 1 0 0 FORMÇÃO DE GRUPOS: próxima etapa é a formação de grupos. Neste caso iniciaremos com grupos de 4 e depois passamos para gruposde2; 10
Exemplo2:partirdatabela verdade obtenha a expressão reduzida utilizando o Mapa de Karnaugh; Inicialmente selecionamos todos os elementos que estejam em nível lógico alto (1) e obtemos sua expressão; C L 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 C C C C 11
De acordo com os elementos da tabela verdade colocamos 1 no Mapa de Karnaugh e depois completamos o restante com 0; C C C C 1 0 0 1 1 0 0 1 C FORMÇÃO DE GRUPOS: próxima etapa é a formação de grupos. Neste caso iniciaremos com grupos de 4 e depois passamos para gruposde2; 12
Exemplos de grupos de 4 elementos: C C C C 0 0 1 1 C C C C 0 0 1 1 C C C C C C C C C C C C C C C C 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 13
Exemplos de grupos de 2 elementos: C C C C 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 C C C C 0 1 1 1 C C C C C C C C C C C C C C C C 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 14
Mapa de Karnaugh com 4 variáveis E para o caso de termos 4 variáveis o Mapa de Karnaugh apresenta uma boa alternativa para solução dos problemas, apresentando-se na seguinte configuração: C D CD CD CD 15
Exemplo3:partirdatabela verdade obtenha a expressão reduzida utilizando o Mapa de Karnaugh; Inicialmente selecionamos todos os elementos que estejam em nível lógico alto (1) e obtemos sua expressão; C D L 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 C D 0 C D 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 C D 1 1 0 1 1 C D 1 1 1 0 1 C D 1 C D 16
C D L 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 C D 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 Colocamos 1 no Mapa de Karnaugh e depois completamosorestantecom0; C D C D C D C D C D C D CD CD CD 0 0 1 1 17
gora devemos agrupar os 1s. Sempre procurando formar inicialmente grupos maiores e depois menores. Cada novo grupo somente pode ser formado se pelo menos um deles não pertencia a nenhum grupo existente. Grupos com 8,4 e 2 elementos; Mapa de Karnaugh C D CD CD CD 0 0 1 1 L=. +.C C 18
Exemplo4:partirdatabela verdade obtenha a expressão reduzida utilizando o Mapa de Karnaugh; Inicialmente selecionamos todos os elementos que estejam em nível lógico alto (1) e obtemos sua expressão; C D L 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 C D 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 C D 0 C D 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 C D C D C D C D C D C D C D C D 19
C D L 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 C D 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 C D 0 C D 1 0 0 0 1 C D 1 0 0 1 1 C D 1 0 1 0 1 C D 1 0 1 1 1 C D 1 1 0 0 1 C D 1 1 0 1 1 C D 1 1 1 0 1 C D 1 C D Colocamos 1 no Mapa de Karnaugh e depois completamosorestantecom0; C D CD CD CD 0 0 0 1 0 0 1 1 20
gora devemos agrupar os 1s. Sempre procurando formar inicialmente grupos maiores e depois menores. Cada novo grupo somente pode ser formado se pelo menos um deles não pertencia a nenhum grupo existente. Grupos com 8,4 e 2 elementos; Mapa de Karnaugh C D CD CD CD 0 0 0 1 0 0 1 1 C CD L= +.C + C.D 21
Exemplos de grupos de 8 elementos: 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 22
Exemplos de grupos de 4 elementos: 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 23
Exemplos de grupos MISTOS: 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 24
Exercício: encontre o circuito simplificado dos exercícios a seguir. a) C D L 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 25
b) C D L 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 c) C D L 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 26
PLICÇÃO DE MP DE KRNUGH PLICÇÃO 1: Um misturador de tintas está representado pela figura a seguir. Neste sistema temos o motor que gira a hélice que mistura a tinta, representado pelaletram,osensordenível,queindicaqueoníveldotanquejáatingiuovalor mínimo para que o motor comece a funcionar. Temos também as válvulas que permitem a passagem das tintas, representadas pelas letras, C e D. Tanto o motor, quanto o sensor e as válvulas são considerados ligados ou ativados quando estiverem com nível lógico 1 e desligados ou desativados quando estiverem com nível lógico 0. Projete um circuito digital para controle do motor M para que somente quando o nível do tanque atingir o sensor e duas ou mais válvulas estiverem acionadas. Monte a tabela verdade e obtenha a expressão reduzida utilizando o Mapa de Karnaugh. Desenhe o circuito resultante. 27
PLICÇÃO 2: O sistema abaixo é composto por quatro fornos (,,C,e D). Cada forno tem um controlador de temperatura(c,c,cc,e CD), que faz o controle da temperatura no respectivo forno. Se a temperatura de determinado forno ultrapassar um valor programado no controlador o respectivo alarme é ativado. No caso, quando algum dos controladores estiver com seu respectivo alarme ligado a saída correspondente (,,C e D) tem nível lógico 1, caso contrário, tem nível lógico 0. Projete um circuito digital que ative o SINLIZDOR sempre que dois ou três saídas de alarmes estiverem ativos, em qualquer outra situação o SINLIZDOR deverá estar desligado. Monte a tabela verdade e simplifique a expressão utilizando o Mapa de Karnaugh. Desenhe o circuito resultante. 28
REFERÊNCIS Toccie Widmer.Sistemas Digitais. Princípios e plicações; Floyd. Sistemas Digitais. Fundamentos e plicações; Idoetae Capuano. Elementos deeletrônica Digital Mairton. Eletrônica Digital. Teoria e Laboratório www.alldatasheet.com 29