Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos via Equação Integral de Fredholm em Teoria de Domínios

Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos via Equação Integral de Fredholm em Teoria de Domínios Antonio Espósito Junior Instituto Politécnico da UERJ, 2863-5, Nova Friburgo, RJ E-mail: aejunior@iprj.uerj.br, Juarez Assumpção Muylaert UERJ - Departamento de Modelagem Computacional Campus Instituto Politécnico 2863-5, Nova Friburgo, RJ E-mail: jamf@iprj.uerj.br. 1 Introdução Neste artigo, damos continuidade ao programa iniciado por Edalat e Pattinson em [EP4b, EP4a, EP6] onde os autores aplicam Teoria de Domínios para estudar problemas de valor inicial e o método de Euler. Além de aplicarmos suas técnicas, as trazemos mais perto ainda da Teoria de Domínios pois lançamos mão das medições de Martin como relatadas em [Mar] para medir a compleidade dos algoritmos envolvidos na solução de problemas de valor de contorno com dois pontos através da equação de Fredholm. As técnicas apresentadas servem como uma alternativa, ou complemento, para a Análise Funcional Clássica quando utilizada como ferramenta matemática da Análise Numérica. A grande diferença entre Teoria de Domínios e Análise Funcional, dentro deste conteto, reside no fato da noção de convergência pertencer aos próprios espaços enquanto que isso geralmente não ocorre classicamente. Como conseqüência, o estudo de convergência é feito a partir de uma medição do espaço de funções intervalares contínuas à la Scott que, diferentemente da matemática clássica, independe da norma. Desta forma, podemos adaptar as mesmas técnicas a vários problemas diferentes como relatado em [EJ3, EJM4b, EJM5, EJM4a]. A equação integral de Fredholm pode estar relacionada com certos tipos de equações diferenciais e suas condições de contorno. Esses problemas de valores de contorno são de uma classe grande de problemas importantes em Matemática Aplicada como na investigação de fenômenos de caráter difusivo. Considere o problema de valores de contorno em fronteira com dois pontos da forma f () = v(,y),f() = f(1) = que pode ser escrito na forma de uma equação integral f() = k(,y)v(y,f(y))dy onde { y( 1),y k(,y) = (y 1),y > Considerando a equação integral como um operador integral que a cada função contínua f sobre o intervalo [,1] produz uma outra função baseado na propriedade da contração, seu processo iterativo converge, implicando na eistência e unicidade de solução. Definindo em Teoria de Domínios um funcional integral intervalar que mapeia o espaço de funções contínuas de Scott intervalar de variável real, com a ordem parcial ponto a ponto para função, produzimos uma solução aproimada com o grau de acurácia pretendido. Em particular, as aproimações das soluções encontradas na Análise Intervalar como cota inferior e cota superior são, respectivamente, as funções semi-contínua inferiormente e semi-contínua superiormente que compõem uma função contínua de Scott intervalar. Munindo, em Teoria de Domínios, o espaço de funções contínuas de Scott intervalar de

uma medição que estabelece a ordem de informação, isto é, o quão boa uma aproimação é em relação a solução, temos o estudo da convergência, de forma mais simples, através do cálculo da derivada informática do funcional integral intervalar em seu ponto fio. Este artigo está dividido da seguinte maneira. Na próima seção, encontram-se alguns dos conceitos e resultados fundamentais da Teoria de Domínios. Em seguida, temos a seção que apresenta a modelagem da solução da equação integral como ponto fio do seu operador associado em Teoria de Domínios. Na seção seguinte, temos o estudo da convergência em Teoria de Domínios através do cálculo da derivada informática do operador intervalar associado a equação integral. Finalmente, concluímos o trabalho. 2 Domínios de Scott e Medições: alguns conceitos e resultados fundamentais As nossas referências para Teoria de Domínios é [AJ94] e para medições [Mar]. Um conjunto P parcialmente ordenado é chamado de poset do inglês partially ordered set. Escreve-se P para o poset (P, ), onde é uma relação binária. O menor elemento de um poset (P, ) é um elemento P tal que para todo P. Um elemento P é maimal se para todo y P, y = y. O conjunto dos elementos maimais de um poset é representado por map. Seja um poset (P, ). Um ponto a em P é uma aproimação de um ponto, escreve-se a, se, e somente se, para todo subconjunto direcionado D P que tem supremo, D implica em eistir d D tal que a d. No caso disso ocorrer para a =, chamamos a de isolado. Um subconjunto A de um poset P é aberto de Scott se A é um conjunto superior: A e y y A, e para todo conjunto direcionado D P que possui supremo, D A D A A coleção de todos os conjuntos abertos de Scott do poset P é chamada de topologia de Scott, denotada por P. Um poset P é dito direcionado completo se todo subconjunto direcionado de P tem supremo. Os posets com essa propriedade são chamados de domínios ou dcpo s do inglês directed complete posets. Sejam X e Y domínios. Uma função f : X Y é contínua de Scott, se para todo conjunto direcionado D em X, (f[d]) eiste e é igual a f( D), ou seja, o supremo do conjunto imagem de D eiste e é igual à imagem do supremo do conjunto D. Um domínio de Scott é um dcpo contínuo com menor elemento tal que cada par de elementos cotado superiormente tem supremo. A medição sobre um domínio X é uma função contínua de Scott µ : X [, ) sobre os reais não-negativos na sua ordem reversa que dá forma definitiva a noção de conteúdo de informação para os elementos de X. Se r, então µ() µ(r) é uma medida de quão próimo está de r. Já µ() é a medida da incerteza contida em. Em Martin [Mar], encontramos µ X para indicar quando a medida induz a topologia de Scott em todo X, de modo que o conjunto {µ ǫ () X e ǫ > } forma uma base para a topologia µ sobre X, onde µ ǫ = {y X y e µ() µ(y) < ǫ}. As propriedades de medida mais úteis em aplicações são as seguintes: Proposição 1. ([Mar]) Se D é um domínio com medida µ X, X D, então: 1. Para todo D e y X D, y e µ() = µ(y) = y; 2. Para todo D, µ() = ma D; 3. Para todo X e qualquer seqüência ( n ) em D com n, se µ( n ) µ() então (n ) = e esse supremo converge na topologia de Scott. Nota-se que { D µ() = } ma(d). Isso significa que um elemento com nenhuma incerteza é maimal na ordem de informação. Uma separação sobre um poset P é uma auto função s : P P com s() para todo P. Seu conjunto de pontos fios é fi(s) = { P : s() = } A relação f entre conjuntos X e Y, escrita f : X Y, é dita função parcial quando para todo X eiste no máimo um único y Y

tal que f() = y. Fazendo a restrição da função contínua f : D D para o conjunto I(f) = { D : f()} se produz uma separação com medida µ f. Teorema 2.1. ([Mar]) Seja D um domínio com a medida µ D e s : D D é a separação parcial. Se para qualquer seqüência ( n ) em dom(s) (conjunto dos pontos de definição de s) temos µ s( n ) = lim n µ s( n), então n sn () fi(s) para qualquer dom(s). E mais, fi(s) = dom(s) ma(d) se, e somente se, µ s() < µ() para todo dom(s) com µ() >. A utilização da derivada informática permite dar sentido à idéia de taa de variação com respeito a medida. Definição 2.2. Seja f : X X uma função sobre o domínio X com µ X. Se f : X X é uma função parcial e q X\K(X), então d f d µ (q) = lim q µ f () - µ f (q) µ() - µ(q) é chamada a derivada informática de f no ponto q em relação a medida µ, onde K(X) é o conjunto dos pontos isolados de X. Representa-se a derivada informática, também, por f µ (q), df µ (q) e algumas vezes como df(q). Para modelar a idéia do cálculo da ordem de convergência para a Teoria de Domínios estendida com a noção de medida, consideram-se as sequências ( n ) como um algoritmo numérico que converge para seu supremo q na topologia µ sobre o domínio X, e troca-se n q por µ( n ) µ(q) na definição do cálculo de convergência na análise numérica clássica. Proposição 2. ([Mar]) Seja X um domínio com a medida µ X e s : X X uma função parcial que mapeia em dom(s). Se s é contínua na topologia µ para o ponto fio q e < ds µ (q) < 1, então para todo < ε < 1 ds µ (q), eiste uma aproimação a q tal que para todo dom(s), ε log( µ() µ(q) ) a q e n log(ds µ (q) + ε) então s n () q e µ(s n ()) µ(q) < ε desde que q e n 1. Nós vamos trabalhar ao longo desse artigo com funções de valores intervalares. Essas funções produzem valores no domínio intervalaráê={[a,b] a,b R,a b} {R} onde a ordem é dada pela inclusão reversa, a relação de aproimação é caracterizada por [a,b] [c,d] se, e somente, se a < c e d < b e a medição é a função µ :ÁÊ [, ) definida por µ([a,b]) = b a. Para um intervalo compacto [a, b] denotamos o domínio de intervalos contidos em [a,b] por I[a, b]. Funções de valores intervalares podem ser obtidas pela etensão de funções contínuas f : [a,b] R para o domínio intervalar, produzindo ˆf : I[a,b] ÁÊ, X [ inf f(), sup f()] X X onde X representa um intervalo compacto X R. Qualquer função contínua f : [a, b] ÁÊpode ser definida por uma função superior e uma função inferior, respectivamente f + : [a,b] R e f : [a,b] R, com f f + ponto a ponto. Escrevemos f = [f,f + ] se f() = [f (),f + ()] para todo X. Maiores informações podem ser obtidas em [Esc97]. Definimos a integral de f por b [ a f()d = b a f ()d, ] b a f+ ()d. ema 2.3. Sejam f e g funções contínuas de valores intervalares de variável real [a, b]. Se g() f() então b a g()d b a f()d. Considerando a equação de operador da forma f() = p(f)() onde o operador p pode incluir derivadas e integrais da função f(), vamos supor que p está definido para uma classe M de funções reais contínuas f com domínio comum [a,b] e que p : M M. Seja o operador intervalar P : D D contínuo de Scott sobre a classe D do modelo computacional de M, com a imersão topológica I : M D definida por I(f) = λ.[f(),f()]. O seguinte teorema, cuja versão em Análise Intervalar é fornecido em [Moo66, Moo79], fornece uma base para procedimentos computacionais visando reconhecer a eistência de solução e de convergência do algoritmo iterativo para resolver a equação de operador.

Teorema 2.4. Seja P contínua de Scott. Se f P(f ) então a seqüência definida por f n+1 = P(f n ),n =,1,2, no sub-domínio f possui as sequintes propriedades: 1. f n f n+1,n =,1,2, ; 2. Para qualquer [a, b], o limite f() = n= f n() eiste como um intervalo f n () f(),n =,1,2, ; 3. Qualquer solução de f() = p(f)() que está em f também está em f n para todo n e em f também, isto é, se f() f () para [a,b] então f() f n () para todo n e [a,b]. 4. Se eiste um número real c tal que c 1 para o qual f f implica µ(p(f) cµ(f) onde µ é a medição sobre D, então f() = p(f)() possui uma única solução f() em f dada por f() = n= f n(). 3 O Problema Considere o problema de valor de contorno com dois pontos da seguinte forma: f () = v(,f()),f() = f(1) = (1) A dupla integração de (1) nos fornece f() = c 1 + c 2 + y v(z,f(z))dzdy. Da condição f() = temos c 1 =. Obtemos da condição f(1) = que c 2 = (1 z)v(z, f(z))dz. Podemos agora reescrever o problema da seguinte forma: f() = + (1 y)v(y,f(y))dy ( y)v(y,f(y))dy o Analisando o núcleo das integrais podemos reescrever a equação acima da seguinte forma: onde f() = K(,y) = K(, y)v(y, f(y))dy, { y( 1),y (y 1),y > Essa equação integral é equivalente à equação (1) e incorpora as condições de contorno. Consideremos a equação integral como um operador integral da forma f() = p(f)() que para cada função contínua f sobre o intervalo [, 1] produz uma outra função p(f). Então, uma solução f de (1) é epressa como um ponto fio do operador integral p. Se p possui a propriedade de p(f) pertencer ao espaço métrico M de todas as funções contínuas f sobre o intervalo [,1] com valores em [c,d] e se eiste um c < 1 tal que para todo f 1,f 2 M p(f 1 ) p(f 2 ) < c f 1 f 2 temos as condições que implicam na eistência e unicidade do ponto fio de f. Além do mais, se f 1 M, a seqüência f n+1 = p(f n ) de funções em M convergem para a função f de (1). Intepretando este resultado temos que (1) terá uma única solução que é o limite da seqüência de funções definida por: f () = f n+1 () = K(,y)v(y,f(y))dy para n =,1,2,... Vamos definir em Teoria de Domínios o operador intervalar para o conjunto de funções contínuas para o domínio D([,1]) definido por {f [,1] ÁÊ f é contínua de Scott} com a imersão topológica I : C([, 1]) D([,1]) definida por I(f) = λ.[f(),f()]. Qualquer função intervalar f : X [,1] ÁÊédada por uma função superior e uma função inferior. Escreveremos f = [f,f + ] se f() = [f (),f + ()] para todo X. A etensão canônica do integrando do problema (1) para uma função intervalar ĝ : [,1] [,1] ÁÊ ÁÊédefinida por ĝ(,y,z) = [inf g(,y,z),sup g(,y,z)] z Z z Z Notemos que [[,1] [,1] ÁÊ ÁÊ], o conjunto das funções contínuas de Scott com a ordem ponto a ponto, é um domínio contínuo de Scott. Frequentemente, identificamos a função com sua etensão canônica se está clara sua conotação dentro do conteto. Sendo g(,y,f(y)) = K(,y)v(y,f(y)) definida na equação integral, podemos reescrevê-la por { gi (,y,f(y)),y g(,y,f(y)) = g S (,y,f(y)),y >

onde g I (,y,f(y)) = y( 1)v(y,f(y)) e g S (,y,f(y)) = (y 1)v(y,f(y)). Em Teoria de Domínios temos a etensão canônica de g definida por: { gi (,y,z),y g(,y,z) = g S (,y,z),y > onde g I (,y,z) = [inf z Z y( 1)v(y,z),sup z Z y( 1)v(y,z)] e g S (,y,z) = [inf z Z (y 1)v(y,z),sup z Z (y 1)v(y,z)]. Agora, então, definimos o operador intervalar para uma função contínua arbitrária u : [,1] [,1] ÁÊ ÁÊemais tarde focamos sobre o caso especial quando u é a etensão canônica de uma função clássica. Definição 3.1. Seja u : [,1] [,1] ÁÊ ÁÊcontínua. Define-se o operador intervalar P u : D([,1]) D([,1]) para f = [f +,f ] por P u (f)() = [ u (,y,f(y))dy + u (,y,f(y))dy, u+ (,y,f(y))dy + u+ (,y,f(y))dy] no caso das integrações serem definidas e P u (f)() =Êcaso contrário. Uma vez que u e f são contínuas de Scott, segue que λ(,y).u (,y,f(y)) e λ(,y).u + (,y,f(y)) são, respectivamente, semicontínua inferiormente e superiormente e também mensuráveis. Daí P u ser bem definida. ema 3.2. ([EP4b]) Se u : [,1] [,1] ÁÊ ÁÊécontínua de Scott então P u também o é. Em Teoria de Domínios inciamos as aproimações da solução do problema (1) com a função que contém a menor quantidade de informação, denotada aqui por f. Associado a ela, o conjunto superior f = {f D([,1]) f f}, denotado por D corresponde ao subdomínio de D([,1]) no qual as soluções são aproimadas e f é o menor elemento. Seja f tal que o valor de contorno pertença a f () e f ÁÊ ÁÊ (1). Supondo que P u (f ) é definida para f e tomando, em particular, a etensão canônica de v em (1) para a função intervalar v : [,1] v(,y ) = [inf y Y v(,y),sup y Y v(,y)] temos u ± I (,y,f (y)) = y( 1)v (y,f (y)) u ± S (,y,f (y)) = (y 1)v (y,f (y)) Seja o intervalo B = [B,B] ÁÊtal que B v(y,f (y)) para todo y [,1]. Então, B v (y,f (y)) v + (y,f (y)) B. Segue daí que: [ y( 1)Bdy + (y 1)Bdy, y( 1)Bdy + (y 1)Bdy] P u (f )() Calculando, temos 2 ( 1)B P u(f )() para todo [,1]. Se f () 2 (1 )B para todo [, 1], então pela transitividade temos f P u (f ). Nessas condições, a seqüência definida por f n+1 = P u (f n ) para n = 1,2,... possui as seguintes propriedades: 1. f n f n+1 para n = 1,2,...; 2. Para todo [, 1], eiste f() = Æf n () tal que f n () f() para n = 1,2,...; 3. qualquer solução de (1) que se encontra em f também é encontrada em f n para todo n Æ, bem como em f de acordo com o Teorema 2.4. Segue daí um processo de construção da solução do problema (1), lembrando que f é o menor elemento de D. O teorema a seguir pode ser visto como a alternativa em Teoria de Domínios para o Teorema do Ponto Fio de Banach, cuja demonstração pode ser encontrada em [EP4b]. Teorema 3.3. Supondo f n+1 = P u (f n ) temos que f = n Æf n satisfaz P u (f) = f. A relação entre a solução da equação integral em Teoria de Domínios e o problema (1) é dada pelo seguinte lema: ema 3.4. ([EP4b]) Suponha que f = [f,f + ] D([,1]) satisfaz P u (f) = f e que f = f +. Então f = f + resolve (1). Com isso, a seqüência de funções intervalares definida pelo operador intervalar P u sobre o sub-domínio D converge para uma função real contínua. Portanto, para obter a solução clássica do problema (1) em Teoria de Domínios

é necessário encontrar o ponto fio de P u que corresponde a sua imersão topológica em D([, 1]), ou seja, uma função intervalar com medida nula. Considerando o domínio D([, 1]) definimos a seguinte medição µ : D([,1] [, ) : µ(f) = sup{f + () f () domf} para f = [f,f + ] D([,1]). Construimos um ponto fio de P u com medida nula impondo a seguinte condição de ipschitz sobre v: eiste > tal que < 8 < 1 e v(,y 1 ) v(,y 2 ) y 1 y 2 para todo (,y) [,1] [,1]. Assumindo a condição de ipschitz, temos a seguinte estimativa que garante ao menor ponto fio de P u a medida nula. ema 3.5. Suponha f f. Então, µ(p u (f)) 8 µ(f). Demonstração. Usando a condição de ipschitz, calculamos (abaio, sup [,1] é abreviado por S): µ(p u (f)) = S[ y(1 )(v+ (y,f(y)) v (y,f(y))dy+ (1 )(v+ (y,f(y)) v (y,f(y))dy] = S[ y(1 )(sup z [f,f + ] v(y,z) inf z [f,f + ] v(y,z)dy)+ (1 )(sup z [f,f + ] v(y,z) inf z [f,f + ] v(y,z)dy] = S[ y(1 )(v(y,f+ (y)) v(y,f (y))dy+ (1 )(v(y,f+ (y)) v(y,f (y))dy] S[ y(1 ) f+ (y)) f (y) dy+ (1 ) f+ (y) f (y) dy] S[ y( 1)µ(f)dy+ (y 1)µ(f)dy] = µ(f)s[ 2 2 + 2 ] = 8 µ(f) Portanto, µ(p u (f)) 8 µ(f). Segue daí que eiste < c < 1 tal que 8 < c < 1 e µ(p u (f)) cµ(f). Essa estimativa nos permite mostrar que o menor ponto fio de P u possui medida zero, isto é, é a solução do problema (1). Proposição 3. ([EP4b]) Seja f n+1 = P u (f n ) para n Æ. Então µ(f n ) c n µ(f ). Em particular, f = n Æf n satisfaz P u (f) = f e µ(f) =. Pela estimativa anterior, temos µ(p u (g)) 8 µ(g). Daí dpu dµ (f) = lim g f µ(pu(g)) µ(g) lim g f 8 = 8. Portanto, µp u(g)) µ(f) 8 (µ(g) µ(f)). Interpretando esta fórmula, temos que o operador intervalar P u oferece uma redução da incerteza a cada aplicação. A condição adicional 8 < 1 nos permite calcular a estimativa para o número de iterações a serem feitas antes de atingir a precisão ǫ > : n log ǫ µ(g) log( 8 +ǫ) 4 Eemplo Dado o problema de valores de contorno em fronteira com dois pontos f () = 2f() + 1,f() = f(1) = vejamos a computação das quatro primeiras aproimações de sua solução. Passando para a forma de uma equação integral temos: f() = y( 1)(2f(y) + 1)dy + (y 1)(2f(y) + 1)dy Tomando a etensão canônica v(,y ) = [inf y Y 2y + 1,sup y Y 2y + 1] Obtemos o funcional intervalar P v (f)() = [ y( 1)v+ (y,f(y))dy + (y 1)v+ (y,f(y))dy, y( 1)v (y,f(y))dy + (y 1)v (y,f(y))dy] Seja f () = [ 1,1] a aproimação inicial tal que f () e f (1). ogo, v(,f ()) = [ 1,3]. Então 2 ( 1)[ 1,3] P v(f )() para [,1]. Como [ 3 8, 1 8 ] [3 2 ( 1), 1 2 ( 1)] para [,1] segue que f P v (f ). Segue daí que a solução pertence ao sub-domínio D = {f : [,1] ÁÊ f f}. Temos as seguintes aproimações: f 1 = [ 3 2 2 + 3 2, 2 2 + 2 ] v(,f 1 ()) = [3 2 3 + 1, 2 + + 1] f 2 = [ 1 12 4 + 1 6 3 + 1 2 2 7 12, 1 4 4 1 2 3 + 1 2 2 4 ] v(,f 2 ()) = [ 1 6 4 + 1 3 3 + 2 7 6 + 1, 1 2 4 3 + 2 1 2 + 1] f 3 = [ 1 6 6 1 2 5 + 1 12 4 1 12 3 + 1 2 2 7 15, 1 18 6 + 1 6 5 + 1 12 4 7 36 3 + 1 2 2 2 5 ]

Do fato de = 2 ser a constante de ipschitz v(,y) = 2y + 1. Temos que dpv(f) dµ 1 4 como estimativa de taa de convergência e para uma aproimação com precisão ǫ =.1 temos a seguinte estivmatica para o número de iterações: log(.1 2 ) n log( 1 3.9332 4 +.1) 5 Conclusões Neste artigo atacamos um problema de valor de contorno com dois pontos via equação integral formulado no âmbito da Teoria de Domínios de Scott. Foi feita a inclusão do cálculo da taa de convergência no processo de aproimações sucessivas para obtenção da solução do problema, algo que ainda não tinha sido feito, mesmo no trabalho original de Edalat e Pattinson [EP4b]. A eemplo do que foi feito em [EP4b], podemos através da seqüência de partições do intervalo [, 1] e sua utilização na representação de funções intervalares do problema em funções passo, obter um algoritmo para o cálculo das integrais das etremidades dos intervalos que convergem para a solução. Posteriormente, esse algoritmo deve ser comparado com outros métodos iterativos não intervalares. Agradecimentos Antônio Espósito Jr agradece a Universidade Federal Fluminense pela licença para cursar o doutorado na UERJ. Referências [AJ94] S. Abramsky and A. Jung. Domain theory. In S. Abramsky, D. M. Gabbay, and T. S. E. Maibaum, editors, Handbook of ogic in Computer Science, volume 3, pages 1 168. Clarendon Press, 1994. [EJ3] Antônio Espósito Jr. Cálculo numérico via teoria dos domínios - uma aplicação da derivada informática. Instituto Politécnico - Universidade do Estado do Rio de Janeiro, dissertação de Mestrado, 23. [EJM4a] A. Espósito Jr and J. A. Muylaert. Método intervalar em teoria de domínios para equação integral. Anais IX Encontro de Modelagem Computacional, 1, 24. [EJM4b] A. Espósito Jr and J. A. Muylaert. Modelando métodos numéricos com domínios potência. Anais VII Encontro de Modelagem Computacional, 1:5 55, 24. [EJM5] [EP4a] [EP4b] [EP6] [Esc97] [Mar] A. Espósito Jr and J. A. Muylaert. Estudo da convergência do operador de picard em teoria de domínios. Anais VIII Encontro de Modelagem Computacional, 1, 25. Abbas Edalat and Dirk Pattinson. A domain theoretic account of euler s method for solving initial value problems. In PARA, volume 3732 of ecture Notes in Computer Science, pages 112 121. Springer, 24. Abbas Edalat and Dirk Pattinson. A domain theoretic account of picard s theorem. In ICAP, volume 3142 of ecture Notes in Computer Science, pages 494 55. Springer, 24. Abbas Edalat and Dirk Pattinson. Domain theoretic solutions of initial value problems for unbounded vector fields. Electr. Notes Theor. Comput. Sci., 155:565 581, 26. M. H. Escardó. PCF etended with real numbers: a domain-theoretic approach to higher-order eact real number computation. PhD thesis, Imperial College of Science, Technology and Medicine, 1997. Keye Martin. Foundation for Computation. PhD thesis, Tulane University, 2. [Moo66] R. E. Moore. Interval Analysis. Prentice-Hall, INC. - N. J., 1966. [Moo79] R. E. Moore. Methods and Applications of Interval Analysis. Siam, Philadelphia, 1979.