Mecânica Quântica: uma abordagem (quase) conceitual Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ IF-UFRJ, fevereiro de 04
Sumário Dificuldades na aprendizagem de mecânica quântica Fenômenos quânticos em sistemas simples Uma abordagem conceitual dos princípios da mecânica quântica Aplicações a sistemas simples Comentários finais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica Dificuldades conceituais Superposição quântica Probabilidade subjetiva x objetiva Complementaridade O problema da medida Realismo vs. localidade Dificuldades matemáticas Vetores Números complexos Espaços vetoriais complexos Operadores, autovalores, autovetores Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 3
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica Entre os alunos as dificuldades matemáticas ganham proeminência pela necessidade de adquirir um domínio operacional da teoria, essencial a aplicações. Como veremos, é possível expor a teoria quântica sem descaracterizá-la reduzindo as ferramentas matemáticas a vetores e um pouco de números complexos. Com isso, torna-se viável dar mais atenção aos aspectos conceituais. Tal abordagem pode ser de interesse a alunos para os quais o aspecto operacional não é o mais importante (licenciandos em física, por exemplo). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 4
Fenômenos Quânticos Charles Addams, New Yorker, 940 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 5
Um experimento com a luz D detectores de luz espelho D feixe luminoso pouco intenso espelho semiespelho (50-50%) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 6
Resultado do experimento Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D ou D, é ativado a cada vez. D D D D ou 50% 50% probabilidade P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelationeffect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters, 73 (986) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 7
Se a luz fosse uma onda D D... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 8
Se a luz é composta por partículas D D D D ou... ou D dispara, ou D dispara. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 9
Conclusão A luz é composta por partículas: os fótons. O detector que dispara aponta qual caminho o fóton tomou. D caminho D caminho C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 0
Mais um semiespelho 5% semiespelho 5% 50% semiespelho Novamente: não há coincidências no disparo dos detectores; experimento fácil de entender com os fótons. Entretanto, se o segundo semiespelho for colocado na intersecção dos feixes, algo novo e surpreendente acontece. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04
O interferômetro de Mach-Zehnder D D feixe luminoso fóton a fóton segundo semiespelho C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04
Resultado do experimento: 00% D D 0% P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelationeffect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters, 73 (986) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 3
Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos caminho caminho 5% 5% 5% 5% Se o fóton segue um caminho definido, ele deveria ser capaz de chegar a qualquer um dos dois detectores. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 4
Por onde vai o fóton? Experimentalmente, a resposta por um dos dois caminhos é falsa. Se os dois caminhos forem fechados, os fótons não chegam aos detectores. Logo, nenhum dos dois caminhos também não é aceitável. Parece restar apenas a opção pelos dois caminhos : o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 5
Uma resposta melhor Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir os caminhose. A pergunta qual o caminho do fóton? só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta. Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras posição de um objeto, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado. -W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics (o artigo de 97 sobre o princípio da incerteza) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 6
Fácil de entender num modelo ondulatório interferência construtiva D D interferência destrutiva C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 7
Princípios da Mecânica Quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 8
Princípios da Mecânica Quântica Vetores de estado e o princípio da superposição A regra de Born Complementaridade e o princípio da incerteza Colapso do vetor de estado Evolução unitária C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 9
Vetores de Estado e o Princípio da Superposição C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 0
Sistemas de dois estados fóton refletido cara coroa fóton transmitido C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04
Sistemas de dois estados grandeza física observável: A = a a a a A =? a a ou medidor de A a a C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04
Sistemas clássicos Sistema clássico de dois estados, A = a e A = a. Representação dos estados: pontos no eixo A a a A C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 3
Sistemas quânticos: vetores de estado Sistema quântico de dois estados, A = a e A = a. Representação dos estados: vetores ortogonais em um espaço de duas dimensões a a C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 4
A notação de Dirac vetor L identificação a a exemplos: 0 b esquerda direita C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 5
O que muda? Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de etiquetagem dos estados.? a a a A a O que muda é o seguinte: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 6
O Princípio da Superposição Qualquer combinação linear dos vetores a e a representa um estado físico do sistema. ψ =c + a c a a ψ a C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 7
Significado de ψ a a ψ A = a e A = a? esquerda e direita? horizontal e vertical? sim e não? 0 e? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 8
Alguns detalhes técnicos As constantes c e c podem ser números complexos. O espaço de estados é um espaço vetorial complexo. Os vetores a e a são uma base do espaço de estados (bidimensional, no caso). Precisamos de um produto escalar para tornar precisa a noção de ortogonalidade (e norma). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 9
A Regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 30
A Regra de Born c ψ ψ =c a + c a a a c A probabilidade de uma medida da grandeza física Aresultar em A = a n é P(a n ) = c c n + c (n =, ) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 3
A Regra de Born ψ =c + a c a a a c P(a) = c + c ψ a a medidor de A a a P(a ) = c c + c C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 3
Normalização do vetor de estado Ψ = λ Ψ Φ a c a c λ + = λ Φ a c a =c + Ψ C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 33 Φ e Ψ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico! ) (a P c c c c c c ) (a P n n n n Ψ Φ = + = λ + λ λ =
Normalização do vetor de estado Todos os vetores ao longo de uma dada direção representam o mesmo estado físico. Podemos trabalhar apenas com vetores normalizados : Ψ = c a + c a, c + c = C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 34
Vetores normalizados: a Regra de Born ψ =c + a c a (normalizado) n) c n P (a = a a ) c P (a = ψ a a medidor de A a a P (a ) = c C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 35
Amplitude de probabilidade c n amplitude de probabilidade probabilidade = amplitude de probabilidade função de onda : Ψ( a ) = n c n P(a n ) = Ψ(an) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 36
Valor médio Ψ a a Ψ Nmedidas de A(N ) a a N a, N a Ψ a a valor médio de Ano estado Ψ Na + Na A = N C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 37
Valor médio probabilidades: N P(a ) = N N P(a ) = N Na + N a A = = P(a)a + P(a N ) a Ψ =c + a c a a c a A = c + C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 38
Incerteza c a Ψ Ψ =c + a c a c, c 0 a impossível prever o resultado de uma medida c Se Ψ Ψ = ou = a c =, c = a c = 0, c = 0 possível prever o resultado (probabilidade = 00%): valor de A bem definido C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 39
Incerteza Ψ =c + a c a A = incerteza de Ano estado Ψ ( A A ) = A A ( A) = Ψ = a A = 0 Ψ ou = a C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 40
Complementaridade e o Princípio da Incerteza C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 4
Complementaridade a a a duas grandezas físicas: A e B A a b b b B b C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 4
Grandezas compatíveis e incompatíveis b A e B compatíveis a b a b a A e B incompatíveis b a A e B complementares: incompatibilidade máxima C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 43
O Princípio da Incerteza A e B incompatíveis nenhum estado Ψ com A = 0 e B = 0 a b Ψ b a C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 44
Resumo da cinemática quântica estado físico vetor no espaço de estados grandeza física sistema de eixos no espaço de estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 45
Resumo da cinemática quântica probabilidade de uma medida da grandeza Aresultar em A = a ou A = a a a projeção do vetor de estado no eixo a n probabilidade da medida resultar em A= a n grandezas físicas incompatíveis (complementares) diferentes sistemas de eixos no espaço de estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 46
Como o vetor de estado muda com o tempo? Colapso durante uma medida Evolução unitária (equação de Schroedinger) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 47
Colapso do Vetor de Estado
Colapso do vetor de estado Ψ a a antes da medida a a a depois da medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 49
Colapso do vetor de estado a resultado A = a Ψ resultado A = a a medida de Aresulta em a n logo após a medida o vetor de estado do sistema é a n C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 50
Evolução Unitária
A equação de Schroedinger Evolução temporal do vetor de estado: Ψ(0) Ψ(t) Dinâmica quântica: determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 5
A (solução da) equação de Schroedinger Sistema de dois estados Dois níveis de energia: E, E E E Ψ( t = 0) = c + E ce Ψ( t) = c iet/ h ie t/ h e E + ce E C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 53
A (solução da) equação de Schroedinger ћ = constante de Planck ( π) 0-34 Js Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t 0 elas serão complexas: c n (t) = c A evolução Ψ(0) Ψ(t) ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem saltos quânticos ) e determinista (sem elementos probabilísticos). n e ie n t/ h C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 54
Propriedades da equação de Schroedinger Determinismo Continuidade Linearidade Conservação da norma Conservação de ângulos evolução unitária C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 55
Eq. de Schroedinger x Processos de medida Equação de Schroedinger: contínua determinista válida enquanto não se faz uma medida Colapso do vetor de estado: descontínuo probabilístico ocorre durante a medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 56
Eq. de Schroedinger x Processos de medida Duas dinâmicas? Equação de Schroedinger: interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos. A = a e A = a Colapso do vetor de estado: interação do sistema quântico com um aparato clássico, o aparelho de medida (o observador ). A = a ou A = a C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 57
Aplicações a sistemas simples C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 58
Aplicações a sistemas simples Interferômetro de Mach-Zehnder Interferência de uma partícula Medida sem interação O problema de Deutsch Química quântica Molécula de H + Benzeno, amônia Polarização do fóton Oscilação de neutrinos Spin ½ Sistemas de x níveis: estados emaranhados Criptografia quântica O experimento de Hardy (realismo x localidade) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 59
O interferômetro de Mach-Zehnder 00% D D 0% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 60
Descrição quântica do interferômetro (caminho ) (caminho ) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 6
Espaço de estados Ψ = c + c probabilidades: P P = = c c C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 6
Semiespelho + evolução unitária probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = ½ o sinal de menos garante a ortogonalidade dos estados finais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 63
Interferômetro D D C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 64
Interferômetro Estado inicial: Primeiro semiespelho: + C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 65
Interferômetro Segundo semiespelho: + + + C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 66 ou seja, o estado final é = + + interferência destrutiva interferência construtiva P = 00% P = 0%
Comentários Finais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 67
Conexão com os operadores Produto escalar: Φ Ψ Projetores: Ψ Ψ Operador associado à grandeza A: A = a + Autovalores e autovetores de A: a a a a a A Ψ = λ Ψ Ψ ou = a, λ = a Ψ = a, λ = a É mais fácil encontrar (postular) o operador A do que os eixos a n e valores a n. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 68
Passos seguintes: Simetrias Posição e momentum Partícula em dimensão: aplicações Partícula livre Potenciais constantes por partes: estados ligados, tunelamento, etc. Oscilador harmônico Partículas idênticas Soma sobre caminhos (?) Descoerência (?) Muitos-mundos, de Broglie-Bohm (?) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 69
Concluindo É possível apresentar alguns dos princípios básicos da mecânica quântica utilizando apenas matemática acessível a professores (e alunos?) do ensino médio. Essa abordagem permite descrever apropriadamente a mecânica quântica de sistemas simples. Aspectos pouco (ou nada) intuitivos da mecânica quântica podem ser discutidos sem interferência de dificuldades adicionais associadas à matemática. Experimento didático em desenvolvimento. Críticas e sugestões são bem-vindas. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 04 70