The Midas Formula BBC 1999 Raquel M. Gaspar ISEG, UTL Workshop de Mercados e Investimentos Financeiros 3 e 4 Dezembro 2007 Os mercados têm risco 1
O que são opções? São contractos financeiros que, a troco de uma contrapartida monetária - o prémio da opção - conferem aos seus compradores direitos (sem qualquer obrigações), válidos durante determinado período de tempo futuro. Exemplo: Opção de compra europeia Confere ao seu comprador o direito a comprar em determinada data futura o activo subjacente a um preço prefixado hoje. Payoff= max [ S(T)-K, 0 ] É fácil entender que este tipo de activos financeiros permitem gerir o risco. O difícil é saber qual é o preço justo deste tipo de contractos. 2
A caminho da famosa fórmula 1600: Holanda. Os primeiros contractos de opção são transaccionados tendo por subjacente o mercado de tulipas. O mercado floresce levando a que tanto produtores como especuladores invistam no mercado de opções sobre a produção de tulipas. Mas o preço da tulipa cai e muitos especuladores incumprem com os contratos de opções vendidos. A economia holandesa sofre enormemente. 1700: Reino Unido. Os contractos de opção são declarados ilegais! 1934: EUA. Os contractos de opção são legitimados. Existem, no entanto, menos de 300 000 contractos transaccionados até 1968! 1973: EUA. Abre o primeiro mercado organizado de opções financeiras (CBOT). No primeiro dia são transaccionados 911 contractos. 1974: EUA. O volume diário das opções transaccionadas na CBOT cresce de 20 000 para 200 000. Acredita-se que parte desta evolução se deve ao desenvolvimento dos modelos matemáticos que permitem valorizar opções O nascimento da Matemática Financeira 1827 Robert Brown. Observa o comportamento aleatório de partículas de pólen observadas ao microscópio 1930-1940 Kolmogorov, Itô, Lévy, Wiener. Determina-se o Cálculo estocástico (Itô) e estuda-se com maior rigor o movimento Browniano. 1900: Bachelier escreve a sua tese "Théorie de la spéculation". Estuda os movimentos dos preços de obrigações na Bolsa de Paris. Estabelece-se pela primeira vez a relação a distribuição do preços e do calor. Usa o movimento Browniano para descrever a evolução dos preços - 5 anos antes de Einstein ter trabalhado neste assunto. Mas Bachelier morreu na guerra e a sua tese esteve desaparecida mais de 50 anos! 1955: Samuelson. Dedica-se ao estudo da valorização de opções. Ele e um estudante de doutoramento seu descobrem a Tese de Bachelier! Redefinem o modelo de Bachelier de forma a que os preços não possam tomar valores negativos. Movimento Browniano Geométrico. 3
A luta continua 1965 Fisher Black, físico, faz a passagem para as finanças, trabalhando numa consultora. 1955-1970: Vários Economistas tentam descobrir uma formula para valorizar opções. Samuelson: anda lá muito perto Giguere: Descobre condições limite para o preço das opções. Sprenkle: Baseia-se num modelo que depende das expectativas dos investidores e do seu grau de aversão face ao risco. Boness: Traduz a tese de Bachelier e escreve o modelo com base em descontos de expectativas Mackean: Estuda Itô e escreve um livro sobre cálculo estocástico. 1970: Balck e Scholes. Encontram-se no MIT e começam a trabalhar na valorização de opções. Apercebem-se que, pelo menos num modelo discreto para a evolução dos preços, possível combinar o investimento numa opção, no activo subjacente e numa conta bancária, por forma a que o risco seja totalmente eliminado. 4
Exemplo: Considerem-se a seguinte carteira: A acção vale hoje $50. A opção tem preço de exercício $45. A taxa de juro é zero Compra de 1 acção Venda de 2 opções Pedir emprestado $30 Se o preço subir Valor da carteira= 60-2x15-30=0 Se o preço descer Valor da carteira = 30-2x0-30=0 Só faltava um pouco 1968: Merton Sabe cálculo estocástico e está habituado a trabalhar em tempo contínuo. Encontra-se com Black em 1969 e está disposto a testar a validade da ideia da imunização de carteiras em tempo contínuo Conclui que as ideias de Black e Scholes podem ser aplicadas a movimentos contínuos de preços. Deriva a equação que fica conhecida por equação de Black-Scholes: A solução desta equação é o que todos sempre procuraram! 5
A fórmula de Black-Scholes Os pressupostos: Os preços têm uma distribuição lognormal com parâmetros constantes. A rendibilidade do subjacente segue uma distribuição normal. A rendibilidade do subjacente segue uma distribuição normal. A volatilidade futura e a taxa de juro são parâmetros constantes e conhecidos. Não há incumprimentos. SERÁ? A Euforia 1975-1994: Explosão dos derivados a nível mundial. Surgem Bolsas de Derivados em todo o mundo. Todos usam a fórmula de Black-Scholes. Surpreendentemente a fórmula explica cada vez melhor o comportamento dos mercados?!?!? Surgem cada vez produtos derivados mais exóticos. Fazem-se fortunas nos mercados de derivados. 1995: O prémio Nobel da Economia é atribuído a Scholes e Merton. 6
O Nobel Os melhores dos melhores... 1994: É criado um fundo de investimento, o LTCM, gerido por todos os famosos!!! Scholes, Merton, muitos economistas famosos, O dinheiro abunda e a dimensão do LTCM torna-se uma coisa monstruosa!!! Espelho meu espelho meu, existe alguém melhor do que eu? 7
Os primeiros sinais de perigo 1993: MG Corporation: Empresa pertencente ao Deutsche Bank apresenta perdas superiores a 1.3 biliões de dólares. Muita da culpa é atribuída aos investimentos feitos em derivados (no caso futuros). 1995: Barings PLC: O mais antigo grupo bancário do Reino Unido perde mais de 1.5 biliões de dólares. A responsabilidade é atribuída a investimentos não autorizados em derivados. muitos outros exemplos Em muitos destes casos as instituições estavam a tomar posições demasiado especulativas. Muitos destes problemas seriam evitáveis caso os modelos existentes fossem correctamente utilizados. De 8 a 80 O mundo começou a ver os derivados como um bicho perigoso de 7 cabeças!!! 8
O melhores ainda confiantes LTCM: quem sabe, sabe isto acontece aos outros porque não sabem o que fazem mas nós sabemos!!! Ou será que não? "Quem não arrisca não petisca" Mas somos conscientes O que o modelo não previu Movimentos de mercado tão "anormais" A possibilidade de incumprimento. O Drama da Matemática Financeira 9
O Drama da Matemática Financeira Moral da História Somos todos necessários "A união faz a força" A matemática é poderosa Mas a intuição não é menos. 10