Ficha de Trabalho Ficha final de Trigonometria Matemática 11ºano 1. Das circunferências de centros O e E, da figura sabe-se que: OA = 1 cm, EC= cm, AÔB = 1 e CD = cm. Qual das afirmações é verdadeira: (A) CÊD = 1 (C) CÊD = (B) CÊD = (E) CÊD < AÔB. Considera num ref. o. m. do plano, os ângulos orientados de lado origem Ox. Qual dos seguintes pares de amplitudes corresponde a ângulos que têm o mesmo lado extremidade: (A) 6 e - (B) 6 e - 8 (C) 8 e (D) 8 e. Numa circunferência de raio cm, um arco com 8 cm de comprimento, tem de amplitude: (A) 1 (B) (C) 1 (D). Considera a roda gigante representada ao lado. Suponhamos que a roda tem 10 metros de raio, doze cadeiras igualmente espaçadas e a distância mínima ao solo é de 1 metro..1 Determina, com aproximação às décimas, a distância percorrida por cada cadeira numa volta.. Determina a medida do arco de circunferência entre cada cadeira.. Determina a distância a que se encontra do solo, uma cadeira que percorra uma distância correspondente a um ângulo de 10º, depois de se encontrar à distância mínima.. Para estimar a altura de uma torre, um estudante recorreu a um espelho, colocando-o de forma a ver a imagem do cimo da torre, conforme a figura. O estudante tem 1,80 m de altura e está a m do espelho e a 0 m da torre. Determina a altura da torre. (Nota que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.) 6. A figura representa uma circunferência com cm de raio. Os vértices A, B, C e D do rectângulo pertencem à circunferência. Na figura estão também assinalados dois diâmetros da circunferência, [EG] e [HF], que contêm os pontos médios dos lados do rectângulo e o ângulo BOF, de amplitude x, com x 0,. Mostra que a área tracejada é dada pela expressão - 100 sen x.cos x
. No ref.o.m. da figura, está representado o hexágono regular [ABCDEF], com cm de lado, inscrito numa circunferência..1 Determina um valor aproximado, às centésimas, do comprimento do arco menor AC.. Indica as coordenadas exactas do ponto B.. Mostra que o valor exacto da área da região sombreada da figura é cm 6 Nota: a região sombreada é limitada pelo arco de circunferência AB e pelos segmentos de recta [AO], [OG] e [GB].. Considera que o ponto B se move ao longo da circunferência e, em consequência, o ponto G desloca-se ao GB // OA. designa a amplitude, em ianos, do ângulo longo de Oy de tal forma que se tem sempre AOB com 0, : Mostra que a área do trapézio rectângulo, OABG, é dada em função de, por A( ) sen (1 cos) 8. Duas patrulhas militares partem do posto de comando C em direcção aos pontos A e B que estão sepaos por um lago como ilustra a figura. Sabe-se que: CA = 0Km, CÂB = º e o ângulo ABC tem 0º de amplitude. Ambas as patrulhas possuem walkie-talkies que permitem estabelecer comunicação entre si a uma distância km. Averigua se as duas patrulhas podem estabelecer comunicação a partir dos pontos A e B. 9. Considera a figura que representa o trapézio rectângulo [ABCD]. Sabe-se que DC 1, A Bˆ C, tg 1,. Determina o valor da amplitude para que a área do trapézio seja 10..Uma fábrica produz depósitos para armazenar combustível, a partir de cilindros, com metros de altura e base com m de raio, extraindo cones. As alturas dos cones são variáveis e representadas por h. A figura representa um desses recipientes e a secção que resulta de um corte feito por um plano perpendicular às bases que passa pelo centro das mesmas. 10.1 Determina: 18 cm.
1.1 A amplitude do ângulo x, se a altura do cone for de metros. 1. O comprimento da geratriz do cone no caso do ângulo x medir 8º. 10. Mostra que a capacidade de armazenamento do recipiente é dada, em função de x, pela expressão 8 V(x) = tgx 10. Um cliente faz um pedido de construção de um depósito com capacidade de armazenamento de mil litros de combustível. A resposta dada pelo sector de produção foi: É impossível satisfazer o pedido. A capacidade máxima dos nossos recipientes é de 0 9 litros. Num pequeno texto comenta a resposta dada pelo sector de produção e relaciona variação do ângulo de amplitude x com a variação da capacidade do depósito. Com recurso à calculadora estuda graficamente este problema e ilustra o texto com o(s) gráfico(s) que considerares necessários e as respectivas janelas de visualização. ABCDE. O lado BC é paralelo ao eixo BA são paralelos ao eixo Oy. Seja a amplitude, em ianos, do ângulo 11. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um polígono Ox e os lados e CD AOB e 0; : 11.1 Mostra que: a) EA 1 cos b) O perímetro do rectângulo ABCD é dado em função de pela expressão P ( ) cos sen c) A área do polígono ABCDE é dada pela expressão A( ) cossen 1 11. Determina o valor exacto da área do polígono ABCDE no caso de se ter EA. 1. Calcula o valor exacto das seguintes expressões: 1 11 1.1. sen sen cos tg 6 6 11 1.. cos sen sen 6 1. Simplifica as expressões seguintes em que representa a amplitude de ângulo: 1.1. sen cos tg sen cos. 1.. cos cos Determina o valor exacto desta expressão sabendo que tg e º Q. 1. Num certo ano, na cidade de Coimbra, a duração S do dia, isto é, o tempo que decorreu entre o nascer e o pôr-do-sol, foi dado pela seguinte função: d S(d) 1,1,cos com S em horas e em que d é a ordem do dia no ano. 6 Por exemplo: para o dia 19 de Março, o valor de d é 1+8+19=8. Nas questões seguintes, apresenta os resultados com aproximação ao minuto. 1.1 Quanto tempo durou o dia 1 de Abril?
1. Se nesse dia o sol nasceu às 6h min, a que horas se deu o pôr- do- sol? 1. Qual foi o maior dia do ano? Quanto durou ele? 1. A função S(d) é periódica. Qual é o seu período? Justifica a tua resposta. 1. Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora determina: a) o dia mais pequeno do ano e a sua duração. b) o número de dias do ano que tiveram uma duração superior a 1 horas. Numa pequena composição explica como procedeste para obteres as tuas respostas e ilustra-a com o(s) gráfico(s) que entenderes necessários e as respectivas janelas de visualização. 1. Determina, se possível, os valores de k IR que tornam possível cada uma das seguintes condições em x, sendo x amplitude de ângulos: 1.1. senx k k x 0; 1.. k tgx 1 cosx k 16. Resolve, em IR, as seguintes condições em x : 16.1. senx 16.. sen x cos x 16.. cos x tg 16.. sen x tg 16.. senx cosx 0 16.6. tg x tgx 1 x k, k Z 1. No conjunto das amplitudes de ângulo determina as soluções das condições: x 1.1. sen 1 0 x ; 1.. sen x.cosx cosx 0 x 0; x 1.. tg 1 0 x ; 18. O passeio de uma rua tem metrosde largura e descreve uma curva em que OA 1,m e AÔB º. Qual é a área da porção de curva do passeio? Apresenta o resultado arredondado às unidades. 19. Prova que, no seu domínio, são universais as condições seguintes: 19.1. 19.. 1 senx senx sen x cosx cosx cosx tgx 1 sen x
19.. SI CRSI CRSI CR sen 1 cos 1 cos cos sen 19.. 1 tg cos 0. Considera a recta s:x y 0. Sendo a inclinação desta recta, calcula o valor exacto da expressão E sen cos 1. Na figura está representado um lago artificial de forma rectangular. Pretende-se construir um pontão, ligando duas margens do lago, entre os pontos P 1 e P tal como a figura ilustra. O pontão tem um pilar de apoio A, situado a 1m de uma das margens e a 16m da outra. Seja x a amplitude do ângulo P B P 1. 16sen x 1cosx 1.1. Mostra que o comprimento do pontão, em metros, é dado por c (x) sen x.cosx 1.. Considerando que a localização de P 1 e de P pode variar, determina o comprimento do pontão para a qual se tem BP1 BP. Apresenta o resultado em metros, arredondando às décimas. 1.. Admite que num dia de Verão a temperatura da água do lago, em graus Celsius, pode ser dada, aproximadamente, por t f (t) 1 cos 1 onde t designa o tempo, em horas, decorrido desde as zero horas desse dia. Numa pequena composição indica como varia a temperatura da água do lago ao longo do dia. Utiliza a calculadora gráfica e não deixes de referir os seguintes aspectos:. quando é que a temperatura aumenta e quando é que diminui;. a que horas é que a temperatura é mínima e qual é o valor desse mínimo;. a que horas é que a temperatura é máxima e qual é o valor desse máximo;.as melhores horas para se tomar banho, admitindo que um banho só é realmente bom se a temperatura da água não for inferior a 19 graus. Enriquece a composição com o traçado de um ou mais gráfico
Soluções: 1. B. B. C.1 6,8 m., m. 16 m. 10,.1,19.. ( 1, ) 8 não 9. º 10.1,69º 10., m 11. 1. 1 1 1.1 1. 1.1 tg cos cos 1.1 1h 06 min 1. 19h 8 min 1. 1 de Junho e dura 1h min 1. 6 1. a) 1 de Dezembro 1. b) 99 dias 1.1 k 0, 1. impossível 16.1 x k x k, k Z 16. x k, k Z 16. x k,k Z 16. x k, k Z 16. x k x k,k Z 6 1 1 16.6 x k x 0, k, k Z 1.1 x x 6 6 1. x x 1. x 18 6 6 1. P 1 P 9,6 m 1.,8 m 0. E