CEDERJ MÉTODOS DETERMINÍSTICOS I - EP13 Prezado Aluno, O principal tópico deste EP é um tema muito importante para administradores e economistas. Trata-se de algo que os estatísticos chamam de regressão linear, mais especificamente, estamos falando do método dos mínimos quadrados. Em muitas situações reais encontramos grandezas que se relacionam de forma aproximadamente linear, mas em alguns casos não sabemos exatamente qual a constante de proporcionalidade que rege esta relação. Um exemplo que você verá na próxima semana, é o modelo de demanda como função do preço. Você pode imaginar que se a batata começar a ficar mais cara, certa família começará a consumir menos batata (e mais arroz, macarrão, etc.). Podemos então pensar que esta relação entre o preço da batata e a quantidade consumida pode ser ilustrada por uma função linear cujo gráfico é uma reta decrescente. Mas a pergunta que surge é: qual é o coeficiente angular e qual o coeficiente linear desta relação? As respostas a essas perguntas nos informam quanto tem que aumentar o quilo da batata para que a família passe a consumir um quilo a menos e também qual é o preço a partir do qual a família já não consumirá mais batata. É claro que poderíamos nos perguntar: mas por que essa relação é linear? Por que não usamos, em vez de uma reta, alguma outra função decrescente para modelar este problema? Uma resposta, nesses casos em que não é evidente que a relação seja linear é que o modelo linear é simples e fácil de calcular, por isso, a menos que saibamos que ele não é adequado, será esta uma boa alternativa. Preste especial atenção a este método pois ele pode ser de grande utilidade em seu futuro cotidiano como administrador (e não apenas para provas e testes). Bom trabalho, Michelle Dysman 1
O que faz o método dos mínimos quadrados é encontrar a reta r com a propriedade de que a soma do quadrado das distâncias dos pontos dados à reta r é a menor possível, isto é, para qualquer outra reta, esta soma seria maior do que para r. Essa reta r será descrita por uma expressão y = ax+b. A seguir vamos mostrar como encontrar a e b. Não vou explicar a razão pela qual o método funciona (isto é, por que nos dá a reta desejada) pois isso tomaria muito tempo e exigiria conhecimentos de áreas que não amadurecemos o suficiente nesta disciplina. Vamos, em vez disso, ver cuidadosamente como usar o método. Farei a primeira questão junto com você para que você possa acompanhar como funciona o método dos mínimos quadrados. Em seguida proponho um problema similar para você resolver sozinho. Questão 1. Considerando a tabela a seguir, encontre, pelo método dos mínimos quadrados, uma reta y = ax+b que seja aproximação linear para a relação indicada pelos pontos dados na tabela. Para isso siga os passos que indicaremos. ponto x y A 6 9 B 17 20 C 11 16 D 10 11 Como vocêpode ver pelo seu livro texto, as fórmulas paraaeparabpelo método dos mínimos quadrados são dadas por: a = xy n x ȳ x2 n x 2 e b = ȳ a x onde os somatórios são feitos sobre todos os pontos dados, x e ȳ são as médias aritméticas dos valores de x e de y respectivamente, e n é o número de pontos na tabela. Para facilitar, vamos começar estendendo a tabela de forma que para cada ponto (x,y) já tenhamos os valores x 2 e xy. a) Coloque na tabela mais duas colunas, uma para o produto xy e outra para x 2. Para cada ponto calcule estes valores e preencha nestas novas colunas da tabela. Solução: Nossa tabela ficará assim (a calculadora facilita): 2
ponto x y xy x 2 A 6 9 54 36 B 17 20 340 289 C 11 16 176 121 D 10 11 110 100 Se você der uma olhada na fórmula, vai ver que precisamos fazer o somatório dos valores xy obtidos e também dos valores x 2. b) Coloque mais uma linha no fim da tabela e preencha os dois últimos campos desta linha com xy e x 2, considerando todos os pontos da tabela ao calcular os somatórios. Solução: Nossa tabela, agora ficará assim: ponto x y xy x 2 A 6 9 54 36 B 17 20 340 289 C 11 16 176 121 D 10 11 110 100 Soma: 560 540 Precisamos também das médias x e ȳ. Lembre-se, para calcular a média de n números basta somá-los e dividir por n. c) Acrescente mais uma linha na tabela e preencha os dois primeiros campos desta linha com as médias x e ȳ Solução: Nossa tabela ficará assim: ponto x y xy x 2 A 6 9 54 36 B 17 20 340 289 C 11 16 176 121 D 10 11 110 100 Soma: 680 540 Média: 11 14 3
Agora, lembrando que como temos 4 pontos, n = 4, basta substituir na fórmula para encontar a: d) Calcule o coeficiente a. Solução: a = xy n x ȳ x2 n x 2 = 680 4 11 14 540 4 11 2 = 680 616 540 484 = 64 56 = 8 7 Agora que também já temos a, podemos encontrar b usando a fórmula: e) Calcule o coeficiente b. Solução: b = ȳ a x = 14 8 7 11 = 98 88 7 = 10 7 1,43 f) Escreva a fórmula da reta obtida pelo método dos mínimos quadrados como aproximação linear para a relação dada pela tabela. Solução: y = 8 10 x+ 7 7 A seguir encontra-se o plano euclidiano com a reta obtida e os pontos da tabela. 4
Questão 2. Considerando a tabela a seguir, encontre, pelo método dos mínimos quadrados, uma reta y = ax + b que seja aproximação linear para a relação indicada pelos pontos dados na tabela. Siga os procedimentos da questão 1, mas antes, realize os itens 1 e 2 da Atividade Eletrônica Mínimos Quadrados na plataforma. ponto x y A 2 2 B 7 4 C 4 2 D 5 4 Depois que houver resolvido pelo método dos mínimos quadrados, realize o item 3 da Atividade Eletrônica Mínimos Quadrados na plataforma. Outro tema que também é aboradado no capítulo 15 de seu material impresso é a localização de regiões do plano. Após estudar o capítulo 15, resolva a questão a seguir: Questão 3. Represente geometricamente os conjuntos abaixo: a) {(x,y) R 2 ;x = y e y 2} b) {(x,y) R 2 ; x > 1 e y 3} c) {(x,y) R 2 ; 2x y < 2} 1. Já resolvida GABARITO 2. Conforme foi sugerido vamos seguir os passos da questão 1. a) Colocarna tabela mais duas colunas, uma paraoproduto xy e outra parax 2. Paracada ponto calcular estes valores e preencher nestas novas colunas da tabela. Nossa tabela ficará assim (a calculadora facilita): 5
ponto x y xy x 2 A 2 2 4 4 B 7 4 28 49 C 4 2 8 16 D 5 4 20 25 b) Colocar mais uma linha no fim da tabela e preencher os dois últimos campos desta linha com xy e x 2, considerando todos os pontos da tabela ao calcular os somatórios. Nossa tabela, agora ficará assim: ponto x y xy x 2 A 2 2 4 4 B 7 4 28 49 C 4 2 8 16 D 5 4 20 25 Soma: 60 94 c) Acrescentar mais uma linha na tabela e preencher os dois primeiros campos desta linha com as médias x e ȳ Nossa tabela ficará assim: d) Calcular o coeficiente a. ponto x y xy x 2 A 2 2 4 4 B 7 4 28 49 C 4 2 8 16 D 5 4 20 25 Soma: 60 94 Média: 4,5 3 a = xy n x ȳ x2 n x 2 = 60 4 4,5 3 94 4 4,5 2 = 60 54 94 81 = 6 13 0,46 6
e) Calcular o coeficiente b. b = ȳ a x = 3 6 39 27 4,5 = = 12 13 13 13 0,92 f) Escrever a fórmula da reta obtida pelo método dos mínimos quadrados como aproximação linear para a relação dada pela tabela. y = 6 12 x+ 13 13 A seguir encontram-se o gráfico da reta e os pontos A, B, C e D no plano cartesiano. 3. a) 7
b) c) 8
9