EOREM D EFICIÊNCI DO CIRCUIO EQUIVLENE DE HÉVENIN Ivo Barbi, Fellow, IEEE (*) RESUMO: Neste documento são apresentados dois teoremas tratando das perdas e da eficiência do circuito equivalente de hévenin. É demonstrado analiticamente e confirmado por simulação numérica, que a eficiência do circuito equivalente de hévenin, para qualquer rede onde ele exista, é sempre maior ou igual à eficiência do circuito real. II. ROOSIÇÃO E DEMONSRÇÃO DO RIMEIRO EOREM (a) Seja uma rede resistiva linear, representada na Fig. (a) por N, com dois terminais, a e b. Uma resistência externa R encontra-se conectada entre os pontos a e b. I. INRODUÇÃO Δ Δ De acordo com eorema de hévenin, qualquer circuito linear visto de um par de terminais pode ser representado por uma fonte de tensão (igual à tensão medida no par de terminais em circuito aberto) em série com uma impedância (igual à impedância do circuito vista do mesmo par de terminais). essa configuração chamamos de Circuito Equivalente de hévenin, em homenagem a Léon Charles hévenin (857 926). É um conceito de grande utilidade prática na análise de circuitos, pois permite a redução de um circuito dado, a um circuito equivalente de menor complexidade, com apenas dois elementos vistos a partir de uma par de terminais, onde se deseja, por exemplo, determinar as grandezas elétricas como tensão, corrente ou potência. pesar da importância desse teorema e de sua popularidade, não há referência na literatura consultada pelo autor deste documento, sobre a eficiência do circuito equivalente, comparada com a eficiência do circuito original. O presente documento analisa essa questão e demonstra que a eficiência do circuito equivalente é sempre maior ou igual à eficiência do circuito original sendo, portanto, limitada a sua equivalência. Δ Fig. : (a) Rede N formada por resistores e fontes com R conectado; (b) Rede N com a resistor R desconectado; (c) Circuito equivalente de hévenin da rede N com o resistor R conectado. representa a potência dissipada no resistor R. Δ representa a potência dissipada nas resistências internas do circuito N, quando o resistor R está conectado. (b) Seja a Fig. (b), onde R é removido; desse modo a tensão entre os terminais a e b, denominada V, é a tensão do circuito equivalente de hévenin. Nesse caso, a potência dissipada nos resistores internos do circuito é representada por Δ. (c) Seja o circuito equivalente de hévenin, representado na Fig. (c), onde V representa a tensão equivalente enquanto R representa a resistência equivalente de hévenin. potência dissipada em R é representada por Δ. (*) Instituto de eletrônica de otência Departamento de Engenharia Elétrica EEL Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC
O teorema proposto é enunciado como segue. Fig. 3: Rede N conectada a uma fonte I, de acordo com o princípio da substituição. potência dissipada nos resistores da rede real, com o resistor de carga R conectado, é igual à soma da potência dissipada no resistor R do circuito equivalente de hévenin com R conectado, com a potência dissipada nos resistores internos da rede real com R desconectado (I = ). Esta proposição é traduzida matematicamente pela expressão (). Δ = Δ +Δ () demonstração do teorema é apresentada a seguir. Δ Fig. 4: Rede N com os terminais a e b abertos. d) De acordo com o princípio da superposição podemos escrever a expressão (2), que demonstra o teorema proposto. Δ =Δ +Δ (2) (a) Seja a Fig. 2. Segundo o eorema da Substituição, R pode ser substituído por uma fonte de corrente com valor igual a I, como está representado na Fig. 3. (b) Seja I = ; o circuito para esse caso encontra-se Δ Δ representado na Fig. 4. potência dissipada pela rede N é igual a Δ. (c) Sejam todas as fontes internas de tensão curtocircuitadas (ou as fontes internas de corrente abertas). Essa situação, para I, é mostrada na Fig. 5. Nesse caso, a resistência vista dos terminais a e b é a resistência R de hévenin. potência dissipada em R é representada por Δ. Fig. 5: Rede N com fonte de corrente I conectada entre os pontos a e b. III. ROOSIÇÃO E DEMONSRÇÃO DO EOREM D EFICIÊNCI DO CIRCUIO EQUIVLENE DE HÉVENIN O teorema em questão, aqui denominado de eorema da Eficiência do Circuito Equivalente de hévenin, é assim enunciado: eficiência do circuito equivalente de hévenin é maior ou igual à eficiência do circuito real. demonstração deste teorema é apresentada a seguir. Fig. 2: Rede N com o resistor R conectado. Δ Seja uma rede N, com 2 terminais a e b, nos quais é conectado um resistor externo R, como está representado na Fig. 6. Sejam as seguintes definições: otência entregue à carga; 2
Δ otência dissipada internamente; = = +Δ (7) Δ ortanto: +Δ +Δ = +Δ (8) Fig. 6: Rede N com resistor R conectado nos terminais a e b. +Δ +Δ = +Δ (9) otência entregue pelas fontes do circuito. De acordo com o princípio de conservação de energia, Δ = + +Δ () = +Δ (3) Desse modo: Seja o circuito equivalente mostrado na Fig.7. () Δ Fig. 7: Circuito equivalente. De acordo com o eorema, Δ Fica então demonstrado que a eficiência do circuito equivalente de hévenin é maior ou igual à eficiência do circuito real. igualdade das eficiências ocorre quando Δ =. IV. VERIFICÇÃO NUMÉRIC DOS DOIS EOREMS Seja o circuito representado na Fig. 8, com os parâmetros indicados. Δ = Δ +Δ (4) Então, = +Δ +Δ (5) eficiência é do circuito real é definida pela expressão (6). = = +Δ +Δ eficiência do circuito equivalente de hévenin é definida pela expressão (7). (6) Fig. 8: Circuito utilizado para a verificação numérica dos teoremas enunciados, por simulação. O circuito foi simulado numericamente e os seguintes resultados foram encontrados: ( ) = 253, 6 W fornecida por V e V (2) 2 = 6, 7 W ( entregue à carga) (3) 3
( ) Δ = 37, 56 W perdida em R e R (4) 2 Em seguida, foi simulado o circuito mostrado na Fig. 9, onde R = 6,666 Ω. Foram obtidos os seguintes valores: (perdida em R e R 2 quando I = ) ortanto, Δ = 4, 83 W (5) Δ = 96,73 W (6) = 6,67 W (7) de acordo com o eorema 2. V. EXENSÃO DOS DOIS EOREMS R CIRCUIOS DE CORRENE LENRND COM ELEMENOS REIVOS Embora não tenha sido explicitamente enunciado nem demonstrado, verificou-se por simulação que ambos os teoremas são também válidos para circuitos de corrente alternada, com ou sem a presença de elementos reativos. Um circuito simulado, tomado como exemplo, encontra-se representado na Fig.. Δ +Δ = 96, 73 + 4,83 = 37, 56 W (8) ortanto, Δ +Δ =Δ (9) Como prevê o eorema partir dos resultados obtidos na simulação, podem ser determinadas as eficiências, como segue. Δ 6,7 = = =, 452 (2) 253,6 Δ Fig. : Circuito de corrente alternada simulado para a verificação dos teoremas propostos. Foram empregados os seguintes os parâmetros: V = 2sen(377t) ; V 2 = 4sen(377t + º); R = Ω; R = 2 Ω; R 2 = 5 Ω; L = 2 mh; L = 5 mh; Foram encontrados os seguintes valores para as potências e o rendimento do circuito: Fig. 9: Circuito simulado numericamente. = 685,8 W (23) = = = +Δ,545 (2) = 284,9 W (24) Δ = 4,8 W (25) ortanto, > (22) 284, 9 = =, 762 (26) 685, 8 4
Em seguida foi simulado o circuito mostrado na Fig., tendo sido encontrados os resultados apresentados a seguir. Δ otência perdida no circuito equivalente de hévenin. De fato esta parcela da potência é perdida na componente resistiva da impedância equivalente de hévenin. Então podemos concluir que Δ é uma potência que depende da carga que se torna nula quando a corrente de carga se nula. Fig. : Circuito de corrente alternada simulado para a verificação dos teoremas propostos. = 284,9 W (27) Δ = 45,95 W (28) Δ = 256, 49 W (29) = 54,32 W (3) 284, 9 = =,834 (3) 54, 32 ortanto, >, como prevê o eorema 2. dicionando-se as potências, obtém-se: Δ +Δ = 45,95 + 256,49 = 42, 44 W (32) Fica então confirmado que Δ =Δ +Δ como prevê o eorema. or outro lado, a potência Δ não depende da carga; é uma parcela constante, dissipada internamente pelo circuito real a vazio. Há um caso particular, que é aquele em que as perdas do circuito interno são nulas quando a carga é removida, onde a eficiência do circuito equivalente é igual à eficiência do circuito original. VII. CONCLUSÃO O presente documento apresentou o eorema da Eficiência do Circuito Equivalente de hévenin, que estabelece que tal eficiência é de fato sempre maior ou igual à eficiência do circuito real, tanto para circuitos de corrente contínua quanto para circuitos de corrente alternada. lém da demonstração matemática, o teorema proposto foi verificado através de exaustivas simulações numéricas de diferentes circuitos para diferentes combinações paramétricas. partir dos estudos apresentados, pode-se afirmar que o circuito equivalente de hévenin só é equivalente para a análise da tensão, corrente e potência da carga, não sendo válido para a análise das grandezas elétricas que ocorrem no circuito interno ou no circuito visto pela carga. VI. DISCUSSÃO DICIONL Foi demonstrado, tanto para circuitos de corrente contínua quanto para circuitos de corrente alternada, que onde Δ =Δ +Δ (33) Δ otência perdida no circuito real. GRDECIMENOS O autor agradece ao rof. Hans Helmut Zürn, por seus comentários construtivos e por ter observado que a eficiência do circuito equivalente de Norton, dual do circuito equivalente de hévenin, apresenta eficiência menor ou igual ao circuito real; agradece também ao rof. Enio Valmor Kassick por seus comentários e por ter observado que a eficiência do circuito equivalente é maior ou igual à eficiência do circuito original, e não apenas maior, como este autor concluiu precipitadamente. 5