Cinemática do ponto material (PM)

Cinemática do ponto material (PM) 1- Determine a velocidade média de um PM nos instantes t=5 s e t=10 s, sendo o seu movimento dado pelo gráfico mostrado a seguir 2- Uma partícula move-se numa dada direcção, sendo a sua posição em cada instante dada por x(t)=5t 2 +1. Calcular a velocidade média nos seguintes intervalos de tempo: [2,3], [2, 2.1], [2,2.001], [2,2.0001] e [2,2.00001]. Comparar os resultados com o valor da velocidade instantánea no instante t=2 s. 3- Considere um PM que se desloca ao longo do eixo dos x s de acordo com a lei x(t)=a+bt+ct 2 +dt 3 (m). Determine: a) as dimensões das constantes a, b, c e d, b) a velocidade do PM para t=1 s e c) a aceleração como função do tempo. 4-A aceleração dum PM em movimento rectilíneo é dada pela expressão a(t)=b+ct 2 (m/s 2 ). Determine: a) as dimensões das constantes b e c, b) a velocidade do ponto material em t=1 s sabendo que a velocidade em t=0 s é nula; c) a posição do PM para t=1 s, sabendo que em t=0 s a sua posição é x(0)=0 m. 5- Discutir graficamente o movimento cuja lei é x(t)=12-8t+t 2 (m). 6- Um PM move-se ao longo de um eixo segundo a lei x(t)=t 3-3t 2-9t+5 (m). Discuta o seu movimento. 7- Considere um PM que se desloca de acordo com x(t)=bt sen(ωt)+d cos(ωt). Determine: a) as dimensões das constantes b, d e ω e b) as funções v(t) e a(t) e desenhe os gráficos de x(t), v(t) e a(t) para d=0. 8- Um ponto material move-se em linha recta de acordo com a(t)=bt+ce γt +dsen(ωt). Determine: a) as dimensões das constantes b, c, d, ω e γ, b) a velocidade do PM para t=π s e c) a função x(t) sabendo que x(0)=2 m. 9- A posição de um PM que se desloca ao longo de uma linha recta é dada por x(t)=t 3-6t 2-15t+40. Determine: a) o instante em que v=0 sabendo que o movimento de inicia em t=0 s, b) a posição do PM e a distância percorrida até esse instante, c) a aceleração nesse instante e d) a distância percorrida entre t=4 s e t=5 s. 10- Um PM em movimento rectilíneo parte do repouso com uma aceleração de 10 m/s 2 que

decresce linearmente até se reduzir à metade ao fim de 2 s.a partir desse instante o PM move-se com aceleração constante durante 60 s, findos os quais actua sobre ele uma força constante que o faz parar ao fim de 10 s. a) Represente graficamente a aceleração e a velocidade como função do tempo. b) Calcule a velocidade máxima atingida e o valor da desaceleração. 11- Um comboio tem uma velocidade máxima de 144 km/h, um máximo de aceleração de 0,25 m/s 2 e um máximo de desaceleração de 0,5 m/s 2. O comboio para em duas estações distanciadas de 30 km. Calcule o tempo mínimo que leva o comboio a ir de uma estação a outra. 12- O gráfico mostrado na figura a seguir representa o valor da velocidade em função do tempo de um PM, cuja trajectória é rectilínea. O PM inicialmente desloca-se para norte (v>0). a) Indique em qual dos três intervalos [2,3], [2,3] e [6,7] é máxima a velocidade média para norte e é mínima a distância percorrida pelo PM, b) para além do instante da partida, em que instantes esteve o PM em repouso, c) determine o valor da aceleração em t=3 s, d) durante o intervalo de tempo [2,5], quais foram o deslocamento e a distância percorrida?, e) em que instante esteve o PM a sua maior distância, para norte do ponto de partida?, e) se a área do lado positivo da velocidade fosse igual à do lado negativo, qual seria a posição do PM no instante t=7 s, g) construa o gráfico a(t) no intervalo de tempo [0,7] s. 13- Um PM desloca-se em linha recta com velocidade inicial v 0 0 e aceleração constante. Quando atinge a velocidade de 5v 0, a aceleração muda de sentido ficando a sua grandeza inalterável. Qual a velocidade do PM no instante em que volta a passar no ponto de partida? 14- Dois PM, separados por uma distância S, partem com velocidades iniciais nulas ao seu mútuo encontro, animadas de acelerações iguais em módulo. Os dois PM encontram-se ao fim de 10 s. Qual o incremento a dar à aceleração de uma delas para que se encontrem ao fim de 5 s?. 15- A aceleração de um PM em movimento rectilíneo é directamente proporcional ao tempo. Sabe-se também que v(t=0 s)=9 m/s. Sabendo que no instante t=3 s a velocidade e coordenada de posição da partícula são nulas, escreva a equação de movimento da partícula. 16- Um corpo tem aceleração constante de 9,8 m/s 2 e parte do repouso. Sabendo que durante o último segundo percorre 3/4 do percurso, determine o espaço total percorrido e o

tempo gasto no mesmo. 17- Uma pedra é lançada verticalmente com velocidade inicial v 0y =2 m/s. Calcule a altura máxima atingida pela pedra, a velocidade com que chega ao chão e o tempo que leva a ir e voltar. 18- Uma pedra é lançada para dentro de um poço. Ao fim de 2 s ouve-se o bater da pedra na água. A que profundidade está a superfície da água do poço? (considere v som =340 m/s). 19- A aceleração de um PM é dada por a=kv 2 (m/s 2 ), sendo v a velocidade. O PM parte em x=0 m com velocidade de 20 m/s. Quando chega à posição x=100 m atinge a velocidade de 15 m/s. Determine: a) a distância percorrida quando a velocidade atinge o valor de 10 m/s e b) a distância percorrida até a velocidade se anular. 20- A posição de um PM é dada por x(t)=asen(ωt+φ). Sendo v 0 e x 0 a velocidade e coordenada na posição inicial, mostre que: a) tan(φ)=x 0 ω/v 0, b) A=(x 0 2 +(v 0 /ω) 2 ) 0.5. 21- Um automóvel de massa 1000 kg acelera partindo do repouso. Durante os primeiros 10 s a força resultante que actua sobre ele é dada por f=f 0 -kt, onde f 0 =10 3 N e k 0 =200 N/s, sendo t o tempo decorrido desde o arranque. Calcule a velocidade e a distância percorrida ao fim de 10 s de movimento. 22- Um PM descreve uma trajectória circular em torno da origem dos eixos cartesianos, r sendo a sua posição dada pela equação ( t) = 3sin(2t) eˆ x + 3cos(2t) eˆ y (o argumento das funções sin e cos é em radianos). Determine: a) os vectores v r (t) e a r (t) e os seus respectivos módulos, b) as componentes tangencial e normal da aceleração, c) a expressão para o espacio percorrido pela partícula, s(t), d) r, v r e a r em t=0 s e t=2 s e o espaço percorrido entre esses dois instantes, e) calcule o ângulo θ descrito pelo vector de posição entre os dois instantes acima referidos e, a partir daí, calcule a velocidade angular, f) a relação entre ω e s e entre ω e v e g) caracterize o movimento. 23- Um PM descreve uma circunferência de acordo com a lei θ(t)=3t 2 +2t. Calcule: a) a velocidade angular para t=4 s, b) a aceleração angular no mesmo instante. 24- Um corpo inicialemnet em repouso é acelerado numa trajectória circular de 1,3 m de raio, segundo a lei s(t)=120t 2-48t+16. a) Escreva a equação de θ e ω e b) calcule o valor das acelerações normal e tangencial para t=1 s. 25- Um carro desloca-se com velocidade constante numa curva de raio 1000 m. Sabendo que a componente normal da aceleração não pode exceder o valor de 0,7 m/s 2, determine a velocidade máxima com que a curva pode ser feita. 26- Um móvel percorre um arco de circulo de 0,4 m de raio com uma velocidade que varia segundo a lei v(t)=4-30t (m/s). Determine para t=0 s a aceleraçao do móvel e o ângulo que a aceleração faz com a velocidade (ilustre esquematicamente).

27- Calcule a velocidade de um PM situado no equador (R Terra =6,4x10 6 m). 28- Um objecto fixo em relação à superfície de um planeta idêntico, em massa e raio, à terra, sofre uma atracção gravitacional nula no equador. Qual é a duração do dia naquele planeta? 29- Um carro, cujas rodas têm um diâmetro de 76 cm move-se a uma velcidade de 97 km/h. a) Calcule a velocidade angular das rodas. b) Se o carro parar após as suas rodas perfazerem 30 rotações, determine a aceleração angular das rodas. c) Que distância pecorreu o carro até parar? (Considere a força de atrito que faz para o carro constante). 30- Dois pontos móveis podem descrever uma trajectória circular de raio 5 cm. Partem no mesmo instante e do mesmo ponto em sentidos contrários. Um deles tem velocidade inicial de 5 cm/s e aceleração tangencial de 2 cm/s 2 e o outro move-se segundo a lei s(t)=-t 2-5t. Determine o instante em que os pontos se encontram. 31- Na figura a seguir é mostrado um braço OA que gira em redor de O, sendo o seu movimento definido pela relação θ(t)=-t 2 +0.55. O cursor desliza ao longo do braço, sendo o seu deslocamento, em relação a O, dado por r(t)=1-0.13t 2 (m). Determine a velocidade e a aceleração do cursor após o braço ter girado 30º. 32- Um projéctil é disparado com velocidade inicial de 60 m/s, segundo um ângulo de 60º com a horizontal. Calcule: a) o alcance horizontal, b) a altura máxima, c) a velocidade 3 s após o disparo, d) o tempo decorrido e a velocidade quando o projéctil está a 100 m de altura e e) determine o ângulo para o qual o alcance do canhão é máximo. 33- Uma bola é lançada do cimo de uma torre de 35 m com velocidade inicial v 0 =80 m/s, numa direccção que faz um ângulo de 30º com a horizontal (ver figura a seguir). a) Calcule o tempo que a bola demora a atingir o chão e a distância horizontal atingida pela bola, b) calcule a intensidade e direcção da velocidade no momento do impacto. 34- Um projéctil é disparado com uma velocidade inicial de 240 m/s contra um alvo situado

a 600 m acima do nível da arma e a uma distância de 3600 m da mesma. Determine o valor do ângulo de disparo. 35- Um jogador atira uma bola com a velocidade de 15 m/s de um ponto A, localizado a 1,5 m do solo (ver figura a seguir). Sabendo que a bola atinge uma altura máxima de 6 m, determine a altura do ponto B. r 2 36- O vector posição de um ponto material é dado ( t) = 3t ê + tê x y m. a) Determine a velocidade e a aceleração no instante t=3 s; b) Classifique o movimento; c) Escreva a equação cartesiana da trajectória. 2 3 2 37- A equação do movimento de uma partícula é r(t) = ( t + 1 ) ê + ( 3t - 2) ê y + ( 2t - 4t ) z m. Determine a velocidade e aceleração da partícula no instante t=2 s. r x ê 38- As coordenadas da posição de um ponto material são dadas por 2t 3-4t m e y=2t m. Determine: a) o instante em que a aceleração se reduz à sua componente normal, b) determine para esse instante o raio de curvatura. r 2 39- O vector posição de uma partícula é dado pela expressão (t) = têx + 0.5t êy + têz. Determine: os vectores da velocidade e aceleração e os seus respectivos módulos, b) o módulo do vector aceleração tangencial, c) o vector aceleração normal e o seu módulo e d) o raio de curvatura. Dinâmica do ponto material Duas forças F 1 e F 2 actuam sobre um ponto material de massa m (ver figura a seguir). Considere que m=8 kg, F 1 =4 N e F 2 =6 N. Determine: a) a aceleração do PM e b) a velocidade no instante t=1 s, sabendo que 0 1 m/s e que 0 tem a mesma direcção e sentido que.

Dois blocos estão em contacto sobre uma mesa plana. Uma força horizontal é aplicada a um dos blocos (ver figura a seguir). a) Sabendo que m 1 =2 kg e m 2 =1 kg e F=3 N, determine a força de contacto entre os dois blocos. b) Mostrar que se a mesma força for aplicada em m 2 em vez de em m 1, a força de contacto entre os dois blocos é de 2 N (de valor diferente ao caso anterior). Despreze as forças de atrito. Um bloco de 3 kg de massa é colocado sobre outro com 5 kg. Admita que não atrito entre o bloco de 5 kg e a superfície e que o coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é 0.2. a) Qual é a força máxima que, aplicada no corpo inferior, movimenta o sistema sem que os blocos se desloquem, um relativamente ao outro? b) Qual é a aceleração do sistema quando está força é aplicada? Três blocos estão ligados entre si sobre uma mesa horizontal (ver figura), sendo puxados para a direita por uma força T 3 =60 N. Sabendo que m 1 =10 kg, m 2 =20 kg e m 3 =30 kg, determine as tensões T 1 e T 2. Despreze o atrito e a massa da corda. Um bloco de 90,7 kg está em repouso num plano horizontal. Determine o módulo da força necessária para que o bloco deslize com uma aceleração de 3 m/s 2. A força faz um ângulo de 30º com o plano horizontal e o coeficiente de atrito cinético entre o plano e o bloco é 0.25. Um pêndulo de 2 m de comprimento descreve um arco de circunferência num plano vertical. (ver figura a seguir). Sabendo que, na posição mostrada (θ=30º), a tensão da corda é 2,5 vezes o peso do pêndulo, determine, para a mesma posição, a velocidade e aceleração do pêndulo. Despreze a massa da corda. Considere um copo de forma hemisférica (ver figura). Supondo que se deixa cair da borda do copo (θ=90º), um corpo de massa m=0.1 kg e sabendo que a tensão máxima que o copo suporta é de 2 N, determine o ângulo de ruptura do copo.

Determine a tensão da corda (inextensível), a velocidade e a aceleração dos blocos, no instante em que m 1 se encontra 1,5 m, abaixo da posição inicial. Despreze as forças de atrito e as massas da roldana e o fio (m 1 =6 kg, m 2 =12 kg e v(t=0)=0 m/s). Considere o sistema representado na figura a seguir. Determine: a) a sua aceleração e b) o espaço percorrido pelos corpos ao fim de um segundo (α=60º, β=30º, m 1 =1 kg, m 2 =1 kg e v(t=0)=1 m/s). Despreze o atrito e as massas da roldana e o fio. A corda é inextensível. Determine o intervalo de valores que a massa m 0 pode ter de maneira que o bloco de 100 kg, mostrado na figura, se mantenha estático. O coeficiente de atrito estático entre as superfícies em contacto é 0.3 e α=20º. A corda é inextensível e o atrito desprezável. Considere um comboio que se move sobre uma mesa horizontal com movimento circular e uniforme, de velocidade angular ω 1 =const. (ver figura 1). Suponha que a massa do comboio é de 100 g e que o raio da trajectória é de 2 m. O comboio está ligado por um fio, inextensível de massa desprezável, a uma massa de m 2 =2 kg. Determine que velocidade deve ter o comboio para equilibrar a massa m 2.

Considere o sistema indicado na figura 2. Supondo que a roldana (de massa desprezável) está animada de um movimento vertical com aceleração constante,, determine a aceleração de cada uma das massas e a tensão da corda (inextensível e de massa desprezável). Despreze a força de atrito e a massa da roldana. Demonstre que as acelerações dos corpos mostrados na figura a seguir são dadas pelas expressões: 4 P, 4 P e 4 P, com / 4.