PROPOSTA DIDÁTICA 1. Dados de Identificação 1.1 Nome do bolsista: Alisson Furquim Salbego 1.2 Público alvo: 6º ao 9º ano e Curso Magistério 1.3 Duração: 2,5 horas 1.4 Conteúdo desenvolvido: Proporção, regra de três simples e regra de três composta. Objetivo(s) da proposta didática Trabalhar os conceitos matemáticos de proporção, regra de três simples e composta por meio de algumas práticas que envolvam a ludicidade, além de promover um reforço em seu conhecimento. 3. Desenvolvimento da proposta didática 1 Dia (10 min) Acomodação dos alunos Os alunos deverão ser organizados em grupos para efetivação das efetividades ao longo da prática docente. (10 min) Explanação Teórica No primeiro momento, citar-se-á que tipo de conteúdo será ofertado aos alunos no dia da proposta didática. (40 min) Revisão de Razão e Proporção Exemplos: Razão: chamamos de razão a divisão entre dois números. A razão de 2 para 3 é. Podemos ler a razão acima como razão de 2 para 3 ou 2 está para 3 ou 2 para 3. A razão de 1 para 8 é. Podemos ler a razão acima como razão de 1 para 8 ou 1 está para 8 ou 1 para 8.
Proporção: chamamos de proporção a igualdade entre duas razões. Exemplos.: = =, em que lê-se 1 está para 2 assim como 5 está para 10., em que lê-se 2 está para 3 assim como 4 está para 6. Dada uma proporção, seus elementos possuem nomes especiais. O numerador do primeiro membro e o denominador do segundo membro da equação são chamados de extremos, enquanto os outros são os meios. Exemplo: = ou 1 2 = 5 10. Nesse caso, 1 e 10 são os extremos, enquanto 2 e 5 são os meios. Propriedade Fundamental das Proporções Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Exemplo: 1 2 = 5 10 1 10 = 2 5 Grandezas Proporcionais Grandeza: chamamos de grandeza tudo o que pode ser medido. a) Grandezas diretamente proporcionais (DP) Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao aumentar uma delas, a outra aumenta na mesma razão de proporção ou quando ao diminuir uma delas a outra também diminui, na mesma razão de proporção. Exemplos: a) Certo corredor percorre 15 km por dia em uma velocidade constante. É de comum acordo que se ele vier a correr 2 dias seguidos, o valor correspondente aos quilômetros por ele percorridos tendem também dobrar, e a cada vez que os dias aumentam, a distância por ele percorrida tende acumular. Assim, as grandezas distância (km) e tempo (dias) são diretamente proporcionais.
b) Uma torneira pinga, com vazão constante, 16 pingos a cada minuto. É possível perceber que se contarmos apenas meio minuto, teremos metade dos pingos que é 8. Se analisarmos 2 minutos, teremos 32 pingos, assim, as duas grandezas se comportam de maneiras semelhantes e são ditas diretamente proporcionais. b) Grandezas inversamente proporcionais (IP) Duas grandezas são inversamente proporcionais quando ao aumentar uma delas, a outra diminui, na mesma razão de proporção ou quando ao diminuir uma delas, a outra aumenta na mesma razão de proporção. Exemplos a) Certa garrafa possui 5 litros de água. Nela foi feito um furo na parte inferior e eis que está a vazar a água. Na medida em que o tempo aumenta, ou seja, passa, menos líquido possui na garrafa. Assim, tempo e volume aqui se comportam como grandezas inversamente proporcionais. b) Um fio é posto esticado possuindo assim 100 m. É colocado fogo em uma de suas pontas. A cada 15 segundos queima-se 10 cm e assim reduz-se o tamanho do fio. A cada vez que o tempo aumento, menos do fio intacto sobra. Assim, essas duas grandezas tempo (s) e comprimento de fio intacto (cm) são grandezas inversamente proporcionais. (50 min) Regra de três simples Podemos usar a regra de três para solução de problemas, por meio do uso das proporções, envolvendo grandezas proporcionais. Para resolução de um problema com uso da regra de três, convém seguir passos, a saber: I Colocar as grandezas de mesma espécie numa coluna (com a mesma unidade de medida); II Verificar se as grandezas se relacionam direta ou inversamente (se são DP ou IP); III Criar a proporção e calculá-la.
Exemplos: a) Comprei 10 caixas de fósforo por R$ 5,00. Quanto custam 3 caixas? Resolução: vamos usar os passos antes ensinados: Caixa de fósforo Reais 10 5 3 x nota-se que a medida que aumentamos o número de caixas de fósforo aumenta-se o valor em reais e, a medida que diminuímos o número de caixas de fósforo diminuise também o valor em reais. Logo as duas grandezas são diretamente proporcionais, isto é, DP. 10 3 = 5 x 10 3 = 5 x x = 15 10 x = 1,5 Ou seja, adquirindo 3 caixas de fósforo, gasta-se R$ 1,50. b) Com 12 operários podemos construir um muro em 4 dias. Quantos dias levarão 8 operários para fazer o mesmo muro? Resolução: Operários Dias 12 4 8 x
Observa-se que se diminuímos o número de operários para um mesmo serviço tendemos a demorar mais para terminar este serviço, logo quanto menos operários mais dias demorará a obra, assim as duas grandezas são inversamente proporcionais, isto é, IP. Obs.: Como são IP, umas das razões deve ser invertida, ou seja, numerador passa a ser denominador e o denominador passa a ser o numerador. 12 8 = x 4 12 4 = 8 x x = 48 8 x = 6 Ou seja, utilizando 8 operários a obra levará 6 dias para ser realizada. (40 min) Jogando com Unidades Monetárias O jogo a seguir é um tabuleiro, no qual os jogadores visitam alguns locais do mundo e nesses locais realizam alguns gastos. Esses gastos são realizados de acordo com o valor da moeda local, sendo, portanto, necessária a conversão desses valores da moeda local para o real, a moeda brasileira. Vence o jogo o jogador que possuir mais dinheiro no final. As conversões das moedas dos países para o real são realizadas por meio da regra de três aonde todas são diretamente proporcionais. Os jogadores devem anotar em uma folha o valor que possuem, e assim fazendo os reajustes à medida que vão jogando. Podem utilizar outra folha para os cálculos das regras de três simples. Objetivos do jogo: Usar o conceito de regra de três simples e converter algumas unidades monetárias. Regras do jogo: a) O jogo deve ser jogado entre duas pessoas; b) Cada um dos jogadores deve começar com 200 reais; c) O jogo precisa de um dado. O primeiro jogador lança o dado, e o número de cima do dado indica quantas casas deverá avançar;
d) Cada jogador começa com R$ 2000,00 em posse; e) Jamais o jogador poderá pegar dinheiro do banco se não for em condições de troca; f) Os jogadores gastam o dinheiro conforme a legenda no tabuleiro; g) Ganha quem chegar no final com mais ou, se um ficar sem dinheiro, o outro ganha. Relação entre moedas: REAL PESO DÓLAR EURO LIBRA R$ 1 4,84 $ 0,30 0,27 5,65
2 Dia (10 min) Acomodação dos alunos Os alunos deverão ser organizados em grupos para efetivação das efetividades ao longo da prática docente. (10 min) Explanação Teórica No primeiro momento, citar-se-á o conteúdo que será trabalhado com os alunos no dia da proposta didática. (40 min) Regra de três composta Usamos regra de três composta quando possuímos três ou mais grandezas. Para resolução através dela é preciso ter mais cuidado, pois a forma com que as grandezas se relacionam entre si pode dificultar. Para resolução de um problema que envolve regra de três composta, basta seguir os seguintes passos: I Na primeira coluna, colocar a grandeza que possui o valor que não sabemos ainda, após pode-se colocar as outras e seus respectivos valores; II A cada grandeza, observar como se comporta com a grandeza que possui o valor que não sabemos tendo como constante o valor das demais grandezas proporcionais e assim alternando; III Criar a proporção e resolver. Exemplos: 1) Um caminhão percorre 1116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá em 10 dias, correndo 14 horas por dia (na mesma velocidade)? Resolução: KM DIAS h/dia 1116 6 12 x 10 14
Começaremos com a grandeza DIAS. Basta pensar que se o caminhão percorre em 6 dias 1116 km avançando y km/dia, ele ainda andando y km/dia em 10 dias, diminui ou aumenta sua quilometragem? Aumenta é claro, pois tem mais tempo. Logo de 1116 km há um aumento. Agora, de 6 para 10 também há um aumento, portanto são DP. Agora, olhando para h/dia. Andando 12 h/dia em y dias 1116 km, aumentará a quilometragem andando 14 h/dia ainda em y dias? Obviamente, pois aumentar-se-á a quilometragem por dia. Assim, tanto KM quanto h/dia são DP. Como todas são DP, vamos ao passo III. x = 1116 = 6 x 10 12 14 1116 = 72 x 140 72 x = 1116 140 1116 140 72 = 2170km 2) Uma certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por dia essa máquina deveria funcionar para fabricar 20000 pregos em 20 dias? HORAS/DIA PREGOS DIAS 4 12000 6 X 20000 20 Analisando a unidade PREGOS. Se 12000 pregos são feitos em y dias em 4 horas/dia, aumenta-se as horas/dia utilizando os mesmos y dia para produzir 20000 pregos? Sim, pois teremos mais produção para um mesmo tempo disponível. Como de 4 para x aumenta e de 12000 para 20000 também aumenta, são grandezas DP. Agora, levando em consideração a grandeza DIAS. Se em 6 dias para produzir y pregos precisamos de 4 horas/dia, precisaremos de mais ou menos horas/dia para produzir y pregos em 20 dias? Claro que menos, pois vamos produzir um mesmo número de pregos tendo mais
tempo, reduzindo a jornada de trabalho diária. Como de 4 para x diminui mas de 6 para 20 aumenta, são IP, logo, na hora da equação, utiliza-se 20 como numerador e 6 como denominador. 4 x = 12000 20000 20 6 4 x = 240000 120000 x = 12 4 24 24 x = 12 4 = 2 horas dia (40 min) Exercícios Os Passos I Na primeira coluna, colocar a grandeza que possui o valor que não sabemos ainda, após pode-se colocar as outras e seus respectivos valores; II A cada grandeza, observar como se comporta com a grandeza que possui o valor que não sabemos tendo como constante o valor das demais grandezas proporcionais e assim alternando; III Criar a proporção e resolver. 1) Um carro percorre 120 km em duas horas se dirigir com velocidade constante de 60 km/h. Se esse mesmo carro percorrer esse 100 km com velocidade constante de 40 km/h, quantas horas ele leva para completar o percurso? KM HORAS KM/H 120 2 60 100 x 40 Considerando que o carro está a uma certa velocidade y, em duas horas ele percorrerá 120 km. Se ainda continuar nessa mesma velocidade y, para percorrer 100 km precisará de menos tempo. Assim km e horas são grandezas diretamente proporcionais.
Agora, levando em conta que o corra precisa percorrer uma distância y em km, a 60 km/h ele demora 2 horas, diminuindo essa velocidade, ele irá precisar de mais tempo para percorrer o trajeto, assim, km/h e horas são duas grandezas inversamente proporcionais. Resposta: 2,5h 2 x = 120.40 100.60 2 x = 4800 6000 4800x = 12000 x = 12000 4800 = 2,5 2) Uma confecção leva 4 dias para produzir 160 peças de roupas com 8 funcionários. Se apenas 6 funcionários estiverem trabalhando, quantos dias leva para essa confecção produzir 300 peças? DIAS PEÇAS FUNCIONÁRIOS 4 160 8 X 300 6 Tornando fixo o valor de peças como y. Para produzirmos essa quantidade de peças com 8 funcionários precisamos de 4 dias, porém se reduzirmos o número de funcionários teremos de precisar de mais dias, logo dias e funcionários são grandezas inversamente proporcionais. Agora, se tivermos um número y de funcionários, em 4 dias eles produzem 160 peças, esse mesmo número, como não aumenta o número, precisará de mais dias para produzir 300 peças, logo dias e peças são grandezas diretamente proporcionais.
Resposta: 10 dias 4 x = 160.6 300.8 4 x = 960 2400 960x = 9600 x = 9600 960 = 10 3) Uma lanchonete produz 480 sanduíches em 8 dias quando 4 funcionários estão trabalhando. Quantos funcionários são necessários para que essa lanchonete faça 600 sanduíches em 4 dias? SANDUÍCHES DIAS FUNCIONÁRIOS 480 8 4 600 4 x Tomando como y o número de sanduíches, temos, com 4 funcionários, 8 dias para produção de y sanduíches, agora, diminuindo o número de dias, para produzir também y, precisamos de mais funcionários, assim, dias e funcionários são grandezas inversamente proporcionais. Tomando como y o número de dias, temos que quatro funcionários preparam em y dias 480 sanduíches e é fácil notar que ainda tiverem o mesmo número de dias para trabalhar, precisará de mais funcionários para atender à demanda de 600 sanduíches, logo, sanduíches e dias são grandezas diretamente proporcionais. Resposta: 10 funcionários 4 x = 4.480 8.600 4 x = 1920 4800 1920x = 19200 x = 19200 1920 = 10
4) Doze máquinas produzem 2000 peças em 80 minutos. Quanto tempo é necessário para que metade dessas máquinas produzam 4000 peças? MÁQUINAS PEÇAS TEMPO 12 2000 80 6 4000 x Se y máquinas precisam de 80 minutos para produzirem 2000 peças, essas mesmas y máquinas precisarão de mais tempo para produzir 4000 máquinas, como ambas grandezas crescem, peças e tempo são grandezas diretamente proporcionais. Se para produzir y peças, 12 máquinas levam 80 minutos, para produzir a mesma quantidade, 6 máquinas precisarão de mass tempo, assim grandezas são inversamente proporcionais. Resposta: 320 min 80 x = 6.2000 12.4000 80 x = 12000 48000 12000x = 3840000 x = 3840000 12000 = 320 (50 min) Usando regra de três composta em uma rotina Aos alunos, serão dadas questões que tratam de um dia na vida de João, o qual usou regra de três composta para resolver alguns problemas e sanar suas curiosidades. João acordou pela manhã para ir à escola, como de costume foi ao banheiro para se higienizar. Ao chegar no banheiro, notou que a torneira da pia estava pingando. Lembrou-se que leu que quando uma torneira aberta pinga 20 pingos por minuto, em 30 dias, desperdiça 100 litros de água. João havia sido o último a utilizar o banheiro antes de ir dormir, isso havia sido 8 horas atrás. Quantos litros de água foram desperdiçados nessas condições?
PINGOS/MINUTO DIAS LITROS 20 30 100 20 1/3 x Obs.: notemos que 8 horas precisa convertido em dias, e sabendo que 30 dias equivalem a 720 horas, basta analisar que 8 horas valerá um número menor em termos de dias, assim são duas grandezas diretamente proporcionais e podemos resolver usando regra de três simples: 30 x = 720 8 30 x = 90 90x = 30 x = 30 90 = 1 3 Como a unidade pingos/minuto é fixa, basta analisarmos a relação entre dias e litros. Assim, saindo 20 pingos/minuto em menos dias será perdido menos litros, logo, litros e dias são grandezas diretamente proporcionais. 100 x = 20.30 20.1 3 100 x = 30 1 3 30x = 100. 1 3 Resposta: aprox. 1,1l x = 100. 100 30.3 = 100 90 = 1,1 Ele, antes de ir para o banho, resolveu passar seu uniforme escolar. Após passar o ferro, ficou se questionando quanto ao gasto com o tal. Tendo em vista que ao usar um ferro elétrico 40 minutos por dia, durante 15 dias, o consumo de energia será de 8 kwh. Se ele pretender passar roupa nos 5 dias da semana, demorando cerca de 20 minutos por dia, qual será o consumo?
MINUTOS/DIA DIAS KWH 40 15 8 20 5 x Tomando y como o tempo que ele gasta por dia, quanto menos dias ele usar o ferro, menos gastará, logo dias e kwh serão grandezas diretamente proporcionais. Agora, em y dias, conforme ele passar mais minutos por dia gastará mais kwh, assim, minutos/dia e kwh são grandezas diretamente proporcionais. Resposta: aprox. 1,3 kwh 8 x = 600 100 8 x = 6 6x = 8 x = 8 6 = 1,3 No caminho para a escola, observou um homem a pintar um muro. Pensou no tanto de tinta que o homem levaria para colorir tal muro. Levando em consideração que tendo o muro 12 metros de comprimento e 3 metros de altura são gastos 4 baldes de tinta. Quantos baldes de tinta serão necessários para pintar um muro de 18 metros de comprimento e 5 metros de altura? COMPRIMENTO ALTURA BALDES 12 3 4 18 5 x Tornando fixo o valor do comprimento, se para pintar um muro de 3 metros de altura usamos 4 baldes de tinta, convém aumentar o número de baldes de tinta caso aumente a altura do muro, logo, altura e baldes de tinta são diretamente proporcionais.
O mesmo ocorre com o comprimento, ou seja, se tornarmos fixo o valor da altura, precisaremos de mais baldes de tinta caso aumente o comprimento do muro, assim, comprimento e baldes de tinta são diretamente proporcionais. Resposta: 10 baldes de tinta 4 x = 12.3 18.5 4 x = 36 90 36x = 360 x = 360 36 = 10 João finalmente chegou na escola. Era dia de prova, e João havia estudado. Ao serem distribuídas as folhas, começou a se indagar. Em 50 dias sua escola usou 6.000 folhas de papel para imprimir provas do tipo A e do tipo B, para 1.200 alunos. A escola tem momento 1.150 alunos, no momento. Quantas folhas serão usadas durante 20 dias, para imprimir dois tipos de provas semelhantes às anteriores? DIAS FOLHAS ALUNOS 50 6000 1200 20 X 1150 Tendo y o número de dias, 1200 alunos precisam de 6000 folhas. Como diminui o número de alunos, diminui o número de folhas precisas, assim, folhas e alunos são diretamente proporcionais. Tornando fixo o valor de alunos, isto é y, em 50 dias foram impressas 6000 folhas. Assim, ainda para os y alunos, em 20 dias serão impressas menos folhas que 6000, assim, dias e folhas são diretamente proporcionais.
6000 x 6000 x = 50.1200 20.1150 = 60000 23000 60000x = 138000000 x = 138000000 60000 = 2300 Resposta: 2300 folhas Como naquele dia tinha apenas prova, ao realizá-la, saiu mais cedo e decidiu pegar o ônibus para voltar para casa. Levando em consideração que seu ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá em 10 dias, correndo 14 horas por dia? KM DIAS HORAS/DIA 2232 6 12 x 10 14 Fixando o número de dias como y, correndo 12 km/dia o ônibus percorre 2232 k. Agora, se vier a correr 14 km/dia, tende-se a aumentar o valor da distância percorrida, logo, as grandezas de distância (km) e horas por dia são diretamente proporcionais. Tomando y horas/dia, em 6 dias o ônibus percorre 2232 km, logo, ainda percorrendo y horas/dia, em 10 dias o ônibus tende a percorrer uma maior distância, logo km e dias são diretamente proporcionais. Resposta: 4340 km 2232 x = 72 140 72x = 312480 x = 312480 72 = 4340
João finalmente chegou em casa, fez algumas tarefas que ficaram ainda pendentes e tirou o resto do dia para estudar. 4. Referências Bibliográficas BANCO CENTRAL DO BRASIL. Conversão de Moedas. Disponível em: <http://www4. bcb.gov.br/pec/conversao/conversao.asp>. Acesso em: 24 jun. 2017. FULSTANDING, Unidades Monetárias. Disponível em: <http://www.fulstandig.com.br/ptbr/moneymundi.html>. Acesso em: 24 jun. 2017. MUNDO EDUCAÇÃO. Regra de Três Composta. Disponível em: <http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/regra-tres-composta.htm>. Acesso em: 24 jun. 2017. BLOG DO ENEM, Regra de Três Composta: Revise Matemática para o Enem e vestibular. Disponível em: <https://blogdoenem.com.br/regra-tres-composta-matematica/>. Acesso em: 24 jun. 2017. AJUDANDO NA MATEMÁTICA. Regra e Três Composta. Disponível em: <http://ajudandona matematica.no.comunidades.net/regra-de-3-composta>. Acesso em: 24 jun. 2017. RACHA CUCA, Exercícios de Regra de Três. Disponível em: <https://rachacuca.com.br/quiz/ 62220/exercicios-de-regra-de-tres/>. Acesso em: 18 jul. 2017. GEOGRAFIA OPINATIVA, Lista de países do mundo e suas unidades monetárias. Disponível em: <http://www.geografiaopinativa.com.br/2013/11/lista-de-paises-do-mundo-esuas.html>. Acesso em: 18 jul. 2017.