ESTATÍSTICA Prof.º Mário Castro
Estatística O que é: É a ciência que coleta, organiza e interpreta dados colhidos entre um grupo aleatório de pessoas. Divisão da estatística: Estatística geral Visa elaborar métodos gerais aplicáveis a todas as fases do estudo dos fenômenos de massa. A estatística geral ainda pode ser dividida em dois subgrupos: 1. Estatística descritiva Diz respeito à coleta, organização, classificação, apresentação e descrição dos dados a serem observados.. Estatística indutiva Visa tirar conclusões sobre a população a partir de amostras. Refere-se à maneira de estabelecer conclusões para toda uma população observando apenas parte dela. Conceitos: População É todo o conjunto de elementos que possuam ao menos uma característica comum observável. Amostra É uma parte da população que será avaliada por um critério comum. Dados estatísticos São os valores associados às variáveis de pesquisas.
Frequências 1. O número de vezes em que a variável ocorre é chamado frequência absoluta e é indicado por n i. Definimos frequência relativa ( f i ) como a razão entre a frequência absoluta (n i ) e o número total de observações (n), ou seja: f i n i n
O quadro a seguir apresenta a velocidade em km/h com que os motoristas foram multados em uma determinada via municipal. 7 63 78 61 9 83 67 65 79 65 74 89 96 74 63 87 64 75 68 68 Velocidade Freqüência Absoluta F.A Freqüência Relativa (simples) F.R Freqüência absoluta acumulada F.A.A Freqüência Relativa acumulada F.R.A 60 ---- 70 70 ---- 80 9 6 45% 30% 9 15 45% 75% 80 ---- 90 90 ---- 100 3 15% 10% 18 0 90% 100% Total 0
Velocidade Freqüência Absoluta 60 ---- 70 70 ---- 80 80 ---- 90 90 ---- 100 Total 9 6 3 0 F.A Com base na tabela, responda: a) Quantos Motoristas foram multados com velocidade de 80km/h a 90km/h? 3 Freqüência Relativa (simples) F.R 45% 30% 15% 10% b) Qual é o percentual de Motoristas multados com velocidade de 70km/h a 80km/h? 30% Freqüência absoluta acumulada F.A.A 9 15 18 0 Freqüência Relativa acumulada F.R.A 45% 75% 90% 100% c) Quantos Motoristas foram multados com velocidade abaixo de 90km/h? 18 d) Qual o percentual de Motoristas multados com uma velocidade abaixo de 80km/h? 75%
Representação Gráfica Setores Circulares (Pizza) Foi feita uma Pesquisa a 400 alunos de uma escola sobre as atividades esportivas que gostariam de ter na escola. O resultado foi o seguinte: Atividade Esportiva Nº de alunos Freqüência Absoluta Freqüencia relativa Voleibol 80 0% Basquetebol 10 30% Futebol 160 40% Natação 40 10% Total 400 100%
Representação Gráfica Setores Circulares (Pizza) Preferência 30% 0% 40% Volei Basquete futebol natação 10%
Representação Gráfica Setores Circulares (Pizza) Preferência 10,00% 40,00% 144 36 7 0,00% volei basquete 108 futebol natação 30,00%
Médias Média Aritmética Simples Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles: x x1 x... x n n Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 1 litros, temos, para produção média da semana: X = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 1 = 98 = 14 7 7
Média Aritmética Ponderada Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso. Um candidato com notas 70, 75 e 90 terá média final: (UNESP-09) Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova. Se o aluno foi aprovado com média final ponderada igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota obtida por esse aluno na prova IV foi: 1.(6,5).(7,3) 3.(7,5).x.(6,) 1 3 7,3 56 + x = 73 x = 8,5
Média Geométrica Média Geométrica - É a raiz enésima do produto dos n valores da amostra x n x 1.x...xn Exemplo: Determine a média geométrica dos números 6, 4 e 9. x 3 6.4.9 A altura de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa é a média geométrica das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Veja: 6 h 3.1 6
Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 0% após um mês, 1% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta categoria? Sabemos que para acumularmos um aumento de 0%, 1% e 7% sobre o valor de um salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,, 1,1 e 1,07 que são os fatores correspondentes a tais percentuais. Supondo um salário inicial de R$100,00. Salário Inicial R$100,00 R$10,00 R$134,4 % de aumento 0% 1% 7% Salário Final R$10,00 R$134,4 R$143,08 x 3 (1,).(1,1 ).(1,07) 1,18741 Percentual médio de aumento: 1,8741% Salário Inicial R$100,00 R$11,8741 R$17,405645 % de aumento 1,8741% 1,8741% 1,8741% Salário Final R$11,8741 R$17,405645 R$143,08
Média Harmônica Média Harmônica - É o inverso da média aritmética dos inversos. Exemplo: Determine a média harmônica dos números 6, 4 e 9. Média aritmética dos inversos: 1 6 1 4 3 1 9 19 36 3 108 Inverso da Média aritmética dos inversos: 5,68 19 19 108 A média harmônica é um tipo de média que privilegia o desempenho harmônico do candidato. Terá melhor desempenho o candidato que tiver um desempenho médio em todas as provas, do que aquele que for muito bem numa e muito mal noutra. Exemplo:
Outros Conceitos Rol Consiste na organização dos dados em ordem crescente. Exemplo: Notas obtidas em uma prova de matemática no primeiro ano do ensino médio: E = {1,3,1,9,10,7,6,3,4,1,8,8,10,,} Rol = 1,1,1,,,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10. Mediana (Md) É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados. Exemplo: Determine a mediana do Rol abaixo: 7 elementos Rol = 1,1,1,,,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10. Como o elemento 4 ocupa a posição central, dizemos que ele é a mediana dos dados coletados acima. IMPORTANTE!!!! Caso o número de elementos do Rol for par, calculamos a mediana pela média aritmética dos dois elementos centrais. Moda (Mo) É o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. Exemplo: O número 1 é a Moda do exercício anterior, posto que aparece três vezes no Rol. 7 elementos
Desafio!!! 1- Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e dos reprovados 68,8. a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos pontos extras. Média 8.(65) 1.(77) 0 7, b) Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação? Como foi adicionado 5 pontos a todos os alunos, a média de toda turma sobe para 7, + 5 = 77,. Sabemos que alguns alunos (x) anteriormente reprovados conseguiram, após o aumento, aprovar.assim: x = 3
Amplitude É a diferença entre o maior valor e o menor valor de um conjunto de dados Ex.: Os valores seguintes representam o número de gols marcados pela seleção brasileira nas últimas 5 copas do mundo. 11, 14, 18, 10, 9 Amplitude = 18 9 = 9 Um aluno obteve as seguintes notas na disciplina de matemática nos 4 bimestres: Bim 1º º 3º 4º notas 5 8 6 9 Média aritmética = 5 8 6 9 7 4 Desvios: nota 1: 5 7 = - nota : 8 7 = 1 nota 3: 6 7 = - 1 nota 4: 9 7 = Variância É a média aritmética dos quadrados dos desvios. (-) 1 ( 1) V 4 Desvio Padrão: É a raiz quadrada da variância Dp Dp V,5 1,58,5 Quanto mais próximo de zero é o desvio padrão, mais homogênea (regular) é a amostra. Candidatos que obtém menor desvio padrão são considerados mais regulares.
Ex.: As notas de dois alunos X e Y estão representadas no quadro abaixo. N 1 N N 3 N 4 Paulo 5 5 8 João 4 8 3 5 Por meio do desvio padrão, qual deles apresentou desempenho mais regular? Média aritmética = Paulo Desvios: nota 1: 5 5 = 0 Paulo nota : 5 = - 3 nota 3: 5 5 = 0 nota 4: 8 5 = 3 Variância Paulo Desvio Padrão 0 V 5 5 8 5 Média aritmética = 4 João ( 3) 0 3 4 4,5,1 4,5 4 8 3 5 4 Desvios: nota 1: 4 5 = -1 João nota : 8 5 = 3 nota 3: 3 5 = - nota 4: 5 5 = 0 (-1) 3 ( ) 0 Variância João 4 Desvio Padrão V 3,5 1,87 3,5 Logo, como João apresentou o menor desvio padrão, ele será dito o mais regular. 5
Bom Trabalho alunos! SIGA OS PASSOS AQUI CITADO E TUDO DARÁ CERTO! PROFESSOR MÁRIO CÉSAR CASTRO