Rede Juris. Professora: Márcia Gonçalves

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1 Rede Juris Professora: Márcia Gonçalves

2 ESTATÍSTICA A palavra estatística significa análise de dados. Como ciência surgiu milênios antes de Cristo, sendo, no início, uma simples compilação de números. Acredita-se que seu desenvolvimento ocorreu em razão das necessidades dos governantes se conhecerem como os recursos e bens estavam distribuídos pela população e do que dispunha o Estado. Até hoje são conhecidas suas aplicações em relação aos assuntos públicos.

3 1. Termos de uma pesquisa estatística População e amostra: Não é possível quando queremos pesquisar sobre a intenção de voto dos eleitores do estado, pois não podemos consultar todos os eleitores que constituem a população ou o universo estatístico. Amostra, ou seja, um grupo de eleitores que, consultados, permitem que se chegue ao resultado mais próximo possível da realidade. É comum aparecer na publicação das pesquisas quantos eleitores foram consultados, pois a escolha da amostra (quantos e quais eleitores) é fundamental para o resultado. Chamado de U o universo estatístico e de A uma amostra, temos: A U

4 Indivíduo ou objeto: Cada elemento que compõe a amostra é um indivíduo ou objeto. Variável qualitativa Variável quantitativa: Variável qualitativa quantitativa Variável nominal ordinal discreta contínua

5 Frequência absoluta e frequência Tabela de frequências relativa A tabela que mostra a variável e sua realizações (valores), com as frequências absoluta (FA) e relativa (FR), é chamada tabela de frequências. Assim, usando o mesmo exemplo, temos: NACIONALIDADE FA FR Brasileira 6 60% Espanhola 3 30% Argentina 1 10% total %

6 * Tabelas de frequências das variáveis quantitativas Para a variável altura aparecem muitos valores diferentes, o que torna inviável colocar na tabela uma linha para cada valor. Em casos como esse, agrupamos os valores em intervalos (ou classes), como veremos a seguir: Altura (em classes) FA FR (decimal) FR (%),, 2 0,10 10,, 3 0,15 15,, 6 0,30 30,, 3 0,15 15,, 4 0,20 20,, 2 0,10 10 Total 20 1,00 100

7 2. Representação gráfica Gráfico de segmentos Ex:

8 Gráfico de barras Ex: Desempenho em Matemática insuficiente regular bom ótimo total FA FR 15% 25% 35% 25% 100% Com os dados da tabela é possível construir o gráfico de barras: 40% 30% 20% 10% 0% Desempenho em Matemática 35% 25% 25% Ruim 15% Regular Bom Ótimo Desempenho em Matemática Ótimo 25% Bom 35% Regular 25% Ruim 15% 0% 10% 20% 30% 40% Ótimo Bom Regular Ruim

9 Gráfico de Setores Em um shopping center há três salas de cinema, e o número de espectadores em cada uma delas em determinado dia da semana foi de 300 na sala A, 200 na B e 500 na C. Ex: 50% 30% 20% Em cada gráfico de setores o círculo todo indica o total e cada setor indica a ocupação. Na construção do gráfico de setores, determina-se o ângulo correspondente a cada setor por regra de três.

10 Histograma Quando uma variável tem seu valores indicados por classes (intervalos), é comum o uso de um tipo de gráfico conhecido por histograma.

11 3. Medidas de tendência central Média aritmética (MA) Podemos afirmar que, dados os n valores X1,X2,X3,..., Xn de uma variável, a média aritmética é o número obtido da seguinte forma: MA= x + x + x + + x = n i= Xi

12 Média aritmética ponderada (MP) Se no decorrer do bimestre ele obteve 6,5 na prova (peso 2), 7,0 na pesquisa (peso 3), 6,0 no debate (peso 1) e 7,0 no trabalho de equipe (peso 2), a sua média, que nesse caso é chamada média aritmética ponderada.

13 A média aritmética é usada como medida de tendência central, ou seja, como forma de, por meio de um único número, dar uma ideia das características de determinado grupo de números. No entanto, é importante ressaltar que em algumas situações a presença de um valor bem maior ou bem menor do que os demais faz com que a média aritmética não consiga traçar o perfil correto do grupo.

14 Mediana (Me) A presença de valores que destoem dos demais, por serem muito grandes ou muito pequenos, distorcem a média aritmética, fazendo com que ela não caracterize de forma eficiente o conjunto de valores. Por esse motivo é conveniente definirmos outra medida de tendência central, a mediana. Ex: a)em uma classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias: 3,5,2,0,2,1,3,4,5,7,0,2,3,4 e 7. Em ordem crescente, temos: 0,0,1,2,2,2,3, 3, 3,4,4,5,5,7,7 7 valores Me 7 valores

15 b) As idades dos alunos de uma equipe são 12,16,14,12,13,16,16 e 17 anos. Para determinar a mediana desses valores, colocamos inicialmente na ordem crescente (ou decrescente): 12,12,13,14,16,16,16,17 As duas posições centrais Como temos um número par de valores (8), fazemos a média aritmética entre os dois centrais, que são 4 e o 5 termos. Logo, a mediana é dada por: Me = + 6 Simbolicamente, Me = 15 anos. = =

16 Moda (Mo) Em Estatística, moda é a medida de tendência central definida como o valor mais frequente de um grupo de valores observados. Ex: Grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos, a moda é 2 anos (Mo = 2) Se as notas obtidas por um aluno foram 6,0; 7,5; 7,5; 5,0; e 6,0, dizemos que a moda é 6,0 e 7,5 e que a distribuição é bimodal. Quando não há repetição de números, como para os números 7, 9, 4, 5 e 8, não há moda e a distribuição é chamada amodal.

17 Média aritmética, moda e mediana a partir das tabelas de frequências Utilizando os valores (números ou intervalos) e as frequências absolutas das tabelas de frequências das variáveis quantitativas, podemos calcular a MA, a Mo e a Me de seus valores. Ex:

18 Ex: a) Pesquisa sobre número de irmãos de cada aluno de uma classe: Número de irmãos total FA b) Pesquisa sobre número de irmãos de cada aluno de uma classe: Peso (kg) Total FA

19 4. Medidas de dispersão Variância (V) A ideia básica de variância é tomar os desvios dos valores Xi em relação á médias aritmética (Xi MA). É considerar n o total dos quadrados dos desvios e expressar a variância (V) como a média dos quadrados dos desvios, ou seja: V = n i= x i MA i= x i MA

20 Desvio padrão (DP) O desvio padrão de x: DP = Quanto mais próximo de 0 é o desvio padrão, mais homogênea é a distribuição dos valores da variável. V

21 Exercicios 01 - A tabela indica a frequência de distribuição das correspondências, por apartamento, entregues em um edifício na segunda-feira. Número de correspondências Quantidade de apartamentos 4 A mediana dos dados apresentados supera a média de correspondências por apartamento em a)0,20. b)0,24. c)0,36. d)0,72. e)1,

22 02 - A média aritmética dos elementos de um conjunto formado por n valores numéricos diminui quatro unidades quando o número 58 é retirado. Quando o número 57 é adicionado ao conjunto original, a média aritmética dos elementos desse novo conjunto aumenta três unidades em relação à média inicial. Qual o valor da soma dos elementos originais do conjunto?

23 03 - O salário médio, em reais, dos funcionários de uma empresa, conforme nos mostra a tabela de distribuição abaixo, é: a) 1.408,60 b) 1.380,60 c) 1.281,30 d) 1.283,50 e) 1.285,50

24 04 - O gráfico seguinte apresenta os lucros (em milhares de reais) de uma empresa ao longo de 10 anos (ano 1, ano 2, até ano 10). O ano em que o lucro ficou mais próximo da média aritmética dos 10 lucros anuais foi: a)ano 2 b)ano 3 c)ano 4 d)ano 5 e)ano 9

25 05 - Grande parte da arrecadação da Coroa Portuguesa, no século XVIII, provinha de Minas Gerais devido à cobrança do quinto, do dízimo e das entradas (Revista de História da Biblioteca Nacional). Desses impostos, o dízimo incidia sobre o valor de todos os bens de um indivíduo, com uma taxa de 10% desse valor. E as entradas incidiam sobre o peso das mercadorias (secos e molhados, entre outros) que entravam em Minas Gerais, com uma taxa de, aproximadamente, 1,125 contos de réis por arroba de peso. O gráfico abaixo mostra o rendimento das entradas e do dízimo, na capitania, durante o século XVIII:

26 REVISTA DE HISTÓRIA DA BIBLIOTECA NACIONAL, Rio de janeiro, ano 2, n.23, ago Adaptado]. Com base nessas informações, em 1760, na capitania de Minas Gerais, o total de arrobas de mercadorias, sobre as quais foram cobradas entradas, foi de aproximadamente: a)1 000 b) c) d) e)

27 06 - O gráfico abaixo representa a precipitação da chuva, em mm, na cidade de São Paulo, durante o ano de 2009.

28 Analisando os dados contidos neste gráfico e apresentando uma justificativa matemática, mostre que a quantidade total de chuva acumulada no período de março a setembro de 2009 foi inferior à quantidade total de chuva nos meses de janeiro e dezembro de 2009, juntos

29 07 - A média para as notas fornecidas pela distribuição de frequências abaixo é igual a: a) 5,75 b) 5,5 c) 5,25 d) 5,0 e) 6,0

30 08 - O gráfico abaixo mostra o valor, em reais, do dólar no dia 10 dos últimos 7 meses.

31 Vinícius comprou um carro usando um sistema de financiamento chamado leasing corrigido pela variação do dólar e suas prestações vencem exatamente no dia 10 de cada mês. Em julho, Vinícius pagou R$ 987,00 de prestação. Com base na tabela dada, a prestação do mês de novembro foi de: a)r$ 879,00 b)r$ 816,00 c)r$ 799,00 d)r$ 786,00 e)r$ 779,00

32 09 - No ano de 2009, foi realizada a 17ª edição do Rally dos Sertões. A disputa começou em Goiânia-GO, passou por 7 estados brasileiros, terminando em Natal-RN. O percurso total do Rally foi de km, divididos em 10 etapas; por sua vez, cada etapa possuía uma parte especial. A tabela a seguir apresenta o percurso total e o especial de cada etapa

33 A média aritmética das cinco primeiras etapas do percurso especial é a) 304 km. b) 310 km. c) 322 km. d) 348 km. e) 354 km.

34 10 - O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006.

35 A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo? a)6 gols b)6,5 gols c)7 gols d)7,3 gols e)8,5 gols

36 11 - Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para a classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.

37 Dados dos candidatos no concurso O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é a) Marco, pois a média e a mediana são iguais. b) Marco, pois obteve menor desvio padrão. c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português. d) Paulo, pois obteve maior mediana. e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

38 12 - Os gráficos abaixo mostram a evolução da produção de etanol no Brasil e nos Estados Unidos, no período de 2004 a 2008.

39 De acordo com os dados apresentados nos gráficos acima, a) a taxa de crescimento da produção dos Estados Unidos, de 2004 para 2008, foi de 265%. b) no período de 2004 a 2006, a produção total americana foi superior à brasileira. c) o aumento da produção no Brasil, de 2007 para 2008, representou 30% do aumento da produção dos Estados Unidos, no mesmo período. d) no período de 2004 a 2008, a produção média americana foi superior à produção média brasileira. e) na safra de 2008, os dois países produziram juntos mais de 65 bilhões de litros.

40 13 - Cinco equipes A, B, C, D e E disputaram uma prova de gincana na qual as pontuações recebidas podiam ser 0, 1, 2 ou 3. A média das cinco equipes foi de 2 pontos. As notas das equipes foram colocadas no gráfico a seguir, entretanto esqueceram de representar as notas da equipe D e da equipe E.

41 Mesmo sem aparecer as notas das equipes D e E, podese concluir que os valores da moda e da mediana são, respectivamente, a)1,5 e 2,0 b)2,0 e 1,5 c)2,0 e 2,0 d)2,0 e 3,0 e)3,0 e 2,0

42 14- Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0. Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0. b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10. c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8. d) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno. e) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9.

43 15 - Em um treinamento de salto em altura, os atletas realizaram 4 saltos cada um. Vejamos as marcas obtidas por três atletas: Atleta A: 148 cm, 170 cm, 155 cm e 131 cm; Atleta B: 145 cm, 151 cm, 150 cm e 152 cm; Atleta C: 146 cm, 151 cm, 143 cm e 160 cm. a) Qual deles obteve melhor média? b) Qual deles foi o mais regular?

44 16 O histograma mostra o resultado de uma pesquisa sobre altura (em centímetros) entre os alunos de uma classe. Calcule o desvio padrão desse variável

45 GABARITO: 1) Gab: B 2) Gab: 240 3) Gab: C 4) Gab: C 5) Gab: D 6) Gab: De acordo com os dados apresentados no gráfico, a quantidade de chuva em março foi inferior a 125 mm, em abril foi inferior a 75 mm, em maio foi aproximadamente 50 mm, em junho inferior a 50 mm, em julho inferior a 150 mm, em agosto inferior a 125 mm e em setembro, aproximadamente, 125 mm. Assim, no período de março a setembro, a quantidade Q 1 de precipitação de chuva é inferior a Q 1 < = 700 mm Por outro lado, como a quantidade de chuva em janeiro de 2009 foi de aproximadamente 350 mm e no mês de dezembro de 2009 foi superior a 350 mm, a quantidade Q 2 de chuva nesses dois meses juntos foi superior a 700 mm. Portanto, conclui-se que Q 2 > 700 > Q 1

46 7) Gab: A 8) Gab: C 9) Gab: E 10) Gab: B 11) Gab: B 12) Gab: D 13) Gab: C 14) Gab: D

47 Obrigada! Profª Márcia Gonçalves