Modelagem e Simulação de Processos - Introdução Prof. Dr. Félix Monteiro Pereira
ETAPAS ENVOLVIDAS NA SIMULAÇÃO MATEMÁTICA PROCESSO: unidades ou arranjo de unidades integradas entre si de maneira racional e sistemática (reatores, trocadores de calor, colunas de destilação, colunas de absorção, evaporadores, tanques de aquecimento, tanques de mistura, etc). ANÁLISE: corresponde ao desenvolvimento do modelo matemático através da aplicação dos princípios de conservação de massa, energia e quantidade de movimento, da formulação de hipóteses simplificadoras, condições iniciais e condições de contorno. MODELO: conjunto das equações representativas do processo. INFORMAÇÕES NECESSÁRIAS: valores dos coeficientes (parâmetros) das equações. TÉCNICAS DE SOLUÇÃO: métodos numéricos utilizados para a resolução das equações.
CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS MATEMÁTICOS MODELOS FENOMENOLÓGICOS: são modelos que buscam descrever os fenômenos principais envolvidos no processo usando-se, para isso, os princípios básicos de conservação de massa, energia e quantidade de movimento, equações constitutivas, condições iniciais e de contorno. MODELOS EMPÍRICOS: o processo é visto como uma caixa-preta, desconhecendo-se totalmente os mecanismos de causa/efeito entre as variáveis independentes (x) e as variáveis dependentes (y) do processo. As variáveis dependentes são correlacionadas empiricamentecom as independentes através das chamadas funções de transferência: y=f(x). y=f(x) Funções de transferência usuais: - modelos polinomiais; - modelos exponenciais; - modelos de redes neurais.
CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS FENOMENOLÓGICOS a) segundo a natureza das variáveis: - modelos determinísticos: são aqueles em que cada variável ou parâmetro pode ser associado a um número fixo definido. A sua solução fornece valores exatos para a variável de resposta. - modelos estocásticos: os modelos estocásticos são utilizados para fornecer a probabilidade de um determinado valor ocorrer para uma variável. A solução desses modelos é uma probabilidade e não um valor exato. b) segundo a dependência com a variável tempo: - modelos de estado estacionário: não há termo de acúmulo, isto é, não há variação com o tempo. Ex. Reator contínuo de mistura perfeita. - modelos de estado dinâmico: nesses modelos há variação com o tempo, normalmente utilizados em controle de processos. Ex. Reator em batelada. c) segundo a natureza das equações resultantes: - modelos representados por equações algébricas; - modelos representados por equações diferenciais ordinárias; - modelos representados por equações diferenciais parciais.
INTRODUÇÃO AO SOFTWARE UTILIZADO PARA A RESOLUÇÃO DOS MODELOS MATEMÁTICOS: MATHEMATICA O Mathematica é um software dedicado à resolução de problemas matemáticos disponível para os alunos da USP na página: http://www.cce.usp.br/atendimento/software/mathematicastudent/ Uma apresentação do software em termos de recursos, interface e áreas de aplicação pode ser vistas em: https://pt.wikipedia.org/wiki/mathematica
Abra um novo arquivo no Mathematica:
Verificando algumas operações matemáticas (shift+enter): 1+2 5^2 5*2 5/2 2-5 π N[π] valor numérico Cos[π] Sin[π /2] Sin[π]/Cos[π /2] Exp[1] N[Exp[1]] Log[10] N[Log[10]] Log é ln N[Log[Exp[5]] Log10[100]
Definindo variáveis: a=1 A=5; O ponto e vírgula ; no final da linha é utilizado para evitar a impressão da variável, aumentando a velocidade de processamento. b=2; a*a a/(a+b) Log[10^A] Log10[10^A]
Definindo variáveis com unidades (CTRL +): d=10 cm; (digitar d=[ctrl + =] 10 cm) A=(πD 2 /4) F=100 kgf; P=(F/A) Obs. Convém colocar as equações entre parênteses para que o comando seja interpretado com sucesso, pode-se converter facilmente as unidades utilizando as funções sugeridas no notebook.
Utilizando a ajuda do Mathematica: Verifique como utilizar a função Solve do Mathematica:
Exemplo de problema envolvendo cálculo de raizes de equações: Diversas substâncias químicas com ponto de ebulição abaixo da temperatura ambiente costumam ser armazenadas na forma liquefeita, sob alta pressão, em recipientes adequados. Os exemplos mais conhecidos são o GLP (gás liquefeito de petróleo), propano, butano e amônia. Diversos tipos de recipientes são utilizados: recipientes cilíndricos (com tampos arredondados) são usados para pequenas quantidades (isqueiros, botijões, cilindros, caminhões tanque). Industrialmente, uma forma consagrada de armazenar estes "gases liquefeitos" é o uso de esferas de armazenamento. Descrição do problema: Uma esfera de armazenamento de propano dispõe de um instrumento de medição de nível que indica a altura (medida do ponto de tangência inferior da esfera) da interface líquido-vapor. O volume de líquido é dado pela fórmula V=pi * h²(3r-h)/3 Uma esfera com 10 metros de diâmetro é utilizada para armazenar propano liquefeito. O nível inicial de líquido é de 5,1 metros. O responsável pela operação da planta precisa transferir 150 m³ de propano líquido desta esfera para o processo. Determine o nível de líquido na esfera ao final da transferência (despreze a parcela do propano presente na fase vapor). Obs: Para colocar unidades CTRL= Para trabalhar com uma função tipo f(x) pode-se utilizar f[x_]:=função Para digitar texto livre em uma célula do notebook basta clicar em Format Style Text Não deve-se esquecer de mudar de célula para realizar a modelagem e os cálculos.
Solução: Obs: para simular outras condições basta alterar os valores dos dados de entrada e clicar em Evaluate Notebook Dados de entrada: In[76]:= d 10 m ; Out[79]= hi 5.1 m ; Vt 150 m 3 ; r d 2 5 m Modelagem Matemática do problema: In[80]:= V h : h ^ 2 3 r h Cálculo do Volume inicial: In[81]:= Vi V hi Out[81]= 808.957 m 3 Cálculo do volume final: In[82]:= Vf Vi Vt Out[82]= 658.957 m 3 In[93]:= hf Solve V h Vf 0, h resolve Out[93]= h 3.37832 m, h 4.46128 m, h 13.917 m Obs: A única solução possível é 4.46 m Para selecionar uma única raíz deve-se aplicar as condições restritivas na equação. sabe-se que h<=hi e h>=0 In[39]:= hf Solve V h Vf 0 && h hi && h 0, h resolve Out[39]= h 4.46128 m
Considerando o exemplo anterior, plote um gráfico do nível em função do volume de líquido na esfera ver função Plot no Mathematica. Siga as opções para alterar o gráfico (título nos eixos, cor, etc.). Outras opções na ajuda do software. Considerando o exemplo anterior, plote um gráfico do nível em função do volume de líquido na esfera ver função Plot no Mathematica. In[52]:= d 10 m ; Out[54]= h r d 2; QuantityVariable "h", "Lenght " variável de grandeza física Plot V h h 2 3 r h, h, 0, 10 gráfico 1500 V m 3 1500 Out[55]= 1000 1000 500 500 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 h m