Matemática Financeira

Matemática Financeira Direito Reservado ao PosEAD. Brasília-DF, 2010. 1Pós-Graduação a Distância

2Matemática Financeira Elaboração: Vinicius Montenegro Turtelli Lagreca da Silva Produção: Equipe Técnica de Avaliação, Revisão Linguística e Editoração

Sumário Apresentação... 05 Organização do Caderno de Estudos e Pesquisa... 06 Organização da Disciplina... 07 Introdução... 09 Unidade I Taxa de Juros e Regimes de Capitalização... 11 Capítulo 1 Conceito de Juro e Taxa de Juros... 11 Capítulo 2 Forma Unitária e Forma Percentual da Taxa de Juros... 14 Capítulo 3 Importância do Fator Tempo... 16 Capítulo 4 Diagrama de Fluxo de Caixa... 17 Capítulo 5 Regimes de Capitalização... 19 Capítulo 6 Regime de Capitalização Simples... 20 Capítulo 7 Valor Temporal e Equivalência de Capitais a Juros Simples... 24 Capítulo 8 Regime de Capitalização Composta... 27 Capítulo 9 Equivalência de Capitais com Juros Compostos... 32 Capítulo 10 Comparação entre os Dois Regimes de Capitalização... 34 Unidade II Comparações entre Taxas e Convenções de Data... 37 Capítulo 11 Novamente a Questão do Tempo... 37 Capítulo 12 Taxas de Juros Proporcionais e Equivalentes... 41 Capítulo 13 Equivalência no Regime de Juros Simples... 43 Capítulo 14 Equivalência no Regime de Juros Compostos... 45 Capítulo 15 Taxas Equivalentes em Regimes de Capitalização Diferentes... 47 Capítulo 16 Taxas Nominais e Efetivas... 50 Capítulo 17 Prazos Fracionários e as Principais Convenções de Data... 52 Capítulo 18 Principais Convenções de Data... 55 Capítulo 19 Usando o Dia como Base nos Períodos Fracionários... 57 Unidade III Operações de Desconto, Sequências de Pagamentos e Sistemas de Amortização... 61 Capítulo 20 Operações de Desconto... 61 Capítulo 21 Desconto Simples... 62 Capítulo 22 Desconto Racional Composto... 66 Capítulo 23 Pagamentos em Série... 68 Capítulo 24 Valor Atual e Montante de uma Sequência de Pagamentos... 70 3Pós-Graduação a Distância

4Matemática Financeira Capítulo 25 Sequências de Pagamentos Constantes... 76 Capítulo 26 Sistemas de Amortização... 81 Capítulo 27 O Método Francês... 84 Capítulo 28 Sistema de Amortizações Constantes (SAC)... 91 Capítulo 29 Comparação entre os Dois Métodos de Amortização... 98 Para (não) Finalizar... 100 Referências... 101

Apresentação Caro aluno, Bem-vindo ao estudo da disciplina Matemática Financeira. Este é o nosso Caderno de Estudos e Pesquisa, material elaborado com o objetivo de contribuir para a realização e o desenvolvimento de seus estudos, assim como para a ampliação de seus conhecimentos. Para que você se informe sobre o conteúdo a ser estudado nas próximas semanas, conheça os objetivos da disciplina, a organização dos temas e o número aproximado de horas de estudo que devem ser dedicadas a cada unidade. A carga horária desta disciplina é de 40 (quarenta) horas, cabendo a você administrar seu tempo conforme a sua disponibilidade. Mas, lembre-se, há uma data-limite para a conclusão do curso, implicando a apresentação ao seu tutor das atividades avaliativas indicadas. Os conteúdos foram organizados em Unidades de estudo, subdivididas em capítulos, de forma didática, objetiva e coerente. Eles serão abordados por meio de textos básicos, com questões para reflexão, que farão parte das atividades avaliativas do curso; serão indicadas, também, fontes de consulta, para aprofundar os estudos com leituras e pesquisas complementares. Desejamos a você um trabalho proveitoso sobre os temas abordados nesta disciplina. Lembre-se de que, apesar de distantes, podemos estar muito próximos. A Coordenação do PosEAD 5Pós-Graduação a Distância

Organização do Caderno de Estudos e Pesquisa Organização do Caderno de Estudos e Pesquisa Apresentação: Mensagem da Coordenação do PosEAD. Organização da Disciplina: Apresentação dos objetivos e carga horária das unidades. Introdução: Contextualização do estudo a ser desenvolvido pelo aluno na disciplina, indicando a importância desta para a sua formação acadêmica. Ícones utilizados no material didático: Provocação: Pensamentos inseridos no material didático para provocar a reflexão sobre sua prática e seus sentimentos ao desenvolver os estudos em cada disciplina. Para refletir: Questões inseridas durante o estudo da disciplina, para estimulá-lo a pensar a respeito do assunto proposto. Registre aqui a sua visão, sem se preocupar com o conteúdo do texto. O importante é verificar seus conhecimentos, suas experiências e seus sentimentos. É fundamental que você reflita sobre as questões propostas. Elas são o ponto de partida de nosso trabalho. Textos para leitura complementar: Novos textos, trechos de textos referenciais, conceitos de dicionários, exemplos e sugestões, para apresentar novas visões sobre o tema abordado no texto básico. Sintetizando e enriquecendo nossas informações: Espaço para você fazer uma síntese dos textos e enriquecê-los com a sua contribuição pessoal. Sugestão de leituras, filmes, sites e pesquisas: Aprofundamento das discussões. Praticando: Atividades sugeridas, no decorrer das leituras, com o objetivo pedagógico de fortalecer o processo de aprendizagem. 6Matemática Financeira Para (não) finalizar: Texto, ao final do Caderno, com a intenção de instigá-lo a prosseguir na reflexão. Referências: Bibliografia citada na elaboração da disciplina.

Organização da Disciplina Ementa: Juros e Descontos Simples e Compostos, Reais e Nominais. Fluxos de Caixa e Equivalência de Valores no Tempo. Sequências de Pagamentos. Esquemas de amortização. Objetivos: Conhecer as relações entre as principais variáveis da Matemática Financeira. Compreender a importância do fator tempo e seu impacto em todas as relações da Matemática Financeira. Analisar operações de empréstimo, financiamento, investimento e desconto. Discutir as possibilidades quando confrontamos diferentes modalidades de operações financeiras. Unidade I Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Carga horária: 15 horas Conteúdo Capítulo Conceito de Juro e Taxa de Juros 1 Forma Unitária e Forma Percentual da Taxa de Juros 2 Importância do Fator Tempo 3 Diagrama de Fluxo de Caixa 4 Regimes de Capitalização 5 Regime de Capitalização Simples 6 Valor Temporal e Equivalência de Capitais a Juros Simples 7 Regime de Capitalização Composta 8 Equivalência de Capitais com Juros Compostos 9 Comparação entre os Dois Regimes de Capitalização 10 Unidade II Comparações entre Taxas e Convenções de Data Carga horária: 10 horas Conteúdo Capítulo Novamente a Questão do Tempo 11 Taxas de Juros Proporcionais e Equivalentes 12 Equivalência no Regime de Juros Simples 13 Equivalência no Regime de Juros Compostos 14 Taxas Equivalentes em Regimes de Capitalização Diferentes 15 Taxas Nominais e Efetivas 16 Prazos Fracionários e as Principais Convenções de Data 17 Principais Convenções de Data 18 Usando o Dia como Base nos Períodos Fracionários 19 7Pós-Graduação a Distância

8Matemática Financeira Unidade III Operações de Desconto, Sequências de Pagamentos e Sistemas de Amortização Carga horária: 15 horas Conteúdo Capítulo Operações de Desconto 20 Desconto Simples 21 Desconto Racional Composto 22 Pagamentos em Série 23 Valor Atual e Montante de uma Sequência de Pagamentos 24 Sequências de Pagamentos Constantes 25 Sistemas de Amortização 26 O Método Francês 27 Sistema de Amortizações Constantes (SAC) 28 Comparação entre os Dois Métodos de Amortização 29

Introdução A Matemática Financeira é um ramo da matemática aplicada que se dedica a quantificar as relações de variáveis chamadas de financeiras, como o capital, juros e montante. Os mestres desta disciplina costumam dizer que ela é a parte da matemática que mais utilizamos, seja para calcularmos os juros de um empréstimo, a rentabilidade de um investimento, seja o valor de uma prestação. Entretanto, muitas vezes somos passivos neste processo, já que na maioria das vezes recebemos estes valores já calculados pelos estabelecimentos financeiros. Neste caderno, apresentamos uma abordagem inicial da Matemática Financeira que visa capacitar o aluno a realizar estes e muitos outros cálculos adequadamente, preparando-o para as próximas disciplinas do curso. Como toda ciência aplicada, a Matemática Financeira empresta o seu instrumental da matemática pura ou abstrata. Não existem, portanto, novos conceitos estritamente matemáticos a serem aprendidos. A totalidade dos elementos matemáticos apresentados neste caderno de estudos pertence à álgebra do ensino médio e não devem representar dificuldades adicionais. Como qualquer ramo da matemática, é importante que se busque compreender o desenvolvimento e as demonstrações das fórmulas, quando elas estiverem disponíveis. O correto entendimento dos caminhos que levam aos principais resultados é fundamental para a compreensão da lógica por trás das fórmulas. Também, como em qualquer parte da matemática, a fixação do conteúdo só é possível por meio da prática. Por isso, além da atenção aos exemplos apresentados no caderno, enfatizamos fortemente a resolução das listas de exercícios que serão disponibilizadas durante o curso. Os capítulos seguem uma sequência lógica e devem ser lidos preferencialmente na ordem apresentada. A Unidade I Taxa de Juros e Regimes de Capitalização em Especial, contém os elementos básicos que precisam estar bem compreendidos antes de se prosseguir para as outras unidades. Para a resolução dos exercícios, o aluno precisará fazer uso de uma calculadora ou de uma planilha eletrônica. Para os familiarizados, é recomendado o uso das planilhas, que simplificam bastante os cálculos. As calculadoras devem possuir a função potência, que será amplamente utilizada durante praticamente todos os capítulos. Esta função (normalmente representada pela tecla y x ) só está presente nas calculadoras científicas ou financeiras. Uma opção é o uso de uma calculadora virtual, muitas vezes disponível junto com os sistemas operacionais. 9Pós-Graduação a Distância

Introdução Matemática Financeira 10

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I I Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Capítulo 1 Conceito de Juro e Taxa de Juros Nas Ciências Econômicas, o conceito de juro é objeto de grandes estudos. Questões sobre a sua origem histórica e sua natureza filosófica são debatidas em diferentes correntes de pensamento. Para o nosso objetivo, basta assumirmos como verdadeiro o seguinte raciocínio simplificado. I Existem agentes econômicos (como empresas, pessoas físicas, bancos etc.) que, em um determinado instante do tempo, detêm mais recursos (ou dinheiro) do que suas necessidades imediatas, quer seja para consumo, quer seja investimento. Estes agentes, chamados superavitários, estão dispostos a aplicar estes recursos, ou seja, a emprestar o dinheiro por um período determinado de tempo em troca de uma remuneração. II Neste mesmo instante, existem outros agentes que possuem menos recursos do que o necessário para fazer frente aos seus planos de gasto. Estes agentes deficitários estão dispostos a tomar dinheiro emprestado para satisfazer suas necessidades, pagando para isso, um determinado preço. III No mercado de dinheiro (ou mercado financeiro, mercado de capitais ou simplesmente mercado), os agentes superavitários e deficitários trocam seus recursos dando origem ao juro que é, simultaneamente, a remuneração do dinheiro do ponto de vista do emprestador e o preço do dinheiro do ponto de vista do tomador. Assim, na nomenclatura usual: onde (1) J = S C J é o juro pago pelo tomador e recebido pelo emprestador; S é o valor pago pelo tomador ao final do período do empréstimo; C é o valor adiantado pelo emprestador. Todas as grandezas são medidas em unidades monetárias, como reais, dólares, euros etc. C é muitas vezes chamado de Capital Inicial, Valor do Investimento, Principal e outros nomes semelhantes que indicam tratar-se de um valor inicial. S, por sua vez, é comumente chamado de Montante, Valor Final, Valor Capitalizado e outras denominações que indicam o resultado final de um valor investido anteriormente. Muitas vezes o juro é apresentado não como uma simples diferença entre os valores final e inicial, isto é, entre S e C, mas como a proporção desta diferença e o valor inicial. Pós-Graduação a Distância 11

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I De acordo com (1) definimos ou (2) J = S C i = (S C)/C i = J/C onde i é a chamada taxa de juros da operação. Observando (1) e (2) vemos que enquanto J é uma medida absoluta da remuneração do capital investido, i é uma medida relativa. O juro J pode ser considerado diretamente um valor grande ou pequeno para um agente econômico, seja ele um emprestador, seja um tomador de recursos. Já a taxa de juros i não fornece o montante a ser pago ou recebido a título de remuneração do capital. Este valor vai depender do Principal. Manipulando (2) temos i = J/C (3) J = ic Para encontrarmos o valor do juro, precisamos tanto da taxa de juros quanto do Principal. Por outro lado, i nos fornece uma medida comparável da magnitude do juro entre diferentes capitais. No exemplo abaixo, exploraremos esta ideia. Exemplo 1 Duas empresas, visando aumentar a sua capacidade de produção, obtiveram empréstimos no mercado. A Empresa Alfa tomou $50.000, comprometendo-se a pagar $51.000 ao emprestador no final de um ano, enquanto a Empresa Beta captou $80.000, com pagamento de $81.500 no fim do mesmo período. Calcule o juro e a taxa de juros das duas operações e responda qual das duas empresas obteve o empréstimo em condições mais vantajosas. Resolução Primeiramente identificamos as variáveis fornecidas: Empresa Alfa C = $50.000 S = $51.000 Empresa Beta C = $80.000 S = 81.500 Usando (1) J = S C calculamos J = 51.000 50.000 J = $1.000 e J = 81.500 80.000 J = $1.500 Matemática Financeira Usando (2) i = J/C calculamos i = 1.000/50.000 i = 0,2 e i = 1.500/80.000 i = 0,1875 12

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Levando em consideração apenas o valor do juro devido, vemos que, como o empréstimo da companhia Beta teve um custo maior, pois J > J. Esta medida, porém, é limitada, pois não leva em conta o volume emprestado. A taxa de juros nos diz que, proporcionalmente ao total emprestado, o custo do empréstimo da Empresa Beta foi menor do que o da Empresa Alfa, ou seja: J /C < J /C ou simplesmente i < i Assim, ao empregarmos a taxa de juros, podemos comparar o preço dos empréstimos em uma medida única que independe do valor inicial. Resposta como i < i, a Empresa Beta obteve o empréstimo em condições favoráveis. Pós-Graduação a Distância 13

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Capítulo 2 Forma Unitária e Forma Percentual da Taxa de Juros Na forma apresentada em (2), a taxa de juros i representa o valor do juro pago ou recebido por uma unidade monetária de capital. Podemos ver isso supondo que C = $1. Usando novamente (2) i = J/C Como C = 1 i = J/1 então i = J Ou seja, i é realmente o juro correspondente a uma unidade de capital. Por isso, esta representação é a chamada de forma unitária da taxa de juros. Entretanto, é mais usual a forma percentual da taxa de juros, que representa, como o próprio nome diz, o juro pago por cem unidades de capital. Para encontrar a taxa de juros percentual, basta multiplicar a taxa unitária por cem. onde i* é a taxa de juros na forma percentual. (4) i * = i*100 ou, ao contrário (4) i = i * /100 Na grande maioria das aplicações e exercícios apresentados aqui, bem como na convenção do mercado, a taxa de juros é apresentada na forma percentual. Porém, as fórmulas em geral exigem o uso da forma unitária. É fundamental o ajuste da forma antes de iniciar os cálculos. Do mesmo modo, nas atividades onde a taxa de juros deva ser calculada, o número obtido a partir das fórmulas sempre estará na forma unitária. Para a apresentação da resposta é igualmente necessária a mudança de formato. Vejamos um exemplo. Exemplo 2 Duas pessoas, André e Marcos, resolveram investir suas economias. A André, que dispõe de $4.000, foi oferecida pelo banco a remuneração de 7% para um ano, e a João, que possui $5.000, foi oferecida 7,5% para o mesmo período. Qual o valor dos juros recebidos pelos dois no final do período? Resolução Resumindo as variáveis: Matemática Financeira André C a = 4.000 i *a = 7 Marcos C m = 5.000 i *m = 7,5 Primeiramente usamos (4) i = i * / 100 e calculamos i a = 7 / 100 = 0,07 e i m = 7,5 / 100 = 0,075 Usamos então (2) i = J/C para calcular J a = 0,07 * 4.000 = $280 e J m = 0,075 * 5.000 = $375 14

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Resposta André receberá $280 e Marcos $375 ao final do período. Neste Caderno a taxa de juros será sempre vista como um dado, isto é, não estaremos preocupados em explicar como um valor específico da taxa de juros foi determinado no mercado. Apenas aceitaremos que aquela é a taxa de juros aplicável para aquele tipo de investimento ou empréstimo. Pós-Graduação a Distância 15

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Capítulo 3 Importância do Fator Tempo O tempo na Matemática Financeira é, provavelmente, a variável de maior importância. Por isso a sua passagem deve ser medida e considerada de maneira absolutamente objetiva e precisa, como é feito, por exemplo, na Física. Geralmente designamos a variável tempo por t, e a medimos de acordo com alguma unidade considerada uniforme, como dias, meses, trimestres ou anos. Representamos os momentos particulares do tempo através de igualdades do tipo t = 0, t = 1, t = 2 e assim por diante. Nas ideias apresentadas até agora, foi dito, de maneira informal, que existem os valores iniciais e finais de um empréstimo ou investimento, ou de maneira geral, de uma operação financeira. Está claro que entre estes valores existe um intervalo de tempo t. Certamente não se imagina um empréstimo em que simultaneamente se recebe o capital e se paga o valor final. É necessário que o valor fique à disposição do tomador por certo espaço de tempo durante o qual ele possa usufruir dos recursos da maneira desejada. É justamente por esta disponibilidade temporária que o tomador de recursos se dispõe a pagar um determinado preço. Este intervalo de tempo t é o chamado prazo da operação. Alguns exemplos: Depósitos interbancários Certificado de Depósito Bancário (CDB) Crédito Direto ao Consumidor (CDC) prazo: 1 dia prazo: 30, 60 ou 90 dias prazo: múltiplo do mês, como 6, 12 ou 24 meses Para que seja possível o cálculo apropriado da remuneração de um capital, a taxa de juros também necessita ter como referência, ainda que implícita, um determinado intervalo de tempo. No final deste intervalo aplicamos a taxa de juros ao capital inicial para calcularmos o valor do juro e do montante. Os intervalos mais comumente utilizados para referenciar a taxa de juros são um dia, um mês e um ano, dependendo do tipo de operação, como nos casos hipotéticos abaixo: Fundo de investimento Delta Cheque especial do Banco B Hipoteca do Banco H 0,036% ao dia 7,5% ao mês 18,5% ao ano Da forma como definimos em (1) e (2), J e i são o juro e a taxa de juros que têm como referência o próprio prazo da operação, ou seja, t. Isso significa que, neste caso, podemos aplicar diretamente a taxa de juros ao principal para calcularmos o juro da operação, como fizemos nos exemplos 1 e 2. Entretanto, nem sempre um financiamento ou crédito tem o mesmo prazo do que o período de referência da sua taxa de juros. Uma forma bastante conveniente de contornarmos este problema é considerar o próprio prazo de referência da taxa de juros como a unidade de tempo. Assim, se temos uma taxa de juros anual, mediremos o tempo em anos, isto é, t = 1 significa que um ano se passou, t =2 significa que 2 anos se passaram e assim por diante. Da mesma forma, se temos uma taxa de juros mensal, contaremos o tempo em meses e se a taxa é diária, contaremos em dias. Esta é a convenção que usaremos preliminarmente até que se diga o contrário e é essencial que isto esteja sempre em mente para a perfeita compreensão dos problemas. Matemática Financeira Além disso, para facilitar a compreensão na apresentação das ideias iniciais, usaremos apenas intervalos de tempo não fracionários, ou seja, consideraremos apenas o que ocorre nos instantes t = 1, 2, 3... n, desconsiderando o que ocorre, por exemplo, em t = 1,5 ou t = 3,15. O objetivo é evitar discutir, por enquanto, o que ocorre nos intervalos de tempo menores do que o prazo de referência da taxa de juros. 16

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Capítulo 4 Diagrama de Fluxo de Caixa Uma forma bastante utilizada para auxiliar a visualização dos pagamentos e recebimentos do principal e do montante, além da passagem do tempo, é o diagrama de fluxo de caixa mostrado abaixo. A linha horizontal representa a passagem do tempo, onde, no modelo abaixo, dois momentos específicos estão assinalados: t = 0, o momento inicial, a partir do qual se deseja conduzir a análise; e t = n, o momento final, após transcorridas n unidades de tempo. A seta para baixo indica valores iniciais, representados pelo principal C. A seta para cima indica os retornos dos valores iniciais, que no desenho são representados pelo montante S. S t = 0 t = n C Com a ajuda do diagrama acima, podemos reescrever (1) para explicitar a localização das variáveis no tempo. Reescrevemos (1) J = S C como (1) J n = S n C 0 onde os índices n e 0 subscritos no lado direito das variáveis indicam que nos referimos ao valor assumido pelas variáveis naqueles instantes. Temos então: J n é o juro devido no instante t = n; S n é o montante em t = n; C 0 é o capital inicial em t = 0. A indexação do capital C 0 pode parecer desnecessária, já que, por definição, ele sempre aparece no início de uma operação. Muitas vezes, porém, desejamos conduzir sobre uma mesma estrutura temporal várias operações simultâneas, ou, para facilitar a análise, desmembrar uma operação em outras mais simples, como faremos logo abaixo. Para reescrevermos (2) e (3), é preciso lembrar que estamos considerando que o prazo de referência da taxa de juros corresponde a uma unidade de tempo. Com isso a taxa de juros é a proporção entre o juro devido em t = 1 e o capital inicial. A partir de (2) i = J/C temos i = J 1 /C 0 Pós-Graduação a Distância 17

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Podemos generalizar este conceito para um capital inicial situado em qualquer instante de tempo e reescrever (2) como: (2) i = Jn/C n 1 Note que a taxa de juros i não tem índice de tempo, já que ela permanece constante ao longo da operação. Da mesma forma reescrevemos (3): (3) J n = C n 1 i Matemática Financeira 18

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Capítulo 5 Regimes de Capitalização Juntando (1) e (3) podemos escrever o montante S em t = 1 diretamente em função de C 0 e i: Como (1) J n = S n C 0 em t = 1 temos J 1 = S 1 C 0 e (3) em t = 1 juntando temos J 1 = C 0 i S 1 C 0 = C 0 i S 1 = C 0 + C 0 i (5) S 1 = C 0 (1+i) Esta igualdade representa o montante em t = 1, após a passagem do período de referência da taxa de juros. O que acontece com S quando t = 2, t = 3 etc., ou seja, com S 2, S 3 etc., vai depender da forma de capitalização dos juros, o que chamamos regimes de capitalização. A questão da capitalização dos juros refere-se à incorporação, ou não, dos juros devidos, mas ainda não pagos, ao principal. Esse problema aparece, em primeiro lugar, quando o prazo de referência da taxa de juros é menor que o período de tempo total do investimento ou empréstimo. Mas, a rigor, o problema se coloca em qualquer operação financeira, como veremos posteriormente. Para facilitar a compreensão, vamos imaginar um exemplo. Exemplo 3 A Empresa Delta pegou $10.000 emprestados no mercado, pagando para isso a taxa de juros de 12% ao ano. O prazo do empréstimo é de cinco anos e deverá ser quitado de uma só vez no final do período. Resolução As variáveis são: C = $10.000 i = 0,12 Unidade de medida do tempo = anos n = 5 Ao final do primeiro ano, calculamos os juros totais devidos até então: Usando (2) i = J 1 /C temos J 1 = 0,12 * 10.000 = $1.200 A pergunta que se coloca é: após um ano, devemos considerar esses $1.200 como um novo empréstimo à Empresa Delta? Podemos considerar que, ao definirmos a taxa de juros em termos anuais, queremos dizer que anualmente se espera o pagamento de juros. Como o empréstimo prevê o pagamento total do montante apenas ao final de cinco anos, então podemos esperar que cada juro não pago é um novo empréstimo à empresa. Por outro lado, podemos pensar que o período referencial da taxa de juros é apenas indicativo, ou seja, não serve para indicar que os juros devam ser realmente pagos. De qualquer forma, podemos distinguir dois casos: o regime de juros compostos, em que os juros devidos mas não pagos são incorporados repetidamente ao principal durante a vigência do empréstimo, e o regime de juros simples, em que os juros não pagos apenas se acumulam e são pagos no final. Pós-Graduação a Distância 19

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Capítulo 6 Regime de Capitalização Simples Usando as identidades que já temos, os índices de tempo e manipulações algébricas simples, podemos chegar a alguns resultados importantes sobre o regime de capitalização simples. Segundo (5) temos S 1 = C 0 (1+i) No regime de capitalização simples não ocorre incorporação dos juros ao capital inicial. Com isso, o capital permanece inalterado ao longo do tempo, ou seja, em t = 1 temos que C 1 = C 0. De maneira geral podemos escrever que C n = C 1 = C 0 = C, significando que não há necessidade de colocar o índice de tempo no capital da operação. Os juros devidos no período seguinte, em t = 2, correspondem à soma dos juros relativos ao primeiro e ao segundo intervalos. Os dois valores são iguais, já que tanto o capital quanto a taxa de juros são os mesmos. Assim: Em um período t = n qualquer, teremos: Usando (2) temos J 1 = ic 0 + e J 2 = ic 0 + ic 1 Como C 1 = C 0 = C J 2 = ic + ic J 2 = 2iC (6) J n = nic O novo montante em t = 2 é a soma do principal e dos juros devidos ao uso dos recursos por dois intervalos de tempo: De acordo com (5) S 2 = C+ J 2 Usando (6) S 2 = C+ 2iC temos S 2 = C (1 + 2i) Ou, em t = n teremos: (7) S n = C (1 + ni) Diretamente, a partir de (7), podemos colocar C em termos de S, n e i (8) C = S n /(1 + ni) Matemática Financeira As identidades (6), (7) e (8) são as principais fórmulas para a resolução de problemas em um regime de capitalização simples. Elas nos fornecem diretamente, a partir das outras variáveis fornecidas: (6) os juros acumulados até t = n; (7) o montante em t = n; (8) o capital inicial. 20

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Com mais algumas transformações, podemos encontrar as fórmulas para encontrar a taxa de juros e o prazo da operação. Rearranjando (7) temos S n = C(1 + ni) 1 + ni = S n / C ni = (S n /C) 1 o número de períodos é (9) n = [(S n /C) 1]/i e a taxa de juros (10) i = [(S n /C) 1]/n Alguns exemplos ajudarão na fixação das ideias. Exemplo 4 Calcule o rendimento obtido por um investidor que aplicou $5.000 durante 6 meses à taxa de juros simples de 0,7% ao mês. Resolução Resumindo as variáveis: C = 5.000 Unidade de medida de t = meses n = 6 i = 0,007 Podemos usar (6) para encontrarmos diretamente o rendimento J J n = nic J 6 = 6 * 0,007 * 5.000 J 6 =$210,00 Resposta Ao final de seis meses o rendimento foi de $210,00. Exemplo 5 Uma empresa obteve um financiamento de $40.000 para a compra de máquinas à taxa de juros simples de 1,1% ao mês pelo prazo de dois anos. No dia do pagamento, qual deve ser o valor disponibilizado pela tesouraria no caixa da empresa para o pagamento? Resolução Resumindo as variáveis: C = 40.000 Unidade de medida de t = meses n = 24 i = 0,011 É necessário que as unidades de tempo sejam as mesmas. Como dissemos, é conveniente expressar o prazo da operação na mesma unidade de tempo da taxa de juros, ou seja, em meses. Assim, t = 24 meses, o que equivale a n = 24, já que a operação começa em t = 0. Pós-Graduação a Distância 21

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Usando (7) encontramos, diretamente o montante: (7) S n = C(1 + ni) S 24 = 40.000*(1 + 24*0,011) S 24 = $50.560 Resposta A tesouraria deve depositar $50.560 no caixa da empresa. Exemplo 6 A um correntista foi oferecida uma opção de investimento com pagamento mensal de juros simples sobre o capital. Foi efetuada uma aplicação de $6.000 e após um ano o correntista verificou que tinha recebido $624,60 em juros. Qual foi a taxa de juros do investimento? Resolução Resumindo as variáveis: C = 6.000 Unidade de medida de t = meses n = 12 J 12 = 624,6 Podemos usar (1) para calcular S12 Então usamos (10) para calcular a taxa de juros i J 12 = S 12 C 624,6 = S 12 6.000 S 12 = 6.624,6 (10) i = [(S n / C) 1]/n i = [(S 12 / C) 1]/12 i = [(6.624,6 / 6.000) 1]/12 i = 0,0087 Resposta a taxa de juros do investimento foi de 0,87% ao mês. Exemplo 7 Um pequeno produtor conseguiu emprestado $1.000 para a realização de investimentos. A taxa de juros simples é de 1,9% ao mês. Qual o período necessário para que a sua dívida dobre de valor? Matemática Financeira Resolução Resumindo as variáveis: C = 1.000 i = 0,019 S n = 2.000 Unidade de medida de t = meses 22

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Usando (9) n = [(S n / C) 1]/i n = [(2.000 / 1.000) 1] / 0,019 n 52,6 A dívida duplicará em aproximadamente 52,6 meses. Não há geração de juros neste instante de tempo, pois a taxa de juros é mensal. Em n = 52, a dívida ainda será menor do que o dobro do capital, já que 52 < 52,6. A dívida só ultrapassará o dobro do valor do empréstimo no próximo período, em n = 53 meses. De qualquer modo é fácil verificar que: usando (7) S 52 = 1.000 * (1 + 52 * 0,019) e Resposta A dívida terá duplicado de valor após 53 meses. S 52 = 1.988 S 53 = 1.000*(1 + 53 * 0,019) S 53 = 2.007 Pós-Graduação a Distância 23

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Capítulo 7 Valor Temporal e Equivalência de Capitais a Juros Simples Um dos conceitos fundamentais da Matemática Financeira e que está por trás, explícita ou implicitamente, de várias ideias da teoria das finanças, é o de equivalência de capitais no tempo. Vamos imaginar, como exemplo, que seja oferecida a uma pessoa ou empresa a possibilidade de receber uma certa quantia C imediatamente ou uma outra quantia S em um ano no futuro. Se a taxa de juros simples anual vigente hoje for ih, em que condições será indiferente receber C hoje ou S no futuro? Vamos desconsiderar outros fatores que possam estar envolvidos, como a possibilidade de inadimplência do pagamento futuro ou a eventual necessidade absoluta de recursos imediatos, como no caso de uma empresa ameaçada de falência, por exemplo. Posto isso tudo de lado, sabemos que, aplicando C à taxa anual ih, teremos em um ano a partir de (7) S 1 = C(1 + i h ) Se S > S 1 será preferível esperar um ano para receber S, já que se escolhêssemos receber C imediatamente, ao final de um ano teríamos um valor menor do que é possível obter escolhendo receber S. Se, pelo contrário, S < S 1 será melhor receber C hoje e, em um ano, estar em posição mais vantajosa. Será indiferente receber C ou S se S = S 1 = C(1 + i h ) Neste caso, dizemos então que os capitais S e C são equivalentes. Generalizando, costuma-se dizer que um capital S n, tal que S n = C(1 + ni), é o valor futuro de C à taxa de juros simples i. Da mesma forma, dizemos que C, tal qual C = S n / (1 + ni), é o valor presente de S n a esta taxa. Ao invés de imaginarmos que C está disponível em t = 0, ou seja de imediato, vamos considerar o capital Cj, localizado no instante t = j. Vamos definir o montante Sn disponível em t = n como o valor em n de Cj como sendo: Se j < n Sn = C j (1 + (n j) i) E se j < n Sn = C j / (1 + (n j) i) Como j pode ser um instante de tempo anterior ou posterior a n, temos que considerar os dois casos acima. Observe que (n j) e (j n) correspondem, em cada um dos casos, ao intervalo de tempo entre n e j. Com este conceito de valor temporal de um capital, isto é, do valor do capital em um determinado instante de tempo, vamos imaginar um caso mais geral de equivalência de capitais. Considere agora k capitais, C 1, C 2, C 3... C k, disponíveis em k momentos do tempo n 1, n 2, n 3... n k, como na figura abaixo. Queremos verificar a equivalência destes capitais no instante J. C 1 C 2 C 3 C 4 Matemática Financeira 0 n1 n2 J n3 n4 Figura 1 24

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Neste diagrama, as linhas não estão acima ou abaixo da linha horizontal de tempo pois não está determinado a princípio se os capitais representados pelas linhas verticais são entradas ou saídas. Como de costume, considere a taxa de juros i com período de referência igual à unidade de medida de tempo de n 1, n 2, n 3... n k. Considere ainda que J corresponde a um momento posterior a n 1 e n 2 e anterior a n 3, n 4 etc. Assim, os valores em J de C 1 e C 2 são os valores que obteríamos se aplicássemos os capitais C 1 e C 2 a taxa simples i de n 1 a J e de n 2 a J, respectivamente (ou seja, pelos períodos (J n 1 ) e (J n 2 ), respectivamente. onde C 1J e C 2J são os valores no instante J de C 1 e C 2. Então C 1J = C 1 [1 + (J n 1 ) i] e C 2J = C 2 [1 + (J n 2 ) i] Por outro lado os valores em J de C 3, C 4, C 5... C k são os valores que, aplicados em J a taxa simples i, gerariam estes capitais nos intervalos (n 3 J), (n 4 J)... (n k J), respectivamente. Ou seja, se C 3 = C 3j * [1 + (n 3 J) i] então C 3j = C 3 / [1 + (n 3 J) i] e C 4j = C 4 / [1 + (n 4 J) i]... até C kj = C k / [1 + (n k J) i] Onde C 3j, C 4j... C kj são os valores no instante J de C 3, C 4... C k. C 1, C 2, C 3... C k serão equivalentes se: Vejamos um exemplo. C 1j = C 2j = C 3j =... = C kj Exemplo 8 Verifique a equivalência dos capitais do gráfico abaixo segundo a taxa de juros simples de 2,3% ao mês no fim de 6 meses. $ 1.870,91 $ 2.092,00 $ 1.793,72 $ 2.230,00 0 1 3 E=6 8 11 Tempo em meses Figura 2 Temos então C 1 = 1.793,72, C 3 = 1.870,91, C 8 = 2.092 e C 11 = 2.230. Podemos verificar que os capitais são todos equivalentes. Para k < E temos: Pós-Graduação a Distância 25

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I C ke = C k (1 + (E n k ) i) então C 1 6 = 1.793,72 (1 + (6 1) 0,023) C 1 6 = 2.000 e C 2 6 = 1.870,91 (1 + (6 3) 0,023) C 2 6 = 2.000 Para k > E temos C k E = C k / (1 + (n k E) i) Assim C 8 6 = 2.092 / (1 + (8 6) 0,023) C 8 6 = 2.000 e C 11 6 = 2.230 / (1 + (11 6) 0,023) C 11 6 = 2.000 Resposta Os capitais são todos equivalentes à taxa simples de 2,3% ao mês em t = 6. Uma característica importante da equivalência de capitais a juros simples é que ela depende do instante de referência, a chamada data de avaliação, que no nosso exemplo era t = 6. Isso quer dizer que, se os capitais são equivalentes em uma certa data, não o serão em nenhuma outra. Embora sem uma demonstração adequada, é possível perceber esta característica a partir do exemplo anterior. Caso estivéssemos focados em E = 5 teríamos: então C 1 5 = 1.793,72 (1 + (5 1) 0,023) C 1 5 = 1.958,74 e C 3 5 = 1.870,91 (1 + (5 3) 0,023) C 3 5 = 1.956,97 e para k > E C 8 5 = 2.092 / (1 + (8 5) 0,023) C 8 5 = 1.956,97 e C 11 5 = 2.230 / (1 + (11 5) 0,023) C 11 5 = 1.959,58 Matemática Financeira 26

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Capítulo 8 Regime de Capitalização Composta Como mencionamos anteriormente, neste regime, os juros são sistematicamente incorporados ao principal no instante em que são gerados. Novamente, as identidades que já temos são suficientes para desenvolver os principais resultados do regime de capitalização composta. Usando (2) novamente, temos que o juro em t = 1 é: J 1 = ic 0 E de acordo com (5) calculamos o montante em t =1 S 1 = C 0 (1+i)- Na capitalização composta, em t =1, ocorre a incorporação dos juros, gerando um novo capital. C 1 = C 0 + J 1 Como J 1 = ic 0 então C 1 = C 0 + ic 0 e C 1 = S 1 = C 0 (1+i) O fato de que, a cada período, o montante é igual ao novo capital resume o regime de capitalização composta. Ainda de acordo com (2), em t =2, os juros acumulados nos dois períodos são: porém então J 2 = ic 0 + ic 1 C 1 = C 0 (1+i) J 2 = ic 0 + i[c 0 (1+i)] O montante em t = 2 pode ser expresso por: S 2 = C 0 + J 2 S 2 = C 0 + ic 0 + i[c 0 (1+i)] Colocando C 0 em evidência S 2 = C 0 (1 + i) + i[c 0 (1+i)] Podemos agora colocar C0 (1 + i) em evidência S 2 = C 0 (1 + i) (1 + i) e finalmente S 2 = C 0 (1 + i) 2 Generalizando para um instante de tempo qualquer, temos: (11) S n = C 0 (1 + i) n que é a fórmula do montante no regime de juros compostos. Pós-Graduação a Distância 27

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Com algumas poucas transformações, podemos isolar as outras variáveis e chegar a um conjunto de equações semelhantes às identidades (7), (8), (9) e (10) utilizadas no regime de juros simples. De forma direta temos (12) C 0 = S n / (1 + i) n ou C 0 = S n (1 + i) n que nos permite calcular diretamente o capital inicial. Os juros devidos ao final de um determinado período podem ser determinados: a partir de (1) S n = C 0 + J n J n = S n C 0 mas segundo (11) S n = C 0 (1 + i) n então J n = C 0 (1 + i) n C0 e (13) J n = C 0 [(1 + i) n 1] A taxa de juros pode ser encontrada a partir de (11). Temos em (11) S n = C 0 (1 + i) n (1 + i) n = S n /C 0 elevando os dois lados à potência 1/n (o que corresponde a tirar a enésima raiz) obtemos [(1 + i) n ] (1/n) = (S n /C 0 ) (1/n) obtemos (1 + i) = (S n /C 0 ) (1/n) e (14) i = (S n /C 0 ) (1/n) 1 O número de períodos de capitalização em função das outras variáveis pode ser isolado com o auxílio dos logaritmos. Novamente, a partir de (11) S n = C 0 (1 + i) n Utilizando as propriedades dos logaritmos (1 + i) n = S n / C 0 log (1 + i) n = log (Sn/C0) Matemática Financeira Vejamos alguns exemplos. temos n log (1 + i) = log S n log C 0 e finalmente (15) n = (log S n log C 0 ) / log (1 + i) Exemplo 9 Calcule o valor de resgate de uma aplicação de $10.000 à taxa de 0,87% ao mês pelo prazo de 11 meses, sabendo que os juros foram automaticamente reinvestidos da mesma aplicação. 28

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Resolução Resumindo as variáveis: C = 10.000 t medido em meses i = 0,0087 n = 11 Como os juros foram reinvestidos na mesma taxa de juros no momento do seu pagamento, trata-se de uma aplicação com juros compostos. Utilizando (11), temos: S n = C0 (1 + i) n S n = 10.000 * (1 + 0,0087) 11 S n 10.999,74 Resposta O valor de resgate será de $10.999,74. Exemplo 10 Um determinado investimento com rendimento composto de 1,3% ao mês, pelo prazo máximo de 18 meses, deverá ser resgatado pelo valor de $50.000. De quanto deve ser o valor do capital inicial disponibilizado para este investimento? Resolução Resumindo as variáveis: Utilizando (12), temos: S = 50.000 t medido em meses i = 0,013 n = 18 C 0 = Sn / (1 + i) n C 0 = 50.000 / (1 + 0,013) 18 C 0 39.627,8 Resposta Deverá ser disponibilizado o valor de $39.627,80 para o investimento. Exemplo 11 Uma família deseja aplicar suas economias de $40.000 para a compra de uma casa de $67.000. Caso consiga uma aplicação financeira que retorne 1,17% ao mês e reinvista imediatamente os juros na mesma aplicação, qual será o período necessário para que obtenha o valor necessário para a compra do imóvel? Resolução Resumindo as variáveis: C = 40.000 t em meses S = 67.000 i = 0,0117 Pós-Graduação a Distância 29

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Utilizando (15) n = (log S n log C0) / log (1 + i) temos n = (log 67.000 log 40.000) / log (1 + 0,0117) n = (log 67.000 log 40.000) / log (1,0117) Neste caso, não importa a base do logaritmo utilizada. A maioria das planilhas eletrônicas permite que se calcule facilmente logaritmos em qualquer base. Nas calculadoras que apresentam esta função, é mais comum que estejam disponíveis apenas a base 10 e a base natural o número e. Aqui utilizamos a base natural. Calculando os logaritmos n = (11,1124479 10,59663473) / 0,011632084 n 44,3 Quando trabalhamos com logaritmos, pode ser necessário o uso de muitas casas decimais para que o resultado não seja uma aproximação muito grosseira. Quando trabalhamos com planilhas eletrônicas, isto não é normalmente um problema, já que é possível fazer o cálculo todo de uma vez só diretamente na célula da planilha. Quando utilizamos calculadoras de bolso, é interessante armazenar os resultados intermediários dos cálculos na própria memória da calculadora (se houver) ao invés de anotá-los à parte em uma folha de papel, evitando, assim, que os arredondamentos se acumulem. Uma outra possibilidade de resolução deste problema que pode ser útil quando utilizamos calculadoras é substituirmos os valores primeiramente na fórmula (11) e fazermos tantas contas quanto possível antes de aplicarmos os logaritmos: (11) S n = C0 (1 + i) n Aplicando os logaritmos dos dois lados da equação, temos: 67.000 = 40.000 * (1 + 0,0117) n (1,0117) n = 67.000 / 40.000 (1,0117) n = 1,675 log (1,0117) n = log 1,675 n log 1,0117 = log 1,675 n = log 1,675 / log 1,0117 Calculando os logaritmos n = 0,5158132 / 0,011632084 finalmente n 44,3 Resposta Será necessário o período de 45 meses. Matemática Financeira Exemplo 12 Imagine que a mesma família do exercício anterior tenha o objetivo de comprar sua casa no prazo de 40 meses. Qual deverá ser a taxa de juros compostos da aplicação financeira para que isto seja possível? 30

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Resolução As variáveis agora são: C = 40.000 t em meses S = 67.000 n = 40 Utilizando (15) i = (S n /C 0 ) (1/n) 1 temos i = (67.000/40.000) (1/40) 1 i = 1,675 0,025 1 i 0,012979 Resposta A taxa de juros da aplicação deverá ser, aproximadamente, 1,30% ao mês. Pós-Graduação a Distância 31

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Capítulo 9 Equivalência de Capitais com Juros Compostos Do mesmo modo que no regime de capitalização simples, vamos investigar as condições de equivalência entre capitais no regime composto utilizando o conceito de valor temporal. Sejam k capitais, C 1, C 2, C 3... C k, em k instantes de tempo n 1, n 2, n 3... n k como na figura anterior. C 1 C 2 C 3 C 4 0 n1 n2 J n3 n4 Figura 3 Seja agora a taxa de juros i compostos referenciada na mesma unidade de medida de tempo de n 1, n 2, n 3... n k. Caso aplicássemos os capitais C 1 e C 2 em n 1 e n 2 à taxa i pelos períodos (J n 1 ) e (J n 2 ), teríamos em J: (J n1) C 1 J = C 1 (1 + i) (J n2) e C 2 J = C 2 (1 + i) E se quiséssemos obter os capitais C 3, C 4... C k, nos respectivos instantes n 3, n 4... n k, a partir de investimentos realizados no instante J, deveríamos investir os valores C 3 J, C 4 J... C k J tais quais: (n3 J) C 3 = C 3 J (1 + i) (n4 J) C 4 = C 4 J (1 + i) e assim por diante. Teríamos então: (n3 J) C 3 J = C 3 (1 + i) (n4 J) C 4 J = C 4 (1 + i)... Matemática Financeira (nk J) C k J = C k (1 + i) Podemos representar estes expoentes de uma forma bem mais conveniente. (n k J) = (J n k ) Assim, ao contrário do caso de juros simples, chegamos a uma fórmula única para todos os capitais, independente da posição relativa da data de avaliação. 32

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I (J nk) (16) C k J = C k (1 + i) Os C 1 J, C 2 J, C 3 J... C k J encontrados representam os valores no momento J de C 1, C 2, C 3... C k. Estes capitais são equivalentes se: C 1 J = C 2 J = C 3 J =... = C k J A equivalência de capitais no regime composto não depende da escolha da data de avaliação. Isso significa que capitais equivalentes em um certo instante de tempo também o são em todos os outros instantes. Exemplo 13 Verifique a equivalência dos seguintes capitais à taxa de juros composta de 1,7% ao mês. $ 934,79 $ 1.069,75 $ 1.017,00 0 2 E=5 7 10 Tempo em meses Figura 4 Temos C 2 = 934,79, C7 = 1.017 e C 10 = 1.069,75. Podemos usar diretamente (16) para calcular o valor em E dos capitais e verificar a condição de equivalência. (J nk) (16) C k J = C k (1 + i) (5 2) C 2 5 = 934,79 (1 + 0,017) C 2 5 = 934,79 (1,017) 3 C 2 5 = 938,28 Da mesma forma C 7 5 = 1.017 (1,017) (5 7 ) C 7 5 = 1.017 (1,017) 2 C 7 5 = 938,28 e C 10 5 = 1.069,75 (1,017) (10 5) C 10 5 = 1.069,75 (1,017) 5 C 10 5 = 938,28 Resposta Os capitais são todos equivalentes à taxa de juros compostos de 1,7% ao mês. É fácil verificar que a equivalência se mantém se fizermos E =0, 1, 2... etc. Pós-Graduação a Distância 33

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Capítulo 10 Comparação entre os Dois Regimes de Capitalização Compararemos a evolução de um capital inicial de $1.000 investido a uma taxa de juros de 6% ao ano nos dois regimes de capitalização. Tabela 1 Períodos Capitalização simples Capitalização composta de tempos Juro do período Montante Juro do período Montante 0 0 1.000 0 1.000 1 60 1.060 60 1.060 2 60 1.120 64 1.124 3 60 1.180 67 1.191......... 300 60 19.000 2.211.082.588 39.062.459.052 301 60 19.060 2.343.747.543 41.406.206.595 Podemos ver que, embora nos primeiros períodos o crescimento do montante seja parecido, com o passar do tempo o regime de capitalização composta mostra um comportamento explosivo. Podemos analisar a evolução do montante com juros simples a partir da identidade (7):... S n = C (1 + ni)... então, em n+1 temos S n+1 = C [1 + (n +1)i] S n+1 = C (1 + ni +i) e portanto S n+1 = C(1 + ni) +Ci S n+1 = S n +Ci Ou seja, o montante em um determinado período corresponde ao montante anterior acrescido de Ci, ou seja, do juro gerado no período. O crescimento do montante no regime de capitalização simples segue uma progressão aritmética de razão Ci. Isso significa que, graficamente, o montante evolui de forma linear. Matemática Financeira A evolução do montante no regime de capitalização composta pode ser deduzido a partir da equação (11): S n = C 0 (1 + i) n em n+1 temos S n+1 = C 0 (1 + i) n+1 então S n+1 = C 0 (1 + i) n (1 + i) portanto S n+1 = S n (1 + i) 34

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Neste regime, o montante evolui de acordo com uma progressão geométrica de razão (1 + i). Para qualquer i > 0, a razão (1 + i) é maior do que 1 e, neste caso, a progressão será sempre crescente. O gráfico da evolução do montante tem formato exponencial. Figura 3 Figura 5 Pós-Graduação a Distância 35

Taxa de Juros e Regimes de Capitalização Unidade I Matemática Financeira 36

Comparações entre Taxas e Convenções de Data Unidade II Comparações entre Taxas e Convenções de Data Capítulo 11 Novamente a Questão do Tempo Até agora, vínhamos medindo a passagem do tempo com a mesma unidade usada como referência para a taxa de juros. Vimos que, se tivéssemos uma taxa mensal, contaríamos o tempo em meses, se tivéssemos uma taxa diária, contaríamos em dias, e assim por diante. Para avançarmos em nossa análise, será preciso abandonar esta simplificação. Suponhamos, como exemplo, que vamos acompanhar a evolução de um montante S n no regime de capitalização simples, medindo a passagem do tempo em meses com uma taxa de juros bimensal. Neste caso, nada ocorre em t = 1, já que os juros serão gerados apenas em t = 2. O montante permanece novamente inalterado em t = 3 até a nova incidência de juros em t = 4. É fácil ver que novos juros serão devidos apenas quando t for par, e não em todos os instantes, como estávamos acostumados. Visto de outra forma, temos que em t = 2 terá ocorrido um acúmulo de juros; em t = 4, duas; e em t = n terá havido n / 2 incidências de juros (desde que n seja par). A evolução de S n depende do acréscimo de juros: Segundo (1) J n = S n C 0 Então S n = C 0 + J n O que importa para o cálculo S n é o número de vezes em que houve cômputo de juros. Neste caso temos, a partir de (7), que: S n = C [1 + (n / 2) i] Podemos generalizar este raciocínio para aceitarmos quaisquer unidades de tempo. Vamos definir p como a razão entre a unidade de contagem do tempo e o prazo de referência da taxa de juros: No exemplo que estamos tratando podemos ver que: p = unidade de tempo/prazo da taxa de juros onde ambos os valores estão expressos em uma unidade de tempo em comum. p = 1 mês/1 bimestre Pós-Graduação a Distância 37

Comparações entre Taxas e Convenções de Data Unidade II Expressando as duas unidades em meses temos: p = 1 mês/2 meses p = 1/2 que corresponde ao resultado que havíamos encontrado intuitivamente. Uma dúvida que pode ocorrer neste momento é o que aconteceria se expressássemos as duas unidades, mês e bimestre, em dias. Poderia haver uma confusão, já que os meses têm número de dias diferentes. Neste caso, a solução é apelarmos para uma das muitas convenções de data que serão expostas detalhadamente mais a frente. Por enquanto vamos adotar a seguinte regra que facilita bastante os cálculos: 1 ano = 360 dias = 12 meses = 4 trimestres = 3 quadrimestres = 2 semestres Assim, todos os meses têm 30 dias, todos os bimestres têm 60 dias, todos os trimestres têm 90 dias etc. Esta divisão do ano em 360 dias pode parecer estranha a princípio, mas é uma convenção estabelecida na matemática financeira. O ano assim dividido é conhecido como ano comercial e o juro calculado nesta base é conhecido como juro comercial. Podemos reescrever as fórmulas (7), (8), (9) e (10) do regime de capitalização simples como: (7) S n = C (1 + npi) (8) C = S n / (1 + npi) (9) n = [(S n / C) 1] / pi (10) i = [(S n / C) 1] / pn Similarmente, reescrevemos as fórmulas (11), (12), (14) e (15) do regime composto: (11) S n = C 0 (1 + i) pn (12) C 0 = S n (1 + i) pn Matemática Financeira (14) i = (S n /C 0 ) (1/pn) 1 (15) n = (log S n log C 0 ) / p log (1 + i) Estas igualdades permitem o cálculo direto do montante, principal, taxa de juros e prazo da operação nos dois regimes mesmo que a unidade de contagem de tempo e o prazo referencial da taxa de juros sejam diferentes. Contudo, ainda vamos manter em suspense a questão das operações com prazos fracionários, ou seja, aquelas em que t não é um múltiplo exato do período de referência da taxa de juros. 38

Comparações entre Taxas e Convenções de Data Unidade II Vamos ver alguns exemplos de aplicação das fórmulas para melhor compreensão. Exemplo 14 Uma empresa possui uma conta remunerada em um banco, onde são depositadas as provisões para pagamentos futuros. Com saldo anterior igual a zero, foi realizado um depósito de $100.000 e após dois meses o departamento financeiro verificou que havia $104.000 disponíveis na conta. Qual foi a taxa de remuneração diária da conta? Resolução Resumindo as variáveis: C = 100.000 Unidade de medida de t = 1 mês Prazo de i = 1 dia n = 2 S 2 = 104.000 Primeiro calculamos a razão entre a unidade de tempo e o prazo de referência da taxa de juros (considerando o ano comercial): p = 1 mês / 1 dia p = 30 dias / 1 dia = 30 Então usamos (10) para calcular a taxa de juros i: (10) i = [(S n / C) 1] / pn i = [(S 2 / C) 1] / 30 * 2 i = [(104.000 /100.000) 1] / 60 i = (1,04 1) / 60 i = 0,00067 Resposta A taxa de remuneração da conta foi de 0,067% ao dia. Exemplo 15 Uma empresa deve ter disponível para a construção de sua nova sede o total de $350.000, sendo que dispõe atualmente de apenas $274.100. Existe a opção de um investimento financeiro com taxa de juros de 13% ao ano. Contando apenas com o rendimento deste investimento e reaplicando os juros no próprio investimento, quantos meses serão necessários para que a empresa tenha o montante necessário? Resolução Resumindo as variáveis: C = 274.100 t medido em meses Sn = 350.000 i = 0,13 prazo de referência de i = ano Pós-Graduação a Distância 39