UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Aproximações Lineares e Diferenciais 0 9 8 7 6 (,) 0 - - - - 0 Prof.: Rogério Dias Dalla Riva Gráfico da parabóla y = x Aproximações Lineares e Diferenciais.Aproximações Lineares.Exemplos.Diferenciais.Exemplos,0,,0 (,) 0, 0,0 0,0 0,,0,,0 Zoom aplicado entre x = 0 e x =, em direção ao ponto (, ) Vimos, em aulas anteriores, que uma curva fica muito perto de sua reta tangente nas proximidades do ponto de tangência. De fato, dando um zoom em direção a um ponto sobre o gráfico de uma função diferenciável, notamos que o gráfico assemelha-se cada vez mais à sua reta tangente, conforme mostra a sequência de figuras a seguir. Essa observação é a base para o método de encontrar os valores aproximados de funções.,,, (,) 0,9 0,7 0, 0, 0,6 0,7 0,8 0,9,0,,,,, Zoom aplicado entre x = 0, e x =,, em direção ao ponto (, ) 6
,0,0,00 0,9 (,) Em outras palavras, usamos a reta tangente em (a, f(a)) como uma aproximação para a curva y = f(x) quando x está próximo de a. Uma equação dessa reta tangente é: y f ( a) f = + ( a)( x a) Equação 0,90 0,90 0,9,00,0,0 Zoom aplicado entre x = 0,9 e x =,, em direção ao ponto (, ) 7 0 A idéia é que pode ser fácil calcular um valor de f(a) de uma função, mas é difícil (ou mesmo impossível) computar os valores próximos de f. Assim decidimos pelos valores facilmente computados da função L, cujo gráfico é a reta tangente de f em (a, f(a)), conforme mostrado na figura a seguir. e a aproximação f ( x) f ( a) + f ( a)( x a) é denominada aproximação linear ou aproximação pela reta tangente de f em a. A função linear cujo gráfico é essa reta tangente, isto é, L( x) f ( a) f = + ( a)( x a) Equação 8 é chamada de linearizaçãode f em a. Exemplo : Suponha que após ter recheado um peru a sua temperatura é de 0 o F e você então o coloca no forno a o F. Depois de uma hora o termômetro do peru indica que sua temperatura está a 9 o F e, após horas, a 9 o F. Prediga a temperatura do peru após horas. Reta tangente y = L(x) à curva y = f(x) em (a, f(a)) 9
Solução: Se T(t) representa a temperatura do peru após t horas, nos foi dado que T(0) = 0, T() = 9 e T() = 9. Para fazer uma aproximação linear com a =, precisamos de uma estimativa para a derivada T (). Obtemos uma estimativa mais precisa para T () desenhando os dados, como na figura a seguir, e estimando a inclinação da reta tangente em t = como T () Então nossa aproximação linear torna-se T () T() + T () 9 + = 6 e nossa estimativa melhorada para a temperatura é de 6 o F. 6 Uma vez que T( t) T() T () = lim t t podemos estimar T () pelo quociente de diferenças com t = : T () T () 9 9 T () lim = = 6 t Estimativa para T () 7 Isso equivale a aproximar a taxa instantânea de variação da temperatura pela taxa média de variação entre t = e t =, que é de 6 o F/h. Com essa estimativa, a aproximação linear para a temperatura após horas é: Uma vez que a curva da temperatura fica abaixo da reta tangente, parece que a temperatura real após horas será um pouco menor do que a 6 o F, talvez mais próxima a 60 o F. T() T() + T ()( ) T() 9 + 6 = 6 Logo, a temperatura esperada após horas é de 6 o F. 8
Exemplo : Encontre a linearização da função f ( x) = x + em a = e use-a para aproximar os números,98 e,0. Essas aproximações estão superestimadas ou subestimadas? A aproximação linear está ilustrada na figura a seguir. Vemos que, realmente, a aproximação pela reta tangente é uma boa aproximação para a função dada quando x está próximo de. Vemos também que nossas aproximações são super-estimadas, pois a reta tangente está acima da curva. Naturalmente, uma calculadora nos daria aproximações para,98 e,0, mas a aproximação linear funciona em todo o intervalo. 9 Solução: A derivada de f ( x) = x + é ( ) f ( x) = x + = x + e assim temos f() = e f () = ¼. Colocando esses valoresna Equação, vemos que a linearização é 7 x L( x) = f () + f ()( x ) = + ( x ) = + Linearização da função pela reta tangente nas proximidades de x = 0 A aproximação linear correspondente é 7 x x + + (quando x está próximo de ) Em particular, temos 7 0,98,98 + =,99 e 7,0,0 + =,0 Na tabela a seguir comparamos as estimativas de uma aproximação linear no Exemplo com os valores verdadeiros. Observe na tabela, e também na figura anterior, que a aproximação pela reta tangente dá boas estimativas quando x está próximo de, mas a precisão da aproximação deteriora à medida que x se afasta de.
,9,98,0, 6 x De L(x) Valor real 0,9,97,97876 0,98,99,99997,00000000,0,0,067,,0,0867,,606797,,9897 Solução: Uma precisão dentro de 0, significa que as funções devem diferir, uma da outra, por menos que 0,: Assim, podemos escrever 7 x x + + < 0, 7 x 0, < x + + < 0, 7 x ou x + 0, < + < x + + 0, 8 Quão boa é a aproximação obtida no Exemplo? O exemplo a seguir mostra que usando uma calculadora gráfica ou computador podemos determinar o intervalo dentro do qual uma aproximação linear fornece uma precisão especificada. o que estabelece que a aproximação linear deve ficar entre as curvas obtidas deslocando-se a curva y = x + para cima e para baixo por uma distância de 0,. A figura a seguir mostra que a reta tangente 7 x y = + 6 intercepta a curva superior Q. y = x + + 0, em P e 9 Exemplo : Para que valores de x a aproximação linear 7 x x + + y = x + + 0, Q é precisa dentro de 0,? O que se pode dizer sobre uma precisão dentro de 0,? L(x) P y = x + 0, 7 0 - - 0 6 8 0 - Precisão da função dentro de 0, 0
Dando um zoom e usando o cursor, estimamos que a coordenada x de P é cerca de -,66 e que a coordenada x de Q é cerca de 8,66. Assim, vemos do gráfico que a aproximação Analogamente, da figura a seguir vemos que a aproximação é precisa dentro de 0, quando -, < x <,9. 7 x x + + é precisa dentro de 0, quando -,6 < x < 8,6. Q P y = x + + 0, y = x + 0, -,80 -,70 -,60 -,0 -,0 -,0 -,0 -,0 -,00 0 L(x) P Estimativa da coordenada x de P pela aplicação de zoom - - - 0 Precisão da função dentro de 0,,8 Q P,6 L(x),, 8,00 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,60 8,70 8,80 8,90 9,00 -, -, -, -, -, -,0,0 Estimativa da coordenada x de Q pela aplicação de zoom Estimativa da coordenada x de P pela aplicação de zoom 6 6
. Diferenciais,0,8 L(x) Q,6,,,,7,9,,, Estimativa da coordenada x de Q pela aplicação de zoom 7 Significado geométrico da diferencial 0. Diferenciais. Diferenciais As idéias por trás das aproximações lineares são algumas vezes formuladas na terminologia pela notação de diferenciais. Se y = f(x), onde f é uma função diferenciável, então a diferencial dx é uma variável independente; isto é, a dx pode ser dado um valor real qualquer. A diferencial dy é então definida em termos de dx pela equação A inclinação da reta tangente PR é a derivada f (x). Assim, a distância direta de S a R é dy = f (x)dx. Consequentemente, dy representa a distância que a reta tangente sobe ou desce (a variação na linearização), enquanto y representa a distância que a curva y = f(x) sobe ou desce quando x varia por uma quantidade dx. dy = f ( x) dx 8. Diferenciais Assim dy é uma variável dependente; ela depende dos valores de x e dx. Se a dx for dado um valor específico e x for algum número específico no domínio de f, então o valor numérico de dy está determinado. O significado geométrico de diferenciais está na figura a seguir. Seja P (x, f(x)) e Q (x + x, f(x + x)) pontos sobre o gráfico de f e façamos dx = x. A variação correspondente em y é y = f ( x + x) f ( x) 9 Exemplo : Compare os valores de y e dy se y = f(x) = x + x x + e x variar (a) de para,0 e (b) de para,0 7
0 - - - 0 - - - - - Em geral dy = f ( x) dx ( ) dy = x + x dx Quando x = e dx = x = 0,0, temos ( ) ( ) dy = + 0,0 = 0,7 Gráfico da função f(x) = x + x - x + 6 8 6 y = x + x - x + (b) f (,0) = (,0) + (,0) (,0) + = 9,070 y = f (,0) f () = 0,070 0 (, 9) dy y Quando x = e dx = x = 0,0, temos 8 6,8,0,,,6 ( ) ( ) dy = + 0,0 = 0, Zoom aplicado à função f(x) = x + x - x + comparando dy e y quando a = para x = dx = 0, 7 Solução: (a) Temos que f () = + () + = 9 f (,0) = (,0) + (,0) (,0) + = 9,776 y = f (,0) f () = 0,776 Note que no Exemplo a aproximação y dy torna-se melhor à medida que x fica menor. Note também que é muito mais fácil computar dy do que y. Para as funções mais complicadas pode ser impossível computar exatamente y. Nesses casos, a aproximação por diferenciais é especialmente proveitosa. 8 8
Na notação de diferenciais, a aproximação linear y = f ( x + x) f ( x) O próximo exemplo ilustra o uso de diferenciais na estimativa de erros que ocorrem em virtude de medidas aproximadas. pode ser escrita como f ( a + dx) f ( a) + dy fazendox = a, x = dx e y dy 9 Por exemplo, para a função f ( x) = x + Exemplo : O raio de uma esfera tem cm, com um erro de medida possível de no máximo 0,0 cm. Qual é o erro máximo cometido ao usar esse valor de raio para computar o volume da esfera? do Exemplo, temos dx dy = f ( x) dx = x + 0 e Se a = e dx = x = 0,0, então 0,0 dy = = 0,0 +,0 = f (,0) f () + dy =,0 Solução: Se o raio da esfera for r, então o volume é V = (/)πr. Se o erro na medida do valor de r for denotado por dr = r, então o erro correspondente no cálculo do valor de V é V, que pode ser aproximado pela diferencial dv = π r dr exatamente como encontramos no Exemplo 9
Quando r = e dr = 0,0, temos dv = π () 0,0 77 O erro máximo no volume calculado é de cerca de 77 cm. Sendo o volume aproximadamente igual a 879 cm, concluímos que o mesmo pode variar entre 879 77 < V < 879 + 77 8 cm < V < 9069 cm Nota: Embora o erro possível no Exemplo possa parecer muito grande, uma idéia melhor dele é dada pelo erro relativo, que é computado dividindo-se o erro pelo volume total = π = πr V dv r dr dr V V r 6 Assim, o erro relativo no volume é cerca de três vezes o erro relativo no raio. No Exemplo o erro relativo no raio é de aproximadamente dr/r = 0,0/ 0,00 e produz um erro relativo de 0,007 no volume. Os erros também podem ser expressos como erros percentuais de 0,% no raio e 0,7% no volume. 7 0