PARTE I VETORES, ÁLGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES CONTEÚDOS

PARTE I VETORES, ÁLGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES CONTEÚDOS Vetores m poco de história Grandezas etoriais Segmentos orientados Eqipolência e propriedades Vetor Representação analítica de m etor Operações com etores e propriedades Prodto escalar definição, propriedade e aplicações Prodto etorial definição, propriedades e aplicações Prodto misto definição, propriedades e aplicações Exercícios de Aprendizagem

VETORES UM POUCO DE HISTORIA A lei do paralelogramo para a adição de etores é tão intitia qe sa origem é desconhecida. Pode ter aparecido em m trabalho, agora perdido, de Aristóteles (384-3 a.c.), e está na Mecânica de Heron (primeiro séclo d.c.) de Alexandria. Também era o primeiro corolário no Principia Mathematica (687) de Isaac Newton (64-77). No Principia, Newton lido extensiamente com o qe agora são consideradas entidades etoriais (por exemplo: elocidade e força), mas nnca com o conceito de m etor. O estdo sistemático e o so de etores foram fenômenos do séclo XIX e início do séclo XX. Vetores nasceram nas primeiras das décadas do séclo XIX com as representações geométricas de números complexos. Caspar Wessel (745-88), Jean Robert Argand (768-8), Carl Friedrich Gass (777-855) e pelo menos m o dois otros, conceberam números complexos como pontos no plano bidimensional, isto é, como etores bidimensionais. Matemáticos e cientistas trabalharam com estes noos números e os aplicaram de árias maneiras; por exemplo, Gass fez m so crcial de números complexos para proar o Teorema Fndamental da Álgebra (799). Em 837, William Rowan Hamilton (805-865) mostro qe os números complexos poderiam ser considerados abstratamente como pares ordenados ( ab, ) de números reais. Esta idéia era parte de ma campanha de mitos matemáticos, inclindo Hamilton, para procrar ma maneira de estender os números bidimensionais para três dimensões; mas ningém consegi isto preserando as propriedades algébricas básicas dos números reais e complexos. Em 87, Agst Ferdinand Möbis pblico m peqeno liro, The Barycentric Calcls, no qal introdzi diretamente segmentos de reta qe eram denotados por letras do alfabeto, etores na essência, mas não no nome. No se estdo de centros de graidade e geometria projetia, Möbis desenole ma aritmética destes segmentos de reta; adicionoos e mostro como mltiplicá-los por m número real. Ses interesses estaam em otro lgar, contdo, e ningém se importo em notar a importância destes cálclos. Depois de mita frstração, Hamilton estaa finalmente inspirado a desistir da procra por m sistema nmérico tridimensional e em ez disso, inento m sistema de qatro dimensões qe chamo de qatérnios. Nas sas próprias palaras: 6 de otbro de 843, O qe parecia ser ma segnda-feira e m dia de Conselho da Academia Real Irlandesa - e estaa caminhando para participar e presidir,, ao longo do Canal Real, ma sb-corrente de pensamento estaa na minha mente, qe finalmente de m resltado, o qal não é mito dizer qe logo senti a importância. Um circito elétrico parece fechar; e ma faísca srgi,... Não pde resistir ao implso... escreer com ma faca sobre ma pedra da ponte Brogham, qando passamos por ela, a fórmla fndamental.... Os qatérnios de Hamilton foram escritos, q w ix jy kz, onde w, x, y, e z eram números reais. Hamilton rapidamente percebe qe ses qatérnios consistiam de das partes PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON

distintas. O primeiro termo, o qal chamo de escalar e x, y, z para sas componentes retanglares, o projeções em três eixos retanglares, ele [referindo-se a si próprio] foi indzido a chamar a expressão trinomial propriamente dita, assim como a reta a qal ela representa, de m VETOR. Hamilton so sas fórmlas fndamentais, i j k ijk, para mltiplicar qatérnios, e imediatamente descobri qe o prodto, q q q q, não era comtatio. Hamilton tinha se tornado caaleiro em 835, e era m cientista conhecido qe já tinha feito m trabalho fndamental em Ótica e Física Teórica na época qe inento qatérnios, por isso foi imediatamente reconhecido. Em troca, deoto os anos restantes de sa ida ao se desenolimento e promoção. Escree dois liros completos sobre o assnto, Lectres on Qaternions (853) e Elements of Qaternions (866), detalhando não apenas a álgebra dos qatérnios mas também como poderiam ser sados em Geometria. Em certo ponto Hamilton escree, e ainda deo afirmar qe esta descoberta me parece ser tão importante para a metade do séclo XIX como a descoberta de flúxions foi para o final do séclo XVII. Ele tee m discíplo, Peter Gthrie Tait (83-90), qe, na década de 850, começo a aplicar qatérnios a problemas em eletricidade e magnetismo e a otros problemas em Física. Na segnda metade do séclo XIX, a defesa de Tait dos qatérnios prooco reações calorosas, ambas positias e negatias, na comnidade científica. Ao redor da mesma época qe Hamilton descobri os qatérnios, Hermann Grassmann (809-877) estaa escreendo The Calcls of Extension (844), agora mito conhecido pelo se títlo em alemão, Asdehnngslehre. Em 83, Grassmann começo a desenoler m noo cálclo geométrico como parte do se estdo da teoria de marés, e sbseqüentemente so estas ferramentas para simplificar partes de dois trabalhos clássicos, o Analytical Mechanics de Joseph Lois Lagrange (736-83) e o Celestial Mechanics de Pierre Simon Laplace (749-87). Em se Asdehnngslehre, primeiro Grassmann expandi o conceito de etores a partir da familiar o 3 dimensões para m número arbitrário, n, de dimensões; isto estende grandemente as idéias de espaço. Segndo, e ainda mais geralmente, Grassmann antecipo grande parte da álgebra matricial e linear moderna e análise etorial e tensorial. Infelizmente, o Asdehnngslehre tinha dois pontos contra si. Primeiro, era mito abstrato, faltando exemplos explicatios e foi escrito em m estilo obscro com ma notação extremamente complicada. Mesmo depois de tê-lo estdado, Möbis não tinha sido capaz de entendê-lo completamente. Segndo, Grassmann era m professor de ensino médio sem ma reptação científica importante (comparado a Hamilton). Embora se trabalho tenha sido amplamente ignorado, Grassmann promoe sa mensagem nas décadas de 840 e 850 com aplicações em eletrodinâmica e geometria de cras e sperfícies, mas sem mito scesso geral. Em 86, pblico ma segnda edição reisada do se Asdehnngslehre, mas também era escrito de maneira obscra e era mito abstrato para os matemáticos de sa PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 3

época e praticamente tee a mesma sina da primeira edição. No final de sa ida, Grassmann distancio-se da matemática e inicio ma segnda carreira de pesqisa mito bem scedida, em fonética e lingüística comparada. Finalmente, nas décadas de 860 e 870, o Asdehnngslehre começo lentamente a ser entendido e apreciado e Grassmann começo a receber algm reconhecimento faoráel por sa matemática isionária. Uma terceira edição do Asdehnngslehre foi pblicada em 878, ano seginte de sa morte. Drante a metade do séclo XIX, Benjamin Peirce (809-880) era, de longe, o mais proeminente matemático nos Estados Unidos, e se referi a Hamilton como, o monmental ator dos qatérnios. Peirce foi m professor de matemática e astronomia em Harard de 833 a 880 e escree m enorme liro chamado System of Analytical Mechanics (855; segnda edição 87), no qal, srpreendentemente não incli qatérnios. Em ez disso, Peirce expandi o qe chamo de esta marailhosa álgebra do espaço ao escreer se liro Linear Associatie Algebra (870), m trabalho totalmente de álgebra abstrata. Dizia-se qe qatérnios era o assnto faorito de Peirce e ele tee mitos alnos qe se tornaram matemáticos e qe escreeram m bom número de liros e artigos sobre o assnto. James Clerk Maxwell (83-879) foi m proponente dos qatérnios perspicaz e crítico. Maxwell e Tait eram escoceses, tinham estdado jntos em Edimbrgo e na Uniersidade de Cambridge e diidiam os mesmos interesses em Física-Matemática. No qe chamo de classificação matemática de qantidades físicas, Maxwell diidi as ariáeis da Física em das categorias, escalares e etoriais. Então, em termos desta estratificação, aponto qe sar qatérnios tornaa transparente as analogias matemáticas em Física qe tinham sido descobertas por Lord Kelin (Sir William Thomson, 84-907) entre o escoamento de calor e a distribição de forças eletrostáticas. Contdo, nos ses artigos, especialmente em se mito inflente Treatise on Electricity and Magnetism (873), Maxwell enfatizo a importância do qe descree como idéias de qatérnios... o a dotrina de etores como m método matemático... m método de pensar. Ao mesmo tempo, aponto a natreza não homogênea do prodto de qatérnios, e aiso cientistas para não sar os métodos de qatérnios com ses detalhes enolendo os três componentes etoriais. Essencialmente, Maxwell estaa sgerindo ma análise pramente etorial. William Kingdon Clifford (845-879) expresso admiração profnda pelo Asdehnngslehre de Grassmann e era claramente a faor de etores, os qais freqüentemente chamaa de passos, em lgar de qatérnios. Em se Elements of Dynamic (878), Clifford decompôs o prodto de dois qatérnios em dois prodtos etoriais mito diferentes, os qais chamo de prodto escalar e prodto etorial. Para análise etorial, disse minha conicção é qe ses princípios exerceram ma ampla inflência sobre o ftro da ciência matemática. Embora o Elements of Dynamic fosse spostamente o primeiro de ma seqüência de lirostexto, Clifford não tee a oportnidade de segir estas idéias porqe morre joem. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 4

O desenolimento da álgebra etorial e da análise etorial como conhecemos hoje foi reelado primeiramente em m conjnto de notas de ala feitos por J. Willard Gibbs (839-903) feito para ses alnos na Uniersidade de Yale. Gibbs nasce em New Haen, Connectict (se pai também foi professor em Yale) e sas conqistas científicas principais foram em Física, termodinâmica propriamente dita. Maxwell apoiaa o trabalho de Gibbs em termodinâmica, especialmente as apresentações geométricas dos resltados de Gibbs. Gibbs tomo conhecimento dos qatérnios qando le o Treatise on Electricity and Magnetism de Maxwell, e Gibbs também estdo o Asdehnngslehre de Grassmann. Concli qe etores forneceriam ma ferramenta mais eficiente para se trabalho em física. Assim, começando em 88, Gibbs imprimi por conta própria notas de alas sobre análise etorial para ses alnos, as qais foram amplamente distribídas para estdiosos nos Estados Unidos, na Inglaterra e na Eropa. O primeiro liro moderno sobre análise etorial em inglês foi Vector Analysis (90), as notas de Gibbs colecionadas por m de ses alnos de pós-gradação, e Edwin B. Wilson (879-964). Ironicamente, Wilson crso a gradação em Harard (B.A. 899) onde tinha aprendido sobre qatérnios com se professor, James Mills Peirce (834-906), m dos filhos de Benjamin Peirce. O liro de Gibbs/Wilson foi reimpresso em ma edição em 960. Uma otra contribição para o moderno entendimento e so de etores foi feita por Jean Frenet (86-900). Frenet entro na École normale spériere em 840, então estdo em Tolose, onde escree sa tese de dotorado em 847. A tese de Frenet continha a teoria de cras espaciais e as fórmlas conhecidas como as fórmlas de Frenet- Serret (o triedro de Frenet). Frenet contribi com apenas seis fórmlas enqanto qe Serret contribi com noe. Frenet pblico esta informação no Jornal de mathematiqe pres et appliqes em 85. Na década de 890 e na primeira década do séclo XX, Tait e algns otros ridiclarizaram etores e defenderam qatérnios enqanto otros cientistas e matemáticos desenharam se próprio método etorial. Olier Heaiside (850-95), m físico atodidata qe foi grandemente inflenciado por Maxwell, pblico artigos e se liro Electromagnetic Theory (três olmes, 893, 899, 9) nos qais ataco qatérnios e desenole sa própria análise etorial. Heaiside tinha recebido cópias das notas de Gibbs e falo mito bem delas. Ao introdzir as teorias de Maxwell sobre eletricidade e magnetismo na Alemanha (894), os métodos etoriais foram defendidos e ários liros sobre análise etorial em alemão se segiram. Os métodos etoriais foram introdzidos na Itália (887, 888, 897), na Rússia (907) e na Holanda (903). Vetores agora são a lingagem moderna de grande parte da Física e da Matemática Aplicada e continam tendo se próprio interesse matemático intrínseco. Fonte: George B. Thomas Cálclo, ol I e II. Pearson Edcation. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 5

ÁLGEBRA VETORIAL Grandezas escalares e etoriais. As grandezas físicas se sbdiidem em escalares e etoriais. As grandezas escalares são caracterizadas por sa intensidade o tamanho (m número e sa nidade correspondente), como por exemplo: tempo, comprimento, massa, temperatra, etc. As grandezas etoriais se caracterizam por três componentes: intensidade, direção e sentido, como por exemplo: a força, momento linear, elocidade, deslocamento, etc. Algns exemplos de grandezas escalares 50 kg de massa 30 mintos 5 m de comprimento Grandezas etoriais Uma força de 5 N fazendo m ânglo de 30 com a reta x e tendo o sentido da esqerda para a direita. Veja a figra ao lado 30º F x Uma elocidade de 0 m/s na direção da reta s e no sentido da direita para a esqerda. Veja figra ao lado. Na tabela abaixo, listamos algmas grandezas físicas escalares e etoriais. Grandezas escalares Grandezas etoriais Distância percorrida Posição Comprimento Velocidade Tempo Aceleração Temperatra Força Energia Campo elétrico Massa Campo magnético Potência Momento linear Pressão Momento anglar Carga elétrica Torqe PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 6

Flxo magnético Corrente elétrica Potencial elétrico Entropia Densidade de corrente elétrica Magnetização Momento de dipolo elétrico Momento de dipolo magnético Segmento orientado é m segmento determinado por m par ordenado de pontos, onde o primeiro é chamado origem e o segndo, extremidade. Isto define a orientação o sentido do segmento. Notação: ( AB, ) o AB B A Segmento nlo é aqele cja origem coincide com a extremidade: ( AA, ) o AA. Segmentos opostos. O segmento orientado BA diz-se oposto do B segmento orientado AB. A Medida de m segmento comprimento. Fixada ma nidade de comprimento, fica associado a cada segmento orientado AB m número real não negatio, se comprimento, qe é a sa medida em relação àqela nidade. Exemplo O segmento ao lado tem med AB 3. B Obserações A med AB med BA med AA 0 Direção e sentido. Dois segmentos orientados não nlos AB e CD têm a mesma direção se as sas retas sportes são paralelas o coincidentes. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 7

AB, DC e EF têm a mesma direção. A B C D AB e EF têm o mesmo sentido. AB e DC têm sentidos opostos E F Obseração. Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles possem a mesma direção. Segmentos eqüipolentes. Um segmento orientado AB é eqüipolente a m segmento orientado CD, se e somente se: i) ambos são nlos; B ii) se não são nlos, têm mesmo comprimento e mesmo sentido. D Notação: AB CD A C Propriedades da eqüipolência i) AB AB (reflexia) ii) AB CD CD AB (simétrica) iii) AB CD e CD EF AB EF (transitia) i) Dado m segmento orientado AB e m ponto C, existe m único ponto D tal qe AB CD. ) AB CD BA DC i) AB CD AC BD Vetor. Chama-se etor determinado por m B segmento orientado AB o conjnto de todos os segmentos eqüipolentes a AB. Denotamos por AB o B A o ainda por ma letra minúscla. A PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 8

Obserações Os segmentos nlos determinam m único etor, chamado etor nlo. Denotamos AA 0. AB CD AB CD. Vetor oposto. O etor BA diz-se oposto de AB. Se AB é representante de m etor, o etor oposto de é indicado por. Módlo (norma o comprimento) de m etor é o comprimento de qalqer m de ses representantes. Notação: o. Vetor nitário é o etor cjo módlo (norma) é, o seja, m etor é dito nitário se. Direção (e sentido). A direção (o sentido) de m etor não nlo é a direção (o sentido) de qalqer m dos ses representantes. Versor de m etor não nlo é o etor nitário qe tem mesmo sentido de. Denotamos o ersor de por º o ˆ. Vetores paralelos são aqeles qe têm a mesma direção. B Obseramos qe o etor nlo é paralelo a qalqer etor. A D C Vetores coplanares são aqeles qe têm representantes nm mesmo plano. Vetores colineares são aqeles qe têm representantes nma mesma reta. Proposição. Dado m ponto A e m etor, existe m único ponto B tal qe é B A, o ainda, B A. AB, isto Propriedades enolendo ponto e etor i. A 0 A PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 9

ii. ( A ) A iii. A B A B i. A A. A AB B OPERAÇÕES COM VETORES Adição de etores. Dados dois etores e e m ponto A, tomemos m ponto B tal qe B A e m ponto C tal qe C B. Os pontos A e C determinam m etor s, chamado soma de e. A, B e C B AC AB BC A s C Obseramos qe o etor s não depende do ponto A. Regra do paralelogramo. Escolhendo representantes de e com a mesma origem A, o etor soma tem como representante s a diagonal do paralelogramo formado pelos etores e. Propriedades da adição de etores. Sejam, e w etores qaisqer. Então, i. comtatia ii. w w associatia iii. 0 elemento netro i. 0 elemento oposto PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 0

Diferença de etores. Dados dois etores etor d ( ) e é indicado por d. e, chama-se diferença dos etores e ao Exemplos Obseremos a soma dos etores indicados nas figras abaixo: C E D H F G A B a) b) AB AC AF AH AO FO DC FC PRODUTO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR Definição. Sejam a e m etor. a. Se a 0 o 0 então a 0. b. Se a 0 e 0, então o etor a caracteriza-se por: a (a direção do etor resltante é a mesma de ); a e têm o mesmo sentido, se a 0 ; a e têm sentidos contrários, se a 0 ; a a. Propriedades. Sejam ab, e e etores qaisqer. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON

i. a( ) a a ii. ( a b) a b iii. ( ab) a( b ) i. Obserações Se a 0, a é indicado por a. Se 0, ˆ é o ersor de. Regras de sinais. Sejam a e m etor. i. a a ii. a( ) a iii. a( ) a DEPENDÊNCIA LINEAR Combinação linear. Dados n etores,,, n e n escalares a, a,, a n, o etor a a a n n é dito ma combinação linear dos etores,,, n com coeficientes a, a,, a n. Exemplo s, o etor s é combinação linear de e. s Independência linear. Dados n etores,,, n, dizemos qe esses etores são PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON

linearmente independentes (LI) se, e somente se, a eqação a a a admite apenas a solção nla a a a 0. 0 n n n Se existe algm escalar não nlo como solção da eqação acima, então os etores são ditos linearmente dependentes (LD). Exemplos e são LD, pois 0. e são LI, pois 0 0 0. ALGUNS RESULTADOS SOBRE (IN)DEPENDÊNCIA LINEAR. Teorema. n etores são LD se, e somente se, m deles for escrito como combinação linear dos otros.. Teorema. Um etor é LD se, e somente se, 0. 3. Teorema. e são LD se, e somente se, e são paralelos. 4. Corolário. Se 0, então dados e etores paralelos, existe m único k tal qe k. 5. Teorema. Três etores são LD se, e somente se, são coplanares. 6. Corolário. Se e são LI e w é coplanar com e, então existe m único par de números ab,, tal qe w a b. 7. Teorema. Qatro etores são sempre LD no 3. 8. Corolário. Se,, 3 são LI e w é m etor qalqer, então existe m único terno de números a,, b c, tal qe w a b c 3. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 3

BASE Algmas definições.. Um conjnto de etores V mnido das operações definidas anteriormente de mltiplicação por m número real e adição, é chamado espaço etorial sobre... Seja V m espaço etorial. Sejam,,, n V. Dizemos qe,,, n geram V, se para todo w V, w a a a, o seja, n n w pode ser escrito como combinação linear de,,, n..3. Dizemos qe,,, n é ma base de V, se esses etores geram V e se são LI. Exemplos a) O conjnto nitário de qalqer 0 constiti ma base para m conjnto de etores paralelos a. r b) O conjnto de qaisqer dois etores, LI constiti ma base para o conjnto de etores coplanares com,. c) O conjnto de qaisqer três etores,, 3 LI constiti ma base para o conjnto de etores do espaço 3. Seja E e, e, e ma base para o 3 3. Se 3, temos a e a e a e. Costma- 3 3 se expressar da forma a, a, a qe são as coordenadas de na base E o 3 a, a, a sem o índice E qando não se há dúida qanto à base tilizada. 3 E Teorema. Sejam a, a, a e b, b, b expressos pelas sas coordenadas nma 3 3 mesma base E e seja k. Então, PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 4

I. a b, a b e a b 3 3 II. a b, a b, a b 3 3 III. k ka, ka, ka 3 Exemplo Sendo,, 0 e 3, 3,5, determine w 3. w 3,, 0 3, 3, 5 3, 6, 0 6, 6,0 9,,0 Teorema. a, a, a e b, b, b são LD a kb, a kb e a kbpara 3 3 3 3 algm escalar k. Exemplos a),, 0 e, 4,0 são LD, pois. b) 0 e são LD, pois 0 0. Teorema. a, a, a e b, b, b e w b, b, b são LD 3 3 3 a b c a b c a b c 3 3 3 0. Corolário. a, a, a e b, b, b e w b, b, b são LI 3 3 3 a b c a b c a b c 3 3 3 0. Exemplo,, 3, 0,, e w,, são LI, pois 0 4 0. 3 Vetores ortogonais. Dois etores e são ortogonais se podem ser representados por segmento orientados ortogonais. Denotamos (lê-se é ortogonal a ). Aplicando o teorema de Pitágoras e a sa recíproca, temos:. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 5

Obserações a. o etor nlo é ortogonal a todo etor. b. e w ( w ). c. e k k. Base ortonormal. Uma base é ortonormal se é formada por etores nitários, ortogonais dois a dois. O conjnto iˆˆ, j, k ˆ é a base canônica do 3, onde i ˆ,0,0, j ˆ 0,,0, k ˆ 0,0,. Sistema de coordenadas cartesianas é m conjnto formado por m ponto O e ma base. Indicamos m sistema de coordenadas cartesianas no espaço por O, iˆˆ, j, k ˆ, se sarmos a base canônica do 3. O ponto O é chamado de origem do sistema e os eixos qe passam por O e tem as direções dos etores da base, no caso, de iˆ, jˆ e k ˆ são chamados de eixo das abscissas, eixo das ordenadas e eixo das cotas, respectiamente. Consideremos as coordenadas do etor OP em relação à base iˆˆ, j, k ˆ : OP xiˆ yjˆ zk ˆ o OP x, y, z. Chamamos coordenadas do ponto P em relação ao sistema O, iˆˆ, j, k ˆ, as coordenadas do etor OP. Portanto, para OP x, y, z tem-se P x, y, z. y xiˆ yjˆ ˆ yj ĵ O î ˆ xi x PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 6

Exemplo Propriedades. Seja O, iˆˆ, j, k ˆ m sistema de coordenadas a. Se P x, y, z e Q x, y, z, então PQ Q P x x, y y, z z. b. Se P x, y, z e a,, b c, então P x a, y b, z c. x x y y z z c. O ponto médio de PQ é o ponto M,,. Exemplo P (,, 3), Q (,3,5), PQ,, OA Módlo de m etor a partir de sas coordenadas. Seja xiˆ yjˆ zk ˆ, então iˆˆ, j, k ˆ ma base ortonormal. Se PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 7

x y z. Exemplo,, 6. Propriedades do módlo (o da norma) de m etor. 0 e 0 0.. k k onde k. 3. (desigaldade trianglar) Distância entre dois pontos. Considere dois pontos A x, y, z e B x, y, z entre A e B, d( A, B ), é dada por, a distância d( A, B) BA B A. Exemplo Considere os pontos A (0,, ) e B (3,0,), a distância entre esses pontos é dada por d( A, B) BA (3,,) 3 ( ) 7. Vetor nitário (ersor) associado a m etor. Dado m etor 0, podemos associar a este etor m etor nitário ˆ do seginte modo: ˆ. Exemplo Seja (0,, ), o etor nitário associado a é (0,, ) ˆ 0,,. 5 5 5 PRODUTO ESCALAR Definição. Dados e etores não nlos e escolhido m ponto O, podemos escreer A O e B O. O ânglo determinado pelos representantes OA e OB de e, respectiamente, é denominado ânglo dos etores e (o medida anglar entre e ). PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 8

Notação:,, onde 0 80 A Se 0, e Se 80º, e têm mesmo sentido. têm sentidos opostos., e, são ânglos splementares. O B Definição. O prodto escalar o prodto interno dos etores, é o número real e, indicado por o cos, onde,. 0 indica qe cos 0, o qe ocorre qando é ânglo agdo. 0 indica qe cos 0, o qe ocorre qando é ânglo obtso. 0 indica qe: a) m dos etores é nlo, b) os etores são ortogonais, pois cos90º 0. ~ Propriedades. Qaisqer qe sejam os etores, e w e qalqer qe seja k, ale: I. Se e são não nlos e,, então cos. II. III. IV. k k k V. w w VI. Se 0, então 0. Interpretação geométrica do prodto escalar. Sejam e etores não nlos. O etor se exprime de maneira única, onde e. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 9

diz-se projeção ortogonal do etor na direção do etor. Denotamos proj. Proa. Como, temos k, k. Temos o seginte k k( ) k 0 k Logo, proj. é a medida algébrica da projeção de na direção de. k. Ainda,. Expressão cartesiana do prodto escalar. Fixada ma base ortonormal iˆˆ, j, k ˆ, o prodto escalar dos etores x i ˆ y j ˆ z ˆ k e x i ˆ y j ˆ z ˆ k é o número real x x y y z z. O seja, Proa. x x y y z z. x iˆ y jˆ z kˆ x iˆ y jˆ z kˆ x x iˆ iˆ x y iˆ jˆ x z iˆ kˆ y x jˆ iˆ y y jˆ jˆ y z jˆ kˆ z x kˆ iˆ z y kˆ jˆ z z kˆ kˆ Como iˆ jˆ iˆ kˆ jˆ k ˆ 0 e iˆ iˆ jˆ jˆ kˆ k ˆ, a expressão acima redz-se a xx yy zz Exemplos Dados 3,0,4 e (,,0), temos: 3 0 4 0 3 3 3 3 5 3 5 cos,, arccos 9 6 4 5 5 5 5 3 9 proj,0, 5 5 5 PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 0

medida algébrica da 3 proj 5. Aplicação física do prodto escalar. A projeção de etores ocorre natralmente na Física para calclar trabalho. Definimos o trabalho W realizado por ma força de intensidade F moimentando m objeto de ma distancia d por W Fd, mas esta definição só se aplica qando a força é dirigida na mesma direção em qe o objeto é moimentado. Sponha, entretanto, qe a força constante é m etor F PR como na figra abaixo, moendo m objeto do ponto P para o ponto Q, então o etor deslocamento é dado por D PQ. O trabalho dessa força é definido como o prodto da componente dessa força ao longo de D e a distancia qe o objeto foi moido: W F cos D F D cos F D Exemplos Um caixote é emprrado 8 metros para cima de ma rampa por ma força constante de 00N aplicada a m ânglo de 5º com a rampa. Determine o trabalho prodzido por essa força. (resposta: 450N.m=450 Joles) Uma força é dada pelo etor F 3iˆ 4jˆ 5k ˆ e moe ma partícla do ponto P (,, 0) para o ponto Q (4, 6,). Determine o trabalho realizado. Cossenos diretores de m etor. Fixada ma base ortonormal iˆˆ, j, k ˆ, chamamos cossenos diretores de, 0, os cossenos dos ânglos qe forma com os etores da base. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON

Sejam, iˆ,, jˆ e, k ˆ, chamados de ânglos diretores do etor. Para xiˆ yjˆ zk ˆ, temos as segintes expressões: iˆ x jˆ y kˆ z cos ; cos ; cos. iˆ jˆ kˆ x y z Logo,,, cos,cos,cos, o seja, as coordenadas de m ersor são as coordenadas dos cossenos diretores do etor e, portanto, cos cos cos. Exemplos Dado o etor (,,), calclar os cossenos e os ânglos diretores. Calclar os ânglos diretores do etor AB sabendo qe A (,, 3) e B (3,, 3). 3 Os ânglos diretores de m etor são 45º, e 60º, determine. PRODUTO VETORIAL Orientação do espaço. Consideremos as bases e, e, e e f, f, f tais qe possamos 3 3 expressar Se Se a a a 3 b b b 3 c c c 3 0 f a e a e a e 3 3 f b e b e b e 3 3 f c e c e c e 3 3 3., dizemos qe as bases e, e, e e f, f, f têm mesma orientação. 3 3 0, elas têm orientações opostas. As bases são diididas em das classes. As bases da classe fixada são ditas positias e as de orientação oposta à classe fixada são ditas negatias. Adotamos, por conenção, ma base positia do espaço 3, a qe é formada por três etores cjos sentidos são os sentidos dos dedos médio, indicador e polegar da mão esqerda, nesta ordem. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON

Exemplos a) iˆˆ, j, k ˆ é ma base positia. b) jˆˆ,, i k ˆ é ma base negatia, pois tem orientação oposta à base iˆˆ, j, k ˆ. c) kˆ,, iˆˆ j é ma base positia, pois tem a mesma orientação da base iˆˆ, j, k ˆ. Definição. Fixada ma orientação no espaço, o prodto etorial dos etores por, é m etor tal qe e, indicado i) se e são LD, então 0 ; ii) se e são LI e,, então a) sen, b) é ortogonal a e, c), e formam ma base positia. Exemplos Dada a base ortonormal positia iˆˆ, j, k ˆ tem-se qe a) iˆ iˆ jˆ jˆ kˆ k ˆ b) iˆ ˆj kˆ, jˆ kˆ iˆ, kˆ iˆ j ˆ Sejam e etores com representantes no plano, conforme a figra, onde 4, 5 e, 30. Temos: e sen 30 4 5 0 sen 30 5 4 0 Assim,, mas e são etores opostos, como ilstra a figra. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 3

3 Para cada caso nas figras, determine. a) b) Propriedades do prodto etorial. Qaisqer qe sejam os etores, e seja k, ale: w e qalqer qe 0 k k k w w Expressão cartesiana do prodto etorial. Fixada ma base ortonormal positia iˆˆ, j, k ˆ e dados os etores x, y, z e x, y, z, o prodto etorial de e y z iˆ z x jˆ x y kˆ, y z z x x y é dado por qe é o desenolimento de Laplace em relação à primeira linha do determinante simbólico iˆ jˆ kˆ x y z x y z. x iˆ y jˆ z kˆ x iˆ y jˆ z k ˆ Proa. x x iˆ iˆ x y iˆ jˆ x z iˆ kˆ y x jˆ iˆ y y jˆ jˆ y z jˆ kˆ z x kˆ iˆ z y kˆ jˆ z z kˆ kˆ Logo, y z z y i ˆ z x x z j ˆ x y y x k ˆ Exemplo Dados,, e, 0,, temos iˆ jˆ kˆ i ˆ j ˆ k ˆ i ˆ j ˆ k ˆ. 0 0 0 PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 4

Interpretação geométrica do prodto etorial Cálclo da área de m paralelogramo. Seja ABCD o paralelogramo abaixo. D C h A A área do paralelogramo é dada por B S AB h ABCD onde h AD sen, logo, S AB AD sen, o seja, ABCD S AB AD ABCD Área de m triânglo. Obseramos também qe a área do triânglo ABD é dada por S AB AD ABD. Exemplos De m triânglo ABC sabemos qe AB, AC 3 e AB AC 3 3. Determine a área deste triânglo. AB AC 3 3 cos AB, AC 3 3 3 sen AB, AC 3 AB AC 3 3 S.a. ABC Calcle a área do triânglo PQR representado na figra. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 5

PRODUTO MISTO Definição. Sejam, e w etores qaisqer. O prodto misto dos etores, e w, indicado por,, w, é o número real w. Exemplo Dados os etores,0,,,3, e w,3,, tem-se:,, w, 0,, 3,, 3, 3,, 3, 3, 3 3 6 6. Expressão cartesiana do prodto misto. Fixada ma base ortonormal etores tem-se o prodto misto x iˆ y jˆ z kˆ x iˆ y jˆ z kˆ w x iˆ y jˆ z kˆ 3 3 3 y z z x x y,, w w x y z y z z x x y 3 3 3 iˆˆ, j, k ˆ e dados os x y z,, w x y z x y z 3 3 3 Exemplo Dados os etores,0,,,3, e w,3,, refazendo o cálclo, 0,, w 3 6 3 Propriedades do prodto misto. Qaisqer qe sejam os etores, e w e k, alem:.,, w 0, e w são coplanares.. k,, w k,, w, k, w,, kw 3.,, w,, w,, w 4.,, w, w, w,, PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 6

5.,, w,, w 6.,,,,,, 0 A demonstração de todas estas propriedades é imediata, sando as propriedades dos determinantes. Interpretação geométrica do prodto misto Volme de m paralelepípedo. O módlo de,, w é igal ao olme do paralelepípedo de arestas, e w. Considere o paralelepípedo de arestas AB, AD e AE w como mostrado na figra. O olme deste paralelepípedo é dado por onde V S h P b S e h w cos. Lembrando qe tem a direção da altra h do b paralelepípedo, pois é ortogonal a e a, do qe obseramos qe w, V w cos w,, w. P. Logo, V,, w P Exemplo Considere o paralelepípedo da figra. Sabe-se qe AB (, 0,), BE,, e AD 0,3,3. Calcle: a) o olme do paralelepípedo ABCDEFGH ; b) a altra do paralelepípedo em relação à base ABCD. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 7

a) V AB, AD, AE, onde AE AB BE, 0,,,,, P 0 AB, AD, AE 0 3 3 3 e o olme do paralelepípedo é 3 3. 0 0 0 b) h proj 0 AE AE AB AD AB AD AE AB AD AB AD 0 AB AD, 0, 0, 3, 3 3, 3, 3 e AB AD 3 3 AB AD 3, 3, 3 h,, 3, 3, 3 3 3 Volme de m Tetraedro. Também podemos afirmar qe o módlo de,, w é igal a seis ezes o olme do tetraedro de arestas, e w. O olme do tetraedro ABDE é dado por V T b 3 S h, onde S e h w cos. b Logo, V w cos w. Então, T 3 6 AB, AD e AE w. V,, w T 6 Exercício Em relação a ma base ortonormal positia são dados os etores,,, 0,3, 4, w,0, 3 e t 0,0, qe. Calcle o olme do tetraedro ABCD, sabendo AB proj, AC é o etor oposto do ersor de w e BD proj AB AC. t Aplicação em Qímica. Na molécla do metano ( CH ), o átomo de carbono ocpa o centro 4 de m tetraedro reglar em cjos értices estão os átomos de hidrogênio. Determine o ânglo entre das das alências do carbono. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 8

Solção. O resltado deste problema está presente em todos os crsos de qímica orgânica. O estranho número fornecido pelo professor é aceito pelos alnos, mas, em geral, eles não têm a menor idéia de como esse resltado foi obtido. Para calclar esse ânglo, a geometria analítica é m método imbatíel, aliada, é claro, com algma inentiidade. Em m sistema de coordenadas no espaço, consideremos inicialmente m cbo de aresta (para facilitar) com m értice na origem, otro no eixo X, otro no eixo Y e otro no eixo Z. Não é difícil escolher qatro értices desse cbo qe formem m tetraedro reglar. Os pontos A (0,0,0), B (,,0), C (0,,) e D (,0,) formam m tetraedro reglar (ma ez qe as distâncias entre dois qaisqer deles são diagonais de faces do cbo) e são ocpados pelos hidrogênios. O ponto P (,,), centro do cbo e também centro do tetraedro, está ocpado pelo carbono. O resto é fácil. Para calclar, por exemplo, o ânglo ˆ APB, consideremos os etores: PA (,, ) e PB (,, ). O cosseno do ânglo entre eles é: cos 3 3 3 Com ma calcladora, determinamos m alor mito aproximado para esse ânglo: 09 8 6.395. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 9

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM VETORES, ÁLGEBRA VETORIAL Em cada afirmação marqe V (erdadeira) o F (falsa). a) [ ] Se, então. b) [ ] Se, então. c) [ ] Se, então. d) [ ] Se, então. e) [ ] Se w, então w. f) [ ] Se w, então w, e g) [ ] 5 5 5. são paralelos. h) [ ] 3 e 4 são paralelos e de mesmo sentido. 7 i) [ ] Se e são etores qe tem a mesma direção, então 0. j) [ ]. Na Figra os hexágonos são reglares. Em cada caso, determine a soma dos etores indicados. Figra 3 Obtenha a soma dos etores indicados em cada caso da Figra. a) ABCDEFGH é m paralelepípedo. b) ABCDEFGH e EFGHIJLM são cbos de arestas congrentes. c) O cbo ABCDEFGH tem centro O e está diidido em oito cbos congrentes por planos paralelos às faces. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 30

Figra 4 Sejam M, N, P, O pontos coplanares e não colineares, tais qe MN PM. Escrea 5 ON como combinação linear de OM e OP. 5 Sejam A, B, C e D pontos coplanares tais qe CD e CB são LI e Expresse AD como combinação linear de AC e AB. CD AB. 3 6 Considere os etores A iˆ jˆ k ˆ, B 3iˆ jˆ k ˆ e C ˆj 5k ˆ. Determine: a) A 3B b) A B c) A B d) A C e) A B f) C B g) A B C h) C C i) A B C j) proj A B k) ânglo entre A e B. l) ânglo entre proj A B e C. 7 Dados (, 4), ( 5,) e w (,6) determinar k e k de modo qe w k k. 8 Considere, e w etores qaisqer. Demonstre o argmente corretamente cada m dos resltados abaixo: a) proj ( ˆˆ ). b) proj ( a b) proj a proj b. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 3

c) a desigaldade de Schwarz:. d) a desigaldade trianglar:. e) a lei do paralelogramo:. f). g) a b a b ( a b ) h) Se a e b são ortogonais a então a+ b é ortogonal a. i) a e b são ortogonais se e somente se a b a b. j) Se então 0. k) w ( w) ( ) w l),, w 0, e w são coplanares. m) a, b, c 0 se pelo menos dois dos etores forem igais. 9 Sponha qe ( w ). Determine: a) ( ) w b) ( w ) c) ( w ) d) ( ) 0 Determine, paralelo ao etor (,,) tal qe 8. Sejam dados a, b e c etores nitários tais qe o ânglo entre qaisqer deles é 45º. Calcle a b c. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 3

Dados os pontos A (, 3) e B (5,4), determine m ponto C tal qe AC (,) e AC AB. 3 Dados os pontos A ( 4,3) e B (,), encontrar as coordenadas do ponto P qando: a) P pertence ao eixo Oy e é eqüidistante de A e B ; b) P é eqüidistante de A e B e sa ordenada é o dobro da abcissa. 4 Sabendo qe o ânglo entre os etores (,, ) e (,, ) é dado por rad, determine o alor de. 3 5 Determinar o alor de m e n para qe o etor w (, m, n ) seja simltaneamente ortogonal aos etores (,, 0) e (, 3, ). 6 Considere as forças E e B definidas por E( t) t,3t, e B( t) t,, t, onde t 0, atando nma região do espaço ortogonais. 3. Calcle o alor de t para qe E e B sejam 7 Resola os problemas: a) Determine z para qe os etores (,, z ), (,0,) e w ( z,3, z ) sejam coplanares. b) Verifiqe se são coplanares os etores: (3,,), (4,,0) e w (0,,0). 8 De m paralelogramo ABCD temos: A (,, 3), B (5,,3), C (7,3,4), AB DM e DE DB. Determine a área do triânglo MDE. 3 9 Calcle o olme do tetraedro qe possi értice nos pontos A (, 0, 0), B (,, ), C (0,,) e D (4,,7). 0 Dados os pontos A (0, 0,), B (,,), C (0,,) e D( t,3 t, t ) qe constitem os értices de m tetraedro ABCD, determine t sabendo qe o olme deste tetraedro é 5 3. PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 33

Três etores, A, B e C estão orientados como na figra. y Sabe-se qe A 0, B =40 e C 30. Determine A B a) as componentes do etor resltante (VR); O 45 45 x b) módlo e direção de VR; C (a direção pode ser dada pelo ânglo com a horizontal) A figra dá informações sobre dois etores: e. y Ambos os etores tem módlo 0 nidades e a sa soma etorial é s. Determine: a) as coordenadas x e y de s ; 05º b) o módlo de s ; c) o ânglo qe s faz com o eixo Ox. 30º x 3 Das forças F e F com intensidades de 0 N e N respectiamente, atam sobre m objeto localizado no ponto P (figra ao lado). Determine a força resltante F qe ata em P, determinando sa intensidade e direção (ânglo ). 4 Considere os etores, e w representados na Z figra ao lado. Determine: a) a projeção ortogonal de sobre w ; 4 3 b) o ânglo formado entre os etores e ; w c) a área do trianglo determinado por e w. d) o olme do paralelepípedo determinado por, e w. X O 3 Y 5 Determine a resltante das forças em cada item a segir: (I) F 80kgf, F 50kgf e F 80 kgf. (II) F 0kgf, F 00kgf e F 0kgf. 3 3 PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 34

y y F 30º 45º x F F F F 3 F 3 30º x (III) (IV) T 00kgf, T 80kgf e T 3 60kgf e F 40kgf. g 6 Uma pessoa ende a hambrgers, b cachorros qentes e c scos. Ela cobra R $3, 00 por m hambrger, R $, 00 por cachorro qente e R $, 00 por sco. Se A ( a, b, c ) e P (3,,), o qe significa o prodto escalar A P? 7 Dada a força constante F 0iˆ 8jˆ 6k ˆ moe ma partícla ao longo de ma reta do ponto A (,3,0) ao ponto B (4, 9,5). Sponha qe a distancia é medida em metros e a intensidade da força medida em Newtons. Determine o trabalho realizado por essa força. 8 Considere o conjnto de forças na figra ao y lado. Determine o trabalho realizado pela força resltante dessas forças para deslocar (em metros), em linha reta, ma partícla qe está na origem até o ponto Q (, 3). Sabendo qe F 0N, F 00N e F 0N. 3 F F 3 30º F x PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 35

Vetor torqe. Seja ma força F atante em ma partícla única, sitada no ponto P, cja posição relatiamente à origem O do referencial inercial é dada pelo etor r (eja figra). Esses dois etores, r e F, estão contidos nm plano. O momento etorial o etor torqe atante sobre a partícla em relação á origem O é definido em temos do prodto etorial de r e F, isto é r F. A nidade de torqe pode ser o Newton-metro ( Nm) o libra-pé ( lb ft ), entre otras possibilidades. 9 Um parafso é apertado aplicando ma força de 40N a 0,5m por ma chae inglesa como mostra a figra. Determine a magnitde do torqe em torno do centro do parafso. 30 Sponha qe ma força F com magnitde de 3 lb é aplicada ao conjnto alaanca-haste mostrado na figra ao lado. a) Determine as coordenadas da força F e do etor r qe liga a origem ao ponto onde F é aplicada; b) Determine o etor torqe de F em relação à origem. 3 A posição de ma partícla no plano xy, no tempo t é dada por x( t) e, y( t) te. a) Escreer a fnção etorial f ( t) x( t), y( t ) qe descree o moimento da partícla; b) Onde se encontrará a partícla em t 0 e em t? t t 3 Uma partícla se desloca no espaço. Em cada instante t o se etor posição é dado por r() t tiˆ jˆ kˆ. Determinar a posição da partícla no instante t 0 e t ; t PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 36

33 Considere as aplicações etoriais 0 t. Calclar: a) f() g (0) b) f( ) g ( ) c) f() g ( ) d) f() g (0) ˆ f () t ti t j ˆ e ( ) ˆ (sen ) ˆ (cos ) ˆ g t ti t j t k, com 34 Calcle: a) t lim 3 t 4t 4t iˆ jˆ t t 6 b) t lim iˆ ( t ) jˆ ( t ) kˆ t t 35 Seja f ( t) tiˆ t jˆ 3t 3ˆ k e g( t) tiˆ jˆ 3t ˆ k, t 0. Calcle: a) lim t f t g t b) lim t f t g t c) lim f ( t) g( t ) d) t lim t f t t PARTE I VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES ERON 37