fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL PROGRAA. Introdução ao betão armado. Bases de Projecto e Acções 3. Propriedades dos materiais: betão e aço 4. Durabilidade 5. Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão 6. Estado limite último de resistência à flexão simples 7. Estado limite último de resistência ao esforço transverso 8. Disposições construtivas relativas a vigas 9. Estados limite de fendilhação 0. Estados limite de deformação. Estados limite últimos de resistência à flexão composta com esforço normal e à flexão desviada.efeitos de segunda ordem provocados por esforço axial 3. Disposições construtivas relativas a pilares e paredes 4. Estado limite último de resistência à torção Válter Lúcio aio 006 fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL ÍDICE. Imperfeições geométricas. Efeitos de segunda ordem A. Introdução B. Critérios de dispensa da consideração dos efeitos de ª ordem i. Para elementos isolados ii. Para edifícios C. Comprimento de encurvadura 3. étodo de análise dos efeitos de segunda ordem 4. Sequência do cálculo de um pilar de um edifício Válter Lúcio aio 006
fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL Elementos ou sistemas de contraventamento são os que são considerados para efeitos de estabilidade horizontal do conjunto da estrutura Contraventamento em cruz de S to André Contraventamento com parede resistente Contraventamento em cruz de S to André Contraventamento com parede resistente Válter Lúcio aio 006 3 fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL. IPERFEIÇÕES GEOÉTRICAS Os efeitos desfavoráveis de eventuais imperfeições geométricas e de desvios na posição das cargas, devem ser considerados na análise aos estados limites últimos dos elementos e das estruturas. A imperfeição pode ser representada por uma inclinação, dada por: θ 0 = /00 valor básico α h = / l ; /3 α h coeficiente de redução relativo ao comprimento do elemento ou altura do edifício l. θ i = θ 0 α h α m α m = [0.5(+/m)] coeficiente de redução 4m 9m l relativo ao número de elementos m. Em elementos estruturais isolados: m= e l é o comprimento real do elemento. um sistema de contraventamento: m é o número de elementos verticais que transmitem força horizontal ao sistema de contraventamento, e l é altura do edifício. Válter Lúcio aio 006 4 α h.0 /3 θ i
fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL Em elementos isolados o efeito das imperfeições pode ser considerado como uma excentricidade ou como uma força transversal: e i = θ i / é o comprimento efectivo ou de encurvadura. e i e i θ i Em paredes e pilares isolados em estruturas contraventadas, pode-se considerar, como simplificação: e i = / 400 elementos não contraventados elementos contraventados Válter Lúcio aio 006 5 fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL. EFEITOS DE SEGUDA ORDE A. ITRODUÇÃO Encurvadura: rotura devido à instabilidade do pilar devido ao esforço axial e sem carregamento transversal. Carga crítica de Euler ou de encurvadura: B = E cm I c π l Válter Lúcio aio 006 6
fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL Designam-se por efeitos de ª ordem os resultantes das acções aplicadas na estrutura e dos imperfeições geométricas da estrutura ( 0Ed ). Efeitos de ª ordem são efeitos adicionais que resultam das deformações da estrutura ( Ed ). e omentos de ª ordem = e omentos de ª ordem omentos de ª ordem: são os efeitos das cargas aplicadas e das imperfeições geométricas da estrutura. Provocam deformação transversal por flexão do pilar (e ). omentos de ª ordem: são os efeitos do esforço axial na excentricidade causada, em cada secção, pelos momentos de ª ordem. Válter Lúcio aio 006 7 fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL B. CRITÉRIOS DE DISPESA DA COSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE ª ORDE Apenas as colunas esbeltas são suficientemente deformáveis para que os efeitos de ª ordem sejam relevantes. Os efeitos de ª ordem podem ser desprezados se corresponderem a menos de 0% dos efeitos de ª ordem. i. Para elementos isolados Os efeitos de ª ordem podem ser desprezados se a esbelteza λ < λ lim. λ = / i onde é o comprimento de encurvadura, e i = (I/A) é o raio de giração da secção transversal: λ lim = 0 A B C / ν A = / ( + 0. ϕ ef ) 0.7 omentos de B = ( + ω). C =.7 - r m 0.7 com r m = / ª ordem ν = Ed / A c f cd ϕ ef = ϕ(,t 0 ) 0Eqp / 0Ed ω = A s f yd / A c f cd Válter Lúcio aio 006 8
fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL ϕ ef = ϕ(,t 0 ) 0Eqp / 0Ed ϕ(,t 0 ) é o coeficiente de fluência final. o efeito da fluência pode ser desprezado se ϕ(,t 0 ).0; λ 75 e 0Ed / Ed h 0Eqp é o momento de primeira ordem para a comb. quase permanente de acções. 0Ed é o momento de primeira ordem para a comb. usada no dimensionamento aos Estados Limites Últimos. C =.7 - r m 0.7 com r m = / onde e são os momento de primeira ordem nas extremidades do elemento, devendo ser: =- C.7 =0 = r m =.0 no caso de elementos não contraventados. 0.7 -.0 0.7.0 / Válter Lúcio aio 006 9 fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL ii. Para edifícios Em edifícios, os efeitos globais de ª ordem ns Ecd podem ser ignorados se: FV,Ed k F V,Ed é a carga vertical total nos elementos de contraventamento e nos elementos contraventados n s é o número de pisos E cd =E cm /(γ ce =.) é o valor de cálculo do módulo de elasticidade do betão I c é o momento de inércia da secção de betão não fendilhada dos elementos de contraventamento. L é a altura do edifício acima da secção de encastramento dos elementos de contraventamento. Válter Lúcio aio 006 0 n s +.6 k = 0.3 se os elementos de contraventamento se encontram fendilhados em E. L. Último, e 0.6 no caso contrário. Esta regra não é válida se o sistema de contraventamento tem deformações por corte ou rotações significativas na base. Em tais situações, ver o Anexo H da E99... a figura considerou-se que a secção de encastramento corresponde ao nível do piso térreo, por as paredes de contenção constituírem uma restrição significativa à deformação da parede de contraventamento, no entanto, esta hipótese é apenas uma aproximação pois existe, de facto, flexibilidade no troço de parede correspondente ao piso enterrado. I c n s =3 L I c L
fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL C. COPRIETO DE ECURVADURA = l = 0.7 l = 0.5 l = l = l ELEETOS COTRAVETADOS l ELEETOS ÂO COTRAVETADOS l Válter Lúcio aio 006 fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL COPRIETO DE ECURVADURA ELEETOS ÍCORPORADOS E PÓRTICOS ELEETOS k k l0 = 0.5l + + COTRAVETADOS 0.45 + k 0.45 + k k e k são as flexibilidades relativas dos encastramentos parciais das extremidades do pilar. k = (θ / ) (EI / l) l θ é a rotação dos elementos que se opõem à rotação da extremidade do pilar para um momento. θ EI / l é a rigidez de flexão do pilar, ou dos pilares, que concorre(m) no nó. o caso geral de dois pilares: (EI/l) = (EI/l) a + (EI/l) b EIa EIb + l a l b k = 4EIV 3EI + l l V k = 0. k 3 = 0 4EI V 3EIV Válter Lúcio aio 006V V l V l V = l V + l V V EI V 3 b EI b a EI a V EI V l b l a
fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL ELEETOS ÃO COTRAVETADOS l l 0 = l max k + + k k + 0 k k + + k k + k ; l Válter Lúcio aio 006 3 fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL 3. ÉTODO DE AÁLISE DOS EFEITOS DE SEGUDA ORDE A E99.. apresenta três métodos alternativos para a análise dos efeitos de segunda ordem em estruturas e elementos isolados: étodo geral que corresponde a efectuar uma análise não linear considerando a não linearidade geométrica e a não linearidade do comportamento dos materiais; étodo baseado na rigidez nominal que consiste na análise da estrutura considerando na rigidez dos seus elementos a fendilhação, a não linearidade do comportamento do betão e do aço e a fluência do betão, e, eventualmente, a interacção entre o terreno e a estrutura. Os momentos resultantes desta análise são posteriormente majorados para ter em conta os efeitos de segunda ordem. étodo baseado na curvatura nominal que consiste na determinação de um deslocamento, baseado no comprimento efectivo e na curvatura máxima do elemento. Com esse deslocamento determina-se o efeito de ª ordem. É este método que vamos utilizar. Válter Lúcio aio 006 4
fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL ÉTODO BASEADO A CURVATURA OIAL O momento de cálculo tem o valor: Ed = 0Ed + 0Ed é o momento de ª ordem, incluindo os efeitos das acções e das imperfeições geométricas, e é o momento de ª ordem Se os momentos de ª ordem são diferentes nas extremidades e, respectivamente, e, então determina-se um momento equivalente 0e = 0.6 + 0.4 0.4 A escolha das extremidades e deve ser tal que O momento nominal de ª ordem é dado por: = Ed e omentos de ª ordem Ed é o valor de cálculo do esforço normal, e e = (/r) / c é o deslocamento /r é a curvatura é o comprimento de encurvadura (ou efectivo), e c é um coeficiente dependente da distribuição da curvatura Válter Lúcio aio 006 5 c = π ( 0) (Se 0Ed é constante deve considerar-se 8 c 0) fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL e = (/r) l0 / c Estimativa da curvatura máxima: /r = K r K ϕ /r 0 K r é um factor de correcção que depende do esforço normal. K ϕ tem em conta a fluência do betão, e /r 0 = ε yd / (0.9d) Onde d é a altura útil e ε yd = f yd / E s ν -.0 -.8 -.5 -.3 ν u = + ω CASO 4 - secção toda comprimida K r = (ν u - ν) / (ν u - ν bal ).0 com ν = Ed / (A c f cd ); ν u = + ω com ω = A s,total f yd / (A c f cd ) ; ν bal 0.45 corresponde a ε s = ε yd. Desta forma é possível estimar ε s : ε s K r ε yd Válter Lúcio aio 006 6 ν -.0-0.8-0.5-0.3 CASO ε s > ε 0.0 0. 0. 0.3 0.4 yd 0.5 0.6 00 ν bal = 0.45 ω = 0.0 0. 0. 0.3 0.4 CASO 3 ε s ε yd ε s = ε yd s = ε yd ω = 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 ω =.0 μ
fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL K ϕ = + β ϕ ef.0 onde ϕ ef = ϕ(,t 0 ) 0Eqp / 0Ed o efeito da fluência pode ser desprezado se ϕ(,t 0 ).0; λ 75 e 0Ed / Ed h e β = 0.35 + f ck / 00 λ /50 sendo λ a esbelteza Válter Lúcio aio 006 7 fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL 4. SEQUÊCIA DO CÁLCULO DE U PILAR DE U EDIFÍCIO. EFEITOS GLOBAIS DE ª ORDE A. Elementos isolados contraventados B. Elementos isolados não contraventados. AS IPERFEIÇÕES GEOÉTRICAS 3. OS EFEITOS DE SEGUDA ORDE A. Dispensa da consideração dos efeitos de ª ordem B. Análise usando o étodo baseado na curvatura nominal a. Elementos contraventados b. Elementos não contraventados Válter Lúcio aio 006 8
fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL n Ecd I s c. EFEITOS GLOBAIS DE ª ORDE Se: FV,Ed k n s +.6 L A. não se consideram os efeitos globais de ª ordem, i.e., a estrutura é suficientemente rígida para os deslocamentos horizontais serem desprezáveis. Em consequência, os elementos isolados e consideram-se como contraventados, e: a) l; ão consideração dos efeitos globais de ª ordem b) os efeitos da deformação são maiores no vão do pilar que nas extremidades; l omentos de ª ordem = e omentos de ª ordem omentos de ª ordem = e Válter Lúcio aio 006 9 fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL B. Caso contrário, consideram os efeitos globais de ª ordem, i.e., a estrutura é flexível e os deslocamentos horizontais são significativos. Em consequência, os elementos isolados consideram-se como não contraventados, e: e a) l; l omentos de ª ordem omentos de ª ordem Consideração dos efeitos globais de ª ordem b) os efeitos da deformação são maiores nas extremidades do pilar que no vão; = e Válter Lúcio aio 006 0
fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL. IPERFEIÇÕES GEOÉTRICAS Cálculo de 0,Ed = Ed,acções + Ed e i Cálculo de e i = θ i / Em paredes e pilares isolados em estruturas contraventadas: e i / 400 3. EFEITOS DE SEGUDA ORDE A. Dispensa da consideração dos efeitos de ª ordem nos elementos Se λ < λ lim λ = / i não é necessário considerar os efeitos de ª ordem neste elemento λ lim 0 0.7. 0.7 / ν / ν ão sendo necessário considerar os efeitos de ª ordem: O dimensionamento é efectuado com o máximo momento de ª ordem das extremidades,ed { Ed Sendo necessário considerar os efeitos de ª ordem, estes podem ser estimados como se segue: Válter Lúcio aio 006 fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL B. Análise usando o étodo baseado na curvatura nominal /r 0 = ε yd / (0.9d) K r = (ν u - ν) / (ν u - ν bal ).0 K ϕ = + β ϕ ef.0 curvatura máxima: /r = K r K ϕ /r 0 deslocamento: e = (/r) / c momento nominal de ª ordem: = Ed e pilar esbelto λ > λ min pilar robusto λ < λ min Válter Lúcio aio 006
fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL a. Elementos contraventados momento equivalente: 0e = 0.6 + 0.4 0.4 com Esforços de cálculo: Efeitos de ª ordem omentos de ª ordem nas extremidades { { Ed = 0e + Ed,Ed Ed b. Elementos não contraventados Esforços de cálculo: efeitos de ª ordem nas extremidades,ed = + Ed com { 0e = e = e 0e = e Válter Lúcio aio 006 3 fct - UL EFEITOS DE SEGUDA ORDE PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL F EFEITOS GLOBAIS DE ª ORDE ns E k n +.6 L V,Ed s SI cd I c ÃO ESTRUTURA DEFORÁVEL Elementos não contraventados l = 0,Ed = + Ed e { Ed ESTRUTURA POUCO DEFORÁVEL Elementos contraventados CÁLCULO DE λ < λ lim ÃO Pilar esbelto É necessário considerar os efeitos de ª ordem l SI CÁLCULO DE λ < λ lim ÃO SI Pilar robusto ão é necessário considerar os efeitos de ª ordem Pilar esbelto É necessário considerar,ed { Ed Ed = 0e + Ed = Ed e,ed os efeitos de ª ordem Válter Lúcio aio 006 Ed 4 { {