Apresentação A matemática é geralmente considerada uma ciência a parte, desligada da realidade, vivendo na penumbra de um gabinete fechado, onde não entram ruídos do mundo exterior, nem o sol, nem os clamores do homem Porém, isso só em parte é verdadeiro Bento de Jesus Caraça (1901-1948), matemático português Ao longo da vida escolar de cada um de vocês, muitas vezes devem ter se deparado com a pergunta para que vou utilizar isso em minha vida?, costumeiramente feita quando surge algum conteúdo de matemática que foge muito da tradicional aritmética do colégio Porém, ao contrário do que se pensa, a matemática surgiu por uma necessidade maior, uma ferramenta pela qual o homem buscou entender e quantificar a natureza Desde as primeiras contagens de rebanhos feitas com pedras, os primeiros cálculos, até os problemas que requerem as estruturas matemático-computacionais mais complexas, a matemática desenvolveu-se, buscando atender essas necessidades da maneira mais precisa e simples, sem fugir ao rigor que a que se exige A matemática não é um fim em si, e sim a toda a construção do meio Tudo é matemática! Este material foi elaborado ao longo de todo o ano de 014, revisado e atualizado quanto a erros de tipografia ou conceituais, além do acréscimo de alguns itens Está estruturado em tópicos teóricos e suas definições formais, partindo para a resolução de aplicações e exemplos, exercícios de treino para serem feitos em sala de aula, e listas de exercício ao fim de cada capítulo É desejo maior que você se dedique ao máximo, para que não só você consiga uma vaga numa universidade e num curso de sua preferência, mas que veja a matemática de outra forma, longe do pedantismo que por muito tempo condicionamo-nos a ter sobre ela Um bom ano para todos nós! Diego Medeiros Prof Diego Medeiros Escola Preparatória da UFABC 1
SISTEMAS DE EQUAÇÕES x 1 Introdução Em um estacionamento, entre carros e motos, há 14 veículos Qual é o número exato de carros e motos? Se representarmos o número de carros por x e o número de motos por, temos a seguinte equação: x 14 No entanto, podemos facilmente verificar que há várias respostas possíveis: 1 carros + motos = 14 veículos 6 carros + 8 motos = 14 veículos 7 carros + 7 motos = 14 veículos Para restringir nossa resposta a somente uma solução possível, temos que dar mais alguma informação sobre esses carros e as motos Se dissermos que há um total de 48 rodas nesse estacionamento, temos a seguinte equação: 4x 48 equações (1º grau, º grau) Para explicar, vamos usar o exemplo da introdução: Em um estacionamento, entre carros e motos, há 14 veículos Sabe-se que o número total de rodas nesse estacionamento é de 48 rodas Quantas motos e carros há nesse estacionamento: Construindo o sistema, temos: x 14 4x 48 O método da substituição consiste em isolar qualquer incógnita em qualquer uma das equações e substituir a expressão correspondente a essa incógnita na outra equação Complicado? Vamos fazer passo a passo Vamos isolar o valor de x na primeira equação do sistema: x 14 x 14 São 4 rodas por carro e rodas por moto Temos então o que chamamos de sistema de duas equações com duas incógnitas, ou sistema x x 14 4x 48 Note que somente para x 10 e 4 o sistema é 10 4 14 atendido nas duas equações: 4 10 4 48 Neste capítulo vamos descobrir métodos para a resolução de sistemas método da substituição O método da substituição é o mais eficiente na resolução de sistemas de duas incógnitas, pois serve para qualquer tipo de sistema de duas Na segunda equação, substituímos x pela expressão isolada Note que após a substituição, temos somente uma equação de uma incógnita para resolver: 4x 48 4(14 ) 48 56 4 48 56 48 8 8 4 Já descobrimos o valor de Agora precisamos descobrir o valor de x Basta substituir o valor de que a gente descobriu em qualquer uma das equações: x 14 x 14 4 x 10 Prof Diego Medeiros Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 1 Sistemas de equações x Agora já sabemos a resposta O sistema possui somente uma solução e esta é 10,4 S Vejamos, agora, outros exemplos: x3 7 Determine a solução do sistema 3x5 0 x 1 3 3x 6 6 6 3x6 3x 6 x3( ) 4 x3 6 4 x3 Isolamos a incógnita: x 3 7 x 7 3 73 x Substituímos na outra equação do sistema: 3x 5 0 7 3 3 5 0 1 9 5 0 1 9 10 40 19 40 1 19 19 1 Agora substituímos Vamos escolher a isolada: 73 x 73( 1) x x 5 A solução então é 5, 1 S x 1 Determine a solução do sistema 3 x 3( ) 4 Neste caso, antes de isolar, convém deixar as duas equações na forma ax + b = c 3x 6 Temos então um novo sistema: x 3 Nesse caso, convém isolar x na segunda equação e com o resultado, substituir na isolada: x3 x 3 3x 6 3 3 6 x 3 9 6 6 x 30 7 0 0 A solução então é,0 S x O método da substituição também serve para a resolução de sistemas de equações do º grau Vejamos um exemplo: x² 6x Resolva o sistema x 4 Nesse caso, a primeira equação é do º grau e a segunda, do 1º grau Convém isolar a incógnita na segunda equação x 4 x 4 Substituindo, na outra equação, x pelo seu valor 4 temos: x² 6 x (4 ) ² 6(4 ) 16 8 ² 6 4 ² ² 1 10 0 : ² 6 5 0 Prof Diego Medeiros Escola Preparatória da UFABC 3
Capítulo 1 Sistemas de equações x Temos uma equação do º grau para resolver Resolvemos por Bháskara: ² 6 5 0 b² 4 ac ( 6)² 415 36 0 16 6 4 1 5 b ( 6) 16 6 4 a 1 6 4 1 Temos dois valores para Substituímos duas vezes: Para 5 x 4 5 x 1 Para 1 x 4 1 x 3 A solução do sistema é então dada por dois pares ordenados: ( 1, 5) e (3, 1) Logo, 1,5 ; 3,1 S x 1 4 f) x 3 3x 5 ( x ) 1 g) 3 3( x 3 ) x 3 x x 5 3 h) x x ( ) i) x x 10 x 9 j) x 14 EXERCÍCIOS DE TREINO 1 Determine a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações nas incógnitas x e x 0 a) x 8 x 5 b) ² 7 3x 3 c) x x 3 6 x 5 4 d) 3x 4 x e) x ² 35 3 método da adição Você já deve ter percebido, pelos exemplos e pelos exercícios, que para resolver um sistema de duas equações é preciso chegar a uma só equação com uma só incógnita Já fizemos isso usando o método da substituição Veremos, agora, como resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas usando o método da adição Atenção: o método da adição só é aplicado para a resolução de sistemas de equações do 1º grau, ou como veremos no capítulo 5, sistemas lineares Para demais casos, o método da substituição funciona prática e corretamente Para mostrar o método, vamos usar um exemplo: 5x3 1 Vamos resolver o seguinte sistema x3 14 Podemos observar que as duas equações possuem termos opostos (3 na primeira e -3 na segunda) 4 Prof Diego Medeiros Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 1 Sistemas de equações x Portanto, se somarmos as duas equações, teremos uma só equação com uma só incógnita: 5x 3 1 x 3 14 7x 35 x 5 Agora, basta substituir x por 5 em qualquer uma das equações do sistema: 5x 3 1 55 3 1 5 3 1 3 4 4 3 4 Logo, a solução do sistema é S 5, 3 Vejamos agora outros exemplos: 5x3 Vamos resolver o sistema 4x 6 Observando as duas equações, vemos que de nada serve somar as duas equações, pois esse processo não eliminará nenhuma incógnita Vamos então utilizar um recurso: Multiplicamos todos os termos da 1ª equação por Multiplicamos todos os termos da ª equação por 3 5x 3 () 10x 6 4 4x 6(3) 1x 6 18 Agora sim temos equações com termos opostos Vamos somá-las: 10x6 4 1x6 18 x x 1 Finalmente, vamos substituir x por 1 em qualquer uma das equações do sistema e teremos: 5x3 51 3 53 3 3 1 Logo, a solução do sistema é 1, 1 EXERCÍCIOS DE TREINO S Determine a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações nas incógnitas x e x 3 a) x 18 6x3 0 b) 4x3 40 7x6 3 c) 5x6 1 8x5 11 d) 4x5 3 x3 11 e) x7 1 x 1 f) x 6 3 Prof Diego Medeiros Escola Preparatória da UFABC 5
Capítulo 1 Sistemas de equações x ( x 1) 3 g) 1 5x 3 3( x ) ( 3) h) 18( ) 3( x 3) x x 5 i) 3x ( x 1) 3( ) x j) x 1 4 4 problemas envolvendo sistemas A dificuldade da maioria dos problemas está em interpretar o problema numa situação matemática Vamos resolver dois problemas que envolvem sistemas de equações de duas incógnitas: Em um terreno de 1050 m² vai ser construída uma casa Fica estabelecido que a parte reservada ao jardim deve ter 40% da área ocupada pela construção Qual deve ser a área ocupada pela construção e pelo jardim? Vamos indicar por: x: a área ocupada pela construção : a área ocupada pelo jardim Lembrando que seguinte sistema: x 1050 x 5 40 40%, podemos formar o 100 5 No caso, já está isolado, basta substituir na 1ª equação: x x 1050 5 5x x 1050 5 5 7x 550 x 750 Substituímos na equação isolada: x 5 750 5 300 Logo, a área construída será de 750 m² e o jardim terá 300 m² Carlos tinha 5 anos quando Eduardo nasceu Atualmente, a razão entre os quadrados das idades de Eduardo e Carlos é 4 Determine a idade atual 9 de cada um Vamos representar por x a idade de Carlos e a idade de Eduardo Se Carlos tinha 5 anos quando Eduardo nasceu, então a diferença de idades é de 5 anos Montamos então o sistema: x 5 ² 4 x² 9 Resolvendo o sistema, temos: x 5 x 5 ² 4 x² 9 ² 4 ( 5)² 9 9 ² 4( ² 10 5) 5 ² 10 5 0 ² 8 0 0 10 1 x 5 x 10 5 x 15 Logo, Carlos tem 15 anos e Eduardo, 10 anos 6 Prof Diego Medeiros Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 1 Sistemas de equações x LISTA DE EXERCÍCIOS 1 A soma de dois números é 169 e a diferença entre eles é 31 Quais são os dois números? A soma de dois números é 110 O maior deles é igual ao triplo do menor menos 18 unidades Quais são os dois números? 3 Um terreno retangular tem 18 m de perímetro O comprimento tem 0m a mais que a largura Determine as dimensões desse terreno e a área 4 A 7ª série A tem 47 alunos No dia da eleição para o representante dessa série no conselho de escola, faltaram 5 alunos e dois se apresentaram como candidatos Feita a votação e a apuração, verificou-se que o vencedor teve 8 votos a mais que o perdedor Quantos votos o candidato vencedor recebeu? fazenda é de 40 km² Quais são as dimensões da fazenda? 10 Um galpão tem 96 m² de área Se aumentarmos o comprimento desse galpão em 3 m e a largura em m, a área do galpão passa a ser de 150 m² Calcule as dimensões originais do galpão 11 Se você dividir um número real positivo x por um número real positivo vai encontrar 3 como resultado Se o quadrado do número é igual ao número x aumentado de 10 unidades, determine os dois números 1 A soma das áreas de dois quadrados distintos é igual a 5 cm² Sabendo que a diferença entre as medidas do lado dos quadrados é igual a cm, calcule a área de cada quadrado 5 Duas pessoas têm juntas 70 anos Subtraindo-se 10 anos de idade da mais velha e acrescentando os mesmos 10 anos à idade da mais jovem, as idades ficam iguais Qual é a idade de cada pessoa? 6 Pelo regulamento de um torneio de basquete, cada partida que a equipe ganha vale pontos, e a cada uma que perde, 1 ponto A equipe de basquete do colégio A, disputando um torneio, jogou 10 vezes e já acumulou 16 pontos Quantos jogos a equipe A já venceu? 7 Uma tábua tinha 35 cm de comprimento e foi dividida em 3 partes A primeira delas tem 85 cm de comprimento e a segunda tem o dobro do comprimento da segunda parte Quais são os comprimentos dessas partes desconhecidas? 8 Em um terreiro, tem-se galinhas e carneiros, num total de 1 animais e 50 pés Quantos animais de cada espécie há nesse terreiro? 9 Um fazendeiro, percorrendo com um jipe todo o contorno de sua fazenda, de forma retangular, perfaz exatamente 6 km A área ocupada pela Prof Diego Medeiros Escola Preparatória da UFABC 7