ESTATÍSTICA PROF. RANILDO LOPES http://ueedgartito.wordpress.com U.E PROF EDGAR TITO 1
ESTATÍSTICA MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL MEDIDAS DE DISPERSÃO 2
Estatística ELEMENTOS TÍPICOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO: Medidas de posição Medidas de variabilidade ou dispersão 3
Medidas de Tendência Central É um valor calculado para um grupo de dados usado para descrever esses dados. Tipicamente, desejamos que o valor seja representativo de todos os valores do grupo os dados observados tendem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. 4
Medidas de Tendência Central São Medidas de Tendência Central: 1. média; 2. mediana; 3. moda 5
1 - MÉDIA ARITMÉTICA definida como a soma dos valores dividida pelo número de elementos. Sua aplicação é seguramente a mais usada podem ser: Média para dados simples Média para dados agrupados Média para dados agrupados em classes. 6
1.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS SIMPLES amostra: (X) população: Exemplo: Dado um a idade de 5 crianças Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12 média - x = 4 + 6 + 8 + 10 +12 5 X = x i n sendo n o número de elementos Assim: X = 40 = 8 5 Portanto a idade média dessas 5 crianças é 8 anos. 7
1.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS SIMPLES amostra: (X) população: Exemplo: Notas de 20 alunos: X i : 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9 X = 1+1+1 + 2+2+2 + 3+3+3+3 + 5+5+5+5+5+5 + 6+6+6 + 9 20 X = 1. 3 + 2. 3 + 3. 4 + 5. 6 + 6. 3 + 9.1 = 3+6+12+30+18+9 3 + 3 + 4 + 6 + 3 + 1 20 8
1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA) amostra: (X) população: Quando o conjunto de dados para os quais precisamos calcular a média é mais extenso, temos a necessidade de agrupar os dados. Assim, a média desse grupo é calculado da seguinte forma: X = (Xi. fi ) fi 9
1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA) amostra: (X) população: X i f i Xi. fi 1 3 3 X = X i. f i 2 3 6 f i 3 4 12 X = 78 = 3,9 5 6 30 20 6 3 18 9 1 9-20 78 Fonte: dados fictícios 10
1.3. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES amostra: (X) população: IDADE DE ALUNOS X i PM fi PM.fi 0 2... 1 3 1.3 = 3 2 4... 3 7 3.7 = 21 4 6... 5 6 5.6 = 30 6 8... 7 3 7.3 = 21 8 10... 9 1 9.1 = 9 total... 20 84 Fonte: Dados fictícios X = (PM. F i ) X = 84 X = 4,2 f i 20 11
2 MEDIANA ( X ) É o valor que se localiza no centro da distribuição é obtida a partir de seus valores centrais Pode ser: 2.1 MEDIANA PARA DADOS SIMPLES 2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS 2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES INTERVALARES 12
~ 2.1 MÉDIANA PARA DADOS SIMPLES (X) Há duas situações: 1) Quando o número de elementos pesquisados é ímpar X i Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12 Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª n o número de elementos ímpar Uma posição central - P ~ P = n +1 P = 5 + 1 = 3ª posição => Xi = 8, portanto X = 8 2 2 posição central 13
~ 2.1 MÉDIANA PARA DADOS SIMPLES (X) 2) Quando o número de elementos pesquisados é par X 1 X 2 Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 10; 12 Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª n = 6 número PAR de elementos Duas posições centrais - P 1 e P 2 P 1 P 2 (2 Posições centrais) ~ P 1 = n P 1 = 6 = 3ª posição => X 1 = 8, X = X 1 + X 2 = 8 + 10 2 2 2 2 P 2 = é a próxima P 2 = 4ª posição => X 2 = 10, ~ X = 9 14
2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS 1)Quando o nº de elementos é IMPAR Xi fi fac nº de elementos = 1 2 2 fi = 19 (ímpar) 2 3 5 3 4 9 uma posição central 5 6 15 P = fi +1 = 19+1 6 3 18 2 2 9 1 19 P = 10ª posição - 19 15
2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS Xi fi fac 1 2 2 2 3 5 3 4 9 5 6 15 6 3 18 9 1 19 Σ 19 Xi 1 1 2 2 2 3 3 posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª Xi 3 3 5 5 5 5 5 posição 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª Xi 5 6 6 6 9 posição 15ª 16ª 17ª 18ª 19ª 16
2.2. MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS 1) Quando o nº de elementos é IMPAR Xi fi fac P = 10ª posição 1 2 2 2 3 5 3 4 9 X i = 5 6 15 ~ 6 3 18 X = 5 9 1 19-19 17
2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS 2)Quando o nº de elementos é PAR Xi fi fac nº de elementos = fi = 20(par) 1 2 2 2 3 5 3 4 9 duas posição centrais 5 6 15 P1 = fi = 20 = 10ª posição 6 3 18 2 2 9 2 20 P2 = é a próxima= 11ª posição - 20 18
2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS 2)Quando o nº de elementos é PAR Xi fi fac P 1 = 10ª posição 1 2 2 P 2 = 11ª posição 2 3 5 3 4 9 X 1 = X 2 = 5 6 15 6 3 18 X = (X 1 + X 2 ) = 5 + 5 9 2 20 2 2 ~ - 20 X = 5 19
2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL P P = Fi P = 23 P = 11,5º posição 2 2 2º passo: IR NA COLUNA freqüência acumulada = fac E LOCALIZE A CLASSE MEDIANA 20
2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES l i l s Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 faa 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL P P = Fi P = 23 P = 11,5º posição 2 2 2º passo: IR NA COLUNA freqüência acumulada = fac E LOCALIZE A CLASSE MEDIANA 21
2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES l i l s Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 faa 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 Posição central total... 23 -> P = 11,5º posição Limite inferior da classe -> l i = 2 Limite superior da classe -> l s = 4 Amplitude da classe -> h = l s - l i = 4 2 = 2 Freqüência da classe -> f i = 10 Freqüência acumulada anterior -> faa = 3 X ~ = li ~ X= 2 + + P - faa. h fi 11,5-3. 2 10 22
2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES l i l s Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 faa 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 X ~ = 2 + 8,5. 2 10 ~ X = 2 + 0,85. 2 ~ X = 2 + 1,70 ~ X = 3,70 23
^ 2 MODA ( X ) É o ponto de maior concentração de ocorrências de uma variável Coincide com o conceito vulgar da palavra, isto é, o que ocorre com maior freqüência 24
^ 2.1 MODA PARA DADOS SIMPLES ( X ) Exemplo: Idade de 20 alunos: X i : 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9 O valor que apareceu maior número de vezes é o 5 ^ portanto => X = 5 25
^ 2.2 MODA PARA DADOS AGRUPADOS ( X ) X i = Xi fi 1 2 2 3 3 4 5 6 6 3 9 1-19 Maior valor de fi ^ X i = 5 26
2.3. MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES MODA DE CZUBER - ^ Xcz Xi PM fi 0 2... 1 3 2 4... 3 10 4 6... 5 6 6 8... 7 3 8 10... 9 1 total... 23 fmax 1º passo: Achar a classe onde se encontra a maior freqüência - fmax 27
^ 2.3. MODA DE Czuber - XCZ l i l s Xi PM fi 0 2... 1 3 2 4... 3 10 4 6... 5 6 6 8... 7 3 8 10... 9 1 total... 23 Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => f max = 10 Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => f ant = 3 f ant Amplitude da classe=> h = ls li = 4 2 = 2 f pos f max freqüência posterior => f post = 6 1 = fmax fant = 10 3 = 7 2 = fmax fpost = 10 6 = 4 28
^ 2.3. MODA DE Czuber - XCZ Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => f max = 10 Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => f ant = 3 Amplitude da classe=> h = ls li = 4 2 = 2 Cálculo da moda de Czuber ^ Xcz = li + 1. h ^ 1 + 2 freqüência posterior => f post = 6 1 = fmax fant = 10 3 = 7 2 = fmax fpost = 10 6 = 4 Xcz = 2 + 7. 2 = 2 + _7_. 2 = 2 + 14 = 2 + 1,3 = 3,3 7 + 4 11 11 29
^ 2.3. MODA DE KING - Xki l i l s Xi PM fi 0 2... 1 3 2 4... 3 10 4 6... 5 6 6 8... 7 3 8 10... 9 1 total... 23 Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => f max = 10 Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => f ant = 3 f ant Amplitude da classe=> h = ls li = 4 2 = 2 f pos f max freqüência posterior => f post = 6 30
^ ^ ^ 2.3. MODA DE KING - Xki Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => f max = 10 Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => f ant = 3 Amplitude da classe=> h = ls li = 4 2 = 2 Cálculo da moda de KING Xki = li + fpost. h fant + fpost freqüência posterior => f post = 6 Xcz = 2 + 6. 2 = 2 + 6. 2 = 2 + 12 = 2 + 1,3 = 3,3 3 + 6 9 9 31
^ 2.3. MODA DE Pearson - Xpe Cálculo da moda de PEARSON ^ ~ Xpe = 3. X _ - 2. X Exemplo: Em um levantamento de dados onde a Mediana = X = 4 ~ ^ e a Moda = X = 4,2 A moda de Pearson será: ^ X = 3.4-2. 4,2 = 12 8,4 ^ X = 3,6 32
Outras separatrizes A Mediana divide a distribuição em duas partes. É o atributo que está no meio da distribuição: 50% dos valores acima da mediana 50% dos valores abaixo da mediana 33
Outras separatrizes QUARTIS ou QUARTILHOS o Quartil divide a distribuição em 4 partes de igual freqüência. Seu cálculo é importante para as medidas de dispersão e variabilidade São três: 34
Outras separatrizes São três: Quartil Q1 = quartil inferior ou primeiro quartil. Tem 25% da distribuição abaixo de si Q2 = é a mediana ou quartil mediano Q3 = quartil superior ou terceiro quartil. Tem 75% da distribuição abaixo de si 35
Quartil 1º quartil - Q1 = assume a posição P1q = Σfi 4 2º quartil Q2 = assume a posição P2q = 2. Σfi 4 3º quartil - Q3 = assume a posição P3q = 3.Σfi 4 36
1º QUARTIL Q1 Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO PRIMEIRO QUARTIL P1q P 1q = Fi P1q = 23 P 1q = 5,75º posição 4 4 2º passo: IR NA COLUNA freqüência acumulada = fac E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O PRIMEIRO QUARTIL Q1 37
1º QUARTIL Q1 l i l s Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 faa 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 Posição 1º quartil Limite inferior da classe -> l i = 2 Limite superior da classe -> l s = 4 -> P 1q = 5,75º posição Amplitude da classe -> h = l s - l i = 4 2 = 2 Freqüência da classe -> f i = 10 Freqüência acumulada anterior -> faa = 3 Q1 = li Q1 = 2 + + P 1q - faa. h fi 5,75-3. 2 10 38
1º QUARTIL Q1 l i l s Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 faa 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 Q1 = 2 + 2,75. 2 10 Q1 = 2 + 0,55 Q1 = 2,55 39
3º QUARTIL Q3 Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO TERCEIRO QUARTIL P3q P 3q = 3. Fi P 3q = 3. 23 P 3q = 17,25º posição 4 4 2º passo: IR NA COLUNA freqüência acumulada = fac E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O TERCEIRO QUARTIL Q3 40
3º QUARTIL Q3 l i l s Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 2 4... 3 10 13 faa 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 Posição central total... 23 Limite inferior da classe -> l i = 4 Limite superior da classe -> l s = 6 -> P 3q = 17,25º posição Amplitude da classe -> h = l s - l i = 6 4 = 2 Freqüência da classe -> f i = 6 Freqüência acumulada anterior -> faa = 13 Q3 = li Q3 = 4 + + P 3q - faa. h fi 17,25-13.2 6 41
3º QUARTIL Q3 l i l s Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 faa 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 Q3 = 4 + 4,25. 2 13 Q3 = 4 + 0,65 Q3 = 4,65 42
Outras separatrizes Decil Dividem a distribuição em 10 partes de igual freqüência. São nove o quinto decil é a mediana. 43
Decil 1º decil - D1 = assume a posição P1d= Σfi 10 2º decil D2 = assume a posição P2d = 2. Σfi 10 9º decil - D9 = assume a posição P9d = 9.Σfi 10 44
1º DECIL D1 Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO PRIMEIRO DECIL P 1d P 1d = Fi P1d = 23 P 1d = 2,3º posição 10 10 2º passo: IR NA COLUNA freqüência acumulada = fac E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O PRIMEIRO DECIL D1 45
1º DECIL D1 l i l s Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 faa 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 Posição 1º DECIL Limite inferior da classe -> l i = 0 Limite superior da classe -> l s = 2 -> P 1d = 2,3º posição Amplitude da classe -> h = l s - l i = 2 0 = 2 Freqüência da classe -> f i = 3 Freqüência acumulada anterior -> faa = 0 D1 = li D1= 0 + + P 1d - faa. h fi 2,3 0. 2 3 46
1º DECIL D1 Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 D1 = 0 + 2,3. 2 3 D1 = 1,53 47
9º DECIL D9 Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO NONO DECIL P 9d P 9d = 9. Fi P 9d = 9. 23 P 9d = 20,70º posição 10 10 2º passo: IR NA COLUNA freqüência acumulada = fac E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O NONO DECIL D9 48
9º DECIL D9 l i l s Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 2 4... 3 10 13 faa 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 Posição central total... 23 Limite inferior da classe -> l i = 6 Limite superior da classe -> l s = 8 -> P 9d = 20,7º posição Amplitude da classe -> h = l s - l i = 8 6 = 2 Freqüência da classe -> f i = 3 D9 = li D9 = 6 + + P 9d - faa. h fi 20,7-19.2 3 Freqüência acumulada anterior -> faa = 19 49
9º DECIL D9 Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 faa 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 D9 = 6 + 1,7. 2 3 D9 = 6 + 1,13 D9 = 7,13 50
Outras separatrizes Centil ou Percentil Dividem a distribuição em 100 partes de igual freqüência. São noventa e nove o qüinquagésimo centil é a mediana. 51
Percentil - Ci 1º percentil - 2º percentil C1 = assume a posição P1c= Σfi 100 C2 = assume a posição P2c = 2. Σfi 100 99ºpercentil - C99 = assume a posição P99c =99.Σfi 100 52
10º PERCENTIL C10 Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO DÉCIMO PERCENTIL P 10c P 10c = 10. Fi P 10c = 10.23 P 10c = 2,3º posição 100 100 2º passo: IR NA COLUNA freqüência acumulada = fac E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O Décimo Percentil C10 53
10º PERCENTIL C10 l i l s Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 faa 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 Posição 10º percentil Limite inferior da classe -> l i = 0 Limite superior da classe -> l s = 2 -> P 10c = 2,3º posição Amplitude da classe -> h = l s - l i = 2 0 = 2 Freqüência da classe -> f i = 3 Freqüência acumulada anterior -> faa = 0 C10 = li C10 = 0 + + P 10c - faa. h fi 2,3 0. 2 3 54
10º PERCENTIL C10 Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 C10 = 0 + 2,3. 2 3 C10 = 1,53 55
90º percentil C90 Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO NONAGÉSIMO PERCENTIL P 90c P 90c = 90. Fi P 90c = 9. 23 P 90c = 20,70º posição 100 100 2º passo: IR NA COLUNA freqüência acumulada = fac E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O nonagésimo percentil C 90 56
90º PERCENTIL C90 l i l s Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 2 4... 3 10 13 faa 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 Posição central total... 23 Limite inferior da classe -> l i = 6 Limite superior da classe -> l s = 8 -> P 90c = 20,7º posição Amplitude da classe -> h = l s - l i = 8 6 = 2 Freqüência da classe -> f i = 3 C90 = li C90 = 6 + + P 90c - faa. h fi 20,7-19.2 3 Freqüência acumulada anterior -> faa = 19 57
90º PERCENTIL C90 Xi PM fi fac 0 2... 1 3 3 2 4... 3 10 13 4 6... 5 6 19 6 8... 7 3 22 8 10... 9 1 23 total... 23 C90 = 6 + 1,7. 2 3 C90 = 6 + 1,13 C90 = 7,13 58
Relações Quartil Decil Percentil Mediana D 1 = C 10 Q 1 = = C 25 ~ Q 2 = D 5 = C 50 = X Q 3 = = C 75 D 9 = C 90 59
Outras médias MÉDIA DE INTERVALO É a média entre a menor e a maior observação em um conjunto de dados. Média de Intevalo = X MENOR + X MAIOR MÉDIA DAS JUNTAS ou Midhinge É a média entre o primeiro e o terceiro quartil. 2 Midhinge = Q 1 + Q 3 2 60
Medidas de Dispersão As Medidas de Tendência Central: representam de certa forma uma determinada distribuição de dados só elas não são suficientes para caracterizar a distribuição. Para uma análise estatística mais exata é necessária a verificação da flutuação dos valores em torno de sua média aritmética 61
Medidas de Dispersão Suponha as notas de 2 grupos de estudantes, cada qual com 5 alunos. GRUPO A : 4, 5, 5, 6 GRUPO B : 0, 0, 10, 10 Média do grupo A : 5 Média do grupo B : 5 62
Medidas de Dispersão Os dois grupos apresentam a mesma média O comportamento dos 2 grupos são bem distintos. GRUPO A : valores são mais homogêneos GRUPO B : valores são dispersos em relação à média 63
Medidas de Dispersão Dentre as medidas de dispersão pode-se citar algums delas: a) Amplitude Total b) Amplitude Interquartil c) Desvio Quartílico ou Amplitude Semi-interquartílico d)desvio Médio e) Variância f) Desvio Padrão 64
a) Amplitude Total - R é a diferença entre o maior e o menor valor observados. R = Limite superior - Limite Inferior Exemplo 5: Idade de 20 alunos: X i : 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9 R = 9 1 = 8 65
b) Amplitude Interquartil AIQ ou IQR ( InterQuartile Range ) é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil. AIQ ou IQR = Q 3 - Q 1 Supera a dependência dos valores extremos Abrange 50% dos valores centrais, eliminando os 25% dos valores mais baixos e os 25% dos valores mais altos 66
c) Desvio Quartílico ou Amplitude Semi-interquartílico é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil. Dq = Q 3 - Q 1 2 67
d) Desvio Médio - DM é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil. Para uma amostra DM = Σ Xi X_ n - 1 Sendo: DM = Desvio Médio Xi = vr. variável n = nº elementos X = média aritmética
d) Desvio Médio - DM Para uma população DM = Σ Xi _ n Sendo: DM = Desvio Médio Xi = vr. variável n = nº elementos = média aritmética
d) Desvio Médio - DM Exemplo 6: Dado o levantamento: Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10 a) Calcule a média X = Σ Xi 40 = = 4 n 10 b) Montar a tabela a seguir:
d) Desvio Médio - DM Xi Xi - x Xi x 2 2 4 = - 2 2 2 2 4 = - 2 2 3 3 4 = - 1 1 3 3 4 = - 1 1 Σ Xi x_ 3 3 4 = - 1 1 DM = = n - 1 4 4 4 = 0 0 4 4 4 = 0 0 DM = 1,56 4 4 4 = 0 0 5 5 4 = 1 1 10 10 4 = 6 6 Σ 14 Considerando uma amostra 14 9
e) Variância população: 2 amostra: s 2 é a média dos quadrados dos afastamentos entre as os valores da variável e sua média aritmética Revela a dispersão do conjunto que se estuda
e) Variância população: 2 amostra: s 2 Para uma amostra s 2 = Σ (Xi X ) 2 _ n - 1 Sendo: s 2 = variância amostra Xi = vr. variável n = nº elementos X = média aritmética
e) Variância população: 2 amostra: s 2 Para uma população 2 = Σ (Xi ) 2 _ n Sendo: 2 = variância população Xi = vr. variável n = nº elementos = média aritmética
d.1) Variância - 2 dados simples Exemplo 7: Dado o levantamento: Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10 a) Calcule a média X = Σ Xi 40 = = 4 n 10 b) Montar a tabela a seguir:
d.1) Variância - s 2 dados simples Xi Xi - x ( Xi x ) 2 2 2 4 = - 2 2 2 = 4 2 2 4 = - 2 2 2 = 4 3 3 4 = - 1 1 2 = 1 3 3 4 = - 1 1 2 = 1 Σ ( Xi x ) 3 3 4 = - 1 1 2 = 1 s 2 = n - 1 4 4 4 = 0 0 2 = 0 = 4 4 4 = 0 0 2 = 0 48 4 4 4 = 0 0 2 = 0 s 2 = = 5,33 9 5 5 4 = 1 1 2 = 1 10 10 4 = 6 6 2 = 36 Σ 48
d.2) Variância - s 2 dados agrupados Xi f i Xi. f i Xi - x ( Xi x ) 2 ( Xi x ) 2. f i 2 2 2. 2 = 4 2 4 = -2 (-2) 2 = 4 4. 2 = 8 3 3 3. 3 = 9 3 4 = -1 (-1) 2 = 1 1. 3 = 3 4 3 4. 3 = 12 4 4 = 0 0 2 = 0 0. 3 = 0 5 1 5. 1 = 5 5 4 = 1 1 2 = 1 1. 1 = 1 10 1 10. 1 = 10 10-4 = 6 6 2 = 36 36. 1 = 36 Σ fi = 10 Σ fi = 40 Σ fi = 48 s 2 = se amostra Σ ( Xi x ) 2. fi Σ fi - 1 48 9 s 2 = = 5,33
d.2) Variância - s 2 dados agrupados em classes X i PM fi PM.fi PM-x ( PM x ) 2 ( PM x ) 2.f i 0 2... 1 2 1.2 = 2 1-5= -4 (-4) 2 = 16 16. 2 = 32 2 4... 3 4 3.4 = 12 3-5= -2 (-2) 2 = 4 4. 4 = 16 4 6... 5 8 5.8 = 40 5-5= 0 0 2 = 0 0. 8 = 0 6 8... 7 6 7.6 = 42 7-5= 2 (2) 2 = 4 4. 6 = 24 8 10... 9 1 9.1 = 9 9-5= 4 (4) 2 = 16 16. 1 = 16 total... 21 105 88 s 2 = 4,4 X = Σ ( PM.fi) = 105 Σ fi 21 s 2 = Σ ( PM x ) 2. fi = Σ fi - 1 s 2 = X = 5 88 20
d) Desvio Padrão Por definição, é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios para uma população = 2 para uma amostra s = s 2 É a mais utilizada Revela a dispersão do conjunto que se estuda
e) Desvio Padrão - ou s Se todos os valores forem iguais, o desvio padrão é nulo. quanto maior o desvio padrão mais heterogênea é a distribuição, significa que os valores são mais dispersos em torno da média MEDIA ± 1 => 68,26% dos valores MEDIA ± 2 => 95,44% dos valores MEDIA ± 3 => 99,74% dos valores
f) Coeficiente de Variação - CV CV = - desvio padrão X X - média artitmética o CV mede o grau de heterogeneidade da distribuição Valor máximo é CV = 1 0 CV 1 81
Coeficiente de Variação - CV Quanto mais próximo de 1: mais heterogênea é a distribuição Os valores estão mais dispersos Quanto mais próximo de 0: mais homogênea é a distribuição Os valores da variável estão mais próximos em torno da média 82
Coeficiente de Variação - CV Ex: Dado 2 estudantes cujas notas bimestrais foram: a : 60; 40; 50; 50 b : 70; 70; 30; 30 Qual foi mais regular? 83
f) Coeficiente de Variação - CV Na comparação de variabilidade de dois ou mais conjuntos de dados: 1. expressos em diferentes unidades de medida 2. expressos nas mesmas unidades, mas com médias diferentes. 84
f) Coeficiente de Variação - CV Comparação de valores expressos em diferentes unidades de medida Exemplo 8: Deseja-se comparar qual grandeza varia mais: PESO ou COMPRIMENTO X PESO = 20 kg PESO = 2 kg X COMPRIMENTO = 50 metros COMPRIMENTO = 4 metros 85
f) Coeficiente de Variação - CV CVP = PESO X PESO CVP = 2 20 CVP = 0,10 CVC = COMPRIMENTO X COMPRIMENTO CVC = 4 50 CVC = 0,08 CVPESO = 0,10 CV COMPRIMENTO = 0,08 PESO varia mais que o comprimento 86
f) Coeficiente de Variação - CV expressos nas mesmas unidades, mas com médias diferentes Exemplo 9: Deseja-se comparar qual grupo A ou B tem mais variação de rendimento em um processo: X A = 80 % X B = 50 % A = 2 % B = 1 % 87
f) Coeficiente de Variação - CV A CVA = XA CVP = 2 80 CVA = 0,025 CVB = B X B CVB = 1 50 CVB = 0,020 CVA = 0,025 CV B = 0,020 O rendimento do Produto A varia mais que o rendimento do produto B no decorrer do processo 88
RANILDO LOPES Estatística 89