Relatividade Espeial Esmerindo Bernardes 1, 1 L.I.A. Laboratório de Instrumentação Algébria Instituto de Físia de São Carlos Universidade de São Paulo 13560-970 São Carlos, SP, Brazil (Dated: 11 de Novembro de 2014) A fim de omplementar as disussões feitas sobre movimento e suas leis, faremos aqui uma disussão muito breve sobre a relatividade espeial, a qual orrige o modelo newtoniano para veloidades próximas à veloidade máxima permitida na nossa natureza (a veloidade da luz). eremos também a fusão das noções de espaço e tempo por um lado e da fusão entre as noções de energia e massa por outro. CONTENTS I. Transformações de Galileu 1 II. Transformações de Lorentz 2 III. Meânia relativístia 3 I. Exeríios 5 I. TRANSFORMAÇÕES DE GALILEU Os dois prinípios equivalentes às três leis de Newton são válidos em qualquer sistema inerial de referênia. amos onsiderar então o seguinte problema de interesse prátio. Suponha dois refereniais ineriais quaisquer, digamos O e. Considere o referenial em movimento (uniforme) em relação a O. Para simplifiar um pouo, vamos supor que os eixos espaiais X, Y e Z do referenial O oinidam om os eixos espaiais, e Z do referenial em t = t = 0. amos supor também que suas origens oinidam em t = t = 0. amos também onsiderar um movimento para o referenial ao longo do eixo X, mantendo o eixo sempre paralelo ao eixo X, om veloidade onstante = î. eja a Figura 1. Muito bem. Imagine agora que algum experimento meânio seja realizado (no váuo) no referenial em movimento. Este experimento pode ser (1) o lançamento de um objeto sob a ação da gravidade ou (2) o movimento de um orpo preso a uma mola (osilador harmônio sem atrito) ou (3) o movimento de um orpo sob a ação da gravidade, porém preso a uma extremidade de uma haste inextensível e de massa nula om a outra extremidade fixa (pêndulo simples sem atrito), para itar apenas três possibilidades. Como os resultados desses experimentos em serão vistos no referenial em repouso O? Todos os números serão os mesmos? As trajetórias serão as mesmas? Eventos simultâneos em serão vistos também simultaneamente no outro referenial O? Esta última sousa@ifs.usp.br questão tem um papel fundamental nas disussões seguintes. Y t O X x Figura 1. Transformações de oordenadas entre refereniais ineriais. A veloidade relativa entre eles é. Os relógios foram sinronizados no momento em que os dois refereniais oinidiram. Para respondermos estas questões, preisaremos saber primeiramente omo relaionar oordenadas nestes dois refereniais. Esta relação deve umprir uma exigênia fundamental: ela deve preservar a definição de força, ou seja, o produto massa (onstante) por aeleração deve ser o mesmo ou proporionais nos dois refereniais, pois estes dois refereniais são ineriais. Isto é onheido omo o prinípio da relatividade de Galileu-Newton: Prinípio 1 Todas as leis da meânia são as mesmas em todos os sistemas ineriais de referênia. Note que Galileu e Newton não ousaram inluir as demais leis físias, além daquelas da meânia, neste prinípio. Este prinípio garante a validade apenas das leis da meânia. Portanto, se queremos aderir ao prinípio da relatividade de Galileu-Newton, a únia possibilidade de efetuarmos uma transformação de oordenadas que preserve a definição de força (portanto as leis da meânia) é uma relação linear no tempo, x x = γ( x + t), (1)
2 quando o referenial estiver movimentando-se no sentido positivo do eixo X (veja a Figura 1), ou x = γ(x t), (2) quando o referenial O estiver movimentando-se no sentido negativo do eixo. Note que mantivemos a mesma onstante γ nestas duas relações. Isto é razoável, pois estamos onsiderando que o nosso espaço vazio (o palo de todos os movimentos) seja homogêneo e isotrópio. Ser homogêneo signifia que a onstante γ não pode depender da posição. Em um espaço isotrópio, a onstante γ não pode depender nem da direção nem do sentido de qualquer vetor. Consequentemente, se γ tiver qualquer dependênia om a veloidade do referenial, poderá ser apenas uma dependênia em seu módulo =. Até aqui, não menionamos qualquer relação entre t e t, a não ser que x = x em t = t = 0. Quem são os possíveis valores de γ? Galileu e Newton fizeram a hipótese de que o tempo fluía uniformemente nos dois refereniais, ou seja, t = t sempre. Isto signifia que o tempo é absoluto, o mesmo em todos os refereniais ineriais, ou seja, um evento que é simultâneo em um referenial inerial, o será em todos os demais. Newton areditava também que a existênia de um tempo absoluto estivesse ligado om a existênia de um Deus supremo. Fazendo t = t em (1) e (2) e depois somando estes dois resultados, obteremos x + x = γ(x + x) γ = 1. (3) Também fazendo x = x em t = t = 0, determinamos γ = 1. Note que derivando (1) ou (2) om γ = 1 obtemos a onheida regra de omposição para veloidades, As transformações v = v ±. (4) x = x t, ȳ = y, z = z, t = t, (5) são onheidas por transformações de Galileu. Estas transformações não afetam as massas dos orpos. Consequentemente, o produto massa por aeleração é mantido invariante (Faça os Exeríios 1 2). Naturalmente, estas transformações têm sido verifiadas em todos os asos onheidos, exeto quando o valor de é omparável ao valor da veloidade da luz. Surpreso? Isto é realmente surpreendente! II. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ A disrepânia entre as transformações de Galileu (5) e experimentos foi onsagrada no experimento de Mihelson-Morley, realizado pela primeira vez um pouo antes de 1900. ejamos primeiro o que a teoria de Galileu-Newton prediz quando luz é emitida na origem do referenial O e observada no referenial em movimento. No instante t, a luz está na posição x = t em O. Então, no referenial, ela estará em x = x t = t t = t, segundo as transformações (5). Portanto, no referenial a luz deve ser vista om uma veloidade menor, = ( ). Entretanto, o experimento de Mihelson- Morley diz que a veloidade da luz é a igual a em todos os refereniais ineriais! Pronto, a onfusão estava feita. Albert A. Mihelson, por ahar que havia alguma oisa errada em seu experimento, ontinuou a repeti-lo por quase 30 anos! Ele reebeu o prêmio Nobel em 1907 (por estas medidas e por ter inventando o interferômetro, um instrumento ótio de alta preisão). No entanto, ainda em 1905, um jovem físio, até então ompletamente desonheido, disse de forma arrebatedora que a nossa natureza é assim: a veloidade da luz no váuo é independente do movimento da fonte, ou seja, ela é uma onstante universal. Simples assim. E onluiu: então não poderemos ter γ = 1 e nem t = t! Portanto, devemos ter x = t em O e x = t em. Substituindo estes valores em (1) e (2), teremos (faça o Exeríio 3) da qual resulta t = γ( + ) t, t = γ( )t, (6) γ 2 = 1 1 β 2, β =. (7) Note que γ depende somente do módulo da veloidade relativa entre os refereniais ineriais, omo previsto. Podemos ver então que no limite de baixa veloidade, β 0 e γ 2 1, que é o seu valor no aso lássio (3) se esolhermos γ positivo em (7). No entanto, quando é omparável a, temos de usar as relações (1) e (2). Relações similares para o tempo visto nos dois refereniais podem ser obtidas eliminando-se ou x ou x em (1) e (2) (faça o Exeríio 4), x = γ(x β t), t = γ(t β x), (8) x = γ( x + β t), t = γ( t + β x). (9) om ȳ = y e z = z. Estas transformações foram apresentadas por Einstein em 1905 e são onheidas por transformações de Lorentz (por motivos diferentes dos relaionados aqui e anteriores a 1905). Em (8), expressamos as oordenadas do referenial em termos das oordenadas do referenial O. As transformações inversas (9) são obtidas simplesmente invertendo o sinal de (e, onsequentemente, de β = / também). Como as relações (8) (9) misturam as posições espaiais om o tempo (e vie-versa), o tempo não é absoluto, omo Galileu e Newton imaginaram. Isto signifia que um aonteimento não preisa ser simultâneo em todos os refereniais ineriais. Isto trará onsequênias ainda mais surpreendentes, omo veremos a seguir. No entanto, as transformações de Lorentz (8) (9) preservam o termo massa vezes aeleração da segunda lei de Newton se introduzirmos uma nova massa (γm), denominado de massa relativístia (faça o Exeríio 1). A massa m original
3 é denominada de massa de repouso, devido ao fato de preisarmos estar em repouso para medi-la. Assim, na veloidade da luz (β = 1, γ ), a massa relativístia torna-se infinita. Naturalmente, as transformações (8) são idêntias às transformações (5) quando (ou β 1). Este é outro exemplo onde uma teoria foi devidamente orrigida: para veloidades baixas podemos usar a meânia Newtoniana; para veloidades altas devemos usar a meânia Einsteiniana (ou meânia relativístia). III. MECÂNICA RELATIÍSTICA O prinípio da relatividade de Galileu-Newton agora deve ser enuniado na seguinte forma: Prinípio 2 (Relatividade de Einstein) 1. Todas as leis físias são as mesmas em todos os sistemas ineriais de referênia; 2. A veloidade da luz no váuo tem o mesmo valor em todos os sistemas ineriais. Este prinípio é onheido omo o prinípio da relatividade de Einstein. Note que ele é mais geral que o prinípio da relatividade de Galileu-Newton (Prinípio 1), pois agora todas as leis físias foram devidamente inluídas. ejamos algumas previsões da meânia relativístia. Suponha um relógio em repouso no referenial. Permaneendo sempre no mesmo lugar ( x 1 = x 2 ), marque um determinado intervalo de tempo, T = t 2 t 1, usando um relógio que esteja em repouso no referenial. Este intervalo de tempo medido om o relógio em repouso será denominado de tempo próprio. No outro referenial O, aquele relógio usado para medir o tempo próprio em será visto em movimento. Portanto os dois eventos que determinaram o intervalo de tempo T serão vistos nos instantes t 1 e t 2 (em posições diferentes), orrespondendo a um intervalo T = t 2 t 1. Usando as transformações (9) em T, enontraremos (faça o Exeríio 5) T = γ T. (10) Esta relação nos mostra que T > T, ou seja, que o relógio em movimento em relação ao referenial O, é mais lento, pois o intervalo de tempo T medido é maior. Naturalmente, os observadores solidários ao referenial hegarão à mesma onlusão a respeito de um relógio usado para medir um tempo próprio em O. Há nenhuma ontradição nisto. O tempo próprio será sempre o menor intervalo tempo e pode somente ser medido em apenas um referenial inerial. Todos os demais refereniais inerias distintos irão medir intervalos de tempo maiores, porém haverá nenhuma onordânia de valores entre eles. Suponha que temos uma régua em repouso no referenial de omprimento L = x 2 x 1. Este é o omprimento próprio (régua em repouso). Uma vez que a régua está em repouso, a medida das posições x 1 e x 2 das extremidades podem ser efetuadas em tempos diferentes. No outro referenial O, esta régua será vista em movimento, por isto a leitura de suas extremidades deverão ser efetuadas no mesmo instante de tempo (t 1 = t 2 ). Assim, o omprimento da régua medido em O será L = x 2 (t) x 1 (t). Usando as transformações (8) em L, enontraremos (faça o Exeríio 5) L = L γ. (11) Esta relação nos mostra que L < L, pois γ > 1. Portanto, a régua em será vista om um omprimento menor no outro referenial O. Este resultado é onheido por ontração espaial. Naturalmente, os observadores solidários ao referenial hegarão à mesma onlusão a respeito de uma régua usada para medir um omprimento próprio em O. Novamente, há nenhuma ontradição nisto. O omprimento próprio será sempre o maior omprimento próprio e pode somente ser medido em apenas um referenial inerial. Todos os demais refereniais inerias distintos irão medir omprimentos menores, porém haverá nenhuma onordânia de valores entre eles. Naturalmente, estas previsões estão onfirmadas em experimentos usando partíulas elementares em aeleradores de partíulas (para saber mais sobre partíulas elementares, onsulte Aventuras das Partíulas, mantido pelo Instituto de Físia Teória (IFT), Unesp). Em partiular, visite o site Experimento om Múons. Que aontee se um determinado orpo estiver movendo-se na veloidade da luz (omo a própria luz), digamos em O? A veloidade dele será diferente de em? ejamos. A omponente x da veloidade deste orpo em O é definida omo v x = dx/dt, ou seja, a razão entre as difereniais dx e dt. Então, usando as transformações (8) (9), teremos v x = dx dt = d x + β d t d t + β d x = v x + 1 + v x 2. (12) Fazendo o mesmo para as demais omponentes, teremos v y = dy dt = v z = dz dt = vȳ ( ), (13) γ 1 + v x 2 v z ( ). (14) γ 1 + v x 2 Note que v x = implia em v x =. A regra relativístia de omposição de veloidades (12) (14) nuna fornee uma veloidade relativa maior que a veloidade da luz.
4 Y A α A α O Figura 2. Colisão entre um orpo A e dois fótons vista por dois refereniais ineriais em movimento relativo om. O orpo A está em repouso no referenial O e tem massa M neste referenial. Há ainda outras revelações extraordinárias, mas por falta de espaço, fiarão para uma outra oportunidade. Entretanto, deve ser menionado que Einstein também desobriu uma relação entre massa e energia, E = m 2. Tudo que tem massa, possui esta energia armazenada. Até a desoberta desta relação, areditava-se na onservação da energia e da massa separadamente. Hoje sabemos que massa e energia são manifestações de uma mesma quantidade físia (ainda sem nome!). Seguindo o próprio Einstein, é instrutivo realizarmos uma derivação elementar desta equivalênia entre massa e energia. Consideremos um sistema omo ilustrado na Figura 2. O orpo A está em repouso no referenial O e tem massa M. Neste mesmo referenial, observamos dois fótons (luz) movendo-se na mesma direção mas em sentidos opostos, os quais serão absorvidos pelo orpo A. Supondo que ada fóton tenha uma energia igual a E/2, o orpo A terá sua energia aumentada por E = E. O fóton é uma partíula uriosa, pois ele não tem arga elétria e nem massa de repouso, isto é, um fóton parado em algum referenial inerial teria massa nula. No entanto ele só pode estar em movimento! Mas omo, se ele não tem massa? Mesmo não tendo massa, o fóton pode ter então uma quantidade de movimento não-nula! O momentum linear do fóton é a sua energia dividida pela veloidade da luz (no váuo). Devemos lembrar que o fóton arrega a menor quantidade de energia em um feixe luminoso. Esta energia depende apenas da frequênia ν da luz e da onstante de Plank h = 6.626 10 34 J s, E = hν. Por isso ele é denominado de quantum de luz (ou da radiação eletromagnétia). O fóton foi desoberto por Max Plank em 1900 (Plank reebeu o prêmio Nobel em 1918 por esta desoberta). Coube a Einstein eslareer a natureza orpusular (omposta de muitos fótons) da luz em 1905 (ele reebeu o prêmio Nobel em 1921, por esta e outras ontribuições à físia teória). X Figura 3. Colisão entre um orpo A e dois fótons vista pelo referenial inerial em movimento om. De volta ao nosso experimento: uma olisão entre três orpos, onde um dos orpos (o orpo A) absorve dois fótons. Estes três orpos estão isolados. Portanto, de aordo om a segunda lei (prinípio 2 do Cap. 2) há onservação do momentum linear. Como o momentum linear é um vetor, devemos olhar para as três direções em ada referenial. No referenial O onde o orpo A está em repouso, a omponente no eixo X do momentum linear total é nula, pois ada fóton tem p x = E/2, mas em sentidos opostos e o orpo A está em repouso. Depois da olisão, eles são ompletamente absorvidos e, por simetria, o orpo A ontinua em repouso. Portanto há onservação da omponente X do momentum linear. Como não há movimento nas demais direções (Y e Z), não preisamos nos preoupar omo as respetivas omponentes do momentum linear. Passemos agora para o outro referenial inerial em movimento,. Este referenial está em movimento uniforme ao longo eixo Y, omo indiado na Figura 2. Neste referenial em movimento, nosso experimento é visto omo mostrado na Figura 3. Considerando que o fator β = / é pequeno, podemos aproximar o ângulo α pelo seu seno, sin(α) = α. (15) Assim, antes da olisão, o momentum linear total no eixo é ( ) P (a) E ȳ = M + 2 2 sin(α) = M + E. (16) 2 Na verdade, tanto a massa M do orpo A quanto o momentum linear do fóton E/2 no referenial deveriam sofrer orreções relativístias. No entanto, estas orreções são muito pequenas se β = / é pequeno, que é o aso em questão (veja o Exeríio 8). Bem e depois da absorção? imos no referenial em repouso O que o orpo A permanee em repouso após a olisão dos dois fótons. Portanto ele terá de ontinuar om a veloidade ao longo do eixo, omo indiado na Figura 3, mesmo após a olisão (explique). Após a olisão os dois fótons não existem mais, devido à absorção. Então, para não onluirmos que os fótons não existiam antes da olisão devido à onservação do momentum linear, ou então para
5 não onluirmos que a onservação do momentum linear está errada, temos de supor uma massa M M para o orpo A após a olisão. Assim, após a olisão o momentum linear total no eixo é P (d) ȳ = M. Como o momentum linear deve ser onservado, pois não existem forças externas, então de onde obtemos M + E 2 = M, (17) M = M M = E 2 = E 2. (18) Este resultado está nos dizendo que a energia E, absorvida ou liberada por um orpo, é equivalente a uma variação m na sua massa de repouso m, E = m 2. eja o Exeríio 10 para um exemplo numério. Esta relação entre massa e energia explia porque o fóton tem uma quantidade de movimento, mesmo não tendo uma massa de repouso (omo a nossa): ele tem energia. Não poder (nuna) estar parado, é o preço que ele paga por não ter uma massa de repouso, ele preisa estar sempre em movimento. I. EXERCÍCIOS Exeríio 1 Mostre que as transformações de Galileu (5) deixam a segunda lei de Newton invariante. Mostre que as transformações de Lorentz (8) deixam a segunda lei de Newton invariante apenas se onsiderarmos uma modifiação na massa da forma m γm, onheida omo massa relativístia. Exeríio 2 Suponha que no referenial em movimento haja um orpo preso a uma mola obedeendo a lei de Hooke. Use as transformações de Galileu (5) e de Lorentz (8) para enontrar a equação diferenial equivalente à do osilador harmônio no referenial O. Exeríio 3 Mostre que as relações (6) estão orretas e determine expliitamente o valor de γ. Exeríio 4 Determine expliitamente as transformações para o tempo, mostradas na segunda oluna das Eqs. (8) e (9), a partir das relações (1) e (2). Exeríio 5 Determine expliitamente as relações (11) e (10). Exeríio 6 Determine expliitamente os resultados (12), (13) e (14). Exeríio 7 Quais são os valores relativos das ontrações espaial ( L/L) e temporal ( T /T ) quando β = 0.3, β = 0.6, β = 0.9 e β = 0.99? Exeríio 8 Mostre, usando a série de Taylor, que a orreção relativístia (7) pode ser esrita na forma de uma série de potênias quando β 1, γ 1 + 1 2 β2 + 3 8 β4. (19) Exeríio 9 Considere a partíula denominada de múon. Ela tem a mesma arga de um elétron, mas uma massa era de 200 vezes maior. Ela é instável: após o tempo L = 2.2 µs (medido no referenial do múon (lento) em laboratórios) ela se transforma (deai) em outras partíulas. Quando o múon vem de raios ósmios, ele penetra nossa atmosfera om uma veloidade = 0.99 e hega até o solo em grandes quantidades. Explique omo o múon hega até a superfíie (pouos kilômetros abaixo do iníio da nossa atmosfera). Exeríio 10 O isótopo 216 Po do átomo de polônio, número atômio Z = 84, massa atômia 216.001889 u.m.a., foi desoberto por Marie Curie em 1893, omo um átomo radioativo. Pela desoberta de átomos radioativos, ela e seu marido (Pierre) reeberam o prêmio Nobel em 1903. ale menionar que ela reebeu um segundo prêmio Nobel em 1911 pela desoberta do polônio. O proesso de desintegração do polônio é 216 Po 212 Pb + 4 He. (20) Sabendo que a massa atômia do humbo 212 Pb é 211.991872 u.m.a. e a do hélio é 4.002602 u.m.a. e que uma unidade de massa atômia (u.m.a) vale 1.66 10 27 kg, alule a energia liberada neste proesso radioativo. Esta energia é usada na forma de energia inétia pelos produtos da reação nulear.