UNIDADE 15 OSCILAÇÕES 557
AULA 40 OSCILAÇÕES OBJETIVOS: - DEFINIR O CONCEITO DE OSCILAÇÃO; - CONHECER AS GRANDEZAS QUE DESCREVEM O MOVIMENTO. 40.1 Introdução: Há, na Natureza, um tipo de movimento muito importante: o movimento periódico, que é aquele que se repete em intervalos de tempo iguais. Por exemplo, o movimento dos átomos e moléculas em uma rede que constitui um corpo sólido, o movimento dos planetas e satélites, para citarmos apenas dois deles, em situações muito diferentes. Quando uma partícula descreve um movimento periódico sempre com a mesma trajetória, dizemos que ela possui um movimento oscilatório ou vibratório. Um exemplo clássico é o de uma mola ligada a um corpo que desliza sobre uma superfície sem atrito. Por causa da presença constante do atrito, os corpos geralmente não oscilam entre posições limites fixas; com a perda de energia, eles eventualmente param de oscilar. Os movimentos dessa natureza são chamados de movimentos amortecidos. Para manter um movimento periódico amortecido, é necessário que apliquemos uma força externa ao corpo; o movimento é, então, chamado de movimento forçado O intervalo de tempo necessário para que o movimento se repita (ou que o movimento complete uma oscilação ou um ciclo) é denominado período do movimento ( ). A frequência do moviment ( ) é o número de oscilações ou ciclos por unidade de tempo que ocorrem no movimento. A frequência, portanto, é o inverso do período: = (40.1) A unidade de tempo sendo o segundo internacional, a unidade de frequência é ciclo por segundo, também chamada de Hertz em homenagem a Heinrich Hertz (1857 1894). Quando uma partícula está com movimento periódico, em geral há um ponto em que não há força resultante atuando sobre ela. Esse ponto é denominado posição de equilíbrio. A distância (linear ou angular da partícula à posição de equilíbrio é chamada deslocamento da partícula em relação a essa posição de equilíbrio. Quando uma partícula possui movimento oscilatório, a sua posição varia periodicamente com o tempo; da mesma forma, a sua velocidade e a sua aceleração são variáveis durante o movimento. Consequentemente, a força que atua sobre ela também varia. 558
A descrição matemática de um movimento periódico é feita em termos de senos e co senos ou de combinações dessas funções, que são chamadas de funções harmônicas; por isso, o movimento periódico também é conhecido como movimento harmônico. 40 2 O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES Um oscilador harmônico simples é uma partícula que se move ao longo de uma reta sob ação de uma força: em que = é o deslocamento da partícula relativo à sua posição de equilíbrio. O sinal negativo indica que a força está se opondo ao deslocamento e, portanto, tende a fazer a partícula voltar à posição em que a força é nula. Essa força é conhecida como força restauradora O exemplo clássico de um oscilador harmônico simples é o de um corpo de massa preso a uma mola de comprimento, movendo se sobre uma superfície horizontal sem atrito (Figura 40 1). Figura 40 1: Oscilador harmônico simples A posição de equilíbrio é aquela em que a mola não está deformada. Quando o corpo se move, ele estica ou comprime a mola, causando lhe uma deformação igual à distância dele à posição de equilíbrio. Se a origem do sistema de coordenadas coincidir com a posição de equilíbrio, essa distância é numericamente igual ao deslocamento do corpo; na figura acima, o ponto é o ponto de equilíbrio e a posição é a deformação da mola. Quando a mola está deformada, ela exerce uma força sobre o corpo que é proporcional à deformação (no caso, à variação de seu comprimento) e tende a restaurar o comprimento original da mola. Essa força é decorrente da lei de Hooke, lei empírica descoberta por Robert Hooke (1635 1703) que diz que: 559
Quando um sólido é deformado, ele tende a eliminar essa deformação com uma força que proporcional à deformação, desde que esta não ultrapasse um limite, denominado limite elástico do corpo, que depende da natureza desse corpo. Assim, de acordo com a Lei de Hooke, se é a posição do corpo relativamente à posição de equilíbrio, a força restauradora da mola sobre o corpo é dada pela equação (40 1): = (40.2) onde o sinal negativo indica que a força tem sentido oposto ao deslocamento do corpo. Isto é, com o eixo O da Figura 40 1, quando a força tem sentido oposto ao do eixo; quando, a força tem o mesmo sentido que o ele. O movimento do oscilador harmônico simples pode ser conhecido resolvendo a equação da segunda lei de Newton. Escolhendo a origem de coordenadas coincidente com a posição de equilíbrio, temos: = Lembrando que a aceleração é a derivada segunda da posição em relação ao tempo, a equação acima pode ser escrita: + = 0 (40.3) Esta é uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução nos dá a variação da posição do corpo com o tempo. A solução pode ser obtida facilmente com métodos estudados na teoria das equações diferenciais; entretanto, usaremos um método empírico para resolver a equação, mas que nos dá uma informação mais física sobre a solução. Seja a solução procurada. Podemos escrever a equação (2) da seguinte forma: 2 2 = 0 2 0 = Nessa forma, podemos ver que a função deve ser proporcional à sua derivada segunda (a constante de proporcionalidade é 0 2. Ora, somente as funções seno, co seno e exponencial (que pode ser colocada na forma de soma de seno e co seno) possuem essa propriedade. As funções sen e cos são, respectivamente, as partes imaginária e real do número complexo. em que = 1. Como, também: =cos + sen 560
=cos sen se somarmaos essas duas exponenciais, obtemos: cos = + Se subtrairmos a segunda expressão da primeira, obtemos: 2 sen = Atividade 40.1: Mostre que as funções seno, co seno e exponencial são proporcionais à suas derivadas segundas. 2 A propriedade acima ainda é verificada se multiplicarmos as funções por uma constante. Além disso, podemos levar em conta que as funções seno e co seno se diferem de uma constante e escrever para a solução da equação (3): = cos + (40.4) em que e são constantes a serem determinadas. Note que as unidades do termo entre parênteses deve ser radiano. Portanto, é medido em radianos e, em radianos por segundo. O termo entre parênteses é chamado de fase do movimento; o ângulo, de ângulo de fase. Conhecido, a velocidade e a aceleração do oscilador em função do tempo são obtidas facilmente por derivação: = = sen + = = cos + (40.5) A Figura 40 2 mostra as variações de em função do tempo. A Deslocamento x t 561
ω A Velocidade dx/dt t ω 2 A Aceleração (d 2 x)/(dt 2 ) t Figura 40 2: Gráficos de, e para o oscilador harmônico simples Atividade 40.2: Verifique que a Eq. 40.5 é solução da Eq. 40.3 As constantes e são arbitrárias, de modo que a função pode se ajustar a um grande número de movimentos harmônicos simples com a escolha adequada de valores para elas. Isso aliás é uma característica da equação diferencial: sua solução representa uma família de funções que a satisfazem. No caso do movimento harmônico simples, as constantes e descrevem um grupo de movimentos com características comuns, mas que diferenciam uns dos outros. Assim, ao fixarmos os valores dessas constantes, escolhemos uma solução determinada dentre as outras também possíveis. Exemplo 40.1: Um oscilador harmônico simples é composto por uma mola de constante =27,0 / e massa =3,0. A mola é esticada de 0,20 e o sistema é solto a partir do repouso. Determine a equação de movimento do oscilador. Solução: Para determinar a equação de movimento, temos que determinar e. Precisamos então de um sistema de duas equações com essas grandezas como 562
incógnitas. Esse sistema pode ser obtido com as condições estabelecidas nos dados do problema. Como, em, m e m/s (o oscilador parte do repouso), temos, da expressão de : 0,20 = cos, +, ou, deixando de escrever as unidades, temos, no instante : 0,20 = cos 3 + Como conhecemos a velocidade inicial, podemos usar a expressão da velocidade do oscilador em função do tempo para obter a segunda equação: = sen + Levando os valores da velocidade para e de nessa expressão, obtemos: Então, resolvendo o sistema: 0 = 3,0 sen 3,0 0 + 0,20= cos 0= 3,0 sen Da segunda equação, vemos que radianos pois não pode ser nulo. Da primeira, então, com o valor, obtemos que m. Assim, a equação de movimento do oscilador é: =0,20 cos 3,0 Vejamos agora quais são os significados físicos de. Começando com, seja a equação de movimento do oscilador e aumentemos o tempo de um fator. Temos: + 2 = cos + 2 + + 2 = cos + 2 + + 2 = cos + Portanto, a posição do oscilador volta a ser a mesma depois de um intervalo de tempo. Portanto, o período do movimento ( ) é: 563
= = = 2 (40.6) Note que o período de oscilação cresce com a massa (ou a inércia) da partícula e decresce com a constante da mola. Isto é, quando maior a inércia, mais lentamente o oscilador de move; quando maior a constante de mola (a restauração da deformação), mais rápido o oscilador se move. A frequência ( ) do movimento do oscilador é o número de oscilações completas por unidade de tempo, realizadas por ele. A frequência ( ) é dada, em função do período, por: = = = (40.7) Então: =2 = (40.8) A constante tem significado físico simples. Como ela é função co senoidal do tempo, e como a função co seno só tem valores entre 1 e +1, os valores do deslocamento estão sempre compreendidos entre e. Assim, o deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio é, que é denominado amplitude do movimento. O significado físico da constante pode ser entendido fazendo na equação do movimento. Temos, então: = cos isto é, no instante inicial do estudo do movimento, a posição inicial do oscilador difere da posição de afastamento máximo da posição de equilíbrio de um fator. Então, é o termo que estabelece qual é a posição inicial do oscilador em termos de. Notemos que, para, = cos + = sen + de modo que, em, o deslocamento é zero. A Figura 40 3 mostra gráficos do deslocamento de dois osciladores harmônicos simples para vários valores diferentes de e. Na parte (a), temos dois osciladores com a mesma amplitude e período, mas com diferença de fase de 4 ; na parte (b), os osciladores possuem o mesmo ângulo de fase e período, mas a amplitude de um é o dobro da do outro; na parte (c), os osciladores possuem a mesma amplitude e a mesma fase, mas diferem em períodos de um fator 2. 564
x A ΙΙ Ι T t δ ΙΙ ΙΙ = 45º δ Ι = 0º A x Ι ΙΙ T δ ΙΙΙ t ΙΙΙ = 0º δ Ι = 0º A x IV Ι δ IV = 0º T T t t δ Ι = 0º Figura 40 3: Gráficos de, para dois osciladores harmônicos simples Para descrever completamente o movimento do oscilador, precisamos conhecer os valores das constantes e. Como essas grandezas são constantes, basta conhecermos seus valores em um dado instante, que eles serão os mesmos para todo o movimento. Sua determinação é feita com os valores de do deslocamento e da velocidade (5), com, que: do oscilador em um dado instante. Assim, podemos escrever, de (4) e 565
ou: (40.9) Elevando ao quadrado as duas equações e somando as membro a membro, obtemos : (40.10) Dividindo agora (11) por (10), obtemos: (40.11) Essa equação define também o quadrante em que está. Por exemplo, se e, e. Então, estará no quarto quadrante ( ). Exemplo 40.2: Aplica se uma força de N à extremidade de uma mola horizontal, que fica esticada de cm. Prende se, então, um corpo de massa de g à extremidade da mola e este é puxado até ficar à distância de cm da posição de equilíbrio. Libera-se o corpo, que passa a ter um movimento harmônico simples. Responda: (a) Qual a constante da mola? (b) Qual a força exercida pela mola sobre o corpo, no instante em que ele é solto para se mover? (c) Qual o período de oscilação do sistema? (d) Qual a amplitude do movimento? (e) Qual a equação de movimento do oscilador? Solução: (a) Como a força restauradora da mola é, a constante da mola é: 566
(b) A força é, onde o sinal negativo indica que a força tem o sentido oposto ao do deslocamento. Neste caso, o deslocamento cm; então: (c) O período de oscilação é: (d) A amplitude do movimento corresponde à posição em que o corpo foi solto, pois ele não pode ultrapassar esta posição. Então: cm. (e) A equação de movimento é: em que e devem ser calculados. Então: Para determinar, lembramos que, quando o corpo foi solto, a sua velocidade era nula. Então, da equação da velocidade em função do tempo: vem, com em : Então, a equação de movimento é: 567
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS Atividade 40.1: Temos que: Atividade 40.2: Levando as expressões da velocidade e da posição em 40.2 vem: que verifica a equação. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E40.1 Um bloco de massa m = 4, 0 kg é dependurado na extremidade livre de uma mola vertical e estica essa mola de 16.0 cm. Qual é a constante da mola e qual a frequência de vibração do sistema? E40.2 Uma partícula possui movimento harmônico simples. No instante t = 0 seu deslocamento é 0,37 cm e sua velocidade é nula. Se a frequência do movimento é 0,25 Hertz, ache: (a) o período do movimento; (b) a frequência angular; (c) a amplitude do movimento; (d) o ângulo de fase do movimento. 568