Teoria do Consumidor: Equilíbrio do Consumidor

Teoria do Consumidor: Equilíbrio do Consumidor Roberto Guena de Oliveira 21 de março de 2011 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 1 / 36

Sumário 1 Restrição orçamentária 2 Restrição orçamentária com renda endógena 3 Maximização de utilidade 4 Exemplos 5 Compra e venda Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 2 / 36

Rest. Orç. 1 Restrição orçamentária 2 Restrição orçamentária com renda endógena 3 Maximização de utilidade 4 Exemplos 5 Compra e venda Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 3 / 36

Rest. Orç. A restrição orçamentária Imagine um consumidor que deva escolher quanto consumirde cada bem sujeito à restrição de que ele não podegastar mais do que sua renda montária m. Sejam p 1,p 2,...,p n os preços de cada um dos n bens existentes. A cesta de bens a ser escolhida pelo consumidorx=(x 1,x 2,...,x n ) deve satisfazer então à restrição: n p i x i m. i=1 O conjunto de cestas de bens que satisfazem a restrição acima é chamado conjunto de restrição orçamentária. O conjuntode cestas de bens para as quais n i=1 p ix i =m é chamado linha de restrição orçamentária. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 4 / 36

Rest. Orç. Representação gráfica: 2 bens x 2 m p 2 Linha de restrição orçamentária: (p 1 x 1 +p 2 x 2 =m) Conjunto de restrição orçamentária m p 1 tan= p 1 p 2 x 1 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 5 / 36

Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda x 2 m 1 p 2 m 0 p 2 m 0 p 1 m 1 p 1 x 1 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 6 / 36

Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 x 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 x 1 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 7 / 36

Rest. Orç. Exercício de fixação Esboce um gráfico mostrando o que ocorre com a linha de restrição orçamentária caso a A renda do consumidor diminua. b O preço do bem 2 aumente. c O preço do bem 1 diminua. d O preço do bem 1 aumente. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 8 / 36

Exemplo Rest. Orç. Um consumidorcom renda igual a $100 que deve escolher as quantidadesa consumir de dois bens. O bem 2 tem preço constantee igual a $1 por unidade. Para o consumodo bem 1, o consumidorpaga um preço igual $1 para todasas unidades consumidas até um limite de 50 unidades. Caso queira consumir acima desse limite, ele deve pagar um preço igual a $1 por unidadepara as 50 primeiras unidades consumidaseum preço igual a $2 por unidadepara as unidades que excederem o limite de 50 unidades. Esboce a linha de restrição orçamentária desse consumidor. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 9 / 36

Rest. Orç. Exemplo continuação Restrição orçamentária para x 1 50: x 1 +x 2 100 Restrição orçamentária para x 1 >50: 50+2(x 1 50)+x 2 100 Ou ainda, 2x 1 +x 2 150 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 10 / 36

Rest. Orç. Exemplo continuação x 2 110 100 90 80 2x 1 +x 2 =150 70 60 50 40 30 20 x 1 +x 2 =100 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 x 1 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 11 / 36

Renda endógena 1 Restrição orçamentária 2 Restrição orçamentária com renda endógena 3 Maximização de utilidade 4 Exemplos 5 Compra e venda Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 12 / 36

Renda endógena Renda endógena No mundo real, a renda monetária de um consumidor típico é afetada pelos preços vigentes. Exemplos: salário afeta a renda do trabalhador, preços do bens agrícolas afetam a renda do agricultor... Uma forma de modelaresse fato,ésupor que o consumidor, ao invés de uma renda monetária dada, possui uma dotação inicial de bens. Esse consumidor pode vender, aos preços de mercado, alguns desses bens para comprar outros. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 13 / 36

Renda endógena Notação ω 1 e ω 2 : dotaçõesiniciais dos bens 1 e 2, respectivamente. p 1 e p 2 : preços aos quais o consumidorpodecomprar pode comprar ou vender esses bens. x 1 e x 2 : quantidadesconsumidasdos bens 1 e 2. A restrição orçamentária tem a forma p 1 (x 1 ω 1 )+p 2 (x 2 ω 2 ) 0 ou ainda p 1 x 1 +p 2 x 2 p 1 ω 1 +p 2 ω 2 m(p 1,p 2 ) =p 1 ω 1 +p 2 ω 2 é a renda endógenado consumidor. Note que a dotaçãoinicial (ω 1,ω 2 ) pertence à linha de restrição orçamentária. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 14 / 36

Renda endógena Representação gráfica x 2 ω 2 DotaçãoLinha de inicial restrição orçamentária p 1 p 2 ω 1 x 1 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 15 / 36

Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 p 2 x 2 Aumento em p 1 p 2 x 2 ω 2 ω 2 ω 1 x 1 ω 1 x 1 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 16 / 36

Maximização de utilidade 1 Restrição orçamentária 2 Restrição orçamentária com renda endógena 3 Maximização de utilidade 4 Exemplos 5 Compra e venda Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 17 / 36

Maximização de utilidade O problema da maximização de utilidade Suporemos que o consumidor sempre escolherá, entre todas as cestas que sua restrição orçamentária permite que ele escolha, a cesta de bens mais preferida ou com maior utilidade. A escolha do consumidor é, portanto a solução para o problema de escolher uma cesta de bens (x 1,x 2 ) que maximize a função de utilidade U(x 1,x 2 ) respeitando a restrição orçamentária e as condições de consumo não negativo p 1 x 1 +p 2 x 2 m, x 1 0, x 2 0 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 18 / 36

Maximização de utilidade Solução gráfica: solução interior. x 2 x 2 (p 1,p 2,m) Equilíbrio x 1 (p 1,p 2,m) x 1 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 19 / 36

Maximização de utilidade Propriedades da solução interior Solução sobre a linha de restrição orçamentária (no caso de preferências monotônicas): p 1 x 1 (p 1,p 2,m)+p 2 x 2 (p 1,p 2,m)=m Tangência entre a curva de indiferença e a linha de restrição orçamentária: TMS = p 1 p 2 ou UMg 1 p 1 = UMg 2 p 2 =λ λ é utilidade marginal da renda. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 20 / 36

Maximização de utilidade Solução pelo método de Lagrange O lagrangeano L =U(x 1,x 2 ) λ(p 1 x 1 +p 2 x 2 m) Condições de máximo de 1ª ordem L x 1 =0 UMg 1 λp 1 =0 L x 2 =0 UMg 2 λp 2 =0 L λ =0 p 1x 1 +p 2 x 2 m=0 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 21 / 36

Solução de canto Maximização de utilidade x 2 E x 1 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 22 / 36

Maximização de utilidade Incorporando a possibilidade de solução de canto O lagrangeano L =U(x 1,x 2 ) λ(p 1 x 1 +p 2 x 2 m)+μ 1 x 1 +μ 2 x 2 Condições de 1ª ordem No ponto ótimo,existem λ,μ 1,μ 2 ge0 tais que L =0 UMg i λp i +μ i =0 x i λ i (p 1 x 1 +p 2 x 2 m)=0 μ i x i =0 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 23 / 36

Maximização de utilidade Preferências côncavas x 2 Não é máximo E x 1 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 24 / 36

Maximização de utilidade Condição de máximo de 2ª ordem Condição necessária 0 p 1 p 2 p 2 U 2 U 1 x 2 1 p 2 2 U x 2 x 1 x 1 x 2 2 U x 2 2 0 Condição suficiente 0 p 1 p 2 p 2 U 2 U 1 x 2 1 p 2 2 U x 2 x 1 x 1 x 2 2 U x 2 2 >0 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 25 / 36

Maximização de utilidade A função de demanda marshalliana Definição As funções de demandamarshalliana x 1 (p 1,p 2,m) e x 2 (p 1,p 2,m) são funções que fornecem os valores que resolvem o problema de maximizar a função de utilidade U(x 1,x 2 ) respeitando as condições. p 1 x 1 +p 2 x 2 m x 1 0 x 2 0. Nota: Por vezes é convenienteusar a notação x(p 1,p 2,m) para representar o vetor das funções de demanda, isto é x(p 1,p 2,m) =(x 1 (p 1,p 2,m),x 2 (p 1,p 2,m)) Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 26 / 36

Exemplos 1 Restrição orçamentária 2 Restrição orçamentária com renda endógena 3 Maximização de utilidade 4 Exemplos 5 Compra e venda Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 27 / 36

Exemplos Preferências Cobb-Douglas Função de Utilidade U(x 1,x 2 )=x a 1 xb 2 Condições de equilíbrio x 2 TMS = a = p 1 bx 1 p 2 p 1 x 1 +p 2 x 2 m Funções de demanda x 1 (p 1,p 2,m)= a m x 2 (p 1,p 2,m) = b m a+bp 1 a+b p 2 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 28 / 36

Substitutos perfeitos Exemplos O problema do consumidor Solução maximizar U(x 1,x 2 ) =ax 1 +x 2 p1 x 1 +p 2 x 2 =m dadas as restrições x 1,x 2 0 Da primeira restrição, vem x 2 = (m x 1)/p 2. Substituindona função objetivo, o problema passa a ser maximizar a p 1 x 1 + m p 2 p 2 Dadas as restrições x 1,x 2 0 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 29 / 36

Substitutos perfeitos continuação Exemplos As funções de demanda Caso a= p 1/p 2 teremos x 1 (p 1,p 2,m)= x 2 (p 1,p 2,m)= (x 1 (p 1,p 2,m),x 1 (p 1,p 2,m))= m p 1 caso a> p 1 p 2 0 caso a< p 1 p 2 p 0 caso a> 1 p 2 m p 2 caso a< p 1 p 2 {(x 1,x 2 ) R 2 + p 1x 1 +p 2 x 2 =m} Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 30 / 36

Exemplos Complementos perfeitos O problema do consumidor maximizar U(x 1,x 2 )=min(ax 1,x 2 ) p1 x 1 +p 2 x 2 =m dadas as restrições x 1,x 2 0 Solução y x 2 =ax 1 x Substituindox 2 =ax 1 na restrição orçamentária, m x 1 (p 1,p 2,m)= p 1 +ap 2 am x 2 (p 1,p 2,m)= p 1 +ap 2 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 31 / 36

Exemplos Exercício de fixação Determine a funções de demanda para cada uma das seguintes funções de utilidade a U(x 1,x 2 ) =[ax ρ 1 +(1 a)xρ 2 ]1 ρ. b U(x 1,x 2 ) =x 1 +lnx 2. c U(x 1,x 2 ) =min{x 1 + x 2 2, x 1 2 +x 2} d U(x 1,x 2 ) = x 1 +lnx 2 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 32 / 36

Compra e venda 1 Restrição orçamentária 2 Restrição orçamentária com renda endógena 3 Maximização de utilidade 4 Exemplos 5 Compra e venda Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 33 / 36

Compra e venda Definições x i (p 1,p 2,p 1 ω 1 +p 2 ω 2 ) é a chamada demandabruta pelo bem i (i=1,2). e i (p 1,p 2,ω 1,ω 2 ) =x i (p 1,p 2,p 1 ω 1 +p 2 ω 2 ) ω 1 é a chamadademandalíquida pelo bem i (i =1,2). Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 34 / 36

Compra e venda Representação gráfica x 2 x 2 ( ) ω 2 e 2 e 1 x 1 ( ) ω 1 p 1 p 2 x 1 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 35 / 36

Exercício Compra e venda Um consumidor possui uma dotação inicial de 5 unidades do bem 1 e 3 unidadesdo bem 2 suas preferências são representadaspela função de utilidadeu(x 1,x 2 )=lnx 1 +lnx 2 na qual x 1 e x 2 são as quantidadesconsumidasdos bens 1 e 2, respectivamente. Supondo que esses dois bens podem ser negociadosaos preços p 1 e p 2, determinesuas funçõesde demanda e de demanda líquida desse consumidor por esses bens. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 21 de março de 2011 36 / 36