Na crista da onda

Velocity of propagation Velocidade de propagação 6.4 The motion of water elements on the surface of deep water in

Em nenhum destes processos há transporte de matéria... mas há transporte de energia! e momento linear e angular... e há sempre um suporte, isto é, um meio onde a onda se propaga

Ondas mecânicas progressivas Numa onda mecânica (ou elástica) progressiva, necessitamos de:! Uma perturbação inicial Um meio onde a onda se propague Um mecanismo físico de contágio

Ondas longitudinais Direção de propagação Direção de oscilação

Ondas transversais Direção de propagação Direção de oscilação

Velocidades... A onda propaga-se com uma certa velocidade, que depende do meio... mas que NÃO está relacionada com a velocidade de oscilação de qualquer partícula do meio!

Velocidade do som No ar: 340 m/s Na água: 1500 m/s No aço: >6000 m/s A velocidade de propagação depende do meio... Por exemplo, a velocidade de propagação de uma perturbação numa corda esticada é: v = T µ

Como descrever matematicamente uma onda? Onda unidimensional, propagando-se ao longo do eixo dos xx: y(x,t) Função de onda 3.2 2.4 1.6 v 0.8-3 -2.5-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7-0.8

S,S S S 4.8 t=0 t=1 t=2 4 3.2 2.4 vt vt 1.6 0.8-2.4-2 -1.6-1.2-0.8-0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 4.4

Então basta mudar de referencial: x=x +vt y =f(x ) y=f(x-vt) Se a onda se deslocar para a esquerda: x=x -vt y=f(x+vt)

Se nos deslocarmos de tal modo que x-vt = constante então estamos sempre a acompanhar o mesmo ponto (fase...) da onda. Se tirarmos a derivada desta expressão v = dx dt Velocidade de fase

Equação de onda y = f(x vt) u(x, t) =x vt y = f (u(x, t)) @y @x = dy du @y @t = dy du @u @x @u @t = dy du 1 = dy du v @y @x = 1 v @y @t Onda que se desloca para a direita...

Equação de onda y = f(x + vt) y = f (u(x, t)) u(x, t) =x + vt @y @x = dy du @u @x = dy du 1 @y @y @y @t = dy du @u @t = dy du v @x = 1 v @t Onda que se desloca para a esquerda...

Equação de onda Não podemos ter uma equação para cada sentido de propagação da onda... @ 2 y @x 2 = d2 y du 2 @ 2 y @t 2 = d2 y du 2 @u @x @u @t 2 2 @ 2 y @x 2 = 1 @ 2 y v 2 @t 2

Funções de onda (ondas progressivas) y(x, t) = 2 (x 3t) 2 +1 Pulsos y(x, t) =e (x 5t)2 y(x, t) = 10 sin (3(x +2t)+ ) Onda periódica y(x, t) = 10 sin(3x)e 10t2 Não é uma onda progressiva!

Ondas numa corda esticada A onda desloca-se para a direita e um observador sentado nela vê a zona a sombreado a deslocar-se para a esquerda θ v s θ s T R T θ R O O

Ondas numa corda esticada As componentes tangenciais da tensão anulam-se... F r =2T sin 2T m = µ s = µ (2R )... se o pulso for pequeno s massa por unidade de comprimento T θ R θ O θ T F r = m v2 R 2T = µ(2r ) v2 R v = s T µ

Ondas periódicas sinusoidais y(x, t) =A sin 2 (x ± vt)+' Amplitude Comprimento de onda Fase na origem

y λ A x λ

Comprimento de onda Distância mínima entre dois pontos na mesma fase de vibração

Ondas periódicas sinusoidais y(x, t) =A sin 2 (x ± vt)+' k = 2 Número de onda y(x, t) =A sin (k(x ± vt)+') Frequência angular! = kv = 2 T Período y(x, t) =A sin (kx ±!t + ')

y T A t T

Período Duração de um ciclo completo de vibração para um ponto fixo qualquer

Haverá uma relação entre período e comprimento de onda? y(x, t) = f(x vt) = f(x + vt) = f(x v(t + T )) = f(x + v(t + T )) x vt = x + v(t + T ) = vt Recorrendo à frequência f = 1 v = f T

Velocidades de oscilação e de propagação y(x, t) =A sin (kx ±!t + ') v y (x, t) = Velocidade de oscilação da @y(x, t) @t = ±A! cos (kx ±!t + ') Velocidade de partícula em x v = ±! k propagação da onda a y (x, t) = @2 y(x, t) @t 2 = A! 2 sin (kx ±!t + ')

Movimento de um ponto do meio onde se propaga a onda y(x, t) =A sin (kx ±!t + ') y(0,t)=a sin (!t + ') x =0 v y (0,t)=A! cos (!t + ') a y (0,t)= A! 2 sin (!t + ') =! 2 y(0,t) Cada ponto executa movimento harmónico simples! Há uma força de restauro elástica...

Princípio da sobreposição @ 2 y @x 2 = 1 @ 2 y v 2 @t 2 Esta equação é LINEAR em y(x,t) @ 2 y 1 @x 2 = 1 @ 2 y 1 v 2 @t 2 @ 2 y 2 @x 2 = 1 @ 2 y 2 v 2 @t 2 @ 2 (y 1 + y 2 ) @x 2 = 1 @ 2 (y 1 + y 2 ) v 2 @t 2 A onda resultante da soma de duas ondas ainda obedece à mesma equação de onda...

Sobreposição de ondas Podemos obter uma onda somando várias ondas:! (x, t) = a i f i (x ± v i t)! i Qualquer onda se pode escrever com a soma de onda sinusoidais (análise de Fourier)

Somar duas ondas Quando duas ondas se cruzam, isto é, quando o mesmo ponto do meio é perturbado em simultâneo por duas ondas distintas, o resultado é uma perturbação que é a soma algébrica das duas perturbações Diz-se que as duas ondas interferem

Somar duas ondas com a mesma fase A 1 sin(kx t + ) +A 2 sin(kx t + ) = (A 1 + A 2 ) sin(kx t + ) Interferência construtiva

Somar duas ondas em oposição de fase A 1 sin(kx t + ) A 2 sin(kx t + ) = (A 1 A 2 ) sin(kx t + ) Interferência destrutiva

Somar duas ondas com uma diferença de fase arbitrária A sin(kx t) +A sin(kx t + ) sin kx t + 2 = 2A cos 2

Somar duas ondas que se propagam com a mesma velocidade em sentido oposto A sin(kx t) +A sin(kx + t) = 2A sin(kx) cos( t) NÃO é uma onda progressiva! Onda estacionária

Ondas estacionárias

Ondas estacionárias

Ondas estacionárias 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.5-1 Nodo Ventre ou anti-nodo

Ondas estacionárias Ventres: 4, 3 4, 5 4, 7 4,...= n 4 n =1, 3, 5,... Nodos: 2,, 3 2, 2,...= n 2 n =0, 1, 2, 3,...

Reflexão de pulsos Incident pulse Extremidade fixa: o pulso refletido inverte a sua fase Incident pulse Reflected pulse Extremidade livre: o pulso refletido mantém a sua fase Reflected pulse

Reflexão e transmissão de pulsos Incident pulse (a) T Transmitted pulse Na junção com uma corda mais pesada há inversão de fase no pulso refletido Reflected pulse R Incident pulse Na junção com uma corda (a) mais leve o pulso refletido mantém a sua fase At the Active Figures link at http://www.pse6.com, you Reflected pulse R Transmitted pulse T

Ondas estacionárias numa corda esticada Numa corda de comprimento L esticada (extremidades fixas!) apenas são permitidas ondas em que o comprimento de onda é: sin(kl) = 0 kl = n = 2L n

Ondas estacionárias numa corda esticada L f 2 (a) n = 2 (c) L = λ 2 A N N f 1 f 3 n = 1 L = 1 λ 2 1 n = 3 L = 3 λ 2 3

Ondas estacionárias numa corda esticada n = 2L n =1, 2, 3,... n s f n = v = n T n =1, 2, 3,... n 2L µ s f 1 = 1 T 1ª harmónica Frequência fundamental 2L µ 2ª harmónica 3ª harmónica 4ª harmónica f 2 =2f 1 f 3 =3f 1 f 4 =4f 1 1ª harmónica 2ª harmónica 3ª harmónica

Ondas estacionárias numa corda esticada Combinações diferentes de harmónicas secundárias produzem sons diferentes (timbre...)

Ondas estacionárias num tubo aberto L λ 1 = 2L f 1 = v = v λ 2L λ 1 λ 2 = L f 2 = v = 2f L 1 2 λ 3 = L 3 f 3 = 3v = 3f 2L 1 f n = n v 2L n =1, 2, 3,...

Ondas estacionárias num tubo aberto/fechado λ 1 = 4L f 1 = v = v λ 4L λ 1 4 λ 3 = L 3 f 3 = 3v = 3f 4L 1 4 λ 5 = L 5 f 5 = 5v = 5f 4L 1 f n = n v 4L n =1, 3, 5,...

Somar duas ondas quase iguais A sin(k 1 x 1t) +A sin(k 2 x 2t) = 2A cos( kx t) sin(kx t) Batimento k = k 1 + k 2 2 = 1 + 2 2 k = k 1 k 2 2 = 1 2 2

3 2 1-4.8-4 -3.2-2.4-1.6-0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8-1 -2-3 -4-5 2A cos( kx! t)sin(kx!t)

Batimentos Num batimento a onda organiza-se em grupos que se deslocam com velocidade v g = k A velocidade de grupo é diferente da velocidade de fase e obtém-se tomando o limite Δk 0 v grupo = d dk = v fase + k dv fase dk

Transporte de energia Qual é a energia cinética de um segmento de corda que oscila? de c = 1 2 (dm)v2 y de c = 1 2 (µdx)v2 y de c = 1 2 (µdx)( A! cos (kx ±!t + '))2

Transporte de energia Se escolhermos um instante (t=0?) e integrarmos ao longo de um comprimento de onda... E c = Z 1 (µdx)( A! cos (kx + '))2 2 0 = 1 2 µa2! 2 Z 0 cos 2 (kx + ') dx = 1 2 µa2! 2 1 2 = 1 4 µ!2 A 2

Transporte de energia E c = 1 4 µ!2 A 2 Se calcularmos a energia potencial elástica da mesma forma: E p = 1 4 µ!2 A 2 E m = E c + E p = 1 2 µ!2 A 2

Transporte de energia Esta energia passa por um dado ponto da corda a cada período de oscilação, logo a taxa de transferência de energia é: P = E m T = 1 T 1 2 µ!2 A 2 = 1 2 µ!2 A 2 v

Ondas multi-dimensionais y x t

Frente de onda A frente de onda é o lugar geométrico dos pontos na mesma fase... sin(kx!t) sin f( ~ k,~r)!t

Onda circular/esférica sin(kx!t) sin (kr!t) kr = constante

Onda plana sin(kx!t) sin ~k ~r!t ~ k ~r = constante

Princípio de Huygens Cada ponto de uma frente de ondas é um centro emissor de ondas esféricas

Princípio de Huygens

Princípio de Huygens

Princípio de Huygens

Princípio de Huygens d<<λ λ λ

Experiência de Young λ λ/2 Interferência λ/2 escuro claro A escuro d claro... O B escuro claro crista cava escuro alvo D (distância ao alvo)...

Fenda dupla y P d L 1 y max D d d A B C θ L 2 O A θ d D alvo L 2 L 1 = n, n = 0, ±1, ±2,... B C

Fenda dupla A L 2 L 1 = n, n = 0, ±1, ±2,... d θ BC = L 2 L 1 = d sin y P L 1 B C d sin = n d A B C θ L 2 O y max sin tan = y max D y max = n D d D alvo (n = 0, ±1, ±2,...) y = D d Posição dos máximos Distância entre máximos

Fenda múltipla Ν = 2 Ν = 4 Ο N Ο

Difração d<<λ λ λ Onda esférica A fenda é muito pequena d Há várias ondas esféricas que interferem... Difração

Difração P x 1 λd d 0 λd d d/2 3 5 6 8 θ l θ 0 10 D alvo Interferência destrutiva: l = n + 2 l = d 2 sin sin tan = x D x min = ± n D d n =1, 3, 5,...

Fonte sonora em movimento A velocidade de propagação de uma onda NÃO depende da velocidade da fonte ou do recetor O que se passa então quando a fonte ou o emissor se movem? A sirene das ambulâncias tem um som diferente à medida que elas passam por nós...

Pulsos emitidos de T em T segundos Ι 2 Ι 1 Ι 0 v... emissor λ receptor f = v f =?

Fonte em movimento Ι 0 v t = 0 v F Ι 1 λ Ι 0 v t = T v F d Ι 2 λ' Ι 1 Ι 0 v t = 2T v F

fonte parada Ι 3 Ι 2 Ι 1 λ Ι 0 fonte em movimento Ι 3 Ι 2 Ι 1 λ' Ι 0 v F = v F T = 1 f = v v v v F f

Efeito Doppler f = v v v F f A fonte aproxima-se + A fonte afasta-se λ λ' v f = v v v F cos f v θ F Apenas a componente de vf na direção de propagação afeta a frequência da onda Figura 6.4

Recetor em movimento Ι 2 Ι 1 λ Ι 0 v v R receptor Num intervalo Δt ao recetor chegam n pulsos f = n t = v + vr = v + v R v f n = v + vr t f = v ± v R v f + O recetor aproxima-se O recetor afasta-se

Efeito Doppler f = v ± v R f v v F Α v F Β f = v ± v R cos R v v F cos F f

E se vf v? Se vf=v, a perturbação é produzida num ponto onde já está presente... Onda de choque P vt θ P' sin = v v F v F t Número de Mach = 1 sin

Ondas de choque 1973 Kim Vandiver & Harold E. Edgerton/Courtesy of Palm Press, Inc.

Polarização Direção de propagação Só para ondas transversais!