Restauração de Imagens Prof. Luiz Otavio Murta Jr. Informática Biomédica Depto. de Computação e Matemática (FFCLRP/USP) 1
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Objetivos: - Melhorar a imagem em algum aspecto. - Recuperar uma imagem que foi degradada. Como se restaura imagens degradadas? -Usando algum conhecimento a priori do fenômeno de degradação. 3
Exemplo 1: borramento por movimento. 4
Exemplo 1: borramento por movimento. DFT / = idft? 5
Exemplo 1: borramento por movimento. DFT. = idft 6
Exemplo 2: imagens biossusceptométrica. 7
Exemplo: como um sensor borra as imagens. 8
Exemplo: degradação e restauração da imagem. 9
-Modelo degradação: f(x,y) imagem de entrada H operador degradação η(x,y) ruído aditivo g(x,y) imagem degradada η(x,y) f(x,y) H + g(x,y) 10
Para que possa ser possível a restauração da imagem, é necessário conhecer, a priori, o processo de degradação e a potencia espectral do ruído. Com alguma informação sobre o processo de degradação, e sobre o ruído, é possível fazer uma reconstrução plausível das imagens. O processo de reconstrução é efetuado no domínio da freqüência (Fourier), pois é necessário desconvoluir as imagens. 11
η(x,y) f(x,y) H + g(x,y) -Relação entrada-saída: g(x,y) = H[f(x,y)] + η(x,y) 12
considerando o ruído η(x,y) = 0, H é linear se: H[k 1 f 1 (x,y)+k 2 f 2 (x,y)] = k 1 H[f 1 (x,y)] + k 2 H[f 2 (x,y)] k 1 e k 2 são constantes, e f 1, f 2 imagens de entrada quaisquer. 13
Modelo de degradação para funções continuas f(x, y)= f(α, β)δ(x α, y β)dαdβ Se η(x,y)=0 : g(x, y)= H[f(x, y)] = H f(α, β)δ(x α, y β)dαdβ 14
g(x, y)= H[f(α, β)δ(x α, y β)]dαdβ Desde que f(α,β) é independente de x e y: g(x, y)= f(α, β)h[δ(x α, y O termo h(x,α,y,β)=h[δ(x-α,y-β)] e denominada resposta a impulso de H. β)]dαdβ 15
g(x, y)= f(α, β)h(x,α, y, β)dαdβ Desde que fh(α,β) é evariante a posição de x e y: H[δ( x α, y β)] = h(x α, y β) 16
g(x, y)= f(α, β)h(x α, y β)dαdβ Com a adição do ruído: g(x, y)= f(α, β)h(x α, y β)dαdβ + η(x, y) O termo h(x,α,y,β) invariante a posição (H). 17
Formulação discreta: g(x)= M 1 m= 0 Na forma matricial: f(m)h(x m) g = Hf 18
Onde f, g e M são: g( 0 ) g( 1) g =...... g(m 1) f f( 0 ) f( 1) =...... f(m 1) H = h( 0 ) h( 1)... h(m 1) h( 1) h( 0 )... h(m 2 )............ h( M + 1) h( M + 2 )... h( 0 ) 19
O objetivo da restauração é: g f O termo ruído no modelo de degradação: n= g Hf Queremos então encontrar uma imagem restaurada que: n 2 = g H ˆf 2 Seja mínima, em que, por definição: n Restauração de imagens ˆ 2 ˆ T ˆ 2 T = n n e g Hf =(g Hf) (g Hf ) 20
(sem restrições) Problema de minimização de função: J( f)= ˆ g Fazendo a derivada do ruído igual a zero: J( f) ˆ T = 0= 2H (g Hf) ˆ f Resolvendo para f: fˆ =(H Hf ˆ 2 H) T 1 H T g Se H é uma matriz quadrada, e existe H -1 : fˆ = H 1 (H ) H g = H T 1 T 1 g 21
(com restrição) Problema de minimização de função Qf 2 : J(f)= ˆ Qf 2 2 ˆ 2 +a g Hfˆ n em que Q é um operador linear, com a restrição g-hf 2 = n 2 J( f) ˆ T T = 0= 2Q Q 2αα (g Hf) ˆ f Resolvendo a equação para f : fˆ =(H H +γq Q) T T 1 H T g em que γ=1/α ajustada de modo que a restrição seja satisfatória. 22
- filtro inverso ˆ 1 f = H g A equação: pode ser reescrita no domínio de Freqüências (Fourier), na forma: Fˆ(u,v)= G(u,v) H(u,v) Considerando um ruído n(x,y) ou N(u,v) : Fˆ(u,v)= F(u,v)+ N(u,v) H(u,v) 23
- filtro inverso Exemplos: G(u,v)= F(u,v)H(u,v) = H(u,v) Porque: y) = 1 (x, 24
- filtro inverso Exemplo: borramento causado por movimento linear uniforme g(x, y)= f x x0(t), y y0(t) dt 25
filtro Wiener Filtro de mínimo médio quadrático (Wiener) F(u,v)= F(u,v)= 2 H(u,v) +γs (u,v)/ S (u,v) 1 H(u,v) H (u,v) n H(u,v) 2 H(u,v) +γs (u,v)/ S (u,v) n f 2 G(u,v) f G(u,v) F(u, v)= 1 H(u,v) H(u,v) H(u,v) 2 2 + K G(u,v) 26
filtro Wiener Filtro de mínimo médio quadrático (Wiener) Exemplo: 27
Filtro de mínimo quadrático com restrição A abordagem por mínimos quadráticos(wiener) e um procedimento estatístico. Os resultados são ótimos num sentido geral. O procedimento de restauração com restrição, no entanto, é ótimo quando especificado para cada imagem. Requer apenas, a média do ruído, e a variância. F(u,v)= H (u,v) 2 H(u,v) +γs (u,v)/ S (u,v) n f G(u,v) g - Hf 2 = n 2 28
Filtro de mínimo quadrático com restrição Exemplo: h(x, y)= exp 2 x + y 2400 2 29
Filtro interativo Exemplo: 30
Filtro interativo Exemplo: Restauração de imagens 31
Filtro iterativo Exemplo: Restauração de imagens 32
Filtro iterativo Exemplo: 33