Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM2 - Introdução à Álgebra Linear - Turmas 8, 82 e 84 Lista - Tiago de Oliveira Reveja a teoria e os exercícios feitos em sala. 2 3 2 0. Sejam e B =. Calcule 2A, 3B e 2A 3B. 4 0 2 0 2. Determine os valores de x, y e z em R para que as matrizes A e B dadas sejam iguais: x + y 0 z x 2y e B = 3 0 4. 3. Dadas as matrizes 4 2 2 0, B = 0 2 0, C = 3 e D =, determine: a) A + B; b) 2C; c) AC; d) CD; e) BC; f) DA. 4. Considere as matrizes a) É possível determinar c 63? Justifique a resposta. b) Determine c 36. a ij 4 5 com a ij = i j, B = b ij 5 9 com b ij = j e C = c ij com C = AB. 5. Dada uma matriz A, dizemos que uma matriz X comuta com A se AX = XA. Determine todas as matrizes que comutam com 0 0 3 6. Verdadeiro ou falso? Justifique a) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então. (A B)(A + B) = A 2 B 2. b) Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem tais que AB = AC, então B = C.
7. Mostre que se A é uma matriz triangular superior de ordem 2 ou 3, então A 2 também é uma matriz triangular superior. 8. a) Obtenha A T 2 3, onde. 0 4 b) Verifique que a transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior. c) Mostre que (A + B) T = A T + B T e (ca) T = ca T, onde A e B são matrizes de mesma ordem e c R. d) Se A é uma matriz m n e B é uma matriz n p, prove que (AB) T = B T A T. e) Mostre que (A T ) T = A para toda matriz A de ordem m n. 9. Mostre que se B é uma matriz quadrada, então: a) B + B T e BB T são simétricas; b) B B T é antissimétrica; c) Observando que B = B + BT 2 + B BT 2 conclua que toda matriz quadrada se escreve como soma de uma matriz simétrica e de uma matriz antissimétrica. 0. Dadas as matrizes, Calcule: 0 25 4 0 e B = 2 2 3 2 4 4 3. a) Calcule A 2 e classifique a matriz A; b) Calcule B 2 e classifique a matriz B.. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casas: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz: (Qualquer semelhança dos números com a realidade é mera coincidência.) a) Se ele vai construir 5,7 e 2 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas? b) Suponha agora que os preços por unidade ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 5,8, 5, e 0 u.c.p. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa? c) Qual o custo total do material empregado? 2
2. Decida se as equações dadas são lineares. a) 5x + 7y 8yz = 6; b) x + πy + ez = log 5; c) 3x + ky 8z = 6. 3. Reduza as matrizes à forma escalonada. a) 2 3 2 2 3 3 2 3 b) 0 3 2 2 4 3 2 3 2 c) 0 2 2 3 3 4 2 2 3. 4. Resolva o seguinte sistema de equações lineares. 2x y + 3z = 4x 3y + 2z = 0 x + y + z = 6 3x + y + z = 4 3x + 5y = 5. Dado o sistema 2x + z = 3 escreva a matriz aumentada, associada ao sistema e reduza-a à 5x + y z = 0 forma escalonada, para resolver o sistema original. 6. Considere o sistema { x + ay = 4 ax + 9y = b a) Para quais valores de a o sistema tem solução única? b) Encontre os pares (a, b) de valores para os quais o sistema tem mais do que uma solução. 7. Determine k, para que o sistema adimita solução. 4x + 3y = 2 5x 4y = 0 2x y = k 8. Considere o sistema x y + 2z = 3 3x 3y + 6z = a 4x 4y + 8z = b. Encontre os valores de a e b para que o sistema possua alguma solução. Então a + b é igual a: 3
9. Classifique em V ou F : Seja k um número real. Considerando-se o sistema linear nas variáveis x e y dado por: a) uma solução para o sistema é x = 0 e y = 3. b) se k = 2, o sistema não tem solução. c) se k = 2, o sistema tem infinitas soluções. { 4kx + (k )y = k 3 x + (k )y = 2 d) existem infinitos valores de k para os quais o sistema possui solução única. 20. Encontre todas as soluções do sistema x + 3x 2 + 2x 3 + 3x 4 7x 5 = 4 2x + 6x 2 + x 3 2x 4 + 5x 5 = 2 x + 3x 2 x 3 + 2x 5 = 2. Resolva os seguintes sistemas achando as matrizes aumentada, associada ao sistema e reduza-a à forma escalonada, para resolver o sistema original. Por final classifique-o. a) { b) { c) d) x + y + z = 4 2x + 5y 2z = 3 x + y + z = 4 2x + 5y 2z = 3 x + 7y 7z = 5 x 2y + 3z = 0 2x + 5y + 6z = 0 x + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x + x 2 + x 3 x 4 = 4 x + x 2 x 3 + x 4 = 4 x x 2 + x 3 + x 4 = 2 e) f) x + 2y + 3z = 0 2x + y + 3z = 0 3x + 2y + z = 0 3x + 2y 4z = x y + z = 3 x y 3z = 3 3x + 3y 5z = 0 x + y + z = 22. Para a festa do Natal, uma creche necessitava de 20 brinquedos. Recebeu uma doação de R$ 370,00. Esperavase comprar carrinhos a R$2,00 cada, bonecas a R$ 3,00 e bolas a R$3,50. Se o número de bolas deveria ser igual ao número de bonecas e carrinhos juntos, a solução seria comprar: 23. Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y, grama de insumo A e grama de insumo B e, para cada kg de Z, grama de A e 4 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$ 2,00, R$3,00 e R$5,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com kg de A e 2 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2500,00. Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. 4
24. Dadas as matrizes 2 0 e B = 3 0, calcule a) det A + det B b) det(a + B) 2 3 2 5 3 4 25. Dada 0 2 2 calcule 3 2 4 a) A 23 b) A 23 c) 23 d) det A 2 3 26. Dada a matriz 0 2 calcule 5 3 a) adj A b) det A c) A 27. Sejam A e B matrizes do tipo n n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas. a) ( ) det(ab) = det(ba) b) ( ) det(a T ) = det A c) ( ) det(2a) = 2 det A d) ( ) det(a 2 ) = (det A) 2 2 0 28. Seja D = 0 0 e E uma matriz 3 3 qualquer com det(e) = 2. Determine det( 2ED T E ). 0 29. Seja A a seguinte matriz a) Determine det A; 2 4 2 0 0 0 0 5 0 0 0 4 0 0 0 2 b) Determine det(aba B T ), em que B é uma matriz triangular superior 5 5 tal que os elementos de sua diagonal são tais que a ii = i, se i 3 e a 44 = a 55 = 2. 30. Considere a seguinte matriz (α 4) 0 2 0 3 2 0 0 (α ) 0 0 0 2 Quais são os valores de α para que o sistema DX = 0 possua apenas a solução trivial? 5
3. Resolva a equação matricial AX = B, sendo 2 0 2 e B = 3 2 0 32. Considere a equação det(a xi)= 0 onde 3 0 e I = 2 4 0. Calcule a soma das raízes dessa equação 33. Sejam L i, i =, 2, 3, 4 as linhas da matriz A. Suponha que a matriz B = 2 0 9 0 2 3 0 0 5 0 0 0 2 tenha sido obtida de A, aplicando-se sucessivamente as seguintes operações elementares: a) Troca da linha L com a linha L 3 ; b) Substituição da linha L 3 por L 3 + 7L ; c) Substituição da linha L 4 por 4 L 4. Dessa forma, calcule det(a). 34. Considere a matriz 2 e o sistema AX = 2. 3 2 0 4 Classifique em Verdadeiro(V) ou Falso(F) justificando as seguintes afirmações: a) ( ) A é invertível; b) ( ) O sistema AX = 0 possui somente a solução trivial; c) ( ) A forma escalonada reduzida de A não é igual a identidade; d) ( ) A possui determinante não nulo. e) ( ) Para que o sistema AX = 2 possua solução, o valor de b = 3. b 35. Verifique se as matrizes abaixo são inversíveis. Caso sejam, encontre suas inversas: 2. a) 0 0 2 3 2 6 0 2 0 0 0 5 b) B = 2 6 2 3 3 2 0 7 4 0 2 4 6
36. Considere D = k 0 k 2 0 0 0 a) Quais são os valores de k para que a matriz D é invertível; b) Faça k = e seja E uma matriz 3 3 qualquer com det(e)= 2. Determine det(2ed T E ). x 3 x + k 37. Considere o conjunto das matrizes da forma, x R. Determine o valor de k para qual o qual x 5 exista exatamente uma matriz não inversível nesse conjunto. 38. Para uma matriz quadrada A, sabe-se que det(a) = 2 e que a inversa é tal que: Calcule o valor desta constante a R. A = 2 2 0 a 0 2 39. São dados as matrizes quadradas e invertíveis A, B e C de ordem 3. Sabe-se que o determinante de C vale (4 x), onde x é um número real, o determinante da matriz inversa de B vale 3 e que (CAT ) T = P BP, onde P é uma matriz inversível. Sabendo que determine todos os possíveis valores de x. 0 0 3 x 0 0 0 40. Demonstre os seguintes casos a) A matriz inversa é única; b) (A ) ; c) (A T ) = (A ) T ; d) (AB) = B A ; e) Se B = AA T A, então det(a) = det (B); f) Se P T DP, onde D é uma matriz diagonal, então A T = A. 7
. 2 2 4 6 8 2 0, 3B = 3 6 0 3 6 0 Respostas e 2A 3B = 5 0 6 5 8 0 2. x = 0, y = 3 e z =. 5 4 3. a) b) 2 2 2 2 6 c) 3 d) 3 3 e) 5 2 e) 3 4. 4. a) Não. Porque para determinar c 63, a matriz A deveria ter, no mínimo, 6 linhas. b) c 36 = 0. ( ) a b 5. X = comuta com A se, e somente se, b = c = 0 e a e d são números reais quaisquer. c d 6. a) Falso e b) Falso 7. Provar 8. a) A T = 0 2 3 4 9. a), b) e c) Provar. 0. a) A 2 = 0 0 0 0, b) Provar c) Provar d) Provar 3) Provar, como A 2 é igual a matriz nula, A é nihilpotente de índice 2. b) B 2 = como B 2 = B, a matriz B é idempotente.. a) 46 526 260 58 388, b) 492 528 465 e c) C t = 736, 00 2. a) Não, b) Sim, c) Para k variável não, para k constante sim. 0 2 0 0 22/7 0 7/2 5/2 0 3. a) 0 0 /7 b) 0 3 2 c) 0 0 0 0 0 7/7 0 0 0 0 0 0 0 4. S = {x =, y = 2, z = 5} { 5. S = x = 7 6 ; y = 6 ; z = 7 } 8 6. a) a 3, b) (3, 2) e ( 3, 2) 7. k = 6 8. a + b = 3 9. a) F b) V c) F d) F 2 2 3 2 4 4 3, 20. x = 3x 2 x 5 x 3 = 2 + x 5 x 4 = 3 + 2x 5 2. a) S.P.I x = 7 3 7 3 z e y = 5 3 + 4 3 z b) S.P.I x = 4 9 7 3 z e y = 7 9 + 4 z c) S.P.I x = 3z e y = 0 d) S.P.D 3 x =, x 2 =, x 3 = 2 e x 4 = 2 e) S.P.D x = y = z = 0 f) S.I 22. 40 bonecas, 20 carrinhos e 60 bolas. 8
23. Foram vendidos 700kg do produto X, 200kg do produto Y e 00kg do produto Z. 24. a) b) 3. 25. a) A 23 = 26. a) adj 2 3 2 0 2 3 4 5 6 7 5 2 2 0 3 4 27. a) V b) V c) F V. 28. det( 2ED T E ) = 8. 29. 30. α R {, 4}. 3. x = 0, y = 0, z = 2 e w =. 32. x + x 2 = 5. 33. det 4. b) A 23 = 36 c) 23 = 36 d) det 0. b) det A 45 c) A = 34. a) Falsa b) Falsa c) Verdadeira d) Falsa e) Verdadeira. 7/2 5/24 5/8 /8 35. a) A 5/6 5/2 /4 /2 = 5/2 5/24 5/8 /4 b) Não existe B. /2 /24 /8 /4 36. a) k R {0, } b) det(2ed T E ) = 6. 0, 0, 3 0, 6 0, 0, 47 0, 04 0, 22 0, 07 0, 09. 37. k = 2 4 38. a = 39 44 39. x = 3 e x 2 =. 40. Provar 9