Lista 1 com respostas Professora Nataliia Goloshchapova MAT0105/MAT0112-1 semestre de 2015 Exercício 1. Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação e justifique sua resposta: (a) (A, B) (C, D) AB = CD (b) AB = CD AB = CD (c) AB CD AB = CD (d) AB = 2 CD AB = 2 CD Solução 1. Use definição do vetor. (a) Verdadeiro. (b) Falso. (c) Falso. (d) Falso. Exercício 2. Dados os vetores u e v, prove que as afirmações seguintes são equivalentes: (a) Os vetores u e v não são múltiplos. (b) Uma combinação linear α u+β v só pode ser igual a zero quando α = β = 0. (c) Se α u + β v = α u + β v então, α = α e β = β. Solução 2. (a b) α u + β v = 0 α u = β v. Caso α 0, u = β α v um absurdo. Semelhante para β 0. (b c) α u + β v = α u + β v (α α ) u + (β β ) v = 0 α α = 0, β β = 0 (c a) Se (c) é verdade, então α u + β v = 0 α 2 + β 2 = 0. Logo é impossível escrever u = λ v, λ R \ {0}. 1
Exercício 3. Mostre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo bases e seu comprimento é a média aritmética dos comprimentos das bases. Solução 3. Note que, se o trapézio é um quadrilátero A, B, C, D com AB e DC suas bases e MN o segmento que liga os pontos médios de AD e BC, teremos que MN = CN + DC + MD (use poligono fechado MNCD). Do outro lado, MN = BN + AB + M A (use poligono fechado MNBA). Pegando soma de duas igualdades, obtemos 2 MN = AB + DC. O resto segue desse igualdade. Exercício 4. Se EF G é um triângulo qualquer, P, Q, R são os pontos médios dos lados EF, F G, GE respectivamente. Mostre que EP QR é um paralelogramo. Solução 4. Para resolver, basta mostrar que P Q é paralelo a ER e analogamente que P E é paralelo a QR. Veja que por estarmos tratando de pontos médios dos lados dos triângulos, vamos ter as seguintes identidades: 2 P F = EF e 2 F Q = F G. Note que EG = EF + F G. Substitua as identidades acima nesta equação para obter que EG = 2 P Q, isto é, são paralelos. Logo ER P Q. A análise do outro par de vetores é análoga. Exercício 5. Mostre que se os vetores u e v têm o mesmo comprimento, então u + v e u v são perpendiculares. Solução 5. Vamos deixar este Problema para Lista2:) Exercício 6. Dado um paralelepípedo ABCDEF GH, sendo u = AB, v = AD e w = AE, exprima em função de u, v, w os seguintes vetores: (a) HB (b) DF (c) AG (d) EC 2
Solução 6. (a) HB = u v w (b) DF = u v + w (c) AG = u + v + w (d) EC = u + v w Exercício 7. Dado um hexágono regular ABCDEF, de centro O, determine a soma dos vetores indicados: (a) F O + AO + DC (b) F D + F B + CO (c) AB + BC + CD + DE + EF + F A + OE + OC Solução 7. (a) 2 OC = F C (b) F C (c) OD Exercício 8. O hexágono ABCDEF é regular e de centro 0. Prove que AB + AC + AD + AE + AF = 6 AO. Solução 8. Dica: note que AB + AE = AD = 2 AO e AC + AF = AD = 2 AO. Exercício 9. Calcule a soma dos seis vetores que tem por representantes segmentos orientados com origens em cada um dos vértices e extremidade no centro de um mesmo hexágono regular. Solução 9. Dica: desenha o hexágono regular e observe os vetores que se anulam. 3
Exercício 10. Dados quatro pontos distintos, A, B, C, e X tais que AX = λ AB número real. Escreva CX como combinação linear de CA e CB. e λ é um Solução 10. Dica: use o fato CX = CA + AX. Exercício 11. Dado um quadrilátero ABCD tal que AD = 5 u, BC = 3 u e AB = v. (a) Determine CD, BD e CA em função de u e v. (b) Prove que ABCD é um trapézio. Solução 11. (a) CD = 2 u v BD = 5 u v CA = 3 u v (b) Note que existem dois lados paralelos de normas distintas. Exercício 12. Dados três vetores AB, AD e AC tais que AB = 2, AC = 6 e AD = 3. AD é uma bissetriz de CÂB = 60. Escreva o vetor AD como combinação linear de AB e AC. Solução 12. Dicas: primeiro, o objetivo é descobrir os coeficientes da seguinte combinação linear AD = α AC + β AB. Para isso, será necessário um triângulo com lados formados por vetores α AC e β AB. Por AD ser uma bissetriz de CÂB = 60, vamos obter um triângulo isósceles com lados de comprimento α AC = β AB a determinar, no entanto com a base AD de comprimento 3. Utilize lei dos senos para determinar α AC = β AB e depois coeficientes α e β. Resposta: AD = 3/6 AC + 3/2 AB. Exercício 13. Em um triângulo ABC o ponto M é tal que 3 BM AM em função de AB e AC. = 7 MC. Escreva o vetor 4
Solução 13. Dica: mostre no primeiro que BM = 7 10BC. Resposta: AM = 3 10AB + 7 10AC. Exercício 14. São dados OA = a, OB = b, AP = 1 3 c e BQ = 4 5 a. Escreva P Q em função de a, b e c. Solução 14. Dica: use o fato que OAPQB é poligono fechado. Resposta: P Q = 1/5 a + b 1/3 c. Exercício 15. Prove que: (a) u, v são LD u, v, w são LD (b) u, v, w são LI u, v são LI (c) u, v são LD u + v, u v são LD Solução 15. (a) Sejam u = P A, v = P B, w = P C. Se ( u, v) são LD, então P, A, e B são colineares. Logo, P, A, B e C são coplanares e, portanto u, v, w são LD. (b) Raciocine por redução ao absurdo e utilize a parte (a). (c) Use o fato que u v. Exercício 16. As afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas? (a) u, v, w são LD u, v são LD (b) u, v são LI u, v, w são LI (c) u, v, w são LI u, v são LD Solução 16. (a) Falso (b) Falso (c) Falso 5