UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA TEXTO: Torre de Hanói e Triângulo de Sierpinski AUTOR: André Brito (estagiário da BOM) ORIENTADOR: Dr. Professor Márcio Lima (coordenador da BOM) 1
Observe a gura abaixo. As Sete Pontes de Königsberg Existe uma maneira de cruzar todas as pontes sem passar mais de uma vez por qualquer uma delas. Tente. Conseguiu? Não? Continue tentando. Existe um problema muito antigo cuja tarefa é exatamente essa. Esta - gura representa a cidade de Königsberg. Até 1945, no território da Prússia (anexada pela Alemanha durante a primeira guerra mundial), existia uma cidade chamada Königsberg (atual Kaliningrado). A cidade é banhada pelo rio Pregel que, ao atravessar a cidade, se divide e forma uma ilha que está ligada à outra parte da cidade por sete pontes. Dizia-se que os habitantes da cidade, nos dias nublados, tentavam efetuar um percurso que os obrigasse a passar por todas as pontes, mas apenas uma vez em cada uma, como foi solicitado mais acima. Como os habitantes não obtiveram sucesso em nenhuma das suas tentativas, muitos deles acreditavam que não era possível encontrar tal percurso. Foi aí então que surgiu um problema histórico, chamado As Sete Pontes de Königsberg, resolvido pelo matemático suiço Leonhard Euler em 1736. Euler conseguiu solucionar o problema usando um raciocínio simples. Ele ilustrou os caminhos em curvas e os encontros desses caminhos (ou seja, as partes terrestres) em pontos. Vejamos, alguns exemplos desse tipo de ilustração. Nesta primeira imagem, vemos dois pontos e uma única curva. Ou seja, no 2
contexto, teríamos dois espaços de terra e um único caminho entre eles. Nesta outra gura, vemos outros dois pontos (pedaços de terra), porém com três caminhos diferentes ligando-os. Nesta última foto, vemos quatro pontos e seis caminhos diferentes. Porém, não existe caminho que ligue os dois pontos laterais sem passar por um dos outros dois. Voltando para o problema das pontes, Euler ilustrou a cidade de Königsberg como na gura abaixo.compare-a com a primeira gura da cidade. Elepercebeu que só seria possível atravessar o caminho inteiro passando uma 3
única vez em cada ponte se houvessem dois pontos ou não houvesse nenhum ponto de onde saísse um número ímpar de caminhos. A razão disso é que de cada ponto deve haver um número par de caminhos, pois será preciso um caminho para "entrar"e outro para "sair". Os dois pontos com caminhos ímpares referem-se ao início e ao nal do percurso, pois estes não precisam de um para entrar e um para sair, respectivamente. Se não houver pontos com número ímpar de caminhos, pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto, podendo esse ser qualquer ponto da ilustração. Não é possível começar e terminar o quando temos dois pontos com números ímpares de caminhos, sendo obrigatoriamente um o início e outro o m. 2 Euler também descobriu um outro jeito de solucionar o problema das pontes. Observe agora estas guras. A da esquerda é mais uma ilustração da cidade de Königsberg e a da direita é outra representação com pontos e curvas. Analisemos a imagem da direita. A, B, C e D são os pontos associados à terra, que é representada pelas duas margens e as duas ilhas.1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são linhas associadas às sete pontes Um diagrama desse tipo é simplesmente um esquema consistindo num número nito de pontos, chamados vértices, e num determinado número de linhas. Os vértices são as extremidades das linhas e nenhuma linha tem qualquer ponto comum com uma outra, exceto o vértice comum. Um vértice é par ou ímpar, conforme o número de linhas que o formam seja par ou ímpar. Um diagrama é atravessado passando-se por todas as linhas exatamente uma vez. Euler baseou-se nas seguintes descobertas que fez: Se um diagrama contém somente vértices pares, ele pode ser atravessado começando e acabando no mesmo ponto. Se um diagrama contém, no máximo, dois vértices ímpares, ele também pode ser atravessado, mas não é possível voltar ao ponto de partida. 4
Em geral, se o diagrama contém 2n vértices ímpares, onde n é um número inteiro qualquer, para atravessá-lo será necessário n passagens distintas por uma mesma linha. No diagrama da gura, que representa o passeio pelas sete pontes de Königsberg, os quatro vértices são todos ímpares, pois são extremidades de um número ímpar de linhas. Assim, como 2n = 4, n = 2, ou seja, serão necessárias duas passagens do lápis por uma das linhas para atravessar o diagrama. Conclui-se que não é possível efetuar o referido passeio, de modo a passar por todas as sete pontes sem cruzar mais de uma vez a mesma ponte. 5