Poliedros Teorema de Euler no Plano Poliedros Regulares Volume de Sólido. Poliedros, Volume e Principio de Cavallieri

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1 Poliedros, Volume e Principio de Cavallieri

2 O resultado central deste capítulo é o Teorema de Euler. Seu enunciado, por sua beleza e simplicidade, costuma fascinar os alunos quando tomam contato com ele pela primeira vez: V A + F = 2. A observação do resultado em desenhos de poliedros ou em objetos do cotidiano é estimulante e, sobretudo, intrigante. Porque sempre ocorre isso? Na verdade, a relação de Euler não é verdadeira para todos os poliedros de acordo com nossa definição. Mas, para os poliedros convexos ela é verdadeira. Em contextos mais gerais, onde inclusive se adota uma definição de poliedro menos restritiva que a nossa, o valor de V A + F é chamado de característica do poliedro.

3 O Teorema de Euler foi descoberto em Desde então, diversas demonstrações apareceram na literatura e algumas continham falhas (como a de Cauchy), que foram descobertas muitos anos mais tarde. Essas falhas eram devidas à falta de precisão na definição de poliedro. Mesmo Euler nunca se preocupou em definir precisamente essa palavra. A demonstração que mostraremos aqui para poliedros convexos segue quase integralmente a que foi publicada na RPM no. 3 (1983) pelo professor Zoroastro Azambuja Filho. Teorema (Teorema de Euler) Em todo poliedro convexo com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação V A + F = 2.

4 Comentários É fácil encontrar exemplos de poliedros não convexos que satisfazem a relação de Euler. Por exemplo, se um poliedro P não convexo puder ser colocado em uma posição de modo que sua sombra seja um polígono onde cada um de seus pontos seja sombra de no máximo dois pontos de P. Todas as relações que encontramos são apenas condições necessárias. Isto quer dizer que não basta que três números A, V e F satisfaçam a elas para que se tenha certeza da existência de um poliedro com essas características.

5 Consideremos então uma região R do plano dividida em outras regiões justapostas como mostra a figura a seguir. O conjunto de arestas desta figura divide o plano em 5 regiões, uma delas ilimitada. Se chamamos de F o número de regiões que o conjunto de arestas divide o plano, A o número de arestas e V o número de vértices, temos que: F A + V = = 2

6 Cada região (seja R ou uma da decomposição) é limitada por pelo menos duas arestas e um vértice é um ponto comum a pelo menos duas arestas. Devemos enfatizar que aqui, o termo aresta não significa um segmento de reta mas sim qualquer curva contínua, sem auto-interseções, que liga um vértice a outro vértice. Devemos ainda exigir (e isso é muito importante) que nenhuma região fique completamente dentro de outra. Assim, decomposições como as que mostramos abaixo estão proibidas.

7 Teorema Consideremos plano dividido em F regiões (sendo uma ilimitada), através de A arestas que concorrem em V vértices, nas condições descritas acima. Temos então que: V A + F = 2. Prova. Vamos fazer a prova por indução no número F de regiões. Observe que a fórmula V A + F = 2 vale no caso simples em que apenas um polígono de n lados. Neste caso, A = V = n; F = 2. Vamos agora mostrar que se a relação de Euler vale para uma decomposição do plano em F regiões, então ela ainda vale para uma decomposição em F + 1 regiões.

8 Uma determinada decomposição pode ser construída por etapas onde, em cada uma delas, uma nova região é acrescentada na região ilimitada das anteriores. Consideremos então uma decomposição do plano em F regiões através de A arestas que concorrem em V vértices, satisfazendo a relação de Euler. Acrescentamos agora uma nova região contida na região ilimitada das regiões anteriores, desenhando uma sequência de arestas ligando dois vértices do contorno da divisão anterior. Se acrescentamos r arestas, então acrescentamos r 1 vértices e uma nova região. Temos que a relação de Euler permanece válida porque 2 = V A + F = (V + r 1) (A + r) + (F + 1). o que conclui a demonstração.

9 Tomemos um poliedro convexo P e uma esfera S que o contenha. A partir de um ponto interior ao poliedro, projetamos P sobre S como mostra a figura a seguir. A função f : P S é definida da seguinte forma. Sendo O um ponto interior a P, para cada ponto X P, definimos f (X) como o ponto de interseção da semirreta OX com S. A função f é contínua (o que significa que pontos próximos de P são levados em pontos próximos de S) e sua inversa f 1 : S P é também contínua.

10 Vemos agora a esfera dividida em regiões limitadas por arcos de circunferência (ou simplesmente linhas). Chamando de nó a projeção de cada vértice temos cada região limitada por pelo menos 3 linhas e também cada nó como extremidade de pelo menos 3 linhas. É claro que para as linhas, regiões e nós da esfera S vale a relação de Euler, porque ela já era válida em P.

11 Tomemos agora um ponto N interior a uma região de S, um plano P perpendicular ao diâmetro de S que contém N e uma função F : S {N} π, tal que para cada ponto Y S {N}, F(Y ) é a interseção da semirreta NY com P. A aplicação F é chamada projeção estereográfica.

12 Se o poliedro original P tinha F faces, V vértices e A arestas vemos agora o plano π dividido em F regiões por meio de A linhas que se encontram em V nós. Por comodidade, as linhas podem ser chamadas de arestas os nós de vértices e as regiões de faces. E claro que das F regiões, uma é ilimitada porque é projeção da região de S que contém o ponto N, mas relação de Euler continua válida. A figura obtida em π pode ser agora continuamente deformada mas a relação de Euler se mantém inalterável

13 As transformações que fizemos são equivalentes a imaginar um poliedro de borracha e inflá-lo injetando ar até que se transforme em uma esfera. Em seguida, a partir de um furo feito em uma das regiões, esticá-lo até que se transforme em um plano. Isto significa que o Teorema de Euler não é um teorema de Geometria, mas sim de Topologia. Não importa se as faces são planas ou não, ou se as arestas são retas ou não. Tudo pode ser deformado à vontade desde que essas transformações sejam funções contínuas cujas inversas sejam também contínuas (chamadas homeomorfismos), ou seja, para cada transformação que fizermos por uma função contínua, deveremos poder voltar à situação original por meio de uma outra função também contínua.

14 É considerado que a primeira menção formal aos grafos foi feita por Leonhard Euler em 1736 e tratava sobre o problema das Sete Pontes de Konigsberg: O problema é baseado na cidade de Konigsberg (território da Prússia até 1945, atual Kaliningrado, na Rússia), que é cortada pelo Rio Pregolia, onde há duas grandes ilhas que, juntas, formam um complexo que na época continha sete pontes. Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as pontes sem repetir nenhuma. Havia-se tornado uma lenda popular a possibilidade da façanha quando Euler, em 1736, provou que não existia caminho que possibilitasse tais restrições.

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16 Euler usou um raciocínio muito simples. Transformou os caminhos em retas e suas intersecções em pontos, criando possivelmente o primeiro grafo da história. Então percebeu que só seria possível atravessar o caminho inteiro passando uma única vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de onde saísse um número ímpar de caminhos. A razão de tal coisa é que de cada ponto deve haver um número par de caminhos, pois será preciso um caminho para entrar e outro para sair. Os dois pontos com caminhos ímpares referem-se ao início e ao final do percurso, pois estes não precisam de um para entrar e um para sair, respectivamente. Se não houverem pontos com número ímpar de caminhos, pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto, podendo esse ser qualquer ponto do grafo. Isso não é possível quando temos dois pontos com números ímpares de caminhos, sendo obrigatoriamente um o início e outro o fim.

17 Este resultado também é considerado um dos primeiros resultados topológicos na geometria, o que demonstra que, desde o principio, a utilização de grafos está estreitamente relacionada à abstração para resolução de outros problemas.

18 Poliedros Regulares Desde a antiguidade são conhecidos os poliedros regulares, ou seja, poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares iguais e que em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas. O livro XIII dos Elementos de Euclides (cerca de 300 a.c.) é dedicado inteiramente aos sólidos regulares e contém extensos cálculos que determinam, para cada um, a razão entre o comprimento da aresta e o raio da esfera circunscrita. Na última proposição daquele livro, prova-se que os poliedros regulares são apenas 5: o tetraedro, o cubo, octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. A história é farta em exemplos de matemáticos, filósofos e astrônomos que tentaram elaborar teorias de explicação do universo com base na existência desses 5 sólidos regulares. Um exemplo é Kepler, 19 séculos depois dos Elementos de Euclides, tentou elaborar uma cosmologia com base nos 5 poliedros regulares.

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20 Definição Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são polígonos regulares iguais e em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas. Teorema Existem apenas cinco poliedros regulares convexos. Prova. Para demonstrar, seja n o número de lados de cada face e seja p o número de arestas que concorrem em cada vértice. Temos então 2A = nf = pv, ou A = nf 2 e V = nf p.

21 Substituindo na relação de Euler, obtemos Donde, V A + F = 2, nf p nf 2 + F = 2 F = 4p 2p + 2n pn. Observe que a relação acima se verifica apenas se o denominador é positivo, isto é, 2p + 2n pn > 0, ou seja 2n n 2 > p.

22 Como p 3, chegamos a n < 6. As possibilidades são então as seguintes: n = 3 e portanto F = p 6 p. Temos então que p < 6 e p = 3 e F = 4 (tetraedro) p = 4 e F = 8 (octaedro) p = 5 e F = 20 (icosaedro) n = 4 e F = 2p 4 p p = 3 e F = 6 (cubo) n = 5 e F = 4p 10 3p p = 3 e F = 12 (dodecaedro)

23 Entenderemos por sólido qualquer um dos seguintes subconjuntos do espaço: cilindro, cone, esfera, poliedro ou qualquer superfície fechada, simples (isto é, sem auto-interseção), mais a região delimitada por ela. Vale salientarmos que a idéia de sólido que acabamos de dar é um conceito primitivo, ou seja, sem definição, uma vez que não demos a definição de superfície fechada simples e nem tão pouco a definição da região delimitada por ela. Enfim, temos somente uma idéia.

24 Um outro conceito que será importante para o entendimento dos axiomas da função volume é o de sólidos congruentes. Definição (Congruencia de solidos) Diremos que um solido S e congruente a um solido S 0 e escrevemos S S 0 se existe uma funcao bijetiva f : S S 0 tal que d(a, B) = d(f (A), f (B)), para quaisquer que sejam os pontos distintos A, B S.

25 Axiomas da função volume 1 Para todo sólido S está associado um numero real positivo V (S). 2 Se S e P são sólidos congruentes, então V (S) = V (P). 3 Se S e P são sólidos que se cortam apenas em pontos da superfície de cada um, então: V (S P) = V (S) + V (P). 4 O volume de um cubo P de aresta 1 é V (P) = 1

26 Seja f : IR IR uma função crescente tal que n N, f (nx) = nf (x), x IR. Então r IR, tem-se que f (rx) = rf (x), x IR. Decorre do axioma 4 e do resultado acima que O volume de um paralepípedo P de dimensões a, b e c é V (P) = abc.

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28 Principio de Cavalieri Sejam S e S 0 sólidos. Se todo plano horizontal intercepta S e S 0 segundo figuras com mesma área, então S e S 0 têm o mesmo volume.

29 O Princípio de Cavalieri é de fato um teorema da teoria de Integração, que diz que: Teorema Seja P um sólido de Cavalieri, com as seções planas no plano π t tendo área igual a A(t), t [a, b]. Então o volume de P, V (P) é dado por: V (P) = b a A(t)dt. Na prova deste teorema, usamos a aproximação do sólido P por uniões de paralelepípedos.

30 O Principio de Cavalieri também tem uma versão bidimensional, que diz que Principio de Cavalieri no Plano Sejam P e P 0 duas figuras planares. Se toda reta horizontal intercepta P e P 0 segundo segmentos com mesmo comprimento, então P e P 0 têm mesma área.

31 No caso de triângulos, a recíproca deste fato é verdadeira: Teorema Sejam T 1 e T 2 dois triângulos com a mesma área. Então eles são equivalentes no sentido de Cavalieri, isto é, é possível encontrar uma direção r, que após um movimento rígido aplicado em um dos triângulos, as retas perpendiculares a r cortam T 1 e T 2 em segmentos de mesmo comprimento.

32 Proposição O volume de um cilindro é igual ao produto da area da base pela altura. Prova. Seja C um cilindro entre os planos α e β, de base B e altura h. Suponha que B α. Considere um paralelepipedo P, ratangular, cuja base R está contida em α e tem a mesma area de B, cuja altura seja h e esteja no mesmo semi espaço (determinado por α) em que se encontra C.

33 Considere um plano π paralelo a α, entre α e β. Pelo que provamos, π C BF e π P R. Como B e R tem mesma area, segue-se as seções π C e π P tem mesma area. Pelo principio de Cavalieri, o cilindro e o paralelepipedo tem mesmo volume. Como o volume de P e o produto da area de R por h, decorre que o volume de C e o produto da area de R por h e, como R e B tem mesma area, segue-se que o volume de C e o produto da area de B por h.

34 Volume de cones Proposição Dois cones têm mesmo volume se têm mesma altura e suas bases têm mesma área.

35 Temos que F π C com razão de semelhança igual a h h e F π C com razão de semelhança também igual a h h Como a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança segue-se que ( ) A(F) h 2 A(π C) = h = A(F ) A(π C ). Já que A(F) = A(F ) decorre que A(π C) = A(π C ).

36 Proposição O volume de um cone é igual a um terço da área da base pela altura. Prova: Inicialmente, demonstraremos o resultado para o caso do cone ser um tetraedro. Se em um tetraedro de vértices A, B, C e D, imaginamos a face ABC como base e o ponto D como vértice dessa pirâmide, vamos representá-lo por D ABC. Ainda, o volume desse tetraedro será representado por V (D ABC) = V (B ACD) =, etc, dependendo de qual face estamos considerando como base. Consideremos então um prisma triangular cujas bases são os triângulos ABC e DEF, como mostra a figura:

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38 Seja A a área de ABC e seja h a altura do prisma. Como sabemos, seu volume é Ah. Vamos agora, dividir esse prisma em três tetraedros: C DEF, E ADC e E ABC,

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40 Sejam V 1, V 2 e V 3 os volumes respectivos dos três tetraedros citados e seja V o volume do prisma. Pelo teorema anterior, sabemos que o volume de uma pirâmide não se modifica quando, mantendo a base fixa, movemos o vértice em um plano paralelo a essa base. Tendo isto em mente podemos concluir: V 1 = V (C DEF ) = V (A DBF) = V (A DBC) = V (D ABC) V 2 = V (E ADC) = V (B ACF ) = V (F ABC) V 3 = V (E ABC) Logo V 1 = V 2 = V 3 e como V = V 1 + V 2 + V 3, concluimos que V (D ABC) = V 3 = Ah 3, onde A é a área da base do tetraedro.

41 Poliedros Teorema de Euler no Plano Poliedros Regulares Volume de So lido Para demonstrarmos que o resultado e va lido para um cone C qualquer e so considerarmos um tetraedro com mesma altura de C e cuja base tenha a mesma a rea da base de C. O resultado decorre do que provamos.

42 Corolário O volume de um cone circular é igual a 1 3 πr 2 h, em que r é o raio da base e h é a altura do cone. Corolário O volume de uma pirâmide, cuja base é um polígono regular, é igual a 1 pah, em que p e a são, respectivamente, o 3 semi-perímetro e a medida do apótema da base e h é a altura da pirâmide Prova. O resultado segue-se pelo fato da área de um polígono regular ser igual ao produto de seu semi-perímetro pelo seu apótema.

43 Definição Apótema (ou o apotegma) de um polígono regular é a designação dada ao segmento de reta que partindo do centro geométrico da figura é perpendicular a um dos seus lados. Dado que a distância mínima do centro a um dos lados é medida ao longo da apótema, esta designação é por vezes usada, embora incorretamente, para designar essa distância.

44 Poliedros Teorema de Euler no Plano Poliedros Regulares Volume de So lido Proposic a o O volume de uma esfera de raio R e igual a 34 πr 3.