Exercícios Operações com frações. Determine o valor das seguintes expressões, simplificando sempre que possível: 7 c 6 8 6 d b a 8 : 8 7 0 f 8 7 h g e : 6 8 : 6 7 l k j i n m Equações de º Grau Resolva as equações a seguir: a8x - 7 = 6 b x - = 6-7x c 0y - ( + y = (y - - 0 d x(x + + x(x + = x + e (x - /0 + ( - x/ = (-x/ f x (x + 6 - x = x Coordenadas Cartesianas O Plano Cartesiano É formado por duas retas perpendiculares, onde o ponto em que elas se cortam é o (0,0 e recebe o nome de origem das coordenadas. O eixo (ou reta horizontal tem o sinal positivo à direita da origem das coordenadas e negativo à sua esquerda. Ele recebe o nome de eixo das abscissas. Porém, costumamos chamá-lo de eixo x. A reta (eixo vertical tem o sinal positivo acima da origem das coordenadas e negativo abaixo. Ele recebe o nome de eixo das ordenadas, ou também eixo y. Quando traçamos os eixos cartesianos, o plano fica dividido em quatro regiões chamadas quadrantes, como na figura abaixo. Para qualquer ponto P, de coordenadas (x, y, dizemos que: P é do º quadrante se, e somente se, x > 0 e y > 0; P é do º quadrante se, e somente se, x < 0 e y > 0; P é do º quadrante se, e somente se, x < 0 e y < 0;
P é do º quadrante se, e somente se, x > 0 e y < 0. Representação Gráfica dos Pares Ordenados Veja o ponto A = (, localizado no plano. O primeiro componente,, é representado sobre o eixo das abscissas (eixo x e, o segundo componente,, sobre o eixo das ordenadas (eixo y. Exercício Marque os pontos no Plano Cartesiano: A (, B (7, C ( 6,8 D (, E (, F (,0 G ( 0,0 H (0,7 I (0, J (, 8 L (, 0 M ( 0, Produtos Notáveis Quadrado da Soma de Dois Termos O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo: Quadrado da Diferença de Dois Termos O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo: Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo: Cubo da Soma de Dois Termos O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, mais três vezes o produto do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo:
Cubo da Diferença de Dois Termos O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, mais três vezes o produto do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo, menos o cubo do segundo termo: I - Efetue os quadrados II - Efetue os produtos de um binômio por seu conjugado III - Efetue os produtos de Stevin
IV - Efetue os cubos V - Efetue os quadrados VI - Efetue 7 Quanto devemos adicionar ao quadrado de x + para encontrarmos o cubo de x -? 8 Determine a quarta parte da diferença entre os quadrados de( x + x e (x - x + Determine a diferença entre o cubo e o quadrado do polinômio x - 0 Se A = x -, determine o valor de A - A +
Respostas
Fatoração A fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um produto de diversos fatores. A fatoração é um recurso que utilizamos na simplificação de sentenças matemáticas. Quando for o caso, podemos utilizá-la na simplificação de uma fração ou de uma equação, por exemplo. Fator Comum em Evidência: ax + bx = x(a + b A forma mais básica de fatoração é a colocação de fatores comuns em evidência. Fatoração por Agrupamento: ax + bx + ay + by = (a + b(x + y No tipo de fatoração por agrupamento não temos um fator que é comum a todos os termos, no entanto temos fatores que são comuns a alguns termos e outros fatores que são comuns a outros termos. Diferença de Dois Quadrados: a - b = (a + b(a - b Este e os próximos tipos de fatoração que veremos estão relacionados aos produtos notáveis. Aos estudá-los vimos que o produto da soma pela diferença de dois termos nos leva à diferença de dois quadrados, então podemos utilizar de forma inversa este conhecimento na fatoração da diferença de dois quadrados. Vejamos este exemplo na sequência: Visto que a - b = (a + b(a - b, podemos realizar a fatoração como a seguir: Tal fatoração foi realizada se encontrando o valor de a e b, que são respectivamente a raiz quadrada do primeiro e do segundo termo e então os substituindo em (a + b(a - b. Logo: Exemplos Trinômio Quadrado Perfeito - Soma: a + ab + b = (a + b Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinômio quadrado perfeito, que é o que demonstra a sentença acima, só que temos os membros em ordem inversa. Então o quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada de um trinômio quadrado perfeito. Como fatorar o trinômio abaixo?
Se o pudermos escrever como a + ab + b estaremos diante de um trinômio quadrado perfeito, que fatorado é igual a (a + b. Obtemos o valor de a extraindo a raiz quadrada de x no primeiro termo e o valor de b extraindo a raiz quadrada de no terceiro termo, portanto a = x e b = 7. Ao substituirmos a por x e b por 7 nos termos do trinômio a + ab + b devemos chegar a uma variação do trinômio original: Realizando a substituição de a e b, vamos então analisar a + ab + b termo a termo para verificar se o polinômio obtido é igual ao polinômio original. Quando substituímos a por x em a chegamos ao x original. Ao substituirmos a por x e b por 7 em ab obtivemos. x. 7, equivalente ao x original. E finalmente substituindo b por 7 em b chegamos a 7, equivalente ao do terceiro termo do polinômio original. Como foi possível escrever x + x + na forma a + ab + b, então estamos mesmo diante de um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado assim: Portanto: Se o polinômio em questão não fosse um trinômio quadrado perfeito, não poderíamos realizar a fatoração desta forma, visto que a conversão de x + x + em a + ab + b levaria a um polinômio diferente do original. Por exemplo, se o trinômio fosse x + x +, o segundo termo x iria diferir do segundo termo obtido via substituição de a e b que é x, portanto não teríamos um trinômio quadrado perfeito. Note que realizamos uma verificação termo a termo para verificar se realmente tínhamos um trinômio quadrado perfeito, mas você não precisará fazer tal verificação quando no enunciado da questão estiver explícito que os polinômios realmente são trinômios quadrados perfeitos. Exemplos Trinômio Quadrado Perfeito - Diferença: a - ab + b = (a - b Assim como o caso da soma visto acima, de forma análoga temos o caso da diferença. Vejamos este outro trinômio: Como x é a raiz quadrada de x, do primeiro termo, e é a raiz quadrada de do terceiro termo, podemos reescrevê-lo como a seguir, substituindo a por x e b por temos: Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos um trinômio quadrado perfeito:
Portanto, temos realmente um trinômio quadrado perfeito que pode ser escrito na formaa - ab + b = (a - b : Logo: Exemplos Exercícios sobre Fatoração Fatore as expressões algébricas: a ax + ay + az = a(x + y + z b m + 6am =m(m a c xy - x y = xy(y - 7x d b 6b + b = b.(b - + 6b e a m a m + 8a m = 7a m (7m - a m + a f x x 6 x 8 = - x 6 (x x Fatorar por agrupamento: a ax + bx + am + bm = x(a + b + m(a + b = (a + b.(x + m b x + y + mx + my = (x + y.( + m c a + 0a + a + 0 = (a + 0.(a + d a b - a + b - = (b -.(a + e bc + c - 0b c = (b + c.(c - Expressões algébricas fatoradas (diferença de dois quadrados a x - 6 = (x -.(x + b - a m 6 = ( - am. ( + m c 0, 8b - 6 = (0,b - 6.(0,b + 6 d a - 00 = (7a + 0 (7a - 0 e m - k 8 = (m - k.(m + k Fatoração de trinômios quadrados perfeitos a x - x + = (x - = (x -.(x - d m + 8m + 6 = (m + b x - 6x + = (x - = (x -.(x - e p - p + = (p - c x - 0x + = (x - = (x -.(x - f k + k + = (k + 7