ÁLGEBRA LINEAR ISBN 978-85-915683-0-7

. ÁLGEBRA LINEAR ISBN 978-85-915683-0-7 ROBERTO DE MARIA NUNES MENDES Professor do Departamento de Matemática e Estatística e do Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica da PUCMINAS Belo Horizonte Edição do Autor 2013

Sumário Prefácio 1 1 Espaços Vetoriais 2 1.1 Definições e Exemplos...................... 2 1.2 Subespaços............................ 5 1.3 Independência Linear. Bases. Dimensão............ 7 1.4 Espaços Produto e Quociente.................. 11 1.5 Somas e Somas Diretas...................... 13 1.6 Exercícios do Capítulo 1..................... 16 2 Aplicações Lineares 18 2.1 Definições e Exemplos...................... 18 2.2 Composição e Inversão de Aplicações Lineares......... 23 2.3 Álgebra das Aplicações Lineares................. 28 2.4 Exercícios do Capítulo 2..................... 30 3 Matrizes 32 3.1 Definições............................. 32 3.2 Produto de Matrizes....................... 34 3.3 Aplicação Linear Matriz.................... 35 3.4 Mudança de Bases........................ 42 3.5 Exercícios do Capítulo 3..................... 47 4 Formas Lineares. Dualidade 49 4.1 Definição.............................. 49 4.2 Anulador de um Subespaço................... 52 4.3 Transposição........................... 53 4.4 Exercícios do Capítulo 4..................... 57 5 Determinantes 58 5.1 Aplicações r-lineares alternadas................. 58 i

SUMÁRIO ii 5.2 Determinante de um Operador Linear.............. 63 5.3 Desenvolvimento em relação aos elementos de uma coluna (ou de uma linha)........................... 66 5.4 Matrizes Elementares....................... 71 5.5 Equações Lineares........................ 78 6 Autovalores e Autovetores 84 6.1 Definições............................. 84 6.2 Diagonalização.......................... 90 6.3 Polinômios de Operadores e Matrizes.............. 95 6.4 Exercícios do Capítulo 6..................... 98 7 Produto Interno 99 7.1 Definições e Exemplos...................... 99 7.2 Bases Ortonormais........................ 105 7.3 Relações entre V e V...................... 108 7.4 Adjunta.............................. 110 7.5 Exercícios do Capítulo 7..................... 113 8 Operadores Unitários e Normais 115 8.1 Definições............................. 115 8.2 Operadores Positivos....................... 120 8.3 Matrizes Simétricas Positivas. Decomposição de Cholesky... 123 8.4 Teorema dos Valores Singulares................. 125 8.5 Exercícios do Capítulo 8..................... 128 9 Formas Bilineares e Quadráticas 130 9.1 Generalidades........................... 130 9.2 Matriz de uma forma bilinear.................. 132 9.3 Mudanças de Bases........................ 132 9.4 Formas Quadráticas........................ 133 9.5 Formas Bilineares Simétricas Reais............... 133 10 Miscelânea 137 10.1 Orientação............................. 137 10.2 Volume de Paralelepípedo.................... 138 10.3 Matriz de Gram.......................... 139 10.4 Produto Vetorial......................... 140 Exercícios de Revisão 142 Bibliografia 144

Prefácio A origem desse livro de Álgebra Linear remonta a um curso feito para alunos do Bacharelado em Matemática da UFMG. Na ocasião, fizemos uma primeira redação revista pelos professores do ICEx-UFMG, Michel Spira e Wilson Barbosa, a quem muito agradecemos. Mais recentemente, retomamos o trabalho e, após várias mudanças, aproveitamos parte do material na disciplina Métodos Matemáticos do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da PUCMINAS. A versão final do livro foi revista pela professora Mariana Cornelissen Hoyos, a quem agradecemos a generosa assistência. A leitura do Sumário mostra que se trata de um livro básico de Álgebra Linear que procura desenvolver o assunto com cuidado no aspecto teórico, visando a boa formação do profissional. Para aprofundamento na matéria deve-se recorrer aos livros indicados na Bibliografia, que utilizamos livremente. A digitação do manuscrito foi feita, com eficiência e boa vontade, por Eric Fernandes de Mello Araújo, a quem agradecemos. Ao leitor, bom proveito. Belo Horizonte, janeiro de 2013 Roberto N. Mendes 1

Capítulo 1 Espaços Vetoriais 1.1 Definições e Exemplos Seja K um corpo com elementos neutros distintos 0 e 1, por exemplo, K = R ou K = C. Definição 1.1 Um espaço vetorial sobre K é um conjunto V munido de duas leis: V V V e K V V (u, v) u + v (a, v) av tais que, para quaisquer u, v, w V e a, b K, se tenha: (1) u + v = v + u (2) (u + v) + w = u + (v + w) (3) existe 0 V, chamado o vetor zero, tal que v + 0 = v (4) dado v V, existe ( v) V, chamado o oposto de v, tal que v+( v) = 0 (5) 1 v = v (6) a(bv) = (ab)v (7) a(u + v) = au + av (8) (a + b)v = av + bv. Exemplo 1.1.1 Seja V = K n, onde n N, com as leis: e (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) a(x 1,..., x n ) = (ax 1,..., ax n ). É fácil verificar que, com estas leis, K n é um espaço vetorial sobre K. 2

CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 3 Observação: Os elementos de um espaço vetorial V são chamados de vetores, enquanto que os de K são chamados de escalares. Essa nomenclatura deriva do exemplo acima. As leis são chamadas de adição e multiplicação por escalar, respectivamente. No exemplo 1.1.1, se n = 1, vemos que K é um espaço vetorial sobre si mesmo, de modo que seus elementos são, ao mesmo tempo, escalares e vetores. Exemplo 1.1.2 Seja V = P n, onde n N, o conjunto das funções polinomiais de grau estritamente menor que n, com coeficientes em K, juntamente com a função zero. Se p = a 0 +a 1 t+...+a n 1 t n 1 e q = b 0 +b 1 t+...+b n 1 t n 1, definimos p + q V e cp V, onde c K, por: p + q = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )t +... + (a n 1 + bn 1)t n 1 cp = ca 0 + ca 1 t +... + ca n 1 t n 1 Resulta que P n é um espaço vetorial sobre K. Exemplo 1.1.3 Seja V = K[t] o conjunto de todos os polinômios a uma variável, com coeficientes em K. Definindo as leis como no exemplo 1.1.2, é imediato que K[t] é um espaço vetorial sobre K. Exemplo 1.1.4 Seja V = F(I, R) o conjunto das funções f : I R, onde I R é um intervalo. Se f, g V e a R, definimos f + g e af por: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (af)(x) = a f(x) para todo x I. Verifica-se imediatamente que essas leis tornam F(I, R) um espaço vetorial real, isto é, sobre R. Consequências Imediatas da Definição (a) Se u, v V definimos: Se a K, então u v = u + ( v) a(u v) + av = a[(u v) + v] = a[u + ( v) + v] = a(u + 0) = au. Somando av aos dois membros, vem: a(u v) + av av = au av,

CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 4 donde: a(u v) = au av. Fazendo u = v, obtemos a 0 = 0 e também a( v) = a(0 v) = a 0 av = av. (b) Se a, b K e v V, então: (a b)v + bv = (a b + b)v = av, donde: (a b)v = av bv Fazendo a = b, vem 0 v = 0 e também ( a)v = (0 a)v = 0 v av = av. (c) Para todo a K e todo v V vimos que 0 v = a 0 = 0 Suponhamos que av = 0. Se a 0 então 0 = a 1 0 = a 1 (av) = 1 v = v. Portanto, av = 0 implica ou a = 0 ou v = 0. Exercícios 1. O conjunto de todos os polinômios de grau 3, com coeficientes reais e munido das leis usuais, juntamente com o polinômio zero, forma um espaço vetorial real? 2. Dê exemplo de um conjunto M que verifique todos os axiomas de espaço vetorial, exceto 1 v = v para todo v M.

CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 5 3. O conjunto das sequências complexas z = (z n ) n 1 tais que z n+2 = z n+1 + z n, n 1, munido das leis usuais, forma um espaço vetorial complexo? 4. O conjunto das funções f : R R duas vezes continuamente deriváveis e tais que f + af + bf = 0 (a e b reais fixos), munido das leis usuais, forma um espaço vetorial real? 5. Prove que o conjunto das funções limitadas f : R R, munido das leis usuais, é um espaço vetorial real. n=1 6. Seja l 1 (N) o conjunto das sequências x = (x n ) n 1 onde x n C e x n <. Prove que, com as leis usuais, l 1 (N) é um espaço vetorial complexo. 1.2 Subespaços Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K. Definição 1.2 Dizemos que W V é um subespaço de V se: (a) 0 W (b) u, v W = u + v W (c) a K, v W = av W É claro que W, com as leis induzidas pelas de V, é um espaço vetorial sobre K. Exemplo 1.2.1 Em V = K n verifica-se imediatamente que W = {(x 1,..., x n ) K n ; x 1 = 0} é um subespaço. Exemplo 1.2.2 Em V = F(R, R), espaço vetorial real das funções f : R R, o subconjunto formado pelas funções contínuas é um subespaço. Proposição 1.1 Seja V um espaço vetorial sobre K. A interseção de uma família qualquer de subespaços de V é um subespaço de V. Dem. Seja (W α ) α A uma família de subespaços de V, e seja W = α A W α. Então:

CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 6 (a) 0 W pois 0 W α para todo α A. (b) u, v W u, v W α para todo α A = (u + v) W α para todo α A = (u + v) W. (c) α K, v W = av W α para todo α A = av W. Definição 1.3 Seja X um subconjunto não-vazio do espaço vetorial V sobre m K. Todo elemento da forma a 1 v 1 +... + a m v m = a i v i, onde m N, v i X, a i K, 1 i m, é chamado de combinação linear de elementos de X. É fácil verificar que o conjunto de todas as combinações lineares de elementos de X é um subespaço de V, chamado de subespaço gerado por X. Proposição 1.2 O subespaço gerado por X V, X, é a interseção de todos os subespaços de V contendo X, ou seja, é o menor (para a inclusão de conjuntos) subespaço de V contendo X. Dem. Seja (W α ) α A a família de todos os subespaços de V contendo X. Sabemos que W = α A W α é um subespaço de V. É claro que W contém X e, portanto, que W contém todas as combinações lineares de elementos de X, ou seja, W contém o subespaço S gerado por X. Como S é um subespaço de V contendo X, temos que W S. Resulta W = S. Exercícios 1. Seja V = F(R, R) o espaço vetorial real das funções f : R R. Verifique se W é subespaço de V nos seguintes casos: (a) W = conjunto das funções pares (b) W = conjunto das funções ímpares (c) W = conjunto das funções deriváveis (d) W = conjunto das funções C 2. Qual a expressão do elemento genérico do subespaço de K[t] gerado pelos polinômios t 2 e t 3? 3. Verifique se W = {(x, y, z) R 3 ; x = 2y} é subespaço de R 3. 4. Mostre que W = {(0, y, z) R 3 } é gerado por (0, 1, 1) e (0, 2, 1). 5. Mostre que o conjunto das funções f : R R de classe C 2 tais que f + af + bf = 0 (a e b reais fixos) é um subespaço de F(R, R). 6. Mostre que, em geral, a união de dois subespaços não é um subespaço.

CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 7 1.3 Independência Linear. Bases. Dimensão Definição 1.4 Sejam X, X V, V um espaço vetorial sobre K. Dizemos que X é linearmente independente se, quaisquer que sejam v 1,..., v m X, m N, a equação a 1 v 1 +... + a m v m = 0, onde a 1,..., a m K, implica a 1 = a 2 =... = a m = 0. Se X não é linearmente independente (LI) dizemos que X é linearmente dependente (LD); neste caso, existem v 1,..., v p X, p N, e escalares não todos nulos, a 1,..., a p, tais que a 1 v 1 +... + a p v p = 0. Exemplo 1.3.1 Em K n consideremos os vetores e 1 = (1, 0,..., 0) e 2 = (0, 1,..., 0). e n = (0,..., 0, 1) Esses vetores são LI, pois a 1 e 1 +...+a n e n = (a 1,..., a n ) = 0 = (0,..., 0) a 1 = 0,..., a n = 0. Exemplo 1.3.2 Em P n os vetores 1, t,..., t n 1 são LI pois a 0 + a 1 t +... + a n 1 t n 1 = 0 implica a 0 = a 1 =... = a n 1 = 0. Exemplo 1.3.3 No espaço das funções f : R R de classe C 1 consideremos os vetores f 1 (t) = e r 1t, f 2 (t) = e r 2t onde r 1 r 2 são reais. f 1, f 2 são LI pois se a 1 f 1 + a 2 f 2 = 0 então a 1 e r 1t + a 2 e r 2t = 0 para todo t R, donde a 1 e (r 1 r 2 )t + a 2 = 0 para todo t R. Derivando: a 1 (r 1 r 2 )e (r 1 r 2 )t = 0 para todo t R, donde a 1 = 0 e, portanto, a 2 = 0. Exemplo 1.3.4 Consideremos os elementos 1 e i de C. Considerando C como um espaço vetorial real, 1 e i são LI. Considerando C como um espaço vetorial complexo, 1 e i são LD. Proposição 1.3 Se v 1,..., v n são vetores LI em V e a 1 v 1 +... + a n v n = b 1 v 1 +... + b n v n, com a i K, b i K (1 i n), então a i = b i para todo i. Dem. A relação dada é equivalente a (a 1 b 1 )v 1 +... + (a n b n )v n = 0, donde a 1 b 1 =... = a n b n = 0, isto é, a i = b i para i = 1, 2,..., n.

CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 8 Definição 1.5 Seja V um espaço vetorial sobre K. Dizemos que G V gera V ou que G V é um conjunto de geradores de V se todo v V é combinação linear de vetores de G, ou seja, se o subespaço gerado por G é V. Dizemos que o conjunto de geradores G é mínimo se, qualquer que seja g G, o conjunto G 1 = G {g} não gera V. Exemplo 1.3.5 Em K n os vetores e 1 = (1, 0,..., 0),..., e n = (0,..., 0, 1) formam um conjunto de geradores mínimo. Definição 1.6 Seja X V um conjunto LI no espaço vetorial V. Dizemos que X é um conjunto linearmente independente máximo se, para todo v V, v / X, o conjunto X 1 = X {v} é LD. Exemplo 1.3.6 Os vetores e 1 = (1, 0,..., 0),..., e n = (0,..., 0, 1) de K n formam um conjunto LI máximo. Proposição 1.4 Sejam v 1,..., v m vetores LI do espaço vetorial V gerado por w 1,..., w p. Então m p e, alterando-se eventualmente a numeração dos w i, os vetores v 1,..., v m, w m+1,..., w p ainda geram V. Dem. Seja v 1 = a 11 w 1 +... + a p1 w p ; sem perda de generalidade podemos supor a 11 0 e, então: w 1 = b 11 v 1 + b 21 w 2 +... + b p1 w p. Logo, toda combinação linear de w 1,..., w p também é combinação linear de v 1, w 2,..., w p, ou seja, estes vetores geram V. Seja v 2 = a 12 v 1 +a 22 w 2 +...+a p2 w p ; ao menos um dos escalares a 22,..., a p2 é diferente de zero pois v 1 e v 2 são LI. Podemos supor a 22 0 e, então: w 2 = b 12 v 1 + b 22 v 2 + b 32 w 3 +... + b p2 w p, e toda combinação linear de v 1, w 2,...w p é também combinação linear de v 1, v 2, w 3,..., w p, ou seja, estes vetores geram V. Repetindo essa operação um número finito de vezes, vemos que, para r min(m, p), os vetores v 1,..., v r, w r+1,..., w p geram V. Se fosse m > p, tomando r = p, teríamos que v 1,..., v p gerariam V e, portanto, v p+1,..., v m seriam combinações lineares de v 1,..., v p, o que é absurdo já que v 1,..., v m são LI. Portanto, m p e, ao fim de um número finito de operações, obteremos o conjunto de geradores v 1,..., v m, w m+1,..., w p.

CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 9 Corolário 1.4.1 Se w 1,..., w p geram V e n > p, então v 1,..., v n são LD. Em particular, p + 1 vetores que são combinações lineares de p vetores quaisquer são LD. Proposição 1.5 Seja X um subconjunto não-vazio do espaço vetorial V sobre K. As propriedades seguintes são equivalentes: (a) X é LI e gera V (b) X é um conjunto de geradores mínimo (c) X é um conjunto LI máximo Dem. (a) (b): Sejam x X, Y = X {x}. Se x fosse combinação linear de vetores de Y, x = a i y i, y i Y, a i K, 1 i n, então X seria LD, contradição. Portanto, Y não gera V, o que mostra que X é mínimo. (b) (c): Se X fosse LD existiriam vetores x, x 1,..., x n de X e escalares a, a 1,..., a n, não todos nulos, tais que ax+a 1 x 1 +...+a n x n = 0. Sem perda de generalidade podemos supor a 0, donde x = b 1 x 1 +...+b n x n e, portanto, X não seria mínimo, contradição. Além disso, X é (um conjunto LI) máximo m pois, dado v V, temos v = a i x i, x i X, a i K, 1 i m, ou seja, X {v} é LD. (c) (a): Seja v V, v / X, então Y = X {v} é LD e existem vetores x 1,..., x n de X e escalares a, a 1,..., a n, não todos nulos, tais que av + a 1 x 1 +... + a n x n = 0. Se fosse a = 0 resultaria X LD. Então a 0 e v = b 1 x 1 +... + b n x n, isto é, X gera V (e é LI). Definição 1.7 Seja V um espaço vetorial sobre K. X V, X, é uma base de V se X possui uma das (e portanto as três) propriedades da proposição 1.5. Se V tem uma base finita X = {v 1,..., v n } dizemos que V tem dimensão finita; neste caso, se v V, então v se escreve de modo único na forma v = a 1 v 1 +... + a n v n, a i K, 1 i n. Proposição 1.6 Sejam {v 1,..., v n } e {w 1,..., w p } bases do espaço vetorial V sobre K. Então: n = p

CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 10 Dem. Como v 1,..., v n são LI e w 1,..., w p geram V, temos n p. Por simetria, p n. Logo, n = p. Definição 1.8 Sejam V um espaço vetorial sobre K e {v 1,..., v n } uma base de V. Dizemos que n é a dimensão de V sobre K. Por definição a dimensão de V = {0} é zero. Notação: n = dim K V ou n = dim V Exemplo 1.3.7 K n tem dimensão n e {e 1,..., e n } é uma base de K n, chamada de base canônica. Exemplo 1.3.8 {1, t,..., t n 1 } é base de P n, donde dim P n = n. Exemplo 1.3.9 V = K[t] não tem dimensão finita sobre K. Exemplo 1.3.10 dim R C = 2 e {1, i} é uma base. dim C C = 1 e {1} é uma base. Uma base de C n sobre R é {e 1, ie 1, e 2, ie 2,..., e n, ie n }. Corolários: (1) Se dim V = n e v 1,..., v n são LI, então {v 1,..., v n } é base de V (pois é um conjunto LI máximo). (2) Se W é subespaço de V e dim W = dim V, então W = V (pois toda base de W é também base de V ). (3) Se dim V = n e m > n então os vetores v 1,..., v m são LD (pois o número máximo de vetores LI é n). Proposição 1.7 Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre K. Sejam v 1,..., v r, r < n, vetores LI. Então existem v r+1,..., v n V tais que {v 1,..., v r, v r+1,..., v n } seja base de V. Dem. Como r < n, {v 1,..., v r } não é um conjunto LI máximo; logo, existe v r+1 V tal que {v 1,..., v r, v r+1 } seja LI. Se r + 1 < n podemos repetir o argumento. Após um número finito de repetições obteremos n vetores LI, v 1,..., v n, ou seja {v 1,..., v n } é base de V. Exercícios 1. Mostre que t 3 t 2 + 1, q = t 2 1 e r = 2t 3 + t 1 são LI em P 4.

CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 11 2. Prove que f, g, h F(R, R) são LI, onde f(t) = t, g(t) = e t e h(t) = sen t. 3. Ache uma condição necessária e suficiente para que u = (a, b) K 2 e v = (c, d) K 2 sejam LD. 4. Seja W o subespaço de P 4 gerado por u = t 3 t 2 + 1, v = t 2 1 e w = t 3 3t 2 + 3. Ache uma base para W. 5. Existe alguma base de P 4 que não contenha nenhum polinômio de grau 2? 6. Seja (v 1,..., v m ) uma sequência de vetores não-nulos do espaço vetorial V. Prove que se nenhum deles é combinação linear dos anteriores então o conjunto {v 1,..., v m } é LI. 7. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Prove que todo conjunto de geradores de V contém uma base. 1.4 Espaços Produto e Quociente Sejam V 1 e V 2 espaços vetoriais sobre K e V = V 1 V 2 = {(v 1, v 2 ); v 1 V 1, v 2 V 2 } seu produto cartesiano. Vamos introduzir em V uma estrutura vetorial, definindo: (v 1, v 2 ) + (u 1, u 2 ) = (v 1 + u 1, v 2 + u 2 ) a(v 1, v 2 ) = (av 1, av 2 ), a K É imediato verificar que, com estas leis, V = V 1 V 2 é um espaço vetorial sobre K. A definição do espaço produto se estende a um número finito qualquer de espaços vetoriais. Se V 1,..., V n são espaços vetoriais sobre K e V = V 1... V n, definimos: (v 1,..., v n ) + (u 1,..., u n ) = (v 1 + u 1,..., v n + u n ) a(v 1,..., v n ) = (av 1,..., av n ), a K Desta maneira V fica munido de uma estrutura vetorial sobre K. Proposição 1.8 Se V 1 e V 2 têm dimensão finita sobre K, então dim(v 1 V 2 ) = dim V 1 + dim V 2.

CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 12 Dem. Sejam {v 1,..., v n } e {u 1,..., u p }, respectivamente, bases de V 1 e V 2. Vamos provar que {(v 1, 0),..., (v n, 0), (0, u 1 ),..., (0, u p )} é base de V 1 V 2. Se v V 1 e u V 2, existem escalares a i, b j tais que v = a 1 v 1 +... + a n v n e u = b 1 u 1 +... + b p u p. Então: (v, u) = (a 1 v 1 +... + a n v n, b 1 u 1 +... + b p u p ) = = a 1 (v 1, 0) +... + a n (v n, 0) + b 1 (0, u 1 ) +... + b p (0, u p ), o que mostra que os vetores (v 1, 0),..., (0, u p ) geram V 1 V 2. Se tivermos a 1 (v 1, 0) +... + a n (v n, 0) + b 1 (0, u 1 ) +... + b p (0, u p ) = 0 então (a 1 v 1 +... + a n v n, b 1 u 1 +... + b p u p ) = (0, 0), donde a 1 v 1 +... + a n v n = 0 e b 1 u 1 +... + b p u p = 0, que implicam a 1 =... = a n = 0 e b 1 =... = b p = 0, ou seja, os vetores (v 1, 0),..., (0, u p ) são LI. Definição 1.9 Sejam V um espaço vetorial sobre K e W um seu subespaço. Se v V definimos v + W por: v + W = {v + w; w W } Observemos que v + W = u + W v u W. Seja V = {v + W ; v V }. Para introduzir uma estrutura vetorial sobre W V W definamos: (v + W ) + (u + W ) = (v + u) + W a(v + W ) = av + W, a K. Essas leis estão bem definidas pois se u+w = u 1 +W e v +W = v 1 +W, então (v 1 + W ) + (u 1 + W ) = (u 1 + v 1 ) + W = (u + v) + W = = (v + W ) + (u + W ), já que (u 1 + v 1 ) (u + v) = = (u 1 u) + (v 1 v) W. Analogamente, se a K e v 1 + W = v + W, temos: a(v 1 + W ) = av 1 + W = av + W = a(v + W ) pois av 1 av = a(v 1 v) W.

CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 13 É pura rotina verificar que, com estas leis, V se torna um espaço vetorial W sobre K. O elemento neutro da adição em V W é a classe W = 0 + W. V W é chamado de espaço vetorial quociente de V por W. Exemplo 1.4.1 Sejam V = R 2 e W uma reta pela origem de R 2. Um elemento típico de V W é uma reta v + W paralela a W, e V W todas as retas paralelas a W em R 2. consiste de (u + v) + W u + W u u + v v v + W W Exercícios 1. Prove que se v 1 + W,..., v n + W são LI em V W, então v 1,..., v n são LI em V. 2. Sejam V um espaço vetorial e W um subespaço. Para u, v V definamos u v se u v W. Prove que é uma relação de equivalência em V e que o conjunto das classes de equivalência é o espaço quociente V W. 1.5 Somas e Somas Diretas Definição 1.10 Sejam V um espaço vetorial sobre K, U e W subespaços de V. A soma de U e W é definida por: U + W = {u + w, u U, w W }.

CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 14 É fácil ver que U + W é um subespaço de V. De fato, se u 1, u 2 U, w 1, w 2 W e a K, temos: (a) 0 = 0 + 0 U + W (b) (u 1 + w 1 ) + (u 2 + w 2 ) = (u 1 + u 2 ) + (w 1 + w 2 ) U + W (c) a(u 1 + w 1 ) = au 1 + aw 1 U + W Dizemos que V é soma direta de U e W, e escrevemos V = U W, se todo elemento v V se escreve, de modo único, na forma v = u + w, com u U e w W. Proposição 1.9 V = U W se, e só se, V = U + W e U W = {0}. Dem. Se V = U W é claro que V = U + W. Além disso, se v U W temos, de modo único, v = v + 0 = 0 + v, donde v = 0, isto é U W = {0}. Reciprocamente, seja v V arbitrário. Como V = U + W temos v = u + w, com u U, w W. Se tivéssemos também v = u 1 +w 1, u 1 U, w 1 W, então teríamos u u 1 = w 1 w U W = {0}, donde u = u 1 e w = w 1, ou seja, a representação de v na forma u + w é única. Logo, V = U W. Proposição 1.10 Sejam V um espaço vetorial sobre K, de dimensão finita, e W um subespaço de V. Existe subespaço U de V tal que V = U W. Dem. Seja {w 1,..., w r } base de W. Sabemos que existem vetores u 1,..., u s V tais que {w 1,..., w r, u 1,..., u s } seja base de V. Seja U o subespaço gerado por u 1,..., u s. É claro que V = U W. Obs.: Em geral existem muitos subespaços U de V tais que V = U W. Dizemos que um tal U é um subespaço suplementar de W. Proposição 1.11 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre K, U e W dois de seus subespaços. Se V = U W então dim V = dim U + dim W. Dem. Sejam {u 1,..., u r } e {w 1,..., w s } bases de U e W, respectivamente. Provemos que {u 1,..., u r, w 1,...w s } é base de V. Se v V então v = u + w, com u U e w W, ou seja, u = a 1 u 1 +... + a r u r e w = b 1 w 1 +... + b s w s. Portanto, v = a 1 u 1 +... + a r u r + b 1 w 1 +... + b s w s e os vetores u 1,..., u r, w 1,..., w s geram V.

CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 15 Seja a 1 u 1 +... + a r u r + b 1 w 1 +... + b s w s = 0. Então: a 1 u 1 +... + a r u r = b 1 w 1... b s w s. Como U W = {0} resulta a 1 u 1 +... + a r u r = 0 e b 1 w 1 +... + b s w s = 0, donde a 1 =... = a r = 0 e b 1 =... = b s = 0, ou seja, u 1,..., u r, w 1,..., w s são LI. Logo, {u 1,..., u r, w 1,..., w s } é base de V e dim V = r + s = dim U + dim W. O conceito de soma direta se estende à soma de vários subespaços V 1,..., V n do espaço vetorial V. Dizemos que V é a soma direta de V 1,..., V n, e escrevemos V = V 1 V 2... V n, se todo v V se escreve, de modo único, na forma v = v 1 + v 2 +... + v n, onde v i V i, i = 1, 2,..., n. Proposição 1.12 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre K, V 1,..., V r subespaços de V e, para cada i = 1,..., r, {v i1,...v ini } base de V i. V = V 1... V r se, e só se, B = {v 11,..., v 1n1,..., v r1, v r2,..., v rnr } é base de V. Dem. Se V = V 1... V r então todo v V se escreve de modo único na forma v = v 1 +... + v r, onde v i V i, 1 i r. Mas Logo: Suponhamos que n i v i = a ki v ik, 1 i r. v = k=1 r n i a ki v ik e B gera V. k=1 r n i a ki v ik = 0. Pondo v i = k=1 n i k=1 a ki v ik, temos que v i V i, i = 1,..., r. Então: v 1 +... + v r = 0 e, como a soma é direta, temos n i v i = 0, isto é, a ki v ik = 0, donde a ki = 0 pois v i1,..., v ini são LI. Logo, B k=1 é LI e, portanto, B é base de V. Reciprocamente, se B é base de V, então v = r n i a ki v ik = k=1 r v i, onde n i v i = a ki v ik pertence a V i, i i r. Logo: V = V 1 +... + V r. A soma k=1

CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 16 é direta pois se v 1 +... + v r = 0, v i V i, então a ki = 0 e, portanto, v i = 0, 1 i r. Exercícios r n i a ki v ik = 0, donde k=1 1. Sejam U, V, W os seguintes subespaços de R 3 : U = {(x, y, z) R 3 ; x + y + z = 0}; V = {(x, y, z) R 3 ; x = z} e W = {(0, 0, z) R 3 ; z R}. Mostre que R 3 = U + V, R 3 = U + W, R 3 = V + W. Quando é que a soma é direta? 2. Sejam V = F(R, R), U o subespaço das funções pares e W o das ímpares. Mostre que V = U W. 3. Sejam U e W subespaços de V. Se prove que V = U W. V = U + W e dim V = dim U + dim W <, 4. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre K, U e W subespaços de V. Prove: dim(u + W ) dim U + dim W 1.6 Exercícios do Capítulo 1 1. Determine uma base para o subespaço de R 4 descrito por x = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) tal que x 1 = x 2 3x 3, x 3 = 2x 4. Complete a base obtida a uma base do R 4. 2. Em V = F(R, R) considere f k (t) = e r kt onde r k R, 1 k n. Prove que f 1,..., f n são LI se, e só se, r 1 r 2... r n. 3. Sejam v 1,..., v n LI e u = b 1 v 1 +... + b j v j +... + b n v n com b j 0. Prove que v 1,..., v j 1, u, v j+1,..., v n são LI. 4. Seja W um subespaço do espaço vetorial V. Suponha que v 1,..., v n V sejam LI e gerem um subespaço U tal que U W = {0}. Prove que os vetores v 1 + W,..., v n + W são LI em V W.

CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 17 5. Sejam V um espaço vetorial, U e W seus subespaços. Se U e W têm dimensões finitas, prove que: dim U + dim W = dim(u + W ) + dim(u W ). 6. Sejam V um espaço vetorial real e u, v V. O segmento de reta de extremidades u e v é o conjunto [u, v] = {(1 t)u + tv; 0 t 1}. X V é convexo se u, v X [u, v] X. Prove: (a) Se X, Y V são convexos, então X Y é convexo. (b) Se X V é convexo e r, s, t são reais não negativos tais que r + s + t = 1, então u, v, w X ru + sv + tw X. (c) Se X V, a envoltória convexa de X é o conjunto C(X) das combinações t 1 x 1 +... + t n x n, onde t i 0, t i = 1, n N, chamadas combinações convexas dos elementos de X. Prove que C(X) é convexo, que X C(X) e que se C é convexo e X C então C(X) C. 7. Seja V um espaço vetorial real. A V é uma variedade afim se u, v A, t R (1 t)u + tv A. Prove: (a) Se A, B V são variedades afins, então A B é variedade afim. (b) Se A é uma variedade afim em V, existe um único subespaço vetorial W V tal que para todo x A tem-se A = x + W = {x + w; w W }. 8. Dado o conjunto finito X = {a 1,..., a n }, ache uma base para o espaço vetorial real F(X, R) = {f : X R}.

Capítulo 2 Aplicações Lineares 2.1 Definições e Exemplos Definição 2.1 Sejam V e W espaços vetoriais sobre K. Dizemos que uma aplicação T : V W é linear se: T (u + v) = T (u) + T (v) T (av) = a T (u), quaisquer que sejam u, v V e a K. Exemplo 2.1.1 A aplicação identidade I : V V, I(v) = v é linear, bem como a aplicação zero, 0 : V V, 0(v) = 0 para todo v V. Exemplo 2.1.2 Seja V = K[t] o espaço vetorial dos polinômios na variável t com coeficientes em K. A aplicação derivada D : V V, definida por D(a 0 + a 1 t + a 2 t 2 +... + a m t m ) = a 1 + 2a 2 t +... + ma m t m 1, é uma aplicação linear. Exemplo 2.1.3 Se V 1 e V 2 são espaços vetoriais sobre K e V = V 1 V 2, as aplicações p 1 : V V 1 e p 2 : V V 2 definidas por p 1 (v 1, v 2 ) = v 1 e p 2 (v 1, v 2 ) = v 2 são lineares. Exemplo 2.1.4 Seja W um subespaço do espaço vetorial V. A aplicação π : V V, π(v) = v + W, é linear. W Exemplo 2.1.5 Seja V = C 0 ([0, 1], R) o espaço vetorial real das funções contínuas f : [0, 1] R. A aplicação f V T (f) V, onde (T f)(x) = x 0 f(t)dt, x [0, 1], 18

CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 19 é linear. É também linear a função f V 1 0 f(t)dt R. Proposição 2.1 Sejam V e W espaços vetoriais sobre K e (v 1, v 2,..., v n ) uma base ordenada de V. Dada a sequência (w 1,..., w n ) de vetores de W, existe uma e uma única aplicação linear T : V W tal que T (v i ) = w i, 1 i n. Dem. Seja v V. Então v se escreve, de modo único, como v = a 1 v 1 +... + a n v n. Definamos T : V W por T (v) = a 1 w 1 +... + a n w n. É claro que T (v i ) = w i, 1 i n. Mostremos que T é linear. Se u = b 1 v 1 +... + b n v n, então: T (u+v) = T [(a 1 +b 1 )v 1 +...+(a n +b n )v n ] = (a 1 +b 1 )w 1 +...+(a n +b n )w n = = (a 1 w 1 +... + a n w n ) + b 1 w 1 +... + b n w n = T (v) + T (u). Se c K, temos T (cv) = T (ca 1 v 1 +... + ca n v n ) = ca 1 w 1 +... + ca n w n = = c(a 1 w 1 +... + a n w n ) = c T (v). Logo, T é linear. Se L : V W é aplicação linear tal que L(v i ) = w i, 1 i n, então L(a 1 v 1 +... + a n v n ) = a 1 w 1 +... + a n w n = T (v) para todo v V, ou seja, T = L, o que mostra a unicidade de T. Proposição 2.2 Seja T : V W linear. Então: (a) T (0) = 0, T ( v) = v. (b) Se U V é subespaço, então T (U) W é subespaço. (c) Se U W é subespaço, então T 1 (U ) V é subespaço. Dem. (a) Como T é linear, T (av) = at (v) para todo a K e todo v V. Fazendo a = 0, vem: Fazendo a = 1, vem: T (0 v) = 0 T (v), donde: T (0) = 0. T ( v) = T (v) (b) T (U) W é subespaço pois:

CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 20 1. 0 = T (0) T (U) 2. Se T (u), T (v) T (U) então T (u) + T (v) = T (u + v) T (U) 3. Se a K e T (v) T (U) então at (v) = T (av) T (U) (c) T 1 (U ) V é subespaço pois: 1. 0 T 1 (U ) já que T (0) = 0 U 2. Se u, v T 1 (U ) então T (u), T (v) U, donde T (u) + T (v) = T (u + v) U, donde u + v T 1 (U ) 3. Se a K e v T 1 (U ) então at (v) = T (av) U e, portanto, av T 1 (U ). Definição 2.2 Seja T : V W linear. O subespaço T (V ) W é chamado de imagem de T e anotado Im T. O subespaço T 1 (0) V é chamado de núcleo de T e anotado N (T ). Assim, Im T = {T (v) W ; v V } N (T ) = {v V ; T (v) = 0} Obs.: Por definição T é sobrejetora se Im T = W e T é injetora se u v implica T (u) T (v). Proposição 2.3 Seja T : V W linear. São equivalentes: (a) N (T ) = {0} (b) T é injetora (c) T transforma cada conjunto LI de vetores de V em conjunto LI de vetores de W. Dem. (a) (b): N (T ) = {0} T (w) = 0 implica w = 0 T (u v) = 0 implica u v = 0 T (u) = T (v) implica u = v T é injetora. (b) (c): Seja X V um conjunto LI e seja Y = T (X). Vamos provar que Y é LI. De fato, se a 1 y 1 +...+a r y r = 0 onde r N e y i = T (x i ), 1 i r, x i X, a i K, então a 1 T (x 1 )+...+a r T (x r ) = 0 T (a 1 x 1 +...+a r x r ) = 0, donde a 1 x 1 +...+a r x r = 0 (pois N (T ) = {0}), o que implica a 1 =... = a r = 0 (pois X é LI), resultando Y ser LI. (c) (a): Todo vetor v 0 é LI, donde T (v) é LI, ou seja, T (v) 0. Portanto: N (T ) = {0}. Obs.: Se T : V W é linear e v 1,..., v n geram V, então é claro que

CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 21 T (v 1 ),..., T (v n ) geram Im T pois todo w Im T é da forma w = T (v) para algum v V e v = a 1 v 1 +... + a n v n. Resulta que, se V tem dimensão finita, então dim Im T dim V. Definição 2.3 Seja T : V W linear, V de dimensão finita. O posto de T é a dimensão de Im T : r = posto(t ) = dim Im T, donde r dim V. Proposição 2.4 Seja T : V W linear. São equivalentes: (a) T é sobrejetora (b) T transforma conjunto de geradores de V em conjunto de geradores de W. Dem. (a) (b): Sejam X um conjunto de geradores de V e Y = T (X). Vamos provar que Y gera W. Se w W e T é sobrejetora, existe v V tal que w = T (v). m m m Mas v = a i x i, a i K, x i X. Logo, T (v) = a i T (x i ) = a i y i com y i Y, ou seja, Y gera W. (b) (a): Sejam X um conjunto de geradores de V e Y = T (X). Então Y gera W. p Se w W, temos w = a i y i, a i K, y i Y, y i = T (x i ), x i X. Logo, ( p p ) w = a i T (x i ) = T a i x i = T (v) com v V, isto é, T é sobrejetora. Exemplo 2.1.6 Seja T : C 3 C 3, T (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 x 2, 2x 1 + x 2 + 3x 3, x 1 2x 2 3x 3 ). T é linear e Im T é gerada por T (1, 0, 0) = (1, 2, 1) = w 1, T (0, 1, 0) = ( 1, 1, 2) = w 2 e T (0, 0, 1) = (0, 3, 3) = w 3. É fácil ver que w 1 e w 2 são LI e que w 3 = w 1 + w 2. Portanto, {w 1, w 2 } é base de Im T e posto(t ) = r = 2. O núcleo de T é definido pelas equações: x 1 x 2 = 0 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 0 x 1 2x 2 3x 3 = 0 A solução deste sistema é dada por x 1 = x 2 = x 3. Logo: N (T ) = {( t, t, t) C 3 ; t C} e, por exemplo, ( 1, 1, 1) é base de N (T ). Observemos que dim C 3 = 3 = dim N (T ) + dim Im T, o que ilustra o teorema seguinte.

CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 22 Proposição 2.5 (Teorema do núcleo e da imagem) Sejam V, W espaços vetoriais sobre K e T : V W linear. Se V tem dimensão finita, então: dim V = dim N (T ) + dim Im T. Dem. Seja {v 1,..., v s } base de N (T ) e sejam v s+1,..., v n V tais que {v 1,..., v s, v s+1,..., v n } seja base de V. Se w = T (v) Im T e v = a 1 v 1 +... + a n v n, então w = a s+1 T (v s+1 ) +... + a n T (v n ) já que T (v 1 ) =... = T (v s ) = 0; logo T (v s+1 ),..., T (v n ) geram Im T. Além disso, esses vetores são LI; de fato, se b s+1 T (v s+1 )+...+b n T (v n ) = 0, então T (b s+1 v s+1 +... + b n v n ) = 0, ou seja, b s+1 v s+1 +... + b n v n N (T ). Portanto, podemos escrever b s+1 v s+1 +... + b n v n = b 1 v 1 +... + b s v s. Como v 1,..., v s, v s+1,..., v n são LI, resulta b s+1 =... = b n = 0 (e também b 1 =... = b s = 0). Resulta que {T (v s+1 ),..., T (v n )} é base de Im T e dim Im T = n s = dim V dim N (T ), donde a tese. Corolário 2.5.1 Sejam T : V W linear, dim V = n, dim W = p. Então: (a) T é injetora r = posto(t ) = n. Neste caso, dim V dim W. (b) T é sobrejetora r = posto(t ) = p. Neste caso, dim V dim W. Corolário 2.5.2 Seja T : V W linear, com dim V = dim W <. São equivalentes: (a) T é bijetora; (b) T é injetora; (c) T é sobrejetora; (d) se {v 1,..., v n } é base de V, então {T v 1,..., T v n } é base de W; (e) existe base {v 1,..., v n } de V tal que {T v 1,..., T v n } seja base de W. Dem. (a) (b): É óbvio. (b) (c): Como T é injetora, temos posto(t ) = dim V = dim W = n, donde Im T = W. (c) (d): T v 1,..., T v n geram Im T = W. Como dim W = n, resulta que {T v 1,..., T v n } é base de W. (d) (e): É óbvio. (e) (a): Seja {v 1,..., v n } base de V tal que {T v 1,..., T v n } seja base de W. Como T v 1,..., T v n Im T e geram W resulta que W Im T, donde Im T = W, ou seja, T é sobrejetora.

CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 23 Se v = a 1 v 1 +... + a n v n é tal que T (v) = 0, então a 1 T (v 1 ) +... + a n T (v n ) = 0, donde a 1 =... = a n = 0 pois T v 1,..., T v n são LI. Logo, v = 0 e T é injetora. Portanto, T é bijetora. Exercícios 1. Seja T : V W linear. Prove que são equivalentes: (a) T é injetora; (b) para toda decomposição V = V 1 V 2 tem-se T (V ) = T (V 1 ) T (V 2 ) 2. Ache T : R 2 R linear tal que T (1, 1) = 1 e T (1, 0) = 3. 3. Seja T : V W linear. Prove que se T (v 1 ),..., T (v n ) são LI, então v 1,..., v n são LI. 4. Ache T : R 3 R 4 linear cuja imagem seja gerada por (1,0,2,-4) e (0,2,-1,3). 5. Seja T : V V linear. Prove que se T v 1,..., T v n geram V, então v 1,..., v n geram V. 6. Seja T : R 2 R 2 definido por T (x, y) = (ax + by, cx + dy), com ad bc 0. Prove: (a) v 0 T v 0. (b) Toda reta l R 2 é transformada por T numa reta. (c) T transforma retas paralelas em retas paralelas. 2.2 Composição e Inversão de Aplicações Lineares Proposição 2.6 Sejam U, V, W espaços vetoriais sobre o corpo K e T : U V, L : V W aplicações lineares. Então a composta L T : U W é linear. Dem. Se u, v U, então (L T )(u + v) = L(T (u + v)) = L(T u + T v) = L T (u) + L T (v).

CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 24 Se a K e u U, então (L T )(au) = L(T (au)) = L(aT (u)) = al(t (u)) = a(l T )(u). Resulta que L T é linear. Proposição 2.7 Seja T : V W linear bijetora. Então a aplicação inversa T 1 : W V também é linear (e bijetora). Dem. Sejam w 1 = T (v 1 ) e w 2 = T (v 2 ) elementos arbitrários de W. Então: T 1 (w 1 +w 2 ) = T 1 (T v 1 +T v 2 ) = T 1 (T (v 1 +v 2 )) = v 1 +v 2 = T 1 (w 1 )+T 1 (w 2 ). Se a K e w = T (v) W, então: T 1 (aw) = T 1 (at (v)) = T 1 (T (av)) = av = at 1 (w). Resulta que T 1 : W V é linear. Definição 2.4 Uma aplicação linear T : V W é um isomorfismo de V sobre W se T é bijetora. Se, além disso, V = W então diremos que T é um automorfismo de V. Se existe um isomorfismo de V sobre W dizemos que V e W são isomorfos. Corolário 2.7.1 A composta de dois isomorfismos é um isomorfismo. A inversa de um isomorfismo é um isomorfismo. Obs.: Representamos por L(V, W ) o conjunto das aplicações lineares de V em W. No caso em que V = W é usual chamar uma aplicação linear T : V V de operador linear em V e representar L(V, V ) simplesmente por L(V ) e por GL(V ) o conjunto dos automorfismos de V. Proposição 2.8 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K. Se T, L GL(V ) então T L GL(V ) e (T L) 1 = L 1 T 1. Dem. Já vimos que a composta de automorfismos é automorfismo. Basta então verificar que (T L) (L 1 T 1 ) = (L 1 T 1 ) (T L) = I, operador identidade de V, o que é imediato.

CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 25 Proposição 2.9 Se T : V W é linear sobrejetora, então W é isomorfo V ao espaço quociente N (T ). Dem. Seja π : V V a aplicação quociente, isto é, π(v) = v + N (T ) N (T ), v V. É imediato que π é linear. V Seja L : W definida por L(v+N (T )) = T (v), ou seja, L π = T N (T ) (dizemos então que o diagrama abaixo comuta). Mostremos que L está bem definida e é injetora: L(u + N (T )) = L(v + N (T )) T (u) = T (v) T (u v) = 0 u v N (T ) u + N (T ) = v + N (T ). Além disso, L é sobrejetora pois, dado w W, existe v V tal que T (v) = w (já que T é sobrejetora) e, portanto, L(v + N (T )) = w. Logo, L é bijetora. Resta provar que L é linear. Sejam u, v V, então: L(u + N (T ) + v + N (T )) = L(u + v + N (T )) = T (u + v) = T (u) + T (v) = L(u + N (T )) + L(v + N (T )). Se a K e v V, então: L(a(v + N (T ))) = V (av+n (T )) = T (av) = at (v) = al(v+n (T )). Resulta que L : N (T ) W é um isomorfismo. V T W π V N (T ) L Corolário 2.9.1 Sejam V um espaço vetorial sobre K, U e W subespaços de V tais que V = U W. Então, V U é isomorfo a W. Dem. Seja p : V W definida por p(v) = w, onde v = u + w com u U e

CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 26 w W. É imediato que p é linear sobrejetora e N (p) = {v V ; p(v) = 0} = U. Portanto, pela proposição 2.9, temos que V U é isomorfo a W. Corolário 2.9.2 Sejam T : V W linear e U V subespaço tal que V = N (T ) U. Então U é isomorfo a Im T. Dem. Decorre da proposiçã 2.9 que 2.9.1 temos que V N (T ) V é isomorfo a Im T. Pelo corolário N (T ) é isomorfo a U. Resulta que U e Im T são isomorfos. Proposição 2.10 Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V de dimensão finita sobre o corpo K. Então: dim U + dim W = dim (U + W ) + dim (U W ). Dem. Seja T : U W V, T (u, w) = u w. É imediato que T é linear. Além disso, Im T = {v = u w; u U, w W } = U + W N (T ) = {(u, w) U W ; u = w} = {(u, u) U W, u U W }. É fácil ver que a aplicação u U W (u, u) N (T ) é um isomorfismo. Portanto, dim N (T ) = dim (U W ). Pela proposição 2.5, temos: dim (U W ) = dim (U + W ) + dim (U W ), ou seja, dim U + dim W = dim (U + W ) + dim(u W ). Proposição 2.11 Todo espaço vetorial de dimensão n sobre K é isomorfo a K n. Dem. Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre K. Seja {v 1,..., v n } uma base de V. Se v V, então v = a 1 v 1 +...+a n v n, onde a i K, 1 i n. Seja T : V K n definida por T (v) = T (a 1 v 1 +... + a n v n ) = (a 1,..., a n ) K n. É fácil verificar que T é um isomorfismo.

CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 27 Corolário 2.11.1 Todos os espaços vetoriais de mesma dimensão finita n sobre K são isomorfos entre si. Exemplo 2.2.1 Seja T : V V linear tal que T 3 = 0. Prove que I T é um automorfismo de V. 1 A igualdade formal 1 x = 1+x+x2 +x 3 +... nos sugere que (I T ) 1 = I + T + T 2 + T 3 +... = I + T + T 2 já que T 3 = 0, donde T n = 0 para n 3. De fato, temos: (I T )(I + T + T 2 ) = I + T + T 2 T T 2 T 3 = I (I + T + T 2 )(I T ) = I T + T T 2 + T 2 T 3 = I Portanto, I T é um automorfismo de V e (I T ) 1 = I + T + T 2. Exemplo 2.2.2 U e W sendo dois subespaços suplementares do espaço vetorial V, isto é, V = U W, todo v V se escreve, de modo único, na forma v = u + w, onde u U e w W. Consideremos T : U W U W definida por T (u, w) = u + w. É fácil ver que T é linear bijetora, ou seja, T é um isomorfismo de U W sobre U W. Reciprocamente, dados dois espaços vetoriais U e W sobre K, para todo v = (u, w) de V = U W temos, de modo único: (u, w) = (u, 0) + (0, w). Se U e W são, respectivamente, os subespaços de V descritos por (u, 0) e (0, w), então é claro que U é isomorfo a U e que W é isomorfo a W. Então, V = U W = U W. Se identificarmos U com U bem como W com W, então poderemos considerar U e W como subespaços suplementares de U W, o que significa identificar os dois espaços isomorfos U W e U W. Nestas condições, a aplicação de U W sobre U dada por u + w u, se identifica com p 1 : U W U, p 1 (u, w) = u, e é a projeção de V = U W sobre o subespaço U, paralelamente ao subespaço suplementar W. Analogamente, a aplicação u + w w se identifica com a projeção p 2 : U W W, p 2 (u, w) = w de V sobre o subespaço W paralelamente a U. Em particular, se V = U W tem dimensão finita, então: dim (U W ) = dim (U W ) = dim U + dim W, já visto anteriormente. Exercícios 1. Sejam T, L L(V ) tais que L T = T L. Prove: (a) L(N (T ) N (T ); (b) L(Im T ) Im T.

CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 28 2. Sejam L : V U, T : U W lineares. Se U, V e W têm dimensão finita, prove que: (a) posto(t L) posto(t ); (b) posto(t L) posto(l). 3. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre K, L e T elementos de L(V ) tais que L T = I. Mostre que L é invertível e que T = L 1. 4. Sejam T : V U linear e W V subespaço. Seja T W = L : W U a restrição de T a W, isto é, T (w) = L(w) para todo w W. Prove: (a) L é linear; (b) N (L) = N (T ) W ; (c) Im L = T (W ). 5. Seja V = P n+1 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n, com coeficientes reais. Ache um suplementar do subespaço W de V formado pelos polinômios p(t) tais que p(1) = 0 e prove que V W é isomorfo a R. 2.3 Álgebra das Aplicações Lineares Se V e W são espaços vetoriais sobre o corpo K, vimos que L(V, W ) representa o conjunto das aplicações lineares de V em W. Se L, T L(V, W ) e a K, definimos L + T e at, aplicações de V em W, por: (L + T )(v) = L(v) + T (v) (at )(v) = at (v), para todo v V. É fácil verificar que L+T e at são lineares, isto é, elementos de L(V, W ). Assim, no conjunto L(V, W ) temos duas leis, (L, T ) L+T e (a, T ) at, e deixamos aos cuidados do leitor provar que são satisfeitos os oito postulados que definem uma estrutura vetorial. Lembramos apenas que a aplicação linear zero é a aplicação 0(v) = 0 para todo v V e que a oposta de T L(V, W ) é a aplicação ( T ) tal que ( T )(v) = T (v) para todo v V. Concluímos que L(V, W ), munido das leis de adição (L, T ) L+T e de multiplicação por escalar (a, T ) at, é um espaço vetorial sobre K. Estrutura de Anel de L(V ) Se L, T L(V ), vimos que L + T e L T são elementos de L(V ). Assim, L(V ) está munido de duas leis, (L, T ) L + T e (L, T ) L T, que

CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 29 tornam L(V ) um anel com identidade, isto é: (a) para a adição L(V ) é um grupo abeliano: 1. L + T = T + L; 2. (L + T ) + S = L + (T + S); 3. existe 0 L(V ) tal que T + 0 = T ; 4. dado T L(V ) existe ( T ) L(V ) tal que T + ( T ) = 0, quaisquer que sejam L, T, S L(V ). (b) o produto (L, T ) L T tem as propriedades: 1. (L T ) S = L (T S); 2. existe I L(V ) tal que I T = T I = T ; 3. (L + T ) S = L S + T S e L (T + S) = L T + L S, quaisquer que sejam L, T, S L(V ). Estrutura de Grupo de GL(V ) O conjunto GL(V ) dos automorfismos do espaço vetorial V é um subconjunto de L(V ); se L, T GL(V ) vimos que L T e T 1 pertencem a GL(V ) e a identidade I de V também pertence a GL(V ). Portanto, GL(V ) munido da operação (L, T ) L T é um grupo, chamado grupo linear de V. GL(V ) é o grupo dos elementos invertíveis do anel L(V ). Estrutura de Álgebra de L(V ) Se V é um espaço vetorial sobre K, L(V ) está munido das leis: (1) adição: (L, T ) L + T ; (2) multiplicação por escalar: (a, T ) at ; (3) produto: (L, T ) L T. Para as leis (1) e (2), L(V ) tem uma estrutura de espaço vetorial sobre K. Para as leis (1) e (3), L(V ) tem uma estrutura de anel. Além disso, é fácil ver que a(l T ) = (al) T = L (at ), quaisquer que sejam L, T L(V ) e a K. Vemos assim que L(V ) tem uma estrutura de álgebra (linear) sobre K, de acordo com a seguinte definição. Definição 2.5 Sejam K um corpo a A um conjunto munido de uma adição, de uma multiplicação por escalar e de um produto. Dizemos que A é uma álgebra sobre K se:

CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 30 (1) A, munido da adição e da multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre K. (2) A, munido da adição e do produto, é um anel. (3) a(l T ) = (al) T = L (at ), quaisquer que sejam L, T A e a K. Exemplo 2.3.1 O corpo C dos complexos é uma álgebra sobre R. Exemplo 2.3.2 F(R, R) munido das leis f +g, f g, af é uma álgebra sobre R. Exemplo 2.3.3 No espaço vetorial L(V ) consideremos o produto (L, T ) [L, T [] = L T] T[ L (colchete ] de Lie de L e T). É imediato que: (1) [L, T ], S = L, [T, S] (2) [L + T, S] = [L, S] + [T, S] e [L, T + S] = [L, T ] + [L, S] (3) [al, T ] = [L, at ] = a[l, T ], quaisquer que sejam L, T, S L(V ) e a K. Portanto o espaço L(V ), munido do produto (L, T ) [L, T ], é uma álgebra sobre K, anotada gl(v ). 2.4 Exercícios do Capítulo 2 1. Sejam V 1, V 2 espaços vetoriais isomorfos entre si, bem como W 1 e W 2. Prove que L(V 1, W 1 ) é isomorfo a L(V 2, W 2 ). 2. Sejam V, M espaços vetoriais sobre K, V = V 1 V 2. Prove que L(V 1 V 2, W ) é isomorfo a L(V 1, W ) L(V 2, W ). 3. Seja V o espaço vetorial real das funções t x(t) de [0, 1] em R, de classe C. Consideremos em V os operadores x f(x) = dx dt e x g(x) com g(x)(t) = (g f)(x) (f g)(x). t 0 x(u)du. Prove que se x(0) 0 então 4. Sejam V um espaço vetorial e {v 1,..., v n } uma base de V. Prove que r vetores u 1,..., u r V, r n, são LI se, e só se, existe um automorfismo T de V tal que T (v j ) = u j, 1 j r. 5. Sejam f : V W linear e ϕ : V W V W tal que ϕ(v, w) = (v, w f(v)). Prove que ϕ é um automorfismo de V W. 6. Dois operadores lineares S, T L(V ) são semelhantes se existe operador invertível P GL(V ) tal que S = P 1 T P. Se V tem dimensão finita, prove que operadores semelhantes têm o mesmo posto.

CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 31 7. Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre K. Para k = 1, 2,..., n, exiba T : V V linear tal que T k = 0 mas T j 0 se j < k. 8. Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita e T : V W linear. Prove: (a) T é injetora existe S : W V linear tal que S T = id V (b) T é sobrejetora existe S : W V linear tal que T S = id W 9. Seja V um espaço vetorial de dimensão infinita enumerável de base (v 1, v 2,..., v n,...). Seja T : V V o operador linear definido por T (v 2k+1 ) = 0, T (v 2k ) = v k, k N. (a) Prove que T é sobrejetora mas não injetora. (b) Prove que existe S : V V linear injetora, mas não sobrejetora, tal que T S = id. 10. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita, V V um subespaço, W um espaço vetorial, W W um subespaço, e T : V W linear. Prove: ( ) (a) dim T (V ) = dim V dim (N (T ) V ) (b) dim T 1 (W ) = dim N (T ) + dim (Im T W ). 11. E 0, E 1,..., E n sendo espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K (n 2) dizemos que o diagrama f 0 E 0 E1... E k 1 f k 1 Ek f k Ek+1... E n 1 f n 1 En é uma sequência exata se para 0 k n 2 tem-se N f k+1 = Im f k, as aplicações f k sendo lineares (0 k n 1). Se E 0 (resp. E n ) é igual a {0}, que escrevemos 0, não escreveremos f 0 (resp. f n 1 ) pois só existe uma aplicação linear de 0 em E 1 (resp. de E n 1 em 0). (a) Prove: [0 E f F é uma sequência exata ] f é injetora [E f F 0 é uma sequência exata ] f é sobrejetora. (b) Prove que os diagramas seguintes são sequências exatas: 0 F i E j E F 0 0 N f i E f F j F Im f 0 (f aplicação linear, i injeção canônica, j sobrejeção canônica).

Capítulo 3 Matrizes 3.1 Definições Definição 3.1 Sejam K um corpo, m e n inteiros positivos e I n = {1, 2,..., n}. Uma matriz m n sobre K é uma função (i, j) I m I n a ij K. Em geral os escalares a ij são dispostos em m linhas e n colunas, o primeiro índice indicando a linha e o segundo a coluna ocupadas por a ij : a 11 a 12... a 1n A = a 21 a 22... a 2n............ = (a ij), 1 i m, 1 j n a m1 a m2... a mn Os escalares a ij são os elementos da matriz A = (a ij ). Observemos que duas matrizes, A = (a ij ) e B = (b ij ), ambas m n, são iguais se, e só se, a ij = b ij para todo par (i, j). A matriz zero, m n, é a que tem todos seus elementos iguais a zero. A matriz A é quadrada quando o número de linhas é igual ao de colunas, isto é, quando ela é do tipo n n; n é a ordem da matriz quadrada A. Numa matriz quadrada os elementos a ii, que têm os índices iguais, formam a diagonal principal. A matriz identidade (ou unidade) de ordem n é a matriz quadrada I n na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais 1 0 0 iguais a zero. Por exemplo, I 3 = 0 1 0. O elemento genérico de I n é o 0 0 1 32

CAPÍTULO 3. MATRIZES 33 símbolo de Kronecker, definido por: { 1 se i = j δ ij = 0 se i j. Assim, I n = (δ ij ) 1 i,j n. Vamos introduzir no conjunto M m n (K), das matrizes m n sobre K, uma estrutura vetorial. Para isto precisamos definir a adição de matrizes e o produto de uma matriz por um escalar. Definição 3.2 Sejam A = (a ij ) e B = (b ij ) matrizes m n. A soma C = = A + B é a matriz m n, C = (c ij ), tal que c ij = a ij + b ij para todo par (i, j). A adição matricial goza das seguintes propriedades de verificação imediata: (1) A + B = B + A (2) A + (B + C) = (A + B) + C (3) A + 0 = A, onde 0 é a matriz zero m n (4) A + ( A) = 0 onde, sendo A = (a ij ), temos ( A) = ( a ij ). Definição 3.3 Sejam c K e A = (a ij ) M m n (K). A matriz B = (b ij ), onde b ij = c a ij para todo par (i, j), é o produto de c por A, anotado B = c A. É claro que B M m n (K). A multiplicação de matriz por escalar tem as seguintes propriedades, de fácil verificação: (1) 1 A = A (2) c (A + B) = c A + c B (3) (c + d) A = c A + d A (4) c(d A) = (cd) A, quaisquer que sejam A, B M m n (K) e c, d K. Vemos assim que M m n, munido das leis de adição e de multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre K. Quando m = n escrevemos apenas M n (K) ou simplesmente M n. Vamos achar uma base para M m n (K). Para isso, consideremos as matrizes E ij, 1 i m, 1 j n, onde cada E ij é m n e tem todos os elementos iguais a zero, exceto o situado na linha i e na coluna j, que é igual a um: